Теорема пифагора в строительстве крыши

Обновлено: 17.05.2024

Данная статья относится к разметке фундаментов и к построению обноски/выноса осей дома непосредственно перед выемкой грунта.

По сути, соблюдение прямых углов фундамента - это одно из самых важных требований к конструкции, так как от этого напрямую зависит качество работ по сооружению стен и кровли. Отклонение угла на несколько градусов влечет смещение стен относительно фундамента, как представлено на иллюстрации ниже:

Из-за малейшей ошибки, начинаются проблемы с облицовкой цоколя и что немаловажно, ухудшаются эксплуатационные характеристики дома.

Увы, но таких ситуаций море и они берут свое начало из неправильной разметки.

Сегодня, я хотел бы рассказать о двух быстрых способах построения прямых углов на местности без лишних вычислений. Для первого способа нужны две рулетки, для второго - только веревка.

Как вы знаете, построить прямой угол можно:

а) прибегая к вычислениям, т.е. математическим способом. Производя вычисления по теореме Пифагора мы можем отложить полученные значения и получить прямой угол (частный случай - египетский треугольник 3-4-5).

б) геометрическим способом

И, в данной статье я приведу способы геометрического построения без каких-либо вычислений.

Разметка фундамента всегда начинается с привязки одной из его сторон к фасаду или к меже по соседскому забору сбоку. Таким образом, натянув бечевку параллельно забору, у нас уже появляется одна сторона фундамента с которой нам и предстоит работать.

Итак, способ № 1: две рулетки

Отметив угол дома (точка О) на первой стороне дома (прямая АВ), нам нужно отложить две точки, равноудаленные от точки О. После чего, зафиксировать концы двух рулеток на полученных точках и совместить полотна так, чтобы две шкалы пересекались на одном и том же значении.

Прямая, проходящая через точку О и точку пересечения полотен рулеток Х будет перпендикулярна прямой АВ, тем самым мы получили прямой угол между АВ и ОХ, где О - внешний угол фундамента.

Способ №2: веревка

Данный способ похож на первый, только здесь нужна одна веревка. Нам требуется так же отложить от точки О две равноудаленные точки и установить в каждую из них по колышку.

На концах веревки вяжутся петельки (рис.1), которые продеваются в один колышек. Натянув веревку, получаем её центр и отмечаем его (рис.2).

Теперь, накидываем петли на соответствующие колья и натягиваем веревку (рис.3)

Всё. Точка Х, как и в случае с рулетками, образует с точкой О перпендикуляр по отношению к прямой АВ.

Как видите, построение очень простое и что немаловажно - быстрое и точное. Основывается оно на свойстве равнобедренных треугольников, где их высота всегда делит основание на два равных отрезка.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

Свидетельства для портфолио
Вечный доступ за 120 рублей
311 видеолекции для каждого

Курс повышения квалификации

Применение компьютерных моделей при обучении математике и информатике в рамках ФГОС ООО

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету "Математика" в условиях реализации ФГОС ООО

Сейчас обучается 102 человека из 37 регионов

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

«Формирование единой системы гармоничного и эффективного развития математических способностей детей»

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Теорема Пифагора Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путем К результату мы придем. ©Manshin 2006

1. Теорема Пифагора в древних источниках. Задача древних индусов: Над озером тихим, С полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Боле цветка над водой, Нашел же рыбак его ранней весной В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода Здесь глубока? ©Manshin 2006

По т. Пифагора ВD2 = ВС2 + СD2 (х + 0,5)2 = 22 + х2 х2 + х + ¼ = 4 + х2 х = 3,75 Ответ: глубина озера 3,75 фута ©Manshin 2006

Задача индийского математика 12 века Бхаскары: «На берегу реки рос тополь одинокий. Бедный тополь упал. И угол прямой С течением реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?» ©Manshin 2006

Задача из первого учебника математики на Руси. Назывался этот учебник «Арифметика»: Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать. ©Manshin 2006

Теорема Пифагора в строительстве и архитектуре. Уже до н.э. люди строили прямые углы при помощи веревки. Сделать это можно так. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. ©Manshin 2006

Если, например, рассматривать крышу башни или палатку как трёхугольную пирамиду то при нахождении, например, какой длины нужно сделать боковые ребра крыши, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши или при выяснении вопроса о величине боковой поверхности крыши для подсчета стоимости кровельных работ, тоже потребуется знание теоремы Пифагора. ©Manshin 2006

Окно. В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Радиус внутренней окружности можно вычислить, используя прямоугольный треугольник, изображенный на рис. пунктиром. ©Manshin 2006

Собор Парижской Богоматери, при строительстве которого использовались такие элементы. ©Manshin 2006

Молниеотвод. Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту, опять же можно из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора. х м 2х м ©Manshin 2006

Теорема Пифагора в астрономии. На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой. На этом рисунке показан путь светового луча только с другой точки зрения, например из космического корабля. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми движется световой луч, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока луч пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C. Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковых прямоугольных треугольников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. ©Manshin 2006

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании на Марса существ, подобных человеку. Это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли каналов на Марсе, которые долгое время считались исскуственными. Естественно, возникал вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими существами. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал. ©Manshin 2006

Теорема Пифагора в мобильной связи. В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.) Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB = OA + AB OB = r + x Используя теорему Пифагора, получим ответ. Ответ: 2,3 км. ©Manshin 2006

Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед. Они не в силах свету помешать. А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них Пифагор. Эти стихи написал немецкий писатель-романист А. Шамиссо в начале XIX в., участвуя в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик». ©Manshin 2006

Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины. Так художник Ф.А. Бронников (1827-1902) нарисовал картину «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу» Картина передает пафос преклонения учеников легендарной школы перед единой гармонией, царящей в мироздании («космосе»), музыке и числе. ©Manshin 2006

В Греции была выпущена почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. На марке надпись: «Теорема Пифагора. Эллас. 350 драхм». Эта красивая марка - почти единственная среди многих тысяч существующих, на которой изображен математический факт. ©Manshin 2006

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов

Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Презентация т.Пифагора Байтурина2.pptx

Курс повышения квалификации

Применение компьютерных моделей при обучении математике и информатике в рамках ФГОС ООО

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету "Математика" в условиях реализации ФГОС ООО

Сейчас обучается 102 человека из 37 регионов

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

«Формирование единой системы гармоничного и эффективного развития математических способностей детей»

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тема проекта: «Применение теоремы Пифагора в строительстве и архитектуре» Выполнили: Сиринова В.Д. Байтурина О.Д. Группа С-61 Руководитель: Лазарева Н.П. Озёрск, 2017

Выяснить области применения теоремы Пифагора в строительстве и архитектуре Цель работы:

Задачи: Изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и о его теореме. Рассмотреть различные доказательства теоремы Пифагора. Собрать информацию о практическом применении теоремы. Пифагора из различных источников и определить области применения теоремы в строительстве и архитектуре. Обработать собранные данные, подобрать иллюстрации. Оформить наработанный материал в виде проекта.

Немного о Пифагоре Пифагор -древнегреческий учёный VI в. до н. э. Сохранилось предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков.

Теорема Пифагора Знаменитая теорема Пифагора читается так: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

1. Как называется самая известная теорема геометрии? 2. Можете ли вы её сформулировать?

Построение прямого угла с помощью верёвки

Построение окна в готическом и романском стилях

Собор Парижской Богоматери

Строительство двускатной крыши a= 2м b= 6:2= 3м с=√2²+3² ≈ 3,6м

Спасибо за внимание !

Выбранный для просмотра документ Применение теоремы Пифагора.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИ И

федеральное государственное АВТОНОМНОЕ образовательное учреждение высшего образовани я

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ »

Озерский технологический институт –

филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

(ОТИ НИЯУ МИФИ)

Специальность 08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

Тема: «Применение теоремы Пифагора в строительстве и архитектуре»

Разработали ________________/ О. Д. Байтурина /

подпись инициалы, фамилия

______________________ / В. Д. Сиринова /

Руководитель проекта _____________/ Н.П. Лазарева /

подпись инициалы, фамилия

ЦЕЛЬ проекта: выяснить области применения теоремы Пифагора в строительстве и архитектуре.

Изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и о его теореме.

Рассмотреть различные доказательства теоремы Пифагора.

Собрать информацию о практическом применении теоремы Пифагора из различных источников и определить области применения теоремы в строительстве и архитектуре.

Обработать собранные данные, подобрать иллюстрации.

Оформить наработанный материал в виде проекта.

Защитить творческий проект.

Руководитель индивидуального проекта _____________ / Н. П. Лазарева /

Дата выдачи задания «____» ______________2017 г.

Срок окончания проекта «____» ____________2018 г.

Задание получили ______________________ / О. Д. Байтурина /

______________________ / В. Д. Сиринова /

1 Применение теоремы Пифагора в строительстве и архитектуре………………. 6

1.3 Применение теоремы Пифагора …………………………. 9

1.3.1 Теорема Пифагора при построении прямых углов на местности…………. 9

1.3.2 Построение окна в готическом и романском стилях………………10-11,16-17

Список использованной литературы ……………………………………. 14

Целью нашей работы было: выяснить области применения теоремы Пифагора в строительстве и архитектуре.

Вначале мы изучили тему «Теорема Пифагора» по школьным учебникам «Геометрия 7-9» Атанасяна Л. С.,«Геометрия 7-9» Руденко В. Н.

и «Геометрия 7-11» Погорелова А. В. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагора в этих учебниках не рассматривается. В учебнике Атанасяна Л. С. есть лишь некоторые сведения из биографии Пифагора и небольшой материал том, как древние египтяне строили прямые углы с помощью веревки, разделенной на 12 равных частей (3,4,5). Об этом упоминается и в учебнике геометрии Погорелова А.В. А вот в учебнике геометрии Руденко В.Н.

на практическое применение теоремы решаются некоторые интересные задачи. Более подробно о Пифагоре и его теореме мы узнали из книги Волошинова А.В. «Пифагор». А в книге Литцмана В. «Теорема Пифагора» рассмотрены различные способы доказательства теоремы.

Таким образом, исследовав литературные источники, мы не нашли в них ответа на вопрос о практическом применении теоремы Пифагора. Изучить этот вопрос нам помогли только материалы в интернете.

Нам было интересно, знают ли теорему Пифагора студенты, учителя, родители? Чтобы выяснить это, мы провели анкетирование и обработали результаты. Было опрошено 27 студентов, 14 преподавателей и 15 родителей (приложение №1).

1 Применение теоремы Пифагора в строительстве и архитектуре

1.1 Немного о Пифагоре

Крепкого телосложения юношу судьи одной из первых в истории Олимпиад не хотели допускать к спортивным состязаниям, так как он не вышел ростом. Но он не только стал участником Олимпиады, но и победил всех противников. Такова легенда. Этот юноша был Пифагор - знаменитый математик. Вся его жизнь – легенда, точнее наслоение многих легенд. Он родился на острове Самос, у берегов Малой Азии. Всего 5 километров водной глади отделяло этот остров от большой земли. Совсем юным Пифагор покинул родину. Он прошел по дорогам Египта, 12 лет жил в Вавилоне, где слушал речи жрецов, открывавших перед ним тайны астрономии и астрологии, затем несколько лет – в Италии. Уже в зрелом возрасте Пифагор переселяется в Сицилию и там, в Кротоне, создает удивительную школу, которую назовут пифагорейской. Они были трудолюбивы и аскетичны – Пифагор и его ученики. Вот заповеди пифагорейцев:

Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.

Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать.

Не пренебрегай здоровьем своего тела.

Приучайся жить просто и без роскоши.

Прежде чем лечь спать, проанализируй свои поступки за день.

Трудно сказать, какие научные идеи принадлежали Пифагору, какие – его воспитанникам. Но рассказывают, что Пифагор, доказав свою знаменитую теорему, отблагодарил богов, принеся им в жертву 100 быков. Пифагор не записал своего учения. Оно известно лишь в пересказах Аристотеля и Платона. Греческий ученый Гераклит утверждал, что Пифагор ученее всех современников, однако порицал его за склонность к магии. Дело в том, что числа для пифагорейцев были наполнены магическим содержанием, они преклонялись перед гармонией чисел. Пифагор был не только математиком, но и философом. Ему принадлежит немало великих догадок. Вот почему люди помнят его уже две с половиной тысячи лет, а среди знаменитых олимпийских чемпионов Пифагор наиболее знаменит, - ему выпало счастье победить не только соперника, но и время.

1.2 Теорема Пифагора

Теорема Пифагора доказана более чем 100 способами. Мы познакомились с тремя способами доказательства теоремы. Приведём наиболее простое геометрическое доказательство этой теоремы: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c

(рис. 1). Нарисуем два квадрата, стороны которых равны ( a + b ) – сумме двух катетов прямоугольного треугольника. Затем в полученных квадратах выполним построения (рис.2, рис.3).

Все зарисованные на рис. 2 и 3 фигуры – квадраты со сторонами, равными катетам и гипотенузе прямоугольного треугольника. Очевидно, что сумма площадей зарисованных квадратов на рис.2 () равна площади зарисованного квадрата на рис.3 (, а именно: площади квадрата со стороной ( a + b ) за вычетом четырех площадей равных между собой треугольников.

Итак, теорема Пифагора доказана.

Приведём ещё два доказательства теоремы.

Рассмотрим доказательство, предложенное авторами Л. С. Атанасяном, В. Ф. Бутузовым и др. в учебнике «Геометрия 7-9». Установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, пользуясь свойствами площадей многоугольников.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c

(рис. 4). Докажем, что

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b так, как показано на

рисунке (рис. 5). Площадь S этого квадрата равна . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна , и квадрата со стороной c , поэтому

S = . Таким образом, , откуда

Интересно доказательство Перигаля теоремы Пифагора. Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах

(рис. 6), и укладывании полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе. В учебниках нередко встречается разложение, указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль ). Через центр квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельные и перпендикулярные гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Теорема Пифагора (без доказательства) встречается еще в вавилонских текстах,

написанных за 1200 лет до Пифагора. Она была известна в Китае и Индии. Одно из древнейших доказательств теоремы Пифагора, очень громоздкое и трудное, дано Евклидом. О прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 единиц длины за 200 лет до н.э. знали и египтяне, считая его магическим.

1.3 Применение теоремы Пифагора

1.3.1 Теорема Пифагора при построении прямых углов на местности

Очень легко можно воспроизвести способ построения прямых углов "натягиванием веревок". Возьмем веревку и сделаем на ней метки, делящие её

на 12 равных частей. Свяжем её концы и растянем верёвку на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами, равными 3, 4 и 5. Тогда прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра ( рис.7).

Рис. 7

1.3.2 Построение окна в готическом и романском стилях

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон (приложение №2). На рисунке (рис. 8) представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2) для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг.

Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.

В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный (приложение №3). На рисунке (рис.9), если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой

b /2- p . По теореме Пифагора имеем: ( b /4+ p ) 2 =( b /4) 2 +( b /2- p ) 2 или b 2 /16+ bp /2+ p 2 = b 2 /16+ b 2 /4- bp + p 2 , откуда bp /2= b 2 /4 - bp . Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p=b/4, p=b/6.

1.3.3 Строительство крыши

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для двускатной крыши (приложение 4). Например: ширина здания 6 м, высота предполагаемой крыши 2 м (рис. 10). Какой длины должны быть стропила?

Решение: В прямоугольном треугольнике длина одного катета – a = 2 м

(ширина здания), длина второго катета – b = 6:2 = 3 (м). По теореме Пифагора находим гипотенузу (длина стропил): c =

Взяв за основу эту задачу, мы решили исследовать двускатную крышу и проверить, выполняется ли для неё теорема Пифагора. Проведя измерения крыши, получили следующие результаты: длина балки – 12,2 м., высота – 3 м., длина стропила – 6,8 м.

Двускатная крыша в сечении – равнобедренный треугольник, тогда длину стропила вычислим по теореме Пифагора: ≈ 6,8 (м). Учитывая погрешность измерения, приходим к выводу, что рабочие при строительстве крыши пользовались известной теоремой.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

Свидетельства для портфолио
Вечный доступ за 120 рублей
311 видеолекции для каждого

«Управление образования администрации г. Канска »

МБОУ средняя общеобразовательная школа № 3

Учебно – исследовательская работа

«Математика для всех»

обучающаяся 8 класса

Руководитель: Г.Г. Мухометзянова,

Введение 3

Глава I Теорема Пифагора

1.1 Пифагор и пифагорейский союз 4

1.2 Способы доказательства теоремы Пифагора 5

Глава II Практические этапы работы

2.1 Применение теоремы Пифагора в строительстве 10

1. Актуальность данного исследования связано с тем, что теорема Пифагора имеет огромное значение и существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических), которые свидетельствуют о числе ее конкретных реализаций. В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются математические задачи, но использование теоремы Пифагора не заканчивается на школьной программе, её широко применяют и за пределами школы. Мы видим необходимость доказать и описать использование теоремы на примере жизненных ситуаций, например, при расчетах в строительстве.

2. Объект исследования : теорема Пифагора.

3. Предмет исследования: применение теоремы Пифагора при расчетах в строительстве.

4. Цель: выявление и изучение применения теоремы Пифагора в строительстве.

1.Познакомиться с биографией Пифагора и деятельностью пифагорейского союза.

2. Систематизировать наиболее интересные доказательства теоремы Пифагора.

3. Выявить применение теоремы Пифагора в строительстве.

6. Гипотеза: применяя теорему Пифагора, можно производить расчеты при строительстве крыш домов, окон, скамеек.

7. Проблема: выполнить расчеты при строительстве крыш домов, окон, скамеек.

8. Практическая и теоретическая значимость работы:

использовать наши знания и умения в методике преподавания факультативного курса по математике в школах.

9. Метод систематизации и обработки данных с применением информационной технологии.

Глава I . Теорема Пифагора

1.1. Пифагор и пифагорейский союз

Великий древнегреческий ученый Пифагор родился на острове Самос в VI веке до нашей эры. Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос . Отец работал камнерезом. В молодости Пифагор побывал в Египте, где учился у жрецов. Там он познакомился с восточной математикой. Геометрия у него была подчинена арифметике. Пифагор говорил: «Все есть число». Он хотел свести к натуральным числам весь мир, особенно математику.

Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг солнца. (Энциклопедический словарь юного математика: А.П.Савин. М. «Педагогика»,1989, с.28.) Он представлял космос как математически упорядоченное целое. По легенде: Пифагор проходил мимо кузницы и услышал, как имевшие разную массу наковальни при ударе звучат. Он усмотрел аналогию между упорядоченностью в музыке и упорядоченностью

материального мира, и пришел к заключению, что математическими соотношениями пронизан весь космос.

Около 530 года до нашей эры Пифагор переехал в Кротон – греческую

колонию в Южной Италии, где основал так называемый пифагорейский союз (или кратонское братство). Он возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет. В сферу интересов членов союза входили научные исследования, религиозно-философские искания, политическая деятельность. Они вели суровый образ жизни, превыше всего ценили самообладание, смелость и коллективную дисциплину. Пифагорейцы жили вместе, у них было совместное имущество, и даже свои открытия они считали общим достоянием. Деятельность союза была окружена тайной, все открытия приписывали Пифагору. Кто на самом деле является автором того или иного результата, неизвестно.

Пифагорейцы называли собственные исследования «математа», что означает «науки»,

делили их на четыре части :арифметику, геометрию, астрономию и гармонию «учение о музыке». Главной считалась арифметика – наука о числах. Пифагорейцы жили по законам, которые назывались Акусма.

1.2. Способы доказательства теоремы Пифагора

Открытие теоремы Пифагора связано с разного рода легендами.

Одна из них – это теорема « невесты». Ей дали название за сходство чертежа с бабочкой, а «бабочка» в переводе с греческого «нимфа». Этим словом греки обозначали богинь, невест. И с арабского «нимфа» - « невеста ».

Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им, «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важнейших теорем геометрии. Михайло Ломоносов писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в

целом свете столько рогатого скота сыскалось.» А ироничный Генрих Гейне считал:

« Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам. Частые случаи этой теоремы были известны некоторым древним народам ещё до Пифагора. Например, в своей

строительной практике египтяне пользовались так называемым «египетским

треугольником» со сторонами 3,4,5. Египтяне знали, что указанный треугольник является прямоугольным и для него выполняется соотношение: 3 2 +4 2 =5 2 , т.е. как раз то, что утверждает теорема Пифагора.

Частные случаи этой теоремы были известны китайцам и индейцам. В древнем Китае теорему Пифагора стали применять около 2200 лет до новой эры. В знаменитом тракте «математика в 9 книгах» составление, которого относится к началу новой эры, теорема о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике использовалась под видом правила «Гоу-гу». Термины «гоу» и «гу» обозначает катеты прямоугольного треугольника, причем «гоу» - горизонтальный, обычно меньший, а «гу» вертикальный и обычно больший катет. В буквальном переводе «гоу» означает крюк, «гу» - ребро. Индийским ученым теорема Пифагора стала известна не позднее VIII века до новой эры.

Я рассмотрела 8 доказательств, включая теоремы из курса «Геометрия – 8».

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

1)Теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ АВС со сторонами a , b , c .

Доказать: с 2 = а 2 + b 2

Достроим до квадрата со сторонами а + b , S = (а + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 . Площадь прямоугольного треугольника S = ½ ab . Следовательно

S = 4* ½ ab + c 2 = 2 ab + c 2 , следовательно a 2 +2 ab + b 2 = 2 ab + c 2 , следовательно с 2 = a 2 + b 2 . ч.т.д.

Доказательства методом достроения.

1) На чертеже построен треугольник АВС, на его сторонах построены квадраты. К квадратам присоединяют равные фигуры так, чтобы получились равновеликие фигуры. Это треугольники 1 и 2. Шестиугольник АЕ DFPB равновелик шестиугольнику ACBNMG . Прямая СМ делит ACBNMG на два равновеликих четырехугольника, прямая EP делит AEDFPB на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90 0 вокруг центра А отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMG . (Это доказательство дал Леонардо да Винчи).

Доказательство Мельманна.

Площадь прямоугольного треугольника равна 0,5а b , или 0,5 pr , где p – полупериметр треугольника, r –радиус вписанной в него окружности

( r = 0,5(а + b – с). 0,5а b - 0,5 pr - 0,5(а + b – с) 0,5(а + b – с), следовательно с 2 = а 2 + b 2 .

Доказательство Гарфилда.

На рисунке 3 прямоугольных треугольника составляют трапецию.

Площадь фигуры 0,5(а + b ) (а + b ) по формуле площади прямоугольной трапеции, 0,5а b + 0,5а b + 0,5с 2 как сумма площадей трех треугольников.

Приравнивая эти выражения, получим с 2 = а 2 + b 2 .

«Пифагоровы штаны» ( доказательство Евклида).

Евклид в « Началах» при доказательстве опускал высоту BH из вершины

прямоугольного треугольника на гипотенузу. ВН делит построенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. Доказательство сложное, чертеж в шутку называют «пифагоровы штаны».

Древнеиндийское доказательство.

Математики Древней Индии для доказательства теоремы Пифагора использовали внутреннюю часть древнекитайского чертежа (трактат

«Сиддханта широмани » («Венец знания»)).

Прямоугольные треугольники уложены гипотенузой наружу и квадрат с 2

перекладывается в « кресло невесты » а 2 + b 2 .

Вывод: теорема Пифагора попала в книгу Гиннеса. Предание приписывает Пифагору доказательство теоремы, носящей его имя. Он и его последователи – пифагорейцы образовали тайный союз в городе Кротоне, в древней Греции. Пифагорейские идеи поддерживали философы: Платон, Аристотель.

2.1. Применение теоремы Пифагора в строительстве

Теорема Пифагора нашла своё практическое применение в архитектуре и строительстве:
* При строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т. д.
* Четырехугольную пирамиду рассматривают как крышу башни.
* В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.

Давайте рассмотрим применение математики в строительстве.

При помощи математических формул можно рассчитать объёмы применяемых материалов, площади окрашиваемых поверхностей или даже количество тепла для отопления дома.

Вот несколько простых примеров применения математики в строительстве, без которых просто не обойтись.

Теорема Пифагора.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Эту теорему изучают в школе. Мы знаем, что это утверждение верно для прямоугольного треугольника.

Вычисление прямого угла в строительстве считается основой основ. Без прямого угла невозможно построить дом правильной геометрии.

Можно применить инструменты. Строительный угольник, например. Его удобно применять при укладке кирпича или замере других небольших углов. Но как быть при замере больших углов. Разметке участка или разбивке фундамента.

Вот здесь нам и пригодится теорема Пифагора.

Строители-практики очень хорошо знают последовательность

3 – 4 – 5. Где 3 и 4 – это катеты, 5 – это гипотенуза. Значит, отмерив от исходной точки, катеты 3 и 4 метра и отмерив гипотенузу 5 метров, мы, точно, получим прямой угол между катетами.

Это самый старый способ замера прямого угла. Говорят, этот способ применяли даже в Древнем Египте, но делали это без измерительных приборов.

С помощью этого способа можно отмерить прямой угол не применяя линейки, метры, рулетки.

Нужно сложить верёвку на двенадцать равных частей, Из равных частей верёвки выложить треугольник со сторонами 3-4-5 и получить прямой угол.

Вычисления объёма.

Формула объёма: длина умноженная на ширину и на высоту.

При помощи этой формулы можно вычислять любые объёмы в строительстве.

Нам нужно рассчитать объём бетона для монолитной плиты пола.

Для монолитного пола достаточно плиты толщиной 15 сантиметров.

Допустим размеры дома 10 на 10 метров. Применяя формулу, мы получим объём требуемого бетона.

10 * 10 * 0,15 = 15 м3. Теперь мы знаем, что для заливки нам понадобится 15 кубических метров бетона.

Рассчитать количество обоев.

В этом нам поможет формула расчёта площади прямоугольника.

Чтобы высчитать нужное количество обоев, нам нужно измерить высоту и ширину стен под оклейку обоями.

Нам нужно оклеить комнату с высотой потолков 3 метра и общей длиной стен 20 метров.

S = 3 * 20 = 60 м2

Теперь мы знаем количество квадратных метров под оклейку обоями. Если мы знаем, что обои продаются по 10 м2 в рулоне нам остаётся общую площадь разделить на площадь в рулоне.

60 м2 / 10м2 = 6 рулонов. Нам остаётся пойти в магазин и купить 6 рулонов обоев.

На этих простых примерах мы убедились в том, что при помощи математики можно сделать любой расчёт в строительстве зданий.

А ещё есть более сложные формулы, которые применяют при проектировании зданий. С их помощью можно рассчитать требуемую плотность материалов или количество потребляемой энергии для отопления зданий.

Читайте также: