Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое прибавив

Обновлено: 29.04.2024

1 8 класс Первый день 8.1. Можно ли все клетки таблицы заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке были бы простыми числами? 8.2. Клетки квадрата 9 9 окрашены в красный и синий цвета. Докажите, что найдется или клетка, у которой ровно два красных соседа по углу, или клетка, у которой ровно два синих соседа по углу (или и то и другое) Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре? 8.4. Дан треугольник ABC с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC 1, BCA 1, CAB 1. Докажите, что треугольник A 1 B 1 C 1 не может быть правильным.

2 8 класс Второй день 8.5. Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9; либо, вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002? 8.6. Каждую сторону выпуклого четырехугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся 8 точек внешние концы построенных отрезков различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырехугольник квадрат По шоссе мимо наблюдателя проехали «Москвич», «Запорожец» и двигавшаяся им навстречу «Нива». Известно, что когда с наблюдателем поравнялся «Москвич», то он был равноудален от «Запорожца» и «Нивы», а когда с наблюдателем поравнялась «Нива», то она была равноудалена от «Москвича» и «Запорожца». Докажите, что «Запорожец» в момент проезда мимо наблюдателя был равноудален от «Нивы» и «Москвича». (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудаленные машины находились по разные стороны от наблюдателя.) 8.8. Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные по 100 г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все 99-граммовые детали.

3 9 класс Первый день 9.1. Клетки квадрата 9 9 окрашены в красный и синий цвета. Докажите, что найдется или клетка, у которой ровно два красных соседа по углу, или клетка, у которой ровно два синих соседа по углу (или и то и другое) Приведенный квадратный трехчлен с целыми коэффициентами в трех последовательных целых точках принимает простые значения. Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) точка O центр описанной окружности. Точка M лежит на отрезке BO, точка M симметрична M относительно середины AB. Точка K точка пересечения M O и AB. Точка L на стороне BC такова, что CLO = BLM. Докажите, что точки O, K, B, L лежат на одной окружности. [ ] 9.4. На плоскости расположено 4 3 n прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с n прямоугольниками. Доказать, что найдется прямоугольник, пересекающийся со всеми.

4 9 класс Второй день 9.5. Можно ли расставить по кругу числа 1, 2. 60 в таком порядке, чтобы сумма любых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма любых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3. сумма любых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7? 9.6. Пусть A точка на одной из сторон трапеции ABCD такая, что прямая AA делит площадь трапеции пополам. Точки B, C, D определяются аналогично. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырехугольников ABCD и A B C D симметричны относительно середины средней линии трапеции ABCD На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой d, где d взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если ее координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке? 9.8. Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные по 100 г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все 99-граммовые детали.

5 10 класс Первый день Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел a 1, a 2. a n, с разностью 2, обладающей свойством: a 2 k + 1 простое при всех k = = 1, 2. n? В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше m точек с целыми координатами. Докажите, что в нем найдется m + 1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой B Серединный перпендикуляр K к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC M в точке M (см. рис.). Биссектриса угла AM B пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке A K. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей C треугольников AKM и BKM, перпендикулярна биссектрисе угла AKB Набор чисел удовлетворяет условиям: a 0 = 0, 0 a n+1 a n 1. Докажите неравенство 2 n n a 3 k a k. k=0 k=0

6 10 класс Второй день На оси Ox произвольно расположены различные точки X 1. X n, n 3. Построены все параболы, задаваемые приведенными квадратными трехчленами и пересекающие ось Ox в данных точках (и не пересекающие ось в других точках). Пусть y = f 1. y = f m функции, задающие эти параболы. Докажите, что парабола y = f f m пересекает ось Ox в двух точках Пусть A точка на одной из сторон трапеции ABCD такая, что прямая AA делит площадь трапеции пополам. Точки B, C, D определяются аналогично. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырехугольников ABCD и A B C D симметричны относительно середины средней линии трапеции На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и n 1 > 0 целых точек так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок [0, 2002] взаимно просты в совокупности. Разрешается разделить любой отрезок на n равных частей и отметить точки деления, если они все целые. (Точку можно отметить второй раз, при этом она остается отмеченной). Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке? В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски размера так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более, чем пяти различных цветов?

7 11 класс Первый день Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечетных p и q число x p + y q рационально. Докажите, что x и y рациональны Высота четырехугольной пирамиды SABCD проходит через точку пересечения диагоналей ее основания ABCD. Из вершин основания опущены перпендикуляры AA 1, BB 1, CC 1, DD 1 на прямые SC, SD, SA и SB соответственно. Оказалось, что точки S, A 1, B 1, C 1, D 1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые AA 1, BB 1, CC 1, DD 1 проходят через одну точку Набор чисел удовлетворяет условиям: a 0 = 0, a n+1 a n + 1. Докажите неравенство 2 n n a 3 k a k. k=1 k= Клетчатая плоскость раскрашена в n 2 цветов так, что в любом квадрате из n n клеток встречаются все цвета. Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в n цветов.

8 11 класс Второй день Пусть P (x) многочлен нечетной степени. Докажите, что уравнение P (P (x)) = 0 имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение P (x) = На плоскости даны n > 1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же ходить больше некуда, а нулевой суммы не было, то первый. Кто выигрывает при правильной игре? Дан выпуклый четырехугольник ABCD, и проведены биссектрисы l A, l B, l C, l D, внешних углов этого четырехугольника. Прямые l A и l B пересекаются в точке K, прямые l B и l C в точке L, прямые l C и l D в точке M, прямые l D и l A в точке N. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK и CDM касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL и DAN касаются внешним образом На отрезке [0, N] отмечены его концы и еще 2 точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок [0, N], целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись две отмеченные точки A и B такие, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок AB на 3 равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек A, B. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка [0, N]?

1. Глеб написал на доске обыкновенную дробь, а Гриша посчитал сумму ее числителя и знаменателя. Найдите наименьшее натуральное значение этой дроби, если у Гриши получилось число 2011.

3. Маша пробежала 1 км со средней скоростью 4 м/с. С какой средней скоростью пробежал эту дистанцию Вася, если стартовав на 25 секунд позже Маши, он финишировал на 25 секунд раньше?

4. Найдите все трёхзначные числа, из цифр каждого из которых можно составить шесть различных простых двузначных чисел.

5. В ряд выложены несколько апельсинов, мандаринов, яблок и бананов. Оказалось, что рядом с фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее число фруктов могло быть выложено?

6. Сумма четырёхзначного натурального числа с его суммой цифр равна 2018. Чему равно само число (необходимо найти все возможные варианты)?

8. 4 мецената пожертвовали театру 132 тысячи рублей. При этом второй пожертвовал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый — вчетверо больше третьего. Сколько пожертвовал четвёртый?

9. На шахматной доске стоят ладьи так, что каждая из них бьёт N ладей. При каких N это возможно? (Ладья бьёт в каждом направлении только ближайшую ладью.)

10. Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 73. Какое число задумал Вася (перечислите все возможные варианты)?

12. Три поросенка хранят в жестяной банке красные, желтые и зеленые леденцы. Какое наименьшее число леденцов надо взять наугад из банки так, чтобы каждому поросенку можно было дать по 5 леденцов одного цвета?

13. Три невисокосных года идут подряд. В первом из них понедельников больше, чем сред. На какой день недели заканчивается третий год?

14. Маша выписывает последовательно на доску по возрастанию все числа, в которых число четных цифр равно числу нечетных цифр. Какое число выпишет Маша 46-м?

17. На какое наибольшее количество прямоугольников можно разрезать (без остатка) по линиям сетки клетчатый квадрат 7×7 так, чтобы среди них не оказалось одинаковых?

Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

Решение. Пусть на доске написано число

Тогда рассматриваемые операции не изменяют число М = (d + b) – (а + с), так как они увеличивают (уменьшают) на единицу одно число из первой скобки и одно число из второй. Для числа 1234 число М₁ = (4 + 2) – (1 + 3) = 2, для числа 2002 число М₂ = (2 + 0) – (2 + 0) = 0. Поэтому требуемое невозможно.

В каждой клетке доски 7×7 сидит жук. В какой-то момент времени все жуки взлетают, и после этого каждый из жуков садится в клетку, соседнюю по стороне с той, из которой он взлетел. Докажите, что в какую-то клетку не сядет ни одного жука.

Решение. Рассмотрим шахматную раскраску доски в черный и белый цвета. Тогда у нас 25 клеток покрашено в черный цвет, а 24 — в белый. Заметим, что жук, взлетевший с белой клетки, сядет на черную клетку, а взлетевший с черной — на белую. Но с белых клеток взлетают 24 жука, и они не смогут сесть на 25 клеток.

На доске написаны числа 1, 2 и 4. Разрешается стереть с доски два числа а и b, а вместо них записать числа

Можно ли с помощью таких операций получить на доске числа

Решение. Заметим, что при данной операции не меняется сумма квадратов чисел, записанных на доске:

Но у начальной тройки чисел сумма квадратов равна 21, а у той, которую мы хотим получить, сумма квадратов равна 19. Поэтому указанную тройку получить нельзя.

Можно ли доску размером 5 x 5 заполнить доминошками размером 1 x 2?

2003 человека выстроились в шеренгу. Всегда ли можно их расставить по росту, если за один ход разрешается переставлять только двух людей, стоящих через одного?

В древней рукописи приведено описание города, расположенного на 8 островах. Острова соединены между собой и с материком мостами. На материк выходят 5 мостов; на 4 островах берут начало по 4 моста, на 3 островах берут начало по 3 моста и на один остров можно пройти только по одному мосту. Может ли быть такое расположение мостов?

16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?

Можно ли выпуклый девятиугольник разрезать на параллелограммы ?

На столе стоят 7 стаканов - все вверх дном. Разрешается за один раз перевернуть любые 4 стакана. Можно ли за несколько раз добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно, то есть вниз дном?

Сумма 2002 натуральных чисел — число нечётное. Каким числом: чётным или нечётным является произведение этих чисел?

На доске написаны числа 1, 2, 3, . 1997, 1998, 1999, 2000, 2001. Разрешается стереть с доски любые 2 числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов, на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

На доске написано в строку 2003 целых числа. Доказать, что из них можно стереть одно число так, что сумма оставшихся чисел будет чётной. Верно ли это для 2002 чисел?

В каждую клетку квадратной таблицы размером 25 x 25 вписано произвольно одно из чисел: +1 или -1. Под каждым из столбцов записывается произведение всех чисел данного столбца, а справа от каждой строки — произведение всех чисел данной строки. Может ли сумма всех 50 произведений быть равной нулю?

На доске написано 8 плюсов и 13 минусов. Разрешается стирать любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус в противном случае. Какой знак останется после выполнения 20 таких операций?

Учитель написал на листке бумаги число 10. 25 учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу — как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

В некотором государстве первоначально было 10 банков. С момента перестройки общества все захотели быть банкирами. Но, по закону, открыть банк можно только путём деления уже существующего банка на 4 новых банка. Через 2 года министр финансов сообщил президенту, что в стране действует уже 2001 банк, после чего был немедленно уволен за некомпетентность . Что не понравилось президенту?

Можно ли по правилам игры в домино выложить все 28 костей в одну цепочку так, чтобы сумма на её концах была нечётной? (Дубли кладём вдоль цепи, конечной считаем вторую половину кости.)

Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из его цифр не равна 9, либо, вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Моно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

В таблице т х п расставлены числа так, что сумма чисел в любой строке или столбце равна 1. Докажите, что т = п.

По кругу расставлено 7 чисел: 4 единицы и 3 нуля. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят нуль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

Числа 0, 1, 2, . 9 записаны по кругу. За один ход разрешается прибавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей?

В вершинах куба записаны числа 2, 0, 0, 3, 1, 9, 5, 7. За один ход разрешается прибавить к числам, стоящим на концах одного ребра, одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить нули во всех вершинах?

У Ивана-царевича есть два волшебных меча: с помощью первого он может отрубить у Змея Горыныча 21 голову, а с помощью второго - 4 головы, но тогда у Змея Горыныча отрастает 1999 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 30 голов? (Примечание: если у Змея Горыныча осталось голов 3 или 2 или 1, то никаким мечом рубить нельзя.)

На плоскости лежат три шайбы. Хоккеист бьет по одной из них так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Можно ли все шайбы вернуть на свои места после 2003 ударов?

101 лошадь разместили в 15 конюшнях. Почему хотя бы в одной конюшне будет обязательно нечётное число лошадей?

100 фишек стоят в ряд. Любые две фишки, расположенные через одну, можно менять местами. Удастся ли расположить фишки в обратном порядке?

На чудо-дереве садовник вырастил 45 бананов и 50 апельсинов. Каждый день он срывает 2 плода и тут же на дереве вырастает новый. Причем, если он срывает 2 одинаковых плода, то вырастает апельсин, а если — 2 разных, то вырастает банан. Каким окажется последний плод на дереве?

Круг разбит на 10 секторов, в каждом из которых стоит по одной фишке. Одним ходом разрешается любые 2 фишки передвинуть в соседние секторы. Удастся ли через несколько ходов все фишки собрать в одном секторе?

В классе у каждого ученика не более трех врагов. Докажите, что класс можно разбить на 2 группы так, что у каждого ученика в одной с ним группе будет не более одного врага, (Считается, что если А — враг В, то и В — враг А).

Дана некоторая тройка чисел. С любыми двумя разрешается проделывать следующее: если эти числа равны а и в, то их можно заменить на и . Можно ли с помощью таких операций получить тройку из тройки ?

Ответы и указания к решению

1. При каждом своем ходе конь меняет цвет поля, поэтому при возвращении обратно он должен сделать чётное число ходов.

2. Нет, так общее число клеток — 25 не делится на 2

3. Не всегда. При перестановке сохраняется чётность номера места. Поэтому, если самый высокий человек, например, стоит вторым, то он никогда не станет первым. Здесь число 2003 роли не играет.

4. Найдём число концов у всех мостов: 5 + 4 · 4 + 3 · 3 + 1 = 31.

31 — является числом нечётным. Так как число концов у всех мостов должно быть чётным, то такого расположения мостов быть не может.

5. Если число арбузов в соседних корзинах отличается на 1, то характер чётности числа арбузов в этих корзинах будет разным. Тогда чётность числа арбузов в корзинах будет чередоваться, поэтому в половине корзин будет чётное число арбузов, а в половине нечётное. Тогда общее число арбузов в 8 корзинах с чётным числом арбузов и в 8 корзинах с нечётным числом арбузов будет чётным. По условию же всего арбузов — 55, а это нечётное число. Значит, разложить нельзя.

6. Нет, так как если выпуклый многоугольник разрезается на параллелограммы, то его стороны обязательно разбиваются на пары параллельных сторон. Так как сторон 13, то у одной из сторон пары не будет.

7. Нет, так как в любом случае число перевёрнутых вверх дном стаканов будет числом нечётным.

8. Так как сумма 2002 чисел — число нечётное, то число нечётных слагаемых — нечётно. Тогда среди 2002 чисел есть хотя бы одно чётное число. А, значит, произведение 2002 чисел будет чётным числом.

9. Сумма всех записанных на доске чисел будет нечётной. При стирании 2 чисел могут быть следующие 3 варианта:

а) стираются 2 чётные числа, тогда модуль разности будет четным числом, а новая сумма будет числом нечётным;

б) стираются 2 нечётные числа, тогда модуль разности будет чётным числом, а новая сумма будет числом нечётным;

в) стираются 1 чётное и 1 нечётное число, тогда модуль разности будет нечётным числом, а новая сумма будет снова числом нечётным.

Таким образом, в любом случае на доске останется нечётное число. Так как нуль — число чётное, то оставшееся число нулем быть не может.

10. Рассмотрим 3 случая.

а) Среди 2003 целых чисел есть чётные и нечётные числа. Если количество нечётных чисел нечётно, то стираем любое из них. Если количество нечётных чисел четно, то из 2003 целых чисел хотя бы одно чётное. Его и стираем.

б) Пусть все 2003 числа — нечётные. Тогда стираем любое из них.

в) Пусть все 2003 числа — чётные. В этом случае стираем любое из них.

В случае, когда чисел 2002 и все они нечётные, оставшаяся сумма не может быть чётной. Поэтому для 2002 целых чисел это неверно.

11. Перемножая все 50 произведений, мы получим 1, так как в каждое произведение любое из чисел, вписанных в клетки таблицы, войдёт 2 раза (один раз в произведение по строкам, один раз - по столбцам). Тогда в число 50 сомножителей будет входить чётное число произведений с «-1» , а поэтому сумма чётного числа произведений с «1» и чётного числа произведений с

«-1» не будет равна 0. (25 — число нечётное, значит, одинакового числа слагаемых не будет).

12. Заменяя все плюсы нулями, а минусы — единицами, заметим, что сумма двух стираемых чисел имеет тот же характер чётности, что и число, записываемое вместо них. Так как сумма всех чисел была нечётной (13), то и последнее оставшееся число будет нечётным, то есть единицей, и, значит, на доске останется минус.

13. От прибавления или вычитания единицы меняется характер чётности числа. Поэтому, если 25 раз менять характер чётности числа 10, то в результате получится нечётное число. Следовательно, число 0 получиться не может.

14. Заметим, что в результате превращения одного старого банка в четыре новых общее число банков увеличивается на 3. Таким образом, в любой момент времени число банков будет равно 10 + З n . Первоначально остаток от деления количества банков на 3 был равен 1, а 2001 при делении на 3 даёт остаток 0. Значит, образоваться ровно 2001 банков в стране не могло.

15. В наборе домино клеток-половинок кости с одинаковым количеством очков 8 штук, а в цепи они стоят подряд по 2 или 4. Значит, на концах может оказаться только разорванная пара. Поэтому сумма очков на концах будет чётной. Значит, выложить цепь так, что сумма очков на концах была нечётной, нельзя.

16. Пусть на доске написано число . Тогда рассматриваемые операции не изменяют число М = ( d + b ) – ( a + c ), так как они увеличивают (уменьшают) на единицу одно число из первой скобки, и одно число из второй скобки. Для числа 1234 М ₁ = (4+2) – (1+3) = 2, а для числа 2002 М ₂ = (2+0) – (2+0) = 0. Поэтому требуемое невозможно.

17. Сумма чисел в таблице не зависит от способа ее подсчёта. С одной стороны, это количество строк, умноженное на 1, с другой — количество столбцов, умноженное на 1. То есть, т = п. Здесь инвариант — сумма чисел в таблице, а преобразование — нахождение суммы этих чисел.

18 . Комбинация из семи единиц раньше, чем семь нулей, получиться не может, так как для появления семи единиц предыдущие цифры должны быть одинаковыми — все нули или все единицы. Если же получилось семь нулей, то на предыдущей стадии нули и единицы должны были чередоваться, что невозможно, так как их разное количество.

19. Сумма чисел, записанных по кругу, равна 45. Прибавляя 2 одинаковых целых числа к соседним числам, мы характер чётности не меняем: сумма по-прежнему остается нечётной. Так как сумма 10 нулей — нуль — число чётное, то указанными преобразованиями получить 10 нулей нельзя.

20. Так как сумма данных чисел: число 27 — нечётное, а при прибавлении двух одинаковых целых чисел чётность суммы не меняется, то получить все нули во всех вершинах не получится (сумма восьми нулей — число чётное).

21. Змей Горыныч теряет либо 21 голову, либо приобретает 1995 голов. Оба эти числа делятся нацело на 7, а в начале поединка остаток был 2. В случае же отсутствия голов у Змея Горыныча, остаток был бы 0. Значит, отрубить все головы Змею Горынычу Иван-царевич не сможет.

22. После каждого удара меняется ориентация обхода шайб А, В и С (по ходу часовой стрелки — против хода часовой стрелки). Инвариантом будет сохранение ориентации после чётного числа ударов. Значит, после 2003 ударов шайбы не удастся вернуть на свои места.

23. На каждом из 17 листов сумма номеров двух страниц число нечётное, так как на одной странице номер чётный, а на другой — нечётный. Тогда сумма 17 нечётных чисел будет нечётной. Так как 2002 — число чётное, то Вася ошибся при подсчёте.

24. Докажем задачу методом от противного. Пусть в каждой конюшне находится чётное число лошадей, тогда сумма чётных чисел — число чётное. А по условию всего лошадей 101 — число нечётное. Таким образом, получили противоречие. Значит, хотя бы в одной конюшне будет нечётное число лошадей.

25. Так как при перестановке фишек чётность места фишки сохраняется, то первую фишку никогда не сделать последней (1 — число нечётное, а 100 — число чётное)

26. Рассмотрим несколько случаев:

1) Садовник сорвал 2 апельсина, тогда вырастает 1 апельсин и на дереве будет 45 бананов и 49 апельсинов.

2) Садовник сорвал 2 банана, в этом случае вырастает 1 апельсин и на дереве будет 43 банана и 51 апельсин.

3) Если же садовник срывает 2 разных плода: апельсин и банан, то на дереве вырастает банан и всего плодов будет: 45 бананов и 49 апельсинов.

Итак, можно заметить, что ниже и в каждом из трёх случаев неизменным остается одно, а именно: количество бананов — нечётное число. Значит, инвариантом будет нечётность числа бананов на дереве, а поэтому последним плодом окажется банан.

27. Занумеруем сектора последовательно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и присвоим каждой фишке номер сектора, в котором она находится. При передвижении какой-либо фишки в соседний сектор номер фишки меняется на единицу. Поэтому чётность суммы номеров всех фишек при любых передвижениях двух фишек не меняется. В первоначальном положении сумма всех номеров фишек была равна 1 + 2 +. + 10 = 55 (нечетное число). Тогда как в случае, если все фишки удалось собрать в одном секторе, то сумма номеров была бы чётной. Значит, собрать фишки в одном секторе не удастся.

28. Разобьем произвольным образом класс на 2 группы. Если в этом случае получилось, что в каждой группе у каждого ученика не более одного врага, то требование задачи выполнено. В противном случае, рассмотрим того ученика, пусть это будет А, у которого в одной с ним группе не менее 2 врагов. Значит, в другой группе у А будет не более одного врага. Переведём ученика А в другую группу (где у него врагов не более одного). Поступая аналогично так с каждым из учеников, у которого в одной с ним группе окажется 2 или 3 врага, мы, в конце концов, придём к искомому разбиению класса.

29. Нет. Так как при каждой операции сохраняется сумма квадратов чисел.

Читайте также: