Система из однородной доски
Обновлено: 28.04.2024
Однородная доска массой 3 кг и длиной 2 м опирается левым концом на одну пружину, а правым концом — на две такие же пружины. Школьница Ирина хочет разместить на доске маленький груз массой m таким образом, чтобы доска была горизонтальна. На каком расстоянии от левого конца доски Ирина должна разместить груз массой m = 6 кг? Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целых
Жесткость двух пружин в два раза больше, чем у одной. Чтобы доска была горизонтальной, нужно, чтобы деформации пружин были одинаковыми.
По правилу моментов:
k*l*x = 2*k*l*(L - x)
где х - расстояние от груза до левого конца доски,
L - длина доски.
3*х = 2*L
x = 2L/3 = 4/3 м.
Ответ: На расстоянии 1,33 м.
в задаче не сказано как расположены две пружины.
значит надо решать 2-е (. ) задачи:
1) когда пружины расположены параллельно
2) когда пружины расположены последовательно
а куда дел (в уравнениях) массу доски?
Поправка.
Подставляя значения масс в цифрах, получаем:
По правилу моментов относительно левого края:
3*L/2 + 6*x = 2*k*l*L
Относительно правого края:
3*L/2 + 6*(L - x) = k*l*L
3*L/2 + 6*x = 6*L/2 + 12*(L - x)
x = 13,5*L/18 = 1,5 м.
Ответ: На расстоянии 1,5 м.
Ок, при последовательном соединении пружин:
3*L/2 + 6*x = k*l*L/2
3*L/2 + 6*(L - x) = k*l*L
x = L/4 = 0,5 м.
а две пружины как расположены: параллельно или последовательно?
если ничего не сказано, то надо решать две задачи.
Xthn_13(666) Искусственный Интеллект (126213) Куклин Андрей, не надо думать за автора. есть много подобных задач.
1)
а две пружины как расположены: параллельно или последовательно?
если ничего не сказано, то надо решать две задачи.
2)
если пружины расположены параллельно (рядом друг с другом), то жесткость суммарная
k_|| = k1 + k2
но жесткости равно, тогда k_|| = 2*k
если пружины расположены последовательно, то
1/k_p = 1/k1 + 1/k2
k_p = k/2
3) условие, что доска остается горизонтальной, дает, что пружины сжаты на одну величину
4) общая жесткость всей системы
1/k = 1/k_left + 1/k_right
пусть k_left одна, а k_right собрана из 2-х
=====
5а) решаем для k_right = 2*k
1/k_s = 1/k + 1/(2*k)
k_s = 2/3 k
5b) запишем уравнение
(3+6) g = 2/3 k * x
итого (!!) k*x = 27g/2
5с) определим сила действующую на правый конц
F_r = k_r * x = x * 2k = 2 * 27 g / 2 = 27 g
5d) теперь можно определить расстояние гирьки от левого конца
-X*6 - L/2*3 + L* 27g = 0
X = .
====
6a) решаем для k_right = k/2
.
В этой статье рассмотрим различные системы из нитей. блоков и рычагов. Эти системы будут как находиться в равновесии, так и грозиться из него выйти: в этом случае будем заниматься предсказанием последствий.
Задача 1. Однородный стержень АВ массой m подвешен горизонтально на двух вертикальных нитях. В точке С на расстоянии 1/4 длины стержня от конца А к стержню подвешен груз массой М. Определить силы натяжения нитей.
Уравнение моментов относительно точки крепления груза:
$$T_A\cdot L=T_B\cdot 3L$$
Подставляем в условие равновесия:
Кто за то, что ответ правильный? Вот и я против. А масса стержня?
Правильное решение с учетом массы стержня:
Тогда относительно точки $A$
$$Mg\cdot L+mg\cdot2L=T_B\cdot 4L$$
Относительно точки $B$:
$$mg\cdot 2L+Mg\cdot 3L=T_A\cdot 4L$$
Правильный ответ: $T_B=\frac\left(M+2m\right)$, $T_A=\frac\left(2m+3M\right)$.
Задача 2. При взвешивании на неравноплечих весах, на одной чашке весов масса тела оказалась равна $m_1 = 3$ кг, а на другой – $m_2 = 4,1$ кг. Какова истинная масса тела? В свободном состоянии весы уравновешены.
Запишем уравнение моментов для первого взвешивания:
Тогда из первого
Приравняем правые части:
Есть еще один очень хороший способ взвешивания на неравноплечих весах. Первое взвешивание производим, подвесив тело на одно плечо, гирьки – на другое. Затем тело убираем, и, не изменяя массу гирь на втором плече, на первое вместо тела набираем гирь известной массы столько, чтобы снова было достигнуто равновесие. Тогда масса этих гирь будет аккурат равна массе взвешиваемого тела.
Задача 3. Так называемый «китайский ворот» представляет собой два цилиндрических вала радиусами $r = 10$ см и $R = 20$ см, насаженных на общую ось, закрепленную горизонтально (на рисунке показан вид сбоку). На валы в противоположных направлениях намотана веревка, на которой висит подвижный блок такого радиуса, что свободные участки веревки практически вертикальны. К оси блока прикреплен груз массой m = 10 кг. Ворот снабжен ручкой, конец которой находится на расстоянии $2R$ от оси ворота. Какую силу необходимо прикладывать к концу ворота для того, чтобы равномерно поднимать груз, если веревка и блок очень легкие, а трение в осях и проскальзывания веревки нет?
Составим уравнение равновесия сил для нижнего блока:
Теперь составим уравнение моментов для верхнего. При этом сделаем это относительно точки, где приложена сила реакция опоры $N$ – так мы избавимся от неизвестной нам силы в уравнении:
Задача 4. Система, состоящая из однородных стержней, трех невесомых нитей, и блока, находится в равновесии. Трение в оси блока отсутствует. Все нити вертикальны. Масса верхнего стержня $m_1 = 3$ кг. Найдите массу $m_2$ нижнего стержня.
Для нижнего стержня запишем уравнение моментов относительно центра. Пусть $l_2$ – его длина:
То есть $T_2=T_3$. Теперь запишем условие равновесия:
Займемся верхним стрежнем. Мы не знаем силу $T_1$, поэтому составим уравнение моментов относительно точки ее приложения, чтобы избавиться от нее. За $l$ обозначим длину одного отрезка стержня:
Подставим найденную ранее силу:
Задача 5. Невесомый рычаг AC установлен на упоре так, что BC в 2 раза больше AB. К рычагу с помощью ниток прикреплены невесомый блок и массивное неоднородное тело (см. рис.). Слева к блоку подвешивают груз так, что система находится в равновесии. Найдите отношение массы груза к массе тела.
Запишем уравнения равновесия обоих тел:
Условие равновесия рычага относительно упора
$$2T\cdot l=2l\cdot T_1$$
Задача 6. Система из длинных рычагов блока и грузов находится в равновесии на двух опорах. Концы рычагов соединены нитями, к которым прикреплен груз $m_1$ и через блок груз $m_2=1$ кг. Определите массу $m_1$ . Массой рычагов можно пренебречь.
После расстановки сил запишем условие равновесия системы «блок-груз $m_2$»
И условие равновесия груза $m_1$:
Далее пишем правила моментов. Удобно записать их для точек приложения сил $N_1$ и $N_2$, чтобы эти силы исчезли из уравнений.
Для точки приложения $N_1$:
Для точки приложения $N_2$:
Задача 7. При каких значениях $m$ возможно равновесие рычага массой $M$? Построить график зависимости силы $N(m)$, с которой рычаг действует на верхний груз.
Расставим силы на рычаг. На рисунке это все силы, кроме $3mg$. Силы, действующие на груз $m$, изобразим на выносном чертеже.
Тогда условием равновесия груза будет являться
Записываем правила моментов относительно точек приложения сил реакции опоры, чтобы от них избавиться:
$$Mg\cdot\frac+T\cdot 3L=T_2L+N_2\cdot 2L$$
Неизвестных у нас больше, чем уравнений. Поэтому нужно провести анализ ситуации. Положим $m=0$, следовательно, $T=0$. Что будет с рычагом, если нить не натянута? Тогда
$m_1$ – это такое значение массы $m$, когда наступает описанная выше ситуация.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда $m$ – велико. Тогда рычаг начнет вращаться по часовой стрелке, груз $m$ повиснет: $T=mg$, сила реакции станет равной нулю: $N_2=0$, уравнение моментов запишется:
Так это уравнение может выглядеть лишь в случае, когда $m$ стремится к бесконечности.
Чтобы построить график, избавимся в уравнении моментов от силы $T$:
То есть сила реакции не зависит от $m$. Строим график:
Задача 8. Четыре одинаковых ледяных бруска длиной $L$ сложены так, как показано на рисунке. Каким может быть максимальное расстояние $d$, при условии, что все бруски расположены горизонтально? Считайте, что все бруски гладкие, и что сила тяжести приложена к центру соответствующего бруска.
Расставляем силы. После этого записываем условие равновесия верхнего «кирпичика»:
Для темного кирпичика запишем правило моментов относительно точки приложения силы $N_1$:
То есть каждый брусочек можно выдвинуть на $\frac$.
Задача 9. Изображенная на рисунке система из рычага и блоков находится в равновесии. Точки подвеса делят рычаг в отношении a:b. Найдите отношение масс грузов, пренебрегая массами рычага, блоков, трением.
Расставляем силы. Для стержня запишем уравнение моментов относительно точки $O$.
В задачах, связанных с равновесием тел, нужно, как правило, найти две силы (или больше) которые стремятся это тело повернуть по и против часовой стрелки. Если моменты этих сил равны, тело будет находиться в равновесии. А чтобы рассчитать момент, нужно также правильно определить плечо силы: это расстояние от оси вращения до линии действия силы.
Задача 1. Однородная доска массой 10 кг подперта на расстоянии $\frac$ ее длины. Какую силу, перпендикулярную доске, надо приложить к ее короткому концу, чтобы удержать доску в равновесии?
Эта задача легко решается, если применить понятие центра масс. То есть будем считать всю массу доски сосредоточенной в одной точке – центре масс. Центр масс – такая точка, что если в ней установить опору, то предмет (в данном случае, доска) будет находиться в равновесии, потому что суммарный момент всех элементарных масс предмета относительно этой точки равен нулю. У однородных предметов (доска, балка, рельс, бревно, труба) центр масс находится посередине. Действительно, если подпереть ровную, одинаковую по толщине доску посередине – она будет находиться в равновесии. Это знают даже самые маленькие: ведь они любят кататься на качелях. Вернемся к задаче. Итак, раз доска однородна (ее толщина и ширина одинаковы по всей длине $L$), то ее центр масс находится в центре, а мы по условию подперли доску на расстоянии $\frac$ длины. Следовательно, если считать всю массу доски сосредоточенной в центре масс, то по правилу моментов
Ответ: доску придется удерживать с силой 100 Н, равной ее весу.
Задача 2. Бревно длиной $L=12$ м можно уравновесить в горизонтальном положении на подставке, отстоящей на $d_1=3$ м от его толстого конца. Если же подставка находится в $d_2=6$ м от толстого конца и на тонкий конец сядет рабочий массой 60 кг, бревно снова будет в равновесии. Определите массу бревна.
Снова прибегнем к помощи центра масс. Если в первом случае бревно находилось в равновесии, то центр масс находится в трех метрах от толстого конца бревна. Будем считать весь вес бревна сосредоточенным в центре масс, тогда для второй ситуации запишем правило моментов:
$$Mg\cdot \left(\frac-d_1 \right)=mg \cdot d_2$$
Задача 3. Рельс длиной 10 м и массой 900 кг поднимают на двух параллельных тросах. Найдите силу натяжения тросов, если один из них укреплен на конце рельса, а другой – на расстоянии 1 м от другого конца.
Составим два уравнения: сначала относительно точки крепления одного троса, затем – другого. Тогда для точки $A$:
Относительно точки $B$:
Из первого уравнения получим силу натяжения правого троса:
Ответ: $T_1=5$ кН, $T_2=4$ кН.
Задача 4. К балке массой 200 кг и длиной 5 м подвешен груз массой 350 кг на расстоянии 3 м от одного из концов. Балка своими концами лежит на опорах. Каковы силы давления на каждую из опор?
Задача очень похожа на предыдущую. Снова запишем правило моментов относительно точек обеих опор.
Разделы ![]()
Дополнительно
Задача по физике - 1746
Однородная тонкая пластинка радиусом $R$ имеет форму круга, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающееся края пластинки (рис.). Масса сплошной пластинки равна $m$. Где находится центр масс круга с таким отверстием?
Задача по физике - 1747
Тонкий невесомый стержень проходит через центры трех шаров разных масс: $m_<1>, m_$ и $m_$. Центры масс всех трех шаров отстоят от левого конца стержня на расстояния $x_<1>, x_$ и $x_$ соответственно (рис.). На каком расстоянии $x_$ от того же конца стержня находится центр масс системы всех трех шаров?
Задача по физике - 1748
На наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^< \circ>$ лежит цилиндр массой $m$. Цилиндр удерживается в состоянии покоя с помощью огибающей его невесомой нити (рис.), один конец которой закреплен на наклонной плоскости, а другой натянут вертикально вверх силой $T$. Чему равна сила $T$?
Задача по физике - 1749
Колесо радиусом $R$ и массой $m$ стоит перед ступенькой высотой $h$ (рис.). Какую минимальную горизонтальную силу $F$ надо приложить к оси колеса О, чтобы оно могло подняться на ступеньку? Силу трения не учитывать.
Задача по физике - 1750
В случаях а и б, изображенных на рис., масса $m_<1>$ груза подобрана так, что масса $m_$ шарика, опирающегося на гладкую поверхность, находится в равновесии. В каком из этих случаев равновесие устойчивое и в каком — неустойчивое?
Для упрощения будем предполагать, что блок расположен достаточно далеко, и поэтому направление нити, идущей от массы $m_$, совпадает с направлением касательной к поверхности.
Задача по физике - 1751
В серванте имеется, выдвижная доска для резки хлеба на ней. К доске спереди приделаны для удобства выдвижения симметрично относительно середины две ручки на расстоянии $l$ друг от. друга (рис.). Длина доски (в глубь серванта) равна $L$. При каком наименьшем значении коэффициента треиия $k$ между боком доски и стенкой серванта нельзя вытащить доску как бы ни была велика, приложенная сила $F4, действующая на одну из ручек?
Задача по физике - 2094
На горизонтальной поверхности стоит куб. С какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он опрокинулся без проскальзывания, если коэффициент трения равен $\mu$? Масса куба $m$.
Задача по физике - 2095
Как направлена сила реакции опоры, если мачта удерживается в вертикальном положении двумя оттяжками, как показано на рисунке? Можно ли однозначно определить величину этой силы?
Задача по физике - 2096
Однородная балка массой $m$ и длиной $l$ лежит на двух опорах горизонтально. На балку действуют заданные силы $F_<1>, \cdots, F_$, направленные вертикально вниз. Точки приложения сил известны. Определить силы давления балки на опоры (см. рис.).
Задача по физике - 2097
На стержне с пренебрежимо малой массой укреплены $n_<0>$ шаров с последовательно возрастающими массами от $m$ до $n_<0>m$, где $m = 1 кг$, так, что их центры находятся на равном расстоянии $l$ друг от друга. В каком месте нужно подпереть стержень, чтобы система была в равновесии?
Задача по физике - 2098
Однородная тонкая пластинка имеет форму круга, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающееся края пластинки. Найти положение центра масс пластинки.
Задача по физике - 2099
Где находится центр масс однородного проволочного полукольца?
Задача по физике - 2100
Однородная доска находится в равновесии в прямом двугранном угле с гладкими стенками. На рисунке показано сечение этого угла плоскостью, перпендикулярной ребру. Как расположена доска? Устойчиво ли ее равновесие?
Задача по физике - 2101
Какой наибольший угол с вертикалью может образовать прислоненная к вертикальной стене лестница, центр масс которой находится на середине ее длины? Коэффициент трения лестницы о пол $\mu_<1>$, о стену — $\mu_$.
Задача по физике - 2102
Лестница прислонена к наклонной стене, образующей угол $\beta$ с вертикалью (см. рис.). При каком коэффициенте трения лестницы о стенку возможно равновесие даже в том случае, когда пол идеально гладкий.
Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «статика, равновесие тел». Будем взвешивать рыб на неисправных весах и класть бревна на опоры, высыпать песок на платформы, пока те не опрокинутся.
Задача 1. Однородный стержень с прикрепленным на одном конце грузом массой $m=1,2$ т находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии 1/5 длины стержня от груза. Чему равна масса стержня M? Ответ дать в килограммах, округлив до целых.
Сосредоточим всю массу стержня в его центре, тогда
Задача 2. При взвешивании большой рыбы на неравноплечих весах, на одной чаше весов её масса оказалась равна $m_1=4$ кг, а на другой $m_2=9$ кг. Какова истинная масса рыбы m? Ответ дать в кг. Массой рычага пренебречь.
Запишем условие равновесия для обоих случаев взвешивания:
Задача 3. Однородное бревно лежит на двух опорах. Правая находится под самым правым краем бревна, а левая на расстоянии 1/4 длины бревна от его левого края. Найти силу реакции, которая возникает в левой опоре бревна, если его масса $m=90$ кг. Считать, что $g=10$ м/c$^2$. Ответ дать в Ньютонах, округлив до целых.
Расставим силы и запишем уравнение моментов относительно правой опоры:
Задача 4. При какой минимальной массе груза $m$ возможно равновесие рычага? Масса рычага $M=12$ кг. Нанесенными штрихами он размечен на 7 равных участков. Ответ дать в кг.
Расставим силы и запишем условие равновесия:
Натяжение нити равно нулю, если
Задача 5. Из бункера, расположенного над выступающим краем лежащей на двух опорах однородной доски, начинает высыпаться песок с массовым расходом $\mu=0,5$ кг/с. Через какое время после открытия заслонки бункера доска начнёт опрокидываться? Масса доски $M=20$ кг. Расстояние между опорами равно 2/3 длины доски. Считать, что песок попадает на край доски и остаётся на ней. Высота между бункером и доской небольшая. Ответ дать в секундах, округлив до целых.
Читайте также: