В написанном на доске примере на умножение петя исправил две цифры

Обновлено: 05.05.2024

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов

Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 10 класс.doc

Школьный этап Всероссийской олимпиады

Даны квадратные трехчлены f и g с одинаковыми старшими коэффициентами. Известно, что сумма четырех корней этих трехчленов равна р. Найдите сумму корней трехчлена f + g, если известно, что он имеет два корня.

Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону AB в точке E . На стороне BC взята точка G так, что отрезок AG пересекает окружность в точке F , причём отрезки EF и AC параллельны, BG = 2 CG и AC = 2 . Найдите GF .

Найдите все x , при которых уравнение x 2 +y 2 +z 2 +2xyz=1 (относительно z ) имеет действительное решение при любом y .

На собеседовании десяти человекам был предложен тест, состоящий из нескольких вопросов. Известно, что любые пять человек ответили вместе на все вопросы (т.е. на каждый вопрос хоть один из пяти дал правильный ответ), а любые четыре - нет. При каком минимальном количестве вопросов это могло быть?

Решение. Чётным называется число, которое делится на 2 (нацело). Нечётным — число, которое не делится на 2.
0 — чётное число, т.к. 0:2=0.

Решение. Нет, так как сумма чётного количества (в данном случае 10) нечётных слагаемых будет чётным число. Но 25 — нечётное число.

Решение. Нет, не существуют.
Если бы такие числа существовали, то для того, чтобы их произведение было нечётным, нужно, чтобы они оба были нечётными. Но тогда их сумма будет чётной. Противоречие.

3. Хулиган Гоша порвал школьную стенгазету на 3 части. После этого он взял один из кусков и тоже порвал на 3 части. Потом опять один из кусков порвал на 3 части и т.д. Могло ли у него в итоге получиться 100 частей?

Решение. Нет, не могло. Если любой кусок стенгазеты разорвать на 3 части, то общее число кусков увеличится на 2. Значит, общее количество частей всегда будет нечётным. Но 100 — чётное число.

4. Обозначим буквой Ч чётные числа, а буквой Н — нечётные. Заполните пропуски так, чтобы получились верные соотношения:

Ч + Ч = ◯	Ч · Ч = ◯
Ч + Н = ◯	Ч · Н = ◯
Н + Ч = ◯	Н · Ч = ◯
Н + Н = ◯	Н · Н = ◯

Ответ.

Ч + Ч = Ч	Ч · Ч = Ч
Ч + Н = Н	Ч · Н = Ч
Н + Ч = Н	Н · Ч = Ч
Н + Н = Ч	Н · Н = Н

5. На шахматной доске на одной из клеток стоял конь. Он сделал несколько ходов и вернулся в ту же клетку. Четное или нечетное число ходов он сделал?

Решение. После каждого хода коня меняется цвет клетки, на которой он стоит (Т.е. с чёрной клетки он переходит на белую, с белой — на чёрную.) В итоге конь вернулся на ту же клетку, на которой он был изначально (т.е. на клетку того же цвета). Значит, он сделал чётное число ходов.

6. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли между ними расставить знаки "+" и "−" так, чтобы получился 0?

7. Парламент состоит из двух равных по численности палат. На совместном заседании, связанном с принятием важного решения, присутствовали все представители обеих палат. Из-за важности вопроса при голосовании никто не воздержался. После подведения итогов было объявлено, что решение принято большинством в 25 голосов. Оппозиция закричала: "Это обман!" Как это удалось определить?

Решение. Посмотрим на общее количество депутатов в обеих палатах. Оно чётно, так как весь парламент состоит из двух одинаковых по численности палат.
Обозначим количество депутатов, голосовавших против, за x . Тогда тех, кто голосовал за, было x + 25. Общее число депутатов тогда должно быть равно 2 x + 25 — нечётному числу. Но мы знаем, что оно чётно. Значит, голоса были посчитаны неправильно.

8. На этот раз хулиган Гоша исправил две цифры в примере на умножение. Получилось 4·5·4·5·4=2247. Помогите учительнице Марье Петровне восстановить исходный пример. (Определите, какие цифры на что были исправлены, и объясните, почему по-другому это сделать было нельзя.)

Решение. Наличие любого из трёх множителей 4 в левой части равенства приводит к тому, что в правой части должно стоять чётное число, которое оканчиваться на нечётную цифру 7 не может. Так как все три этих множителя мы изменить не можем, значит, чтобы получить изначальное равенство, точно нужно поменять цифру 7.
Кроме этого, остаётся поменять ещё только одну цифру. В левой части равенства есть два множителя 5. Наличие любого из них означает, что число в правой части оканчивается на 5 или на 0. Так как хотя бы одна из этих пятёрок точно была изначально, то получается, что на месте 7 было 5 или 0. Слева точно были четвёрки (так как их целых три), поэтому последняя цифра правого числа точно была чётной, т.е. 0.
Осталось определить ещё одну изменённую цифру. Если ничего не менять слева, то значит, справа должно быть 4·5·4·5·4=1600. Но 1600 из 2240 заменой одной цифры не получается. Значит, второе изменение точно было слева, а справа точно было 2240.
2240 содержит только один простой множитель 5. Значит, точно одну из пятёрок слева нужно заменить на другую цифру так, чтобы произведение было равно 2240. Эта цифра 2240:4:4:4:5=7. Т.е. одну из пятёрок надо заменить на 7.

Дополнительные задачи

9. На чудо-дереве росли 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимал ровно два фрукта. Причем, если он снимал одинаковые фрукты, то на дереве появлялся новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов, на дереве остался один фрукт. Какой: банан или апельсин?

Решение. После того, как садовник снимает два фрукта, возможны три ситуации:
— сняли два апельсина. Тогда число апельсинов уменьшилось на 2, а число бананов увеличилось на 1.
— сняли два банана. Тогда число апельсинов не изменилось, а число бананов уменьшилось на 1.
— сняли один апельсин и один банан. Тогда число апельсинов не изменилось (один сорвали, один вырос), а число бананов уменьшилось на 1.
Получается, что число апельсинов всегда либо не изменяется, либо уменьшается на 2. Изначально апельсинов было 30 — чётное число. Так как чётность их количества никогда не меняется, то остаться 1 апельсин не может, так как 1 — нечётное число. Значит, остался банан.

10. Квадрат размером 6×6 покрыт без наложений костями домино размером 1×2. Докажите, что можно разрезать квадрат, не повредив ни одной доминошки.

Решение. Покажем, что любая прямая, проходящая по линиям клеток, разрезает чётное количество доминошек. С каждой из двух сторон относительно любой такой прямой будет чётное число клеток (так как каждая из двух частей, на которые оказалась разрезана доска, состоит из нескольких строк или столбцов по 6 клеток). Но если оказалось, что прямая разрезала нечётное число доминошек, то каждая из этих частей должна состоять из нескольких доминошек по 2 клетки и нечётного количества половинок доминошек по 1 клетке. Т.е. в этом случае такие части должны состоять из нечётного количества клеток. Противоречие.
Предположим теперь, что любая из 10 прямых (5 вертикальных, 5 горизонтальных) разрезает хотя бы одну доминошку. Так как 1 — нечётное число, то каждой прямой должно быть пересечено хотя бы 2 доминошки. При этом каждая доминошка может быть пересечена не более, чем одной прямой. Значит, всего доминошек должно быть не меньше, чем 10·2=20. Но их только 36:2=18. Противоречие. Значит, есть прямая, которая не пересекает ни одной доминошки. По ней и нужно разрезать доску.

1. В квадрате 7×7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по 3 закрашенных клетки. 2. Из Москвы вылетел вертолёт, который пролетел 300 км на юг, потом 300 км на запад, 300 км на север и 300 км на восток, после чего приземлился. Оказался ли он южнее Москвы, севернее её или на той же широте? Оказался ли он восточнее Москвы, западнее Москвы или на той же долготе? 3. Винни-Пух и Пятачок поделили между собой торт. Пятачок захныкал, что ему досталось мало. Тогда Пух отдал ему треть своей доли. От этого у Пятачка количество торта увеличилось втрое. Какая часть торта была вначале у Пуха и какая у Пятачка? 4. Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть? (Если да, нарисуйте пример, если нет, обоснуйте ответ). 5. Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420. 6. Числитель и знаменатель дроби - целые положительные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит 1/3. Укажите наибольшее возможное значение такой дроби. 7. В написанном на доске примере на умножение хулиган Петя исправил две цифры. Получилось 4*5*4*5*4=2247. Восстановите исходный пример и объясните, как Вы это сделали. 8. Разрежьте фигуру (по границам клеток) на три равные (одинаковые по форме и величине) части.

Дополнительные задачи.
9. Разрежьте нарисованный пятиугольник на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.

10. Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в углах клеток, две медианы которого перпендикулярны. (Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны). 11. На плоскости нарисован чёрный квадрат. Имеется семь квадратных плиток того же размера. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть чёрного квадрата (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать? 12. В стене имеется маленькая дырка (точка). У хозяина есть флажок следующей формы (см. рисунок). Покажите на рисунке все точки, в которые можно вбить гвоздь, так, чтобы флажок закрывал дырку.

1. Приведите пример четырехзначного числа, первая цифра которого равна количеству нулей в этом числе, вторая цифра равна числу единиц, третья — числу двоек, четвертая — числу троек.

2. Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?

3. Разрежьте квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась (т.е. имела общие участки границы) с тремя другими.

4. В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный; 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?

5. На дискотеку собрался почти весь класс — 22 человека. Лена танцевала с 7 мальчиками, Нина с восемью, Вера — с девятью и так далее до Ирины, которая танцевала со всеми мальчиками из этого класса. Сколько мальчиков было в этом классе?

6. Трехзначное число начинается с цифры 5. Из него получили другое трехзначное число, переставив эту цифру в конец числа. Оказалось, что получившееся число на 153 меньше первоначального. Найдите исходное число.

7. В обыкновенном наборе домино 28 косточек. Сколько косточек содержал бы набор домино, если бы значения, указанные на косточках, изменялись не от 0 до 6, а от 0 до 14?

8. Пять первоклассников стояли в шеренгу и держали 37 флажков. У всех школьников, стоящих справа от Тани — 14 флажков, справа от Яши — 32, справа от Веры — 20, справа от Максима — 8. Сколько флажков у Даши?

9. Наполненный доверху водой сосуд весит 5 кг, а наполненный наполовину — 3 кг 250 г. Сколько воды вмещает сосуд?

10. Собака гонится за кроликом, находящимся в 150 метрах от неё. Она делает прыжок в 9 метров каждый раз, когда кролик прыгает на 7 метров. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?

11. Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств?

13. Сколько взвешиваний на чашечных весах потребуется, чтобы определить одну фальшивую монету среди семи? (Известно, что фальшивая монета - легче настоящей)

14. В написанном на доске примере на умножение хулиган Петя исправил две цифры. Получилось 4 х 5 х 4 х 5 х 4 = 2247. Восстановите исходный пример.

15. 10 игроков играли в теннис. Проигравший игру обижался и уходил. Какое наибольшее число теннисистов могло выиграть по две партии?

17. Запах от цветущего кустика ландышей распространяется в радиусе 20 м вокруг него. Сколько цветущих кустиков ландышей необходимо посадить вдоль прямолинейной 400-метровой аллеи, чтобы в каждой ее точке пахло ландышем?

18. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы получить трехзначное число, записываемое одинаковыми цифрами?

19. Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася - пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?

20. Куб 3x3x3 составлен из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон мы видим квадрат 3x3. Какое наибольшее количество кубиков можно убрать, чтобы куб не развалился и мы по-прежнему с каждой стороны видели квадрат 3x3? (куб разваливается, если какой-то кубик не имеет общих точек с остальными или граничит только вершиной).

Введите текст одной задачи по математике (без ошибок, сокращений и с сохранением всех знаков препинания, как в учебнике) и нажмите кнопку “Решить задачу” . Или выберите задачу из учебника.

Можно задать текст голосом по одному предложению, нажимая на

Р ешение

Ответ

Результат №1: 289 /₃₃ чисел
Результат №2: 272 /₃₃ чисел

В ариант решения (Универсальный)

Универсальный способ состоит в том, чтобы читать условие задачи, выделять все известные и неизвестные числовые величины, относящиеся к вычислениям, обозначать неизвестные значками x, y, z . (можно любыми другими, но традиционно используют такие). Составлять простые уравнения вида a=b+c, a=b-c, a=b⋅c или a=b:c там, где это возможно, но не пытаться составлять более сложные уравнения - пусть лучше будет много простых уравнений, чем мало сложных. Давайте внимательно читать условие задачи:

Фрагмент текста задачи	Величины	Уравнения	Объяснение
Петя задумал натуральное число и выписал на доску суммы каждой пары его цифр. После этого он стёр некоторые суммы,	Нет полезных данных.
и на доске остались числа 17,	17 ←вел.1	Величина №1 известна и равна 17.
17,17,	17 ←вел.2	Величина №2 известна и равна 17.
16.	16 ←вел.3 x ←вел.4 y ←вел.5	x = 17 + 16 y = 17 : x	Величина №3 известна и равна 16. Величина №4 пока неизвестна, обозначим её как "x". Величина №5 пока неизвестна, обозначим её как "y". Величина №4 есть сумма величин №2 и №3. есть отношение величин №1 и №4.
Какое наименьшее число мог задумать Петя? .	z ←ответ	z = y ⋅ 17	Результат №1 (число) пока неизвестен, обозначим его как "z" ( это будет ответ ), он есть произведение величин №5 и №2.
Какое наименьшее число мог задумать Петя?	v ←ответ	v = y ⋅ 16	Результат №2 (число) пока неизвестен, обозначим его как "v" ( это будет ответ ), он есть произведение величин №5 и №3.

z = y ⋅ 17
x = 17 + 16
y = 17 : x
v = y ⋅ 16

Уравнения решаются путём простых и известных вам операций. Нужно, чтобы во всех уравнениях слева оказались неизвестные (корни уравнений), а справа от них - выражения без неизвестных (числа или переменные). То есть все уравнения приняли бы вид x = число. Не надо сразу пытаться решить всё за один раз, а лучше двигаться постепенно, выполняя простые операции и каждый раз улучшая систему в целом, приближаясь к конечному виду. Например, вот как их решает робот (возможно, у вас получится решить короче):

Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Уравнение 4	Комментарий
0 шаг	z = y ⋅ 17	x = 17 + 16	y = 17 : x	v = y ⋅ 16	Исходная система уравнений
1 шаг	z = y ⋅ 17	x = 33	y = 17 : x	v = y ⋅ 16
2 шаг	z = y ⋅ 17	x = 33	y = 17 : 33	v = y ⋅ 16	Заменили x на 33.
3 шаг	z = y ⋅ 17	x = 33	y = 17 /₃₃	v = y ⋅ 16
4 шаг	z = 17 ⋅ 17 /₃₃ чисел	x = 33	y = 17 /₃₃	v = 16 ⋅ 17 /₃₃ чисел	Ур.1: Заменили y на 17 /₃₃. Ур.4: Заменили y на 17 /₃₃.
5 шаг	z = 289 /₃₃ чисел	x = 33	y = 17 /₃₃	v = 272 /₃₃ чисел	Готово!

Если Вы считаете, что задача решена роботом неправильно, то нажмите кнопку, чтобы разработчики смогли объяснить роботу правильное решение

Читайте также: