Три кирпича длиной l каждый кладут один на другой

Обновлено: 04.05.2024

Чтобы выложить карниз здания, каменщик кладет кирпичи один на другой так, что часть каждого кирпича выступает над нижележащим.
1. Сколько кирпичей нужно уложить в карниз, чтобы он выступал не менее, чем на 35 см от стены и чтобы кирпичи находились в равновесии без цементного раствора? Длина каждого кирпича 30 см.
2. На какое максимальное расстояние может выступать карниз, уложенный без соединительного раствора? (Кривизной поверхности Земли пренебречь.)

ПРИМЕЧАНИЕ для тех, с кем мы не знакомы.
Это не просьба о помощи.
Я умею решать такие задачи :).

Начнём со 2 пункта.

Сначала будем размещать кирпичи таким образом, чтобы центр тяжести системы n верхних кирпичей находился точно над ребром n+1 кирпича.
При этом
верхний кирпич будет сдвинут относительно второго на 1/2 длины;
второй будет сдвинут относительно третьего на 1/4 длины;
третий будет сдвинут относительно четвёртого на 1/6 длины;
.
n-ный будет сдвинут относительно (n+1)-ого на 1/2n длины;

Таким образом, верхний кирпич будет сдвинут относительно (n+1)-ого на
(1/1+1/2+1/3+. +1/n)/2
длины кирпича.
Но гармонический ряд (1/1+1/2+1/3+. +1/n+. ) ---расходится. Поэтому сумма в скобках может быть сделана сколь угодно большой.

Заметим теперь, что если самый верхний кирпич приблизить к основанию на сколь угодно малое расстояние \varepsilon, то конструкция уже будет устойчивой, т. е. при всех n центр тяжести системы n верхних кирпичей находится в пределах грани n+1 кирпича.
При этом верхний кирпич будет выступать над нижним на расстояние
(1/1+1/2+1/3+. +1/n-\varepsilon)/2,
которое можно сделать сколь угодно большим!! !

Теперь перейдём к пункту 1.

Достаточно 6 кирпичей.
Верхний кирпич сдвинут относительно второго на 13.25 см;
второй сдвинут относительно третьего на 7.5 см;
третий сдвинут относительно четвёртого на 5 см;
четвёртый сдвинут относительно пятого на 3.75 см;
пятый сдвинут относительно шестого на 3 см;
шестой сдвинут относительно основания на 2.5 см.

Вообще-то не очень понятно, откуда взялись эти 1/2, 1/4, ..1/2n.

Будем «укладывать» кирпичи сверху вниз. Единицы измерения – кирпичи.
Если кирпич один, его можно положить на опору так, чтобы выступала его половина, т.к. его центр масс расположен посередине длины.

Если кирпича два. Первый кладем на второй, чтобы выступала половина.
Центр масс первого кирпича находится на уровне правой грани второго, центр масс второго – на его середине, значит их общий центр масс находится на половине расстояния от середины до правого края, т.е. на 1/4 от правого края второго.

Теперь третий кирпич можно положить снизу так, чтобы его правый край находился на 1/4 от правого края второго.
Тогда центр масс третьего кирпича – посередине, первых двух – на правом краю третьего, следовательно, общий центр масс – в два раза ближе к правому краю, чем к середине третьего, т.е. на 1/6 от правого края третьего.

tram pampamp Мыслитель (7710) В общем случае. Для n кирпичей. Рассмотрим верхние (n-1) кирпич. Тогда центр масс n кирпичей делит расстояние между центрами масс системы из (n-1) верхнего кирпича и нижнего кирпича в отношении 1: (n-1) Так как это расстояние было1/2 , то центр масс всей системы расположен на расстоянии 1/2n от правого края n-го кирпича.

2017-12-09
Пять кирпичей длиной $L$ кладут без раствора один на другой так, что каждый кирпич выступает над нижележащим. На какое наибольшее расстояние правый край самого верхнего кирпича может выступать над правым краем самого нижнего (рис.)?
Можно ли, имея достаточный запас кирпичей, уложить их друг на друга так, чтобы край самого верхнего кирпича выступал над краем самого нижнего кирпича метров на сто?

Условимся считать кирпичи сверху вниз (т.е. верхний - первый). Центр тяжести каждого кирпича отстоит от его края на $l/2$. Тогда общий центр тяжести $C_$. Двух верхних кирпичей расположен (см. рисунок) на расстоянии $l/4$ по горизонтали от края второго кирпича. Именно на это расстояние и может выступать второй кирпич над третьим. Центр тяжести трех верхних кирпичей $C_$ определяется из условия:

$mg \left ( \frac - x \right ) = 2mgx$,

откуда $x = \frac$, т.е. третий кирпич может выступать над четвертым на 1/6 своей длины. Аналогично доказывается, что четвертый кирпич может выступать над пятым на 1/8 своей длины. Полное смещение верхнего кирпича относительно нижнего составит

Верхний кирпич, оказывается, может целиком выйти за пределы площади опоры. Разрешим теперь второй вопрос. Обозначим через $x_$ величину максимального смещения $n$-того сверху кирпича над нижележащим. Согласно полученному ранее результату: $x_ = l/2, x_ = l/4, x_ = l/6, x_ = l/8$.

Можно предположить, что общая формула имеет вид $x_ = l/2n$. Доказать это предположение можно методом математической индукции. Пусть оно справедливо для $n = k$, причем $k$-й кирпич выдвинут относительно нижележащего на максимально возможную величину $x$. Найдем расстояние по горизонтали от центра тяжести С системы из $(k+1)$ кирпича до правого края нижнего кирпича. На рис. заштриховано условное изображение системы из $k$ верхних кирпичей. Искомое расстояние, представляющее собой как раз $x_$, легко определить из правила моментов:

$mg \left ( \frac - x_ \right ) = kmg x_$, т.е. $x_ = \frac$.

Таким образом, если формула $x_ = l/2n$ справедлива для $n=k$, то она справедлива и для $n=k+1$. Тем самым формулу для $x_$ можно считать доказанной. Максимальное смещение верхнего кирпича относительно нижнего:

$\frac + \frac + \frac + \frac + \cdots = \frac \left ( 1 + \frac + \frac + \frac + \cdots \right )$

При неограниченном увеличении числа кирпичей эта сумма стремится к бесконечности.

Со стороны такая стопка выглядит как плавно изогнутая колонна. Конечно, если не считать того, что, во-первых, равновесие неустойчиво (центр тяжести всей стопки расположен в точности над краем самого нижнего кирпича), а во-вторых, для того, чтобы край верхнего кирпича выступал над краем самого нижнего кирпича на большое расстояние, то придется выстроить настолько высокую «гнутую башню», что надо будет учесть неоднородность поля тяготения Земли.

Разделы

Дополнительно

Задача по физике - 4573

Выкладывая карниз из камня, каменщик кладет один на другой четыре кирпича так, что часть вышележащего кирпича выступает над нижележащим (рис. а). Длина каждого кирпича $l$.
Определить наибольшие длины выступающих частей кирпичей, при которых кирпичи в карнизе будут без цементного раствора еще находиться в равновесии.

Задача по физике - 4574

Человек весом 60 кГ стоит на балке весом 30 кГ, подвешенной на блоках (рис.). Длина балки между точками опоры 3 м. Определить, какую силу должен приложить человек и в каком месте он должен встать, чтобы балка находилась в равновесии и занимала горизонтальное положение.

Задача по физике - 4575

В некоторой точке Земли магнитная стрелка, вращающаяся вокруг горизонтальной оси, установилась под углом $60^< \circ>$ к горизонту (рис. а). Если к верхнему концу стрелки прикрепить гирьку массой в 1 г, то угол наклона уменьшится до $30^< \circ>$ (рис. б). Какую гирьку надо прикрепить к стрелке, чтобы она заняла горизонтальное положение?

Задача по физике - 4576

Три одинаковых цилиндра уложены, как показано на рис. При каких условиях они будут удерживаться в этом положении неподвижно?

Задача по физике - 4690

Однородный стержень уравновешен грузом, как показано на рис., и помещен в безвоздушное пространство. Что произойдет, если стержень равномерно нагреть?

Задача по физике - 4692

Однородное бревно длиной $l$ и массой 100 кг лежит на двух опорах. Расстояние от правого конца бревна до ближайшей опоры $l/3$, от левого $l/4$. С какой силой давит бревно на каждую из опор? Какую минимальную силу надо приложить, чтобы приподнять бревно за правый конец?

Задача по физике - 4699

На рис. показана линейка с грузом, находящаяся в равновесии. Длина линейки 30 см. Расстояния от опоры до груза и от груза до правого края линейки одинаковы и равны 5 см. В какую сторону и на какое расстояние надо сдвинуть линейку, чтобы восстановить равновесие, если груз переложили на правый край линейки?

Задача по физике - 4702

Два одинаковых ящика лежат на горизонтальной поверхности. С помощью рычага длиной $L$ их пытаются сдвинуть с места так, как показано на рис. (вид сверху). Минимальная сила, под действием которой ящик сдвинется с места, равна $F_<0>$. С какой минимальной силой $F_$ нужно подействовать на конец рычага, чтобы сдвинуть хотя бы один ящик? Как нужно расположить рычаг и какой из ящиков сдвинется первым? Расстояние между точками А и В равно $l$.

Задача по физике - 4712

Круглое веретено подвешено на двух нитях к горизонтальной балке (см. рис.). Обозначьте на чертеже линию, на которой расположен центр тяжести веретена.

Задача по физике - 4724

На плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, лежит шайба массы $m$ (см. рис.). Какую минимальную силу $\vec_$ надо приложить к шайбе в горизонтальном направлении вдоль плоскости, чтобы она сдвинулась? Коэффициент трения равен $k$.

Задача по физике - 4730

Однородная тонкая пластинка имеет форму круга радиуса $R$, в котором вырезано круглое отверстие радиуса $\frac$ (см. рис.). Где находится центр тяжести такой пластины?

Задача по физике - 4737

На рычажных весах уравновешен гирями сосуд с водой. В воду погружают стальной брусок размером $4 см \times 5 см \times 10 см$, повешенный на нити так, чтобы он не касался дна и был полностью погружен в воду. Нарушится ли при этом равновесие, и, если да, то что нужно сделать, чтобы его восстановить? Как изменится результат, если верхний конец нити не держать в руках, а привязать к перекладине того же сосуда (см. рис.)?

Задача по физике - 4746

Направляющий желоб образован двумя длинными цилиндрическими стержнями, плотно сжатыми вместе параллельно друг другу (см. рис.). В углубление желоба уложен короткий круглый стержень вдвое меньшего диаметра. Установлено, что при угле наклона желоба к горизонту $\alpha = 60^< \circ>$ испытуемый стержень начинает соскальзывать по желобу. Определить коэффициент трения.

Задача по физике - 4764

На скользкий конус с углом при вершине $2 \alpha$ надета цепочка массы $m$ (см. рис.). Найти силу натяжения цепи. Ускорение свободного падения $g$.

Задача по физике - 4773

Вначале систему грузов, изображенную на рис., удерживали в состоянии покоя. Первый груз лежит на горизонтальной поверхности, а два других висят на блоках. Оси крайних блоков неподвижны, а средний блок может передвигаться. Считая $m_<1>$ и $m_$ заданными, определите массу груза $m_$, при которой он будет оставаться неподвижным. Трением в системе, массами блоков и веревки пренебречь.

1. На доске стоит сплошной однородный цилиндр, высота которого в 3 раза больше диаметра. Когда доску приподнимают на некоторый угол, цилиндр опрокидывается, не начав скользить по доске (рис. 36.1).

а) На какой максимальный угол можно наклонить доску, чтобы цилиндр не опрокинулся, а соскользнул с доски?

2. На горизонтальном столе стоит однородный сплошной цилиндр высотой h и диаметром d (рис. 36.2). Коэффициент трения между цилиндром и столом равен μ. К цилиндру прикладывают горизонтально направленную силу . Какова наибольшая высота h_max точки приложения этой силы, при которой цилиндр будет скользить по столу, а не опрокидываться?

3. Однородный стержень массой m и длиной l упирается в угол между стеной и полом (рис. 36.3). Какую наименьшую силу надо прикладывать к верхнему концу стержня, чтобы удерживать его в положении, когда он составляет угол α с вертикалью?

4. Три кирпича длиной l каждый кладут один на другой без раствора (рис. 36.4). На какое наибольшее расстояние d может выступать край верхнего кирпича над краем нижнего?

5. Однородная доска опирается на пол и гладкую стену. При каких значениях коэффициента трения μ между доской и полом доска не будет скользить по полу, если угол α между доской и вертикалью равен 30°?

а) На какой максимальный угол можно наклонить доску, чтобы цилиндр не опрокинулся, а соскользнул с доски?

6. Доска длиной l покоится, опираясь на пол и гладкую стену. Коэффициент трения между доской и полом равен μ. На каком максимальном расстоянии может находиться нижний конец доски от стены? При этом верхний конец палочки опирается на стенку стакана и давит на неё с силой, равной по модулю F. Чему равна масса палочки?

Читайте также: