Реферат паркеты из многоугольников

Обновлено: 28.04.2024

Если объединить вместе принципы построения и исполнения паркетов и пэчворка, используя теорию 4-х красок, то может получиться новое направление в лоскутном шитье.

1) Расширить теоретическую базу, изучить тему:

2) Изучить виды паркетов и геометрические приемы их составления.

3) Познакомиться с техникой пэчворк.

4) Разобраться в проблеме 4-х красок.

5) Разобрать схемы для практической работы.

Паркеты и пэчворк

•Паркет (франц. parquet) - небольшие древесные, строганные планки (клёпки) для покрытия пола. Различают несколько видов паркета: штучный, наборный (мозаичный), щитовой, паркетные доски.

Паркетом называется такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

Вложение	Размер
parkety_i_pechvork_v_geometrii.pptx	2.89 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Паркеты и пэчворк в геометрии ВЫПОЛНИЛИ: Зобов Никита Жильцова Варвара Сычев Георгий

Гипотеза: Е сли объединить вместе принципы построения и исполнения паркетов и пэчворка, используя теорию 4-х красок, то может получиться новое направление в лоскутном шитье. Цели: Сравнить паркеты и пэчворк; Применить проблему четырех красок в технике пэчворк;

Задачи проектной работы: 1) Расширить теоретическую базу, изучить тему: Понятие многоугольника (геометрия 7 класс). 2) Изучить виды паркетов и геометрические приемы их составления. 3) Познакомиться с техникой пэчворк . 4) Разобраться в проблеме 4-х красок. 5) Разобрать схемы для практической работы.

Выдвинуты проблемы: Чем похожи паркеты и пэчворк и в чем их отличия? Какими многоугольникам можно замостить плоскость? Объекты исследования: П аркеты и пэчворк Методы исследования: а нализ научной, учебной литературы; с равнение и анализ результатов, полученных разными авторами; с истематизация результатов; м етод аналогии.

ПОНЯТИЕ ПАРКЕТА И ПЭЧВОРКА П аркет (франц. parquet ) - небольшие древесные, строганные планки (клёпки) для покрытия пола. Различают несколько видов паркета: штучный, наборный (мозаичный), щитовой, паркетные доски. Паркетом называется такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

Также паркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими. Паркет (или мозаика) бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий.

ПАРКЕТЫ ИЗ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И НЕПРАВИЛЬНЫЕ ПАРКЕТЫ Великий математик Пифагор утверждал: «Числа управляют мировым порядком, на числах основана гармония Вселенной». Т. е вокруг одной точки плоскости можно плотно уложить 3 правильных шестиугольника, 4 квадрата, 6 правильных треугольников

Таким образом, всего имеется 11 типов правильных паркетов.

НЕПРАВИЛЬНЫЕ ПАРКЕТЫ П роверим утверждение о том, что для любого четырёхугольника существует паркет, состоящий из четырёхугольников, равных исходному. Иначе говоря, четырёхугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость без пробелов и наложений.

Отметим , что четырёхугольник может быть и невыпуклым. Паркет может быть составлен из неправильных многоугольников, а также из произвольных фигур, например, орнаменты Эшера .

ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЁХ КРАСОК В 1850 году шотландский физик Фредерик Гутри обратил внимание на то, что задачи раскрашивания карт очень популярны среди студентов-математиков в Лондоне, а сформулировал проблему четырёх красок его брат Фрэнсис Гутри . Он в 1852 раскрасил карту графств Англии четырьмя красками и выдвинул гипотезу о том, что этого количества красок достаточно для раскрашивания любой карты. При этом ни форма стран, ни конфигурация границ не имеют значения

Многоугольной картой на плоскости будем называть разбиение многоугольника на более мелкие многоугольники, получающиеся добавлением новых вершин и сторон внутри данного многоугольника, причём любые два новых многоугольника или не имеют общих точек, или имеют общие вершины, или имеют общие стороны. Многоугольники называются странами, а их стороны границами.

Карту можно правильно раскрасить тремя красками, если каждая внутренняя вершина имеет нечётный индекс ( т. е в ней сходятся нечётное число сторон). Рассмотрим рисунок: - в примерах а) и г) внутренние вершины имеют чётный индекс, поэтому потребуется две краски . в примерах б) и в) внутренние вершины имеют нечётный индекс, поэтому потребуется три краски . Если же внутренние вершины регулярной карты имеют и чётный, и нечётный индексы (то есть в ней сходятся или чётное или нечётное число сторон), то такую карту можно раскрасить четырьмя красками .

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОРНАМЕНТОВ ДЛЯ ПАРКЕТОВ И ПЭЧВОРКА Паркеты , как и пэчворк, могут быть художественными, а могут быть строгими геометрическими. Наиболее простыми в исполнении и там, и там являются геометрические орнаменты . Геометрические паркеты, чаще всего, исполняются в одном цвете. Тогда как орнаменты пэчворка всегда многоцветны. Конечно, для большей декоративности можно использовать теорию четырёх красок при работе в лоскутной технике. Точно так же, как можно пользоваться ею и при укладке паркета.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате проведённой работы цели, поставленные нами, считаем достигнуты. Мы подробно изучили пэчворк и паркеты, принципы их построения, узнали, что : - паркетов , составленных из правильных многоугольников, всего одиннадцать ; - познакомились с проблемой четырёх красок ; - Поняли, что не все геометрические фигуры можно использовать в правильных паркетах, и не все паркеты можно использовать в лоскутном шитье ; - узнали, что минимальное число красок для того, чтобы раскрасить паркет две.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов

Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Геометрия и паркет- реферат.doc

МБОУ «Железногорская средняя общеобразовательная школа №2»

Научно – практическая конференция
«За страницами школьного учебника»

Тема: «Геометрия и паркет»

Ситникова Екатерина ,7 класс МБОУ«Железногорская СОШ №2»

Руководитель:

Захарова Людмила Алексеевна

Орнамент как зеркало хорошего вкуса…………………………………………. 6-7

Классические паркетные узоры…………………………………………………10-11

Паркетные узоры нестандартной формы………………………………………11-12

Этапы разработки фрагментов паркетного узора……………………………. 12-14

Задачи о паркете в олимпиадных заданиях……………………………………….14

Геометрия – это не только школа логического мышления, это еще и источник образов. В чем тайна многих великих художников, скульпторов, архитекторов. Почему одни произведения искусства притягивают человека своей гармонией, а другие отталкивают? Есть ли точки соприкосновения у геометрии и искусства? Люди каких профессий (из мира искусства) используют законы геометрии при создании своих произведений?

В настоящее время большое внимание уделяется дизайну жилых помещений. Особенно оформлению и качеству напольных покрытий. Одним из востребованных и дорогостоящих напольных покрытий является паркет . Требования, предъявляемые в настоящее время, к производству паркетных работ, так же как и к проектированию интерьера в целом, подразумевают индивидуальный подход, учитывающий как многообразие пожеланий заказчика, так и современные особенности планировки и дизайна помещения. В основном паркет кладётся в помещениях где принимают «Высоких» гостей и проводят танцевальные конкурсы. На паркете выкладывают различные узоры. Разработкой паркетных узоров занимаются дизайнеры. Поскольку меня интересует эта профессия, то я хочу выяснить, из каких фигур можно составить красивый и современный рисунок для паркета.

Тема: Геометрия и паркет.

Определить какие основные геометрические фигуры используются при составлении паркета и разработать образец паркета со своим рисунком

Ознакомится с литературой.

Рассмотреть задачи Пенроуза о паркете.

Определить набор фигур для оформления паркетов.

Разработать собственный паркетный узор.

Гипотеза: Количество правильных паркетов бесчисленное множество (Если знать основные фигуры из которых можно составить паркет, то видоизменяя взятую за основу фигуру можно получить различные по сложности паркетные узоры)

Объект исследования: Различные паркетные узоры.

Предмет исследования: Плоские геометрические фигуры, из которых можно составить паркетный узор.

Методы исследования:

Наблюдение, сравнение , анализ полученных результатов, выводы.

2.1.Определение

Художественный паркет c орнаментами из нескольких пород дерева - этo произведение искусства, продукт изящного, сложного, высокого ремесла. Хороший паркетный пол, созданный настоящими профессионалами, мoжeт прослужить 50-100 лет и дольше. Недаром нa подобных полах в прежние времена нередко вырастали внуки и правнуки владельцев дома

Паркет (или мозаика) есть бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Мы будем рассматривать только паркеты, составленные из равных между собой многоугольников - плит паркета. Дополнительно всегда предполагается, что если паркет составлен из копий выпуклого многоугольника, то каждые две копии либо не имеют общих точек, либо имеют общую сторону (называемую также ребром паркета), либо общую вершину (называемую вершиной паркета).

2.2.Сквозь века

Узорный паркет из цветной древесины - тaк называемый наборный, или художественный, - имeeт oчeнь древнюю историю. Полы из различных пород дерева изготавливались eщe 3 тысячи лет назад. В России вce началось c того, чтo Петр I своей рукой составил орнаменты для дворцовых паркетов в проектируемом тoгдa Петергофе. В этoт момент официально родился русский художественный паркет. Над eгo рисунками сначала трудились иностранцы (Леблон, Растрелли, Фальконе), a потом и русские мастера. Они оставили шедевры своего искусства в интерьерах дворцов Павловска, Ораниенбаума, Петергофа, Царского Села, Останкино.

Узорный наборный паркет существенно отличается oт штучного. Ведь oн имeeт большое количество разнообразных пo форме деревянных деталей, чacтo криволинейных. Эти элементы нe мoгyт соединяться пo принципу "паз - гребень", кaк типовые штучные планки. Художественный паркет набирают из нескольких пород дерева, различающихся пo цвету и тону (подобно тому кaк из разных пород разноцветного мрамора создается флорентийская мозаика). В России, кpoмe местных березы, ольхи, сосны, лиственницы, клена, груши, яблони, вяза, можжевельника и др., для паркета, в том числе художественного, постепенно стали широко применять привозную "заморскую" древесину: фиолетовый палисандр, розовый амарант, желтое и красное сандаловое дерево, шелковицу, черное эбеновое и табачное дерево, белый и красный кипарис, тисс, чинару, тую, оливковое дерево. Использование этих непохожих, разнообразных пo рисунку живых материалов позволяло создавать самые прихотливые и сложные узоры. В XVII-XVIII веках наборный паркет изготавливали в видe отдельных щитов, нa кoтopыe наклеивали тонкие листы цветной древесины нужного рисунка. Щиты укладывали нa решетку из брусьев (отдаленно напоминающую современные лаги).

Долгая история художественного паркета, подарившая мировой культуре многочисленные уникальные шедевры, знала спады и подъемы. В XVII-XIX веках нигдe в мире нe было таких разнообразных и высокохудожественных полов, кaк в России. Сейчас этo изысканное ремесло переживает очередной расцвет. Он поддержан новыми технологиями сушки, особо точной обработки и раскроя древесины, a тaкжe современными методами укладки полов.

"Пироги" наборного и штучного паркета не принципиально отличаются друг oт друга. Просто детали художественного паркета не скрепляются мeждy собой, a крепятся к основанию. Наборное покрытие можно удачно сочетать co штучным, и этo делают весьма часто. Например, пол из штучного паркета можно облагородить нe тoлькo красивой необычной схемой укладки, но и вставными наборными "оазисами", кoтopыe превратят eгo в художественное произведение.

2.3.Орнамент как зеркало хорошего вкуса

В наше время бесстилья и эклектики серьезно встает проблема: какие узоры, орнаменты, рисунки уместны при изготовлении полов? Современные паркетные фирмы идут в этом отношении несколькими путями. Один из них - копирование старых образцов из интерьеров "эпохи красных каблуков и напудренных париков", тo ecть создание эксцентричных пo рисунку паркетов в стиле барокко или классицизма. Но получится ли сейчас, скользя пo напольным картушам и виньеткам, почувствовать себя графом? И каков художественный эффект oт механического перенесения старинного рисунка из дворца или усадьбы в современные дома c иными пропорциями и масштабами? Сомнений нe вызывает тoлькo реставрация или воссоздание (реконструкция) художественного паркета нa том месте, гдe oн когда-то был.

Выбор стиля, разумеется, зависит oт общего архитектурно-декоративного замысла интерьера. По-настоящему профессиональный подход предполагает продуманное сочетание стилизованного паркетного рисунка co всей структурой и co всеми деталями внутреннего убранства дома. И нe тoлькo c мебелью, отделкой стен и тканями, нo и c дверными ручками и фамильным сервизом. Для тaкoй работы нужен высокий профессионал - автор общего замысла, архитектор и дизайнер в одном лице. Подобных специалистов сегодня oчeнь мало, и в результате мнoгиe трудоемкие художественные паркетные полы, исполненные нa хорошем техническом уровне, имеют, к сожалению, скверный дизайн.

В каждом конкретном cлyчae современного орнамента, нового декоративного решения. Рисунок наборного паркета (точно тaк же, кaк и вид укладки штучного) дизайнеры связывают c общей архитектурной конструкцией интерьера. В частности, c планом полов, назначением и oбpaзoм каждого помещения. Разрабатывая сценарий оформления дома, профессионалы стремятся преодолеть однообразие и украшают разные помещения и зоны разным пo рисунку наборным паркетом. При этом важно соблюсти строгое стилистическое и художественное единство вceгo интерьера.

Выбор цвета, масштабов, степени насыщенности, плотности и контраста напольных графических рисунков, их сочетания друг c другом и co свободными от орнаментов зонами oчeнь сильно влияет нa восприятие интерьера, на формирование образа архитектурного пространства.

2.4.Паркеты из правильных многоугольников

Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Ответ на этот вопрос можно найти в задачах о паркетах Пенроуза.

В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами. Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.

В то же время правильные пятиугольники не могут служить элементами паркета, поскольку их нельзя на плоскости подогнать друг к другу плотно, без зазоров. То же самое можно сказать о семи-, восьми-, девяти-, десятиугольниках. Постепенно были придуманы способы заполнения плоскости правильными многоугольниками разных видов и размеров. Например, так можно заполнить плоскость, комбинируя четырех- и восьмиугольники разных размеров.

Значительно более сложным развитием этой задачи было условие, чтобы структура паркета, составленного из нескольких видов многоугольников и полностью покрывающего плоскость, была не совсем "правильной" или "почти" периодической. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 1970-х годов профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз решил задачу, используя всего два вида ромбов, заполнения плоскости ромбами с острыми углами в 72 и 36° . Их еще называют "толстыми" и "худыми" ромбами.

Для получения непериодической картины при укладывании ромбов следует придерживаться некоторых нетривиальных правил их сочетания. Оказалось, что эта простая с виду структура обладает очень интересными свойствами. Например, если взять отношение числа тонких ромбов к числу толстых, то оно оказывается всегда равно так называемому "золотому" числу -1,618. Поскольку это число "не точное", а, как говорят математики, иррациональное, то и структура получается не периодической, а почти периодической. Более того, это число определяет соотношение между отрезками внутри десятиугольников, образующих пятиконечную звезду, - пентограмму, которая считается геометрической фигурой с идеальными пропорциями. Обратите внимание: десятиугольники имеют одинаковую ориентацию, что согласовывает и определяет расположение ромбов, из которых составлена мозаика Пенроуза. Поразительно, что это чисто геометрическое построение оказалось самой подходящей математической моделью для описания открытых в 1984 году квазикристаллов.

Обратите внимание: грани всех многоугольников имеют одинаковые размеры, что позволяет состыковывать их с любой стороны.

В начале прошлого столетия великий» французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия! ». Сегодня уже в начале 21 столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг – всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Все это создано руками человека, вооруженного геометрическими знаниями. На уроках геометрии мы изучали тему «Многоугольники», и я решила выяснить, где можно найти применение этой темы. Если посмотреть вокруг, то можно увидеть, что в настоящее время для оформления интерьера квартир широко используют паркет. Паркеты имеют разную форму и окраску. Мне стало интересно, как создаются паркеты и как это связано с геометрией. На уроках геометрии изучается тема: «Многоугольники». Приглядевшись внимательнее, я стала замечать эти многоугольники вокруг себя: паркет, линолеум, кафельная плитка, геометрические орнаменты в художественных изделиях, в оформлениях книг. А сколько же их может быть этих паркетов, встал передо мной вопрос? Как их так мудро и красиво соединяют? Этот материал мы еще не изучали, и передо мной встала

цель: подробно изучить паркеты.

Выдвинута проблема: определить количество правильных паркетов.

Изучить литературу, интернет-ресурсы по заданной теме.

Закрепить знания свойств правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками.
Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить паркет.
Оформить презентацию для защиты работы.

Выдвигаю гипотезу: количество правильных паркетов бесчисленное множество.

Объект исследования - паркеты.

Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; метод аналогии.

Во все времена и у всех народов в строительстве интерьера полам и их убранству уделялось большое внимание. Еще в древние времена в Египте, Индии, Китае, и во многих других странах создавали прочные и красивые полы. В средние века «паркету» стали уделять больше внимания, он стал неотъемлемой частью новых домов, дворцов и замков. Но своего художественного совершенства пол из «дубовых кирпичей» достигает к началу XVII века в разных странах Европы. Следует отметить, что художественная форма паркета тесно связана с общим стилистическим развитием искусства и архитектуры.

В общественных зданиях Древней Руси полы делали из дерева, досок или из «деревянных кирпичей». Начиная с XVI в. полы в России стали настилать из дубовых клепок, укладываемых рисунком, который носил название «елочка», а сам пол называли «косящатым». Клепки, как правило, укладывали на грубораспиленное основание из мягкой древесины, большей частью сосны. Исконное и широко распространенное народное искусство резьбы по дереву, а также навыки в художественной обработке и укладке пола в древнерусском зодчестве создали все предпосылки для быстрого развития художественного паркета в России.

Так, уже в XVII в. наиболее распространенным приемом укладки паркета был способ, называемый «дубовым кирпичом»: паркетины в форме кирпичей укладывали на известковой основе, швы между дубовыми кирпичами заливали известью, смешанной со смолой. Вдоль стен иногда делали дубовый бордюр. Такой паркет знали на Руси и раньше, он уже был известен по Дмитровскому собору во Владимире, по храму Василия Блаженного и Донскому монастырю в Москве. Но в отличие от тех полов к концу XVII в. он стал более искусным в художественном отношении. Паркет начала XVIII в. связан с русской резьбой. Высокохудожественная резьба по дереву и металлу процветала в XVII в. в московских мастерских Оружейной палаты. В 1711 г. Петр I закрыл эти мастерские, а всех резчиков перевел в Петербург на корабельные верфи. Эти кадры мастеров и были использованы адмиралтейством при изготовлении паркетов петербургских дворцов. Паркет — лицевой слой пола, настилаемый по определенному рисунку из отдельных строганых дощечек (клепок). Паркетом называют также и сам материал, из которого выкладывается паркетный пол. Полы из паркета настилаются в жилых и общественных зданиях, они отличаются красивым внешним видом, малой тепло- и звукопроводностью.

Паркет из правильных многоугольников

Итак, чтобы определить кол-во правильных паркетов, прежде всего вспомним определение правильных многоугольников из учебника А. Атанасяна «Геометрия 7-9»:

«Правильным многоугольником называется выпуклый многогранник, у которого все углы и все стороны равны».

Что же называется правильным паркетом?

Обозначим через n число сторон правильного многоугольника, тогда n-2∙180° – сумма всех внутренних углов многоугольника. αn=n-2n∙180°- каждый угол правильного многоугольника.

Чтобы можно было сгруппировать вокруг какой – то точки определенное число одинаковых правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма их углов, сходящихся в данной точке, равнялось 360 .

Определение паркета: Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

Изучив литературу, я узнала, что паркетов, необязательно правильных существует бесчисленное множество. Однако, подобно тому как при бесчисленном множестве многогранников вообще существует лишь конечное число правильных многогранников, так и при бесчисленном множестве паркетов, существует лишь конечное число правильных паркетов.

I. Замощение окрестности точки плоскости правильными многоугольниками одного типа .

Паркеты, состоящие только из правильных треугольников.

Количество сторон: n=3 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=3-23∙180°=60°

Количество многоугольников: 360°:60°=6 – натуральное число.

Паркеты, состоящие из правильных четырехугольников (квадрат).

Количество сторон: n=4 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=4-24∙180°=90°

Количество многоугольников: 360°:90°=4 – натуральное число.

Паркеты, состоящие из правильных пятиугольников.

Количество сторон: n=5 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=5-25∙180°=108°

Количество многоугольников: 360°:108°=3,(3) – ненатуральное число.

Паркет, состоящие из правильных шестиугольников.

Количество сторон: n=6 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=6-26∙180°=120°

Количество многоугольников: 360°:120°=3

Итак , величина угла правильного n-угольника определяется по формуле αn=n-2n∙180°

Используя эту формулу , для различных значений получаем следующие величины углов правильных n-угольников

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

Свидетельства для портфолио
Вечный доступ за 120 рублей
311 видеолекции для каждого

Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.

Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.

С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

В моей работе я буду рассматривать геометрические паркеты из многоугольников.

Цель и задачи проектной работы.

1.Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.

2.Изучить геометрические приёмы составления паркетов.

3. Научиться строить паркеты с помощью графического редактора « Paint », входящего в стандартный пакет Microsoft Office .

4.Развитие умений и навыков исследовательской работы.

Выдвинута проблема. Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?

Объект исследования - паркеты.

Методы исследования: анализ литературы; систематизация материала; метод аналогии.

При работе над проектом я пользовалась материалом из книг, журналов, использовала Интернет - ресурсы.

1. Историческая справка.

Слово "паркет" имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены.

Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.

Сейчас, в начале ХХI века, несмотря на развитие науки и техники, можно сомневаться - все ли технологические тайны старых мастеров-паркетчиков удалось восстановить. Можно сказать, что благодаря буквально нескольким мастерам - реставраторам искусство художественного паркета в нашей стране сохранилось до наших дней.

Паркет в Итальянском зале Паркет начала 18 века

Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.

2. Геометрические п аркеты.

П аркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.

2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.

1.Из каких правильных одноименных многоугольников можно составить паркет?

Предположение: правильные паркеты получатся из квадратов, шестиугольников и треугольников.

В природе и в жизни человека паркеты встречаются часто. Например: шахматная доска и пчелиные соты. Все эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Пример шахматной доски меня убеждает, что из правильных: четырехугольников тоже можно составить правильный паркет.

На примере пчелиных сот убеждаемся, что паркет можно составить и из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт.

В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют

Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?

Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?

Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга).

Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:

Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n -угольников, то должно выполняться равенство:

m *180º*( n -2)/ n =360º. (величина угла правильного n -угольника равна 180º*( n -2)/ n )

После преобразований получим:

Если n =3, m =6 (6 треугольников в узле).

Если n =4, m =4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n =5, m =3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Если n =6, m =3 (шестиугольника)

Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!

Вывод: Наше предположение оказалось верным.

Мы убедились в том, что паркет можно построить из:

правильных треугольников;

правильных шестиугольников;

правильных четырехугольников.

На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.

Выяснить, число паркетов, составленных из правильных одноимённых многоугольников, конечно?
Создание своего математического паркета.

Изучить информацию о возникновении и развитии паркетного искусства.
Что означает математический паркет, и как его создать.
Рассмотреть примеры не математических паркетов.

Выдвинута проблема: Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?

Объект исследования - паркеты.

Анализ литературы.
Систематизация материала.
Метод аналогии.

Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полу цветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.

Паркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий.

2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.

Плоскость можно покрыть правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек. Из каких же правильных одноименных многоугольников можно составить паркет? Самый простой вариант – это из квадратов. А ещё есть варианты? Давайте разбираться.

Решение нашей задачи естественно начать с исследования вершин паркета.

Сколько сходится многоугольников в одной вершине? Если это квадраты, то четыре. Два многоугольника сходиться не могут, поскольку не существует многоугольника, у которого угол равняется 180 ° . Если сходятся три многоугольника, то каждый угол должен равняться по 120 ° , а это правильный шестиугольник, так как угол вычисляется по формуле:

Легко догадаться, что шесть правильных треугольника тоже образуют вершину паркета, так как 6 ⋅ 60 ° = 360 ° . Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая), следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, не может превышать шести. Итак, в вершине пакета может быть три шестиугольника, или четыре квадрата, или шесть треугольников.

Выясним, а может быть пять многоугольников:

360 ° : 5 = 72 ° - один угол;
, после преобразования, получается, что ,
Вывод: пять многоугольников не может быть.

2.2. Паркеты из полуправильных многоугольников.

Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии, переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами (см. презентация – слайды…)

2.3. Пятиугольные паркеты.

Сложными являются паркеты, составленные из неправильных пятиугольников.

В 1975 году домохозяйка из города Сан-Диего, мать пятерых детей, не имеющая математического образования, украдкой читала ежемесячные издания ScientificAmerican, которые выписывал один из ее интересующихся наукой сыновей. Работая за кухонным столом, Райс открыла новый (первый был открыт в 1918г.) тип пятиугольных паркетов, о чем написала в журнал. С ней познакомилась математик Дорис Шаттшнайдер, при поддержке которой Райс открыла еще три ранее неизвестных вида пятиугольных паркетов. В 1985 году в издании MathematicsMagazineРольфШтайн из Дортмундского университета сообщил об обнаружении 14-го типа пятиугольных паркетов. Он же сообщил, что его открытие завершает перечисление всех типов пятиугольных паркетов и таким образом решает задачу классификации многоугольных паркетов. И только в 2015 году, спустя 30 лет, профессоры Кейси Манн и Дженнифер Маклауд, а также бакалавр Дэвид вон Дюрей из Вашингтонского университета в Ботелле открыли 15-й тип пятиугольного паркета

«Не математические паркеты»

Ма́уриц Корне́лис Э́шер — нидерландский художник-график. Из всех работ Эшера лучше всего известны его орнаменты (или мозаики), то есть периодическое заполнение плоскости одинаковыми фигурами без их пересечений и щелей между ними. Разбивая плоскость на хитроумные комбинации контуров птиц, рыб, пресмыкающихся, млекопитающих и человеческих фигур, Эшер умело включает свои орнаменты в необычайные, подчас озадачивающие неожиданными решениями композиции.

Паркеты Эшера, с причудливым переплетением фигур людей, животных или монстров — это не фантасмагория Сальвадора Дали или Рене Маргитта, а тонкие философские и математические наблюдения.

В заключение, мы хотим представить вашему вниманию паркеты, которые составили сами.

Читайте также: