Сколько способов выбрать на шахматной доске 7 полей так чтобы никакие
Обновлено: 15.05.2024
На важной встрече присутствовали \(3\) мартышки, \(5\) шимпанзе и \(10\) котят. Перед началом встречи все обезьянки пожали лапы всем котятам. Сколько рукопожатий было сделано?
И мартышки, и шимпанзе — обезьяны, поэтому всего обезьян \(3+5=8\) . В одном рукопожатии участвуют двое зверят: одна обезьянка и один котенок. Обезьянку можно выбрать \(8\) способами, а котенка — \(10\) способами. Так как обезьянку и котенка мы выбираем последовательно, а также выборы обезьянки и котенка не зависят друг от друга, то способы перемножаются: \(8\cdot 10=80\) способов выбрать пару обезьянка–котенок. Но каждая такая пара соответствует одному рукопожатию, значит, рукопожатий тоже \(80\) .
Мисс Барашкис выписала на доску все трехзначные числа, все цифры которых четны. Сколько чисел выписала на доску Мисс Барашкис?
Всего четных цифр, как и нечетных, \(5\) : \(0\) , \(2\) , \(4\) , \(6\) и \(8\) . Однако цифру \(0\) нельзя ставить на первое место. Поэтому цифру из разряда сотен мы можем выбрать лишь \(4\) способами. После этого цифру из разряда десятков мы можем выбрать \(5\) способами, также цифру единиц мы можем выбрать \(5\) способами. Так как выбор цифры в очередном разряде не зависит от того, что мы выбрали ранее, эти способы надо перемножить: \(4\cdot 5 \cdot 5=100\) .
Лис Ник собирается поставить на шахматную доску \(8\times 8\) две ладьи — черную и белую — так, чтобы они не били друг друга. Сколькими способами она может это сделать? Напомним, что ладья бьет по горизонтали и вертикали на любое число клеток.
Сначала поставим на доску белую ладью. Это можно сделать на любую клетку, то есть \(64\) способами. Теперь черную ладью нельзя ставить в тот же столбец или в ту же строку, в которых уже стоит белая ладья. Значит, остаются 7 строк и 7 столбцов, в которых может стоять ладья, всего \(7\cdot 7=49\) клеток. Поэтому черную ладью независимо от того, как была поставлена первая, можно выставить \(49\) способами. Тогда пару ладей мы можем поставить \(64\cdot 49=3136\) способами, так как количество способов поставить черную ладью не зависит от того, куда была поставлена белая ладья.
Ответ: 64 ⋅ 49 = 3136.
Мисс Барашкис выписывает на доску все трехзначные числа, у которых нет одинаковых цифр. Сколько чисел напишет на доску Мисс Барашкис?
Будем выбирать цифры этого числа последовательно, начиная с разряда сотен. Туда подходит \(9\) цифр: любая цифра, кроме \(0\) . После этого на второе место мы можем выбрать \(9\) цифр: любая цифра, кроме той, что стоит на первом месте. Наконец, цифру единиц мы можем выбрать \(8\) способами: любая цифра, кроме тех двух, что уже стоят в разряде сотен и десятков. Эти способы выбрать очередную цифру перемножаются, так как количество способов выбрать очередную цифру не зависит от того, какие цифры мы уже выбрали ранее: \(9\cdot 9\cdot 8=648\) .
Сколькими способами купюру в \(50\) ропиков можно разменять монетами в \(1\) и \(2\) ропика?
Заметим, что если мы зафиксируем количество монет в \(2\) ропика, то количество монет в \(1\) ропик при размене купюры в \(50\) ропиков определяется однозначно. Поэтому достаточно посчитать, сколько монет в \(2\) ропика может быть при размене. Количество монет в \(2\) ропика варьируется от \(0\) до \(25\) . Значит, всего есть \(26\) вариантов выбрать количество монет в \(2\) ропика, и именно это количество однозначно задает способ разменять купюру в \(50\) ропиков. Таким образом, существует \(26\) способов разменять купюры в \(50\) ропиков монетами в \(1\) и \(2\) ропика.
На числовом луче отмечены точки \(1\) , \(2\) , \(3\) , …, \(101\) . Сколько отрезков нечетной длины с концами в этих точках можно отметить?
Длина отрезка равна разнице между числами. Поэтому чтобы длина отрезка была нечетной, числа в концах отрезка должны быть разной четности. Четных чисел от \(1\) до \(101\) — \(50\) штук, а нечетных — \(51\) . Значит, количество способов выбрать четное число равно \(50\) , а нечетное — \(51\) . Эти способы перемножаются, так как производится последовательный выбор, а также количество способов выбрать нечетное число не зависит от выбора четное числа. Поэтому пар четное-нечетное всего \(50\cdot 51=2550\) , и столько же отрезков нечетной длины.
Мисс Барашкис выписывает на доску все четырехзначные числа, в записи которых есть цифра \(5\) . Сколько всего чисел выпишет на доску Мисс Барашкис?
В данном случае проще сначала посчитать количество четырехзначных чисел, в записи которых нет цифры \(5\) , а затем вычесть их из \(9000\) , то есть количества четырехзначных чисел.
Итак, считаем четырехзначные числа, в которых нет \(5\) . На первом месте может стоять любая из \(8\) цифр (кроме \(0\) и \(5\) ), на втором, третьем и четвертом местах — любая из \(9\) цифр (кроме \(5\) ). Так как цифры выбираются последовательно и выбор очередной цифры не зависит от выбора предыдущих, то эти способы перемножаются. Значит, всего есть \(8\cdot 9\cdot 9\cdot 9=5832\) четырехзначных чисел без \(5\) в записи. Тогда четырехзначных чисел с цифрой \(5\) в записи всего \(9000-5832=3168\) .
Комментарий. Если бы мы считали сразу количество чисел с цифрой \(5\) , то у нас возникло бы две проблемы. Во-первых, пятерка может стоять на любом из \(4\) мест, и все эти способы надо учесть. Во-вторых, пятерок может быть несколько, и такие числа, как, например, \(5552\) мы можем посчитать несколько раз. Поэтому-то, чтобы решить эти две проблемы одним махом, мы считаем числа, в записи которых нет \(5\) . Кстати, эту идею мы уже видели в 16-м уроке “Учти лишнее”.
1. В магазине продаются чашки пяти видов и блюдца трех видов. Сколькими способами можно выбрать себе чашку и блюдце?
Решение. Чашку можно выбрать пятью способами. Для каждого способа выбрать чашку есть 3 способа выбрать блюдце, потому что выбор блюдца не зависит от выбора чашки. То есть, всего 5 · 3 = 15 способов.
2. В магазине продаются чашки пяти видов, блюдца трех видов и ложки четырех видов. Сколькими способами можно выбрать себе а) чашку, блюдце и ложку; б) два разных предмета?
3. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых встречаются а) только четные цифры; б) по меньшей мере одна четная цифра?
Указание. а) Сколько цифр чётны? На каждом из 4 мест в числе может быть любая из этих цифр (кроме как на первом месте в числе не может стоять 0).
б) Проще посчитать количество всех четырёхзначных чисел и количество чисел, не удовлетворяющих условию задачи.
Решение. а) 4 · 5 · 5 · 5 = 2 · 5 · 2 · 5 · 5 = 10 · 10 · 5 = 500
б) Четырёхзначных чисел всего 9999 - 1000 + 1 = 9000. Числа, не удовлетворяющие условию задачи, состоят только из нечётных цифр, то есть на каждом из 4 мест в числе должна стоять одна из 5 нечётных цифр (1, 3, 5, 7, 9). Выбрать первую цифру можно 5 способами, для каждого из которых есть по 5 способов выбрать вторую цифру, для каждого из которых есть по 5 способов выбрать третью цифру и по 5 способов выбрать четвёртую цифру, то есть всего 5 · 5 · 5 · 5 = 125 · 5 = (100 + 25) · 5 = 100 · 5 + 25 · 5 = 500 + 125 = 625 способов.
4. Монету бросают трижды. Сколько различных последовательностей орлов и решек может при этом получиться?
Решение. При каждом бросании может быть 2 варианта. То есть, при первом бросании 2 случая, на каждый из них по 2 подслучая (всего 2 · 2 = 4 подслучая), на каждый из подслучаев ещё по 2 подподслучая. Всего будет 2·2·2 = 8 вариантов.
5. Каждую клетку квадратной таблицы 2x2 покрасили в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?
Решение. В каждой из 2х2 = 4 клеток может быть 2 варианта раскраски. То есть, есть 2 варианта раскраски первой клетки, на каждый из них есть по 2 подварианта раскраски второй клетки, на каждый из них по 2 подварианта для третьей и так же для четвёртой клетки. Всего 2·2·2·2 = 16 вариантов.
6. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из букв А и У. Словом считается любая последовательность, состоящая не более, чем из 5 букв. Сколько слов в словаре Мумбо-Юмбо?
7. В футбольной команде 11 человек. Сколькими способами можно выбрать а) капитана и заместителя; б) двоих нападающих?
Указание. В пункте а) есть разница в порядке выбора, а в пункте б) — нет. (См. задачи из дополнительного листка)
8. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску а) черную и белую ладьи; б) черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга? (Ладьи бьют все клетки на своей горизонтали и на своей вертикали, а короли бьют все соседние со своей клетки, в том числе по диагонали.)
Указание. Поставьте на доску сначала одну фигуру. Сколькими способами это можно сделать? Затем для каждого из этих способов посчитайте, сколькими подспособами можно поставить на доску другую фигуру так, чтобы они не били друг друга.
Указание 2. В пункте б) рассмотрите 3 разных случая в зависимости от количества клеток, на которые можно поставить второго короля.
а) Поставим сначала чёрную ладью. Это можно сделать 8 · 8 = 64 способами. Чтобы белая ладья её не била, надо поставить её в другие горизонталь и вертикаль, то есть свободных для неё горизонталей будет 8 - 1 = 7, и вертикалей тоже 8 - 1 = 7. То есть, поставить белую ладью при уже поставленной чёрной можно 7 · 7 = 49 способами. Так как на каждый из 64 способов поставить чёрную ладью будет 49 способов поставить белую, то всего способов поставить обе будет 64 · 49 = 3136.
б) Поставим сначала чёрного короля. Сколько способов тогда останется для постановки белого? Рассмотрим разные случаи:
Если чёрный король стоит в углу доски, то белого нельзя ставить на 4 клетки, то есть можно поставить на одну из 8·8 - 4 = 60 клеток. Углов в доске 4, то есть таких случаев, когда чёрный король стоит в углу, а белый его не бьёт, 4 · 60 = 240.
Дальше, если чёрный король стоит с краю доски (не в углу), то белого нельзя ставить на 6 клеток, то есть можно ставить на 64 - 6 = 58 клеток. На каждой из 4 сторон доски есть 8 - 2 = 6 клеток, где чёрный король будет стоять с краю, но не в углу, то есть всего таких вариантов растановки обоих королей будет 4 · 6 · 58 = 1392.
Наконец, если чёрный король стоит на внутренней клетке доски (они образуют квадрат со стороной 8 - 2 = 6, поэтому внутренних клеток будет 6 · 6 = 36), то белого можно поставить на одну из 64 - 9 = 55 клеток. Всего вариантов расстановки, где чёрный король стоит на внутренней клетке, будет 36 · 55 = 1980.
Итак, всего подходящих вариантов будет 240 + 1392 + 1980 = (200 + 40) + (1400 - 8) + (2000 - 20) = 1600 + 2000 + (40 - 20 - 8) = 3600 + 12 = 3612
10. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых встречаются только нечетные цифры, причем каждая цифра встречается ровно один раз?
Решение. Нечётных цифр всего пять: 1, 3, 5, 7, 9. На первом месте может стоять одна из 5 цифр, на втором — любая из пяти, кроме первой, то есть любая из 4 цифр, на третьем — любая из пяти, кроме двух уже использованных, то есть любая из 3 цифр, и так далее. Значит, всего 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120 таких чисел.
11. Каких семизначных чисел больше — тех, в записи которых есть цифра 1, или тех, в записи которых ее нет?
Указание. Количество чисел с 1 можно не искать: легче найти количество чисел, где нет 1: они просто состоят из остальных цифр, и сравнить его с половиной от количества всех семизначных чисел. Не забудьте, что число не может начинаться с цифры 0.
Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы;
В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов.»
Более общая формулировка: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z / k зайцев.» Не надо бояться дробного число зайцев: если получается, что в ящике не меньше 7 /3 зайцев, значит, их больше двух.
Один математик сказал, что Дирихле по частоте упоминаний школьниками навсегда обеспечено одно из самых высших мест. И добавил: "Пожалуй, есть способ лишить его лидерства — назвать чьим-нибудь именем принцип «никакое чётное число не равно никакому нечётному»."
Доказательство принципа Дирихле очень простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие рассуждения часто встречаются. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, Тогда в k клетках зайцев меньше, чем Противоречие!
| 163. |
| Указание |
В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем этого класса?
Ответ. Обязательно найдётся.
В классе 30 учеников. В диктанте Вова сделал остальные меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну.
Решение. Каждый из остальных 29 учеников сделал не более 12 ошибок. Разобьём их на 13 групп по числу сделанных ошибок (В некоторых группах учеников может и не быть). Если бы в каждой группе оказалось не более двух учеников, то во всех группах вместе было бы не более 26 учеников, а Значит, хотя бы в одной группе учеников больше двух.
Из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна. Докажите это.
Решение. Все числа можно разбить на два класса: чётные и нечётные. Невозможно распределить три числа по двум классам так, чтобы ни в какой класс не попало более одного числа. Значит, среди любых трёх целых чисел найдутся два числа одинаковой чётности. Их сумма чётна.
Среди любых шести целых чисел найдутся два числа, разность которых Докажите это.
Указание. Разбейте всё множество целых чисел на в один класс поместите числа
. –14, –9, –4, 1, 6, 11, 16, 21, 26, .
дающие остаток 1 при делении на 5, в числа
. –13, –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, 27, .
дающие остаток 2, в числа, дающие при делении в четвёртый числа, дающие при делении наконец, пятый (или, если угодно, нулевой) класс составьте из чисел, кратных
Докажите, что из любых n + 1 целых чисел можно выбрать два числа, разность которых нацело делится
Указание. Разбейте множество всех целых чисел классов в соответствии с тем, какой остаток они дают при делении
Даны 12 различных двузначных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами.
Указание. Двузначные числа, кратные 11 (и только они) записываются двумя одинаковыми цифрами.
Из любых ли ста целых чисел можно выбрать два числа, сумма которых кратна 7?
Ответ. Не из любых.
Существуют ли а) пятьдесят; пятидесяти различных двузначных чисел, сумма никаких двух из которых не
Ответ. а) Да, например, числа
б) Нет.
Из любых ли целых чисел можно выбрать два числа, сумма или разность которых
Решение. б) Рассмотрим 51 ящик с табличками: [0], . [50]. Число помещаем в ящик, на табличке которого присутствует остаток от деления его Хотя бы два из окажутся вместе в некотором ящике.
На шахматной доске стоят 44 ферзя. Докажите, что каждый из них бьёт какого-нибудь другого ферзя.
Указание. При любом положении на доске ферзь бьёт не менее
Каждый из 10 участников переговоров послал по их окончании поздравительные открытки пятерым другим участникам. Докажите, что какие-то двое послали открытки друг другу.
Указание. Докажите сначала, что хотя бы один участник получил не менее пяти открыток.
В группе 30 человек. Каждому нравятся ровно k людей из этой группы. При каком обязательно найдутся два человека из этой группы, которые нравятся друг другу?
Ответ. При k = 15.
На плоскости нарисовали Докажите, что угол между какими-то двумя из них не (Если какие-нибудь прямые параллельны, считайте, что угол между ними
Указание. Угол между прямыми не изменяется, если к ним применить параллельный перенос (для каждой свой перенос).
Какое наибольшее число клеток шахматной доски можно покрасить, чтобы никакие две покрашенные клетки не соприкасались (даже в одной точке)?
Решение. Ответ очевиден из рисунка, на котором никакие две закрашенные клетки не соприкасаются, а семнадцатую клетку с соблюдением условия не покрасишь:
Но как доказать, что никаким другим способом нельзя расположить на доске десять несоприкасающихся клеток? Перебором? Вариантов гораздо больше, чем кажется на первый взгляд. И уж совсем невозможно решение методом перебора, если доску 8×8 заменить, например, на доску Оказывается, можно разбить доску на квадратики
Больше одной окрашенной клетки в квадратике 2×2 быть не может, поэтому окрашенных клеток не больше, чем квадратиков.
На шахматной доске нельзя разместить более 32 не бьющих друг друга коней. Докажите это.
Указание. Разбейте 64 клетки доски на 32 пары, так, чтобы клетки одной пары были связаны ходом коня.
Найдите значение дроби
| а) | В · А · Р · Е · Н · Ь · Е | ; |
| К · А · Р · Л · С · О · Н |
| б) | Г · Р · У · З · И · Я | , |
| Т · Б · И · Л · И · С · И |
где разные это разные цифры.
Ответ. Каждая из этих дробей либо равна нулю, либо не имеет смысла.
Из любых а) пяти; целых чисел можно выбрать два таких, разность квадратов которых делится на Докажите это.
Указание. Выясните, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении
В какое наибольшее число цветов можно раскрасить клетки доски 8×8 так, чтобы у каждой клетки среди её соседей (по стороне) были хотя бы две клетки, окрашенные в тот же цвет?
Решение. Разобьём доску на 16 квадратиков 2×2 и покрасим их в разные цвета. Докажем, что больше 16 цветов получить нельзя. Рассмотрим клетку любого цвета. Рядом с ней есть ещё две клетки того же цвета. Эти две клетки имеют только одну соседнюю клетку того же цвета (среди рассмотренных), поэтому есть ещё хотя бы одна клетка такого же цвета. Итак, каждого цвета не меньше четырёх клеток, а следовательно, цветов не
Сколькими способами можно расставить две ладьи чтобы они не били друг друга
Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?
Решение 1
В каждой вертикали находится по одной ладье. Их положение определяется перестановкой горизонталей.
Решение 2
Ладья на первой горизонтали может занимать 8 разных положений. Если это положение фиксировано, то ладья на второй горизонтали может занимать уже только 7 положений. Аналогично для ладьи на третьей горизонтали остается 6 вариантов и т. д. Итого 8·7·6·5·4·3·2 = 8! способов.
Ответ
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. |
| Год издания | 1994 |
| Название | Ленинградские математические кружки |
| Издательство | Киров: «АСА» |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Комбинаторика-1 |
| Тема | Классическая комбинаторика |
| задача | |
| Номер | 036 |
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 2 |
| Название | Комбинаторика |
| Тема | Комбинаторика |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Размещения, перестановки и сочетания |
| Тема | Классическая комбинаторика |
| задача | |
| Номер | 02.038 |
| кружок | |
| Место проведения | МЦНМО |
| класс | |
| Класс | 7 |
| год | |
| Год | 2004/2005 |
| занятие | |
| Номер | 9 |
| задача | |
| Номер | 9.2 |
Проект осуществляется при поддержке и .
Сколькими способами можно расставить две ладьи чтобы они не били друг друга
Сколькими способами можно расставить чёрную и белую ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
Решение
Белую ладью можно поставить на любое из 64 полей доски, причём с каждого из них она бьёт 15 полей (включая поле, на котором стоит). Остаётся 49 полей, на которые можно поставить чёрную ладью. Итак, белую и чёрную ладью можно расставить 64·49 = 3136 способами.
Ответ
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. |
| Год издания | 1994 |
| Название | Ленинградские математические кружки |
| Издательство | Киров: «АСА» |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Комбинаторика-1 |
| Тема | Классическая комбинаторика |
| задача | |
| Номер | 013 |
| кружок | |
| Место проведения | МЦНМО |
| класс | |
| Класс | 7 |
| год | |
| Год | 2004/2005 |
| занятие | |
| Номер | 9 |
| задача | |
| Номер | 9.1 |
Проект осуществляется при поддержке и .
Сколько способов поставить на шахматную доску двух ладей так, чтобы они не били друг друга?
Найти количество способов поставить на доску восемь ладей так, чтобы никакие две не били друг друга
Дана квадратная доска 12×12 клеток. Найдите количество способов поставить на неё восемь ладей так.
Сколькими способами можно разместить на шахматной доске восемь ладей так, чтобы они не били друг друга?
Помогите решить, задачу,если есть возможность объяснить первый шаг решения задачи,или общий ход.
Число способов расставить на шахматной доске NxN K ладей так, чтобы они не били друг друга
Требуется найти число способов расставить на шахматной доске NxN K ладей так, чтобы они не били.
Рекурсия: расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга
Нужно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга, вот что я наваял: .
Решение
Iliodor, Странная дробь
Имхо.
а) 64*49
б) 14*49 + 50*48
Добавлено через 5 минут
в) 6*(49+8) + 8*(49+6) +49*48 (тут хорошо бы меня проверили)
Найти число способов расставить на доске магараджей так, чтобы они не били друг друга
Магараджа—это шахматная фигура, сочетающая возможности ферзя и коня. Таким образом, магараджа может.
Найти число способов расставить на доске N*N ровно K магараджей так, чтобы они не били друг друга
Магараджа — это шахматная фигура, сочетающая возможности ферзя и коня. Таким образом, магараджа.
Расставить на доске 8*8 ферзя и двух белопольных коней так, чтобы они не били друг друга
Расставьте на шахматной доске 8х8 клеток ферзя и двух белопольных коней так, чтобы они не били друг.
Найдите количество способов поставить на шахматную доску 8 ладей
Дана квадратная доска 10×10 клеток. Найдите количество способов поставить на нее 8 ладей так, чтобы.
Разместить k королей так, чтобы они не били друг друга
На прямоугольном клеточном поле n x m разместить k королей так, чтобы они не били друг друга. Если.
В чем секрет решения комбинаторных задач на шахматной доске? (стр. 2 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 |
2.1 Свойства шахматных фигур
Решая комбинаторные задачи, связанные с шахматными фигурами, я исследовал свойства шахматных фигур.
Ладья ходит по вертикали и горизонтали. Следовательно, под ударом одновременно, не зависимо на каком поле стоит ладья, находятся 14 полей.
Ферзь ходит по вертикали, горизонтали и диагонали. Количество полей, находящихся одновременно под боем ферзя, зависит от места его расположения на шахматной доске. Если ферзь стоит на угловом поле или на крайних полях, то под боем находится 21 поле, на второй линии от края – 23 поля, на третьей линии от края – 25 полей, на четвертой линии от края – 27 полей.
Король ходит на любое соседнее поле. Если король стоит на угловом поле, то под боем одновременно находятся 3 поля, если на полях крайней линии, то – 5 полей, на всех остальных – 8 полей.
Конь ходит зигзагом, на одно плюс два поля или два плюс одно поле. Количество полей, находящихся одновременно под боем коня, зависит от места его расположения на шахматной доске. Если конь стоит на угловом поле, то под боем находятся 2 поля. На крайних вторых полях – 3 поля, на остальных крайних полях и на угловых полях второй линии от края – 4 поля. На остальных полях второй линии от края – 6 полей, на третьей и четвертой линиях от края – по 8 полей одновременно находятся под боем.
Слон ходит по диагоналям. Количество полей, находящихся одновременно под боем слона, зависит от места его расположения на шахматной доске. Если слон стоит на угловом поле или на крайних полях, то под боем находятся 7 полей, на второй линии от края – 9 полей, на третьей линии от края – 11 полей, на четвертой линии от края – 13 полей.
Исходя из полученных данных, задачи можно разделить по количеству фигур и по поставленной задаче. Также можно еще рассмотреть условие: одного цвета фигуры или разного.
2.2 Правила суммы и произведения
Большинство комбинаторных задач решаются с помощью двух основных правил: суммы и произведения.
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А, В) можно осуществить m • n способами. Это утверждение — правило произведения. [5 с 5]
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m + n способами. В этом случае общее число комбинаций равно сумме чисел комбинаций во всех классах. Это утверждение называют правилом суммы. [5 с 6]
Пример 1 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась по правилам игры комбинация?
Решение: Зная правила игры в шахматы, не сложно рассмотреть все расстановки. Во-первых, рассматриваются короли, а мы знаем свойства этой фигуры. Во-вторых, фигуры разного цвета (белый и черный король). И, в-третьих, фигуры не бьют друг друга. Из свойств шахматных фигур мы знаем, сколько и на каком поле находится под боем полей. Если первый король стоит на угловом поле, то под боем 3 поля, то на всех остальных полях второй король в «безопасности». И таких полей – 60. А угловых полей всего четыре (2 черных и 2 белых), Если один король стоит на любом из крайних полей, то под боем у него 5 полей, значит другой король на всех остальных 58 полях в «безопасности». А крайних полей всего 24 (12 белых и 12 черных). Ну а если один король стоит на любом другом поле, то под боем у него 8 полей. И значит другой король на всех остальных 55 полях в «безопасности». Таких полей 36. Таким образом, получаем число расстановок: 4(64 — 4) + 24(64 — 6) + 36(64 — 9) = 3612
Ответ: 3612
Если сменить условие.
Пример 2 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы фигуры били друг друга?
Решение: Тогда на угловых полях по три поля под боем, на крайних – по пять полей под боем, на остальных — по 8 полей под боем. Считаем число таких расстановок 4 • 3 + 24 • 5 + 36 • 8 = 420 Ответ: 420
Пример 3 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух королей одного цвета так, чтобы фигуры не били друг друга?
Решение: Так как на шахматной доске всего 64 поля. 32 из них белые и 32 черные. Если первый король стоит на угловом поле, то под боем 3 поля, то на всех остальных полях второй король в «безопасности». И таких полей – 60. А угловых полей одного цвета 2 (2 черных или 2 белых), Если один король стоит на любом из крайних полей, то под боем у него 5 полей, значит другой король на всех остальных 58 полях в «безопасности». А крайних полей одного цвета 12 (12 белых или 12 черных). Ну а если один король стоит на любом другом поле, то под боем у него 8 полей. И значит другой король на всех остальных 55 полях в «безопасности». Таких полей 18 (одного цвета). Считаем число таких расстановок
2 • 60 + 12 • 58 + 18 • 8 = 1806 Ответ: 1806
Получается, что число способов расставить королей одного цвета, чтобы они не били друг друга, в два раза меньше, чем число способов расставить королей разного цвета. Так как число рассматриваемых полей уменьшилось в двое. Получаем 3612 : 2 = 1806
Пример 4 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух королей одного цвета так, чтобы фигуры били друг друга?
Решение: Число способов расстановки фигур также будет в два раза меньше, чем для королей разного цвета. 420 : 2 = 210 Ответ: 210
А если рассматривать задачу, в которой не говорится о цвете фигур, то при подсчете числа способов необходимо рассмотреть оба случая, и когда фигуры разного цвета, и когда фигуры одного цвета.
Пример 5 Сколькими способами можно расставить двух короле, чтобы они не били друг друга?
Решение: Так как число расстановок двух королей разного цвета, которые не бьют друг друга, равно 3612, я число расстановок двух королей одного цвета, которые не бьют друг друга, равно 1806. То общее число расстановок 3612 + 1806 = 5418 Ответ: 5418
Пример 6 Сколькими способами можно расставить двух короле, чтобы они били друг друга?
Решение: Считаем число таких расстановок 420 + 210 = 630 Ответ: 630
Пример 7 Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?
Решение: • , где k = 12, n = 32, m = 20
• = • = Ответ:
Наряду с правилами суммы и произведения, для решения комбинаторных задач на шахматной доске применяются правила перестановки, сочетания, размещения.
Пример 8 Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?
Решение: = ; где n=1+1+2+2+2=8,
k1 = 1, k2 = 1, k3 =2, k4 = 2, k5 = 2
= = = 5040 Ответ: 5040
Пример 9 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 ладей?
Решение: = ; где n = 64, k = 8
= = = 4 426 165 368 Ответ: 4 426 165 368
Пример 10 Сколькими способами можно разместить восемь ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
P8 = 8! = 1•2•3•4•5•6•7•8 = 40320 Ответ: 40320
У меня получилась следующая классификация найденных комбинаторных задач на шахматную тему: задачи можно разделить по количеству фигур и по поставленной задаче (бьют друг друга фигуры или нет). Так же можно еще рассмотреть условие: одного цвета фигуры или разного. (Приложение 10)
Задача 1:
Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
Первого ученика можно выбрать 30 способами, второго, независимо от выбора первого ученика, – 29 способами. При этом каждая пара учитывается дважды. Поэтому ответ: 30 29/2 = 435 способов.
Задача 2:
Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в классе, в котором учатся 30 человек?
Решение:
Первого ученика можно выбрать 30 способами, второго – 29 способами, третьего – 28 способами. Таким образом получаем 30 29 28 вариантов выбора. Однако каждая команда при этом подсчете учтена несколько раз: одна и та же тройка учеников может быть выбрана по разному, например, сначала А, потом В, потом С или сначала С, потом А, потом В и т.д. Поскольку число перестановок из трех элементов равно 3!, то каждая команда учтена нами ровно 3! = 6 раз. Поэтому равно (30 29 28)/3!.
Задача 3:
Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 7 различных?
Решение:
Задача 4:
У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?
Решение:
Первый школьник может выбрать 3 книги для обмена способами, второй – способами. Таким образом, число возможных обменов равно .
Задача 5:
В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырех человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
В команду входит либо одна девочка, либо две. Разберем оба случая. Если в команде две девочки, то двух мальчиков к ним можно добавить способами. Если же в команду входит только одна девочка (ее можно выбрать двумя способами), то команду можно дополнить тремя мальчиками различными способами. Таким образом, общее число возможных команд равно .
Задача 6:
Сколькими способами можно разбить 10 человек на две баскетбольные команды по 5 человек в каждой?
Решение:
Первую команду можно выбрать способами. Этот выбор полностью определяет вторую команду. Однако при таком подсчете каждая пара команд А и В учитывается дважды: один раз, когда в качестве первой команды выбирается команда А, и второй, – когда в качестве первой команды выбирается команда В. Таким образом, ответ: .
Задача 7:
На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Решение:
Задача 8:
Рота состоит из трех офицеров, шести сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых?
Решение:
(n 8 + 1)(n 8 – 1) = n 16 – 1 = 0 (mod 17).
Задача 9:
На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой – 11 точек. Сколько существует а) треугольников; б) четырехугольников с вершинами в этих точках?
Решение:
Задача 10:
Сколькими способами можно выбрать из 15 различных слов набор, состоящий не более чем из 5 слов?
Решение:
Задача 11:
Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек, выбирая ее членов из 4 супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?
Решение:
Выберите сначала семьи, а потом в каждой паре конкретного представителя. Ответ: .
Задача 12:
В классе, в котором учатся Петя и Ваня – 31 человек. Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно?
Решение:
Разберите три случая: в команду входит только Петя; в команду входит только Ваня; оба они в команду не входят. Ответ: .
Задача 13:
Сколькими способами можно переставить буквы слова «ЭПИГРАФ» так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?
Решение:
Все определяется местами, на которых стоят гласные буквы. Ответ: .
Задача 14:
Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трех юношей?
Решение:
Задача 15:
Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?
Решение:
Задача 16:
а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по 5 человек в каждой?
б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по 5 человек в каждой?
Решение:
Задача 17:
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы
а) среди них был ровно один туз?
б) среди них был хотя бы один туз?
Решение:
а) ; б) Перейдите к дополнению. Ответ: .
Задача 18:
Сколько существует 6-значных чисел, у которых по три четных и нечетных цифры?
Решение:
Разберите случаи в соответствии с тем, цифра какой четности стоит на первом месте. Затем в каждом случае выберите места для нечетных цифр. Ответ: .
Задача 19:
Сколько существует 10-значных чисел, сумма цифр которых равна а) 2; б) 3; в) 4?
Решение:
Разберите все возможные представления чисел 2, 3, 4 в виде суммы нескольких натуральных слагаемых. Не забывайте, что первая цифра – не ноль. Ответ: а) 10; б) ; в) .
Задача 20:
Человек имеет 6 друзей и в течение 5 дней приглашает к себе в гости каких-то троих из них так, чтобы компания ни разу не повторялась. Сколькими способами он может это сделать?
Решение:
Задача 21:
Как известно, для участия в лотерее «Спортлото» нужно указать шесть номеров из имеющихся на карточке 45 номеров.
а) Сколькими способами можно заполнить карточку «Спортлото»?
б) После тиража организаторы лотереи решили подсчитать, каково число возможных вариантов заполнения карточки, при которых могло быть угадано ровно три номера. Помогите им в этом подсчете.
Читайте также: