Принцип работы доски гальтона

Обновлено: 03.05.2024

Это устройство представляет собой плоскую доску, на которой в определенном порядке укреплены штырьки-цилиндрики ( кружочки на рисунке - основания цилиндриков): вверху один штырек-цилиндрик, ниже - первый ряд из двух штырьков, еще ниже - второй ряд из трех штырьков и так далее. На доске Гальтона , представленной на рис. 1, имеются пять рядов штырьков. Количество рядов ( и соответственно штырьков) могло бы быть больше, но нам вполне достаточно пяти рядов. [17]

Более интересен пример с шариком на доске Гальтона . Испытания состоят в том, что на верхний штырек роняется шарик, и рассматривается его движение от штырька к штырьку, заканчивающееся попаданием в ту или иную ловушку. Там же отмечены числа равновероятных исходов, когда шарик оказывается в той или иной ловушке. Все эти исходы равновероятны, поскольку в каждом испытании шарик испытывает шесть столкновений со штырьками и при каждом столкновении он с равной вероятностью отскакивает влево или вправо. [18]

Кстати, ее несостоятельность весьма ярко видна на примере с движением шариков по доске Гальтона . Вот мы посылаем первый шарик скакать по штырькам на этой доске. В результате шарик оказывается в какой-то ловушке. Затем мы посылаем скакать по доске Гальтона второй шарик. Затем третий шарик, четвертый, пятый и так далее. Каждый шарик никаким образом не может знать какой путь по доске проделали другие шарики. [19]

Вполне понятно, что набор способов выбрать из пяти отделений два занятых отделения должен совпадать с набором способов выбрать из пяти бросаний монетки два с выпадением решки. Но почему такой же набор вариантов получается при рассмотрении способов попадания шарика на третий штырек в пятом раду на доске Гальтона . Ответить на этот вопрос нетрудно. [20]

Отметим, что смысл таких событий вполне ясен уже из рассматривавшихся нами примеров ( например, связанных с движением шарика по доске Гальтона или подбрасыванием монетки) и не нуждается в предварительном введении понятия вероятности. Так, равновероятность отскакивания шарика от штырька влево или вправо объясняется симметрией шарика и штырька по отношению к отражению в плоскости, проходящей через центр шарика и ось штырька. Равновероятность выпадения орла или решки объясняется симметрией монетки по отношению к переворачиванию ее с одной стороны на другую. С очевидной симметрией кубика связана равновероятность выпадения каждой его грани. [21]

Таким образом показано, что термодинамический закон максимума энтропии на самом деле есть статистический закон, имеющий в своей основе мало общего с динамикой. Если система находилась первоначально в состоянии неполной упорядоченности, то есть в состоянии, которое не является наиболее вероятным ( что соответствует средней ячейке доски Гальтона ) то весьма вероятно, что в течение определенного времени она будет приближаться к состоянию максимальной вероятности, соответственно - максимальной энтропии. Правда, весьма вероятно, но не с абсолютной точностью. В самом деле, современная техника микронаблюдений выявила такие случаи, в которых могут осуществляться отклонения от наиболее вероятного состояния. Отсюда следует экстремальный принцип статистической механики несколько иного рода, чем соответствующие законы чистой механики. [23]

Тогда, когда рассматриваем события, исход которых неоднозначен. Шарик, скачущий по доске Гальтона , может попасть или не попасть в ловушку В. Он может также попасть или не попасть в ловушку А. Мы говорим, что у него больше шансов попасть в ловушку В, нежели в ловушку А. [24]

Бернулли соответствует случаю, когда р q 1 / 2; схему испытаний Бернулли с р q 1 / 2 мы будем называть симметричной. Там же было описано устройство доски Гальтона - физического прибора, в котором осуществляется случайное блуждание на прямой, а стало быть, и симметричная схема испытаний Бернулли. [25]

Примерами однородных испытаний являются подбрасывания монетки или кубика. Очевидно, что как монетку, так и кубик можно подбрасывать сколько угодно раз при неизменных условиях подбрасывания. Шарик можно ронять на верхний штырек доски Гальтона сколько угодно раз. В разных случаях движение шарика по доске к ловушке оказывается, вообще говоря, различным, но условия этого движения остаются во всех случаях неизменными. Понятно, что и тут мы имеем дело с однородными испытаниями. Различные ситуации, когда приходится тянуть жребий, можно представлять моделью, в которой вынимают наугад шар из мешка. Именно для того, чтобы испытания в таких случаях были однородными, требуется всякий раз после очередного испытания возвращать вынутый шар обратно в мешок и хорошо перемешивать шары внутри мешка. Кстати, в различных карточных играх вынутую карту возвращают в колоду карт, которую затем старательно тасуют. Это также объясняется требованием однородности испытаний. [26]

Предлагается выполнить следующий эксперимент. На такой доске шарик попадает в ту или иную ловушку после четырех столкновений с штырьками. Эксперимент состоит в том, чтобы мысленно пустить шарик по такой доске Гальтона 50 раз и определить ( через подбрасывания монеты), в какой ловушке он должен оказаться в том или ином случае. Надо изобразить на доске ( или на бумаге), как распределятся 50 воображаемых шариков по ловушкам. Хорошо бы, чтобы такой эксперимент одновременно проделали несколько человек - каждый со своей рисованной доской Гальтона. Интересно сравнить полученные результаты. [27]

Закон нормального распределения действует достаточно строго. И если вдруг, изучая какое-либо явление, мы обнаружим отклонения от закона, над этим следует задуматься. Видимо, среди случайных воздействий есть такие, влияние которых преобладает, нарушая общее течение вероятности. Это может, например, случиться, если на доске Гальтона выпал или погнулся один из гвоздиков. Или на производстве, когда количество бракованной продукции ( оно ведь тоже подчиняется этому закону) неожиданно резко возрастает. В таких случаях в результате анализа причин брака непременно обнаруживается какое-то нарушение в одном из звеньев или в системе связи. [29]

Так, имеется один шанс из двух получить одну из трех путевок при наличии еще пяти желающих. Имеются три шанса из восьми вынуть красный шар из мешка, в котором находятся 3 красных и 5 белых шаров. Имеются 15 шансов из 64 попадания шарика в ловушкуД на доске Гальтона . Напомним в этой связи высказывание Огюстена Курно, взятое нами в качестве одного из эпиграфов к данной теме. [30]

Тот случай, когда работа из унылой превращается интересную. ⁠ ⁠

Доска Гальтона | Vsauce на русском⁠ ⁠

Майкл рассказывает об удивительной Доске Гальтона, которая таит в себе немало математических закономерностей.

Доска Гальтона - настоящая магия, теория вероятности⁠ ⁠

Все ли видели волшебное видео о том, как каждый цвет имеет свою частоту и сталкиваясь с кристаллами кварца каждый цвет попадает только в свою ячейку?

Это видео конечно же фэйк - все шары в видео изначально белые, им назначен цвет уже в компьютерной обработке в зависимости от того в какой ячейке они были в конце.

Но вот само использованное устройство довольно примечательно. Это вариация доски Гальтона, и в нем кроется настоящая магия.

Galton box, также распространены названия квинкункс, quincunx и bean machine) — устройство, изобретённое английским учёным Фрэнсисом Гальтоном (первый экземпляр изготовлен в 1873 году, затем устройство было описано Гальтоном в книге Natural inheritance, изданной в 1889 году) и предназначающееся для демонстрации центральной предельной теоремы, нормального (гауссова) распределения.

В идеальном случае сталкиваясь со штырьком, шарик каждый раз с одинаковой вероятностью может повернуть либо направо, либо налево. Нижняя часть ящика разделена перегородками (число которых равно числу штырьков в нижнем ряду), в результате чего шарики, скатываясь на дно ящика, образуют столбики, которые тем выше, чем ближе к середине доски (при достаточно большом числе шариков внешний вид столбиков приближается к кривой нормального распределения).

Если нарисовать на задней стенке треугольник Паскаля, то можно увидеть, сколькими путями можно добраться до каждого из штырьков (чем ближе штырёк к центру, тем больше число путей).

В некоторых настольных играх, а также игровом автомате Патинко, используется доска Гальтона или схожие с ней устройства.

Тот случай, когда работа из унылой превращается интересную. ⁠ ⁠

Доска Гальтона | Vsauce на русском⁠ ⁠

Доска Гальтона - настоящая магия, теория вероятности⁠ ⁠

Доска Гальтона

«Главный принцип - не дурачить самого себя. А себя как раз легче всего одурачить» Ричард Фейнман.

В статье про рациональность, я оговорился, что рациональность начинается с критики своих убеждений. Расскажу о том, как я обнаружил, что необоснованно верю в неточные убеждения. И как это поставило меня в крайне неловкую ситуацию.

Делитель

В студенческие годы я активно участвовал в различных молодежных форумах. На одном из таких мероприятий я поучаствовал в тренинге по типологии личностей. Я не буду называть конкретную типологию, для целей статьи это значение не имеет. Механизмы подобных систем очень похожи, так что можете смело подставить любую знакомую вам (про Штирлица, козерогов или оральный вектор).

Эта типология обещала научить лучше понимать других людей, и при этом бонусом разобраться в себе. Она открыла глаза на то, что люди думают по разному и ценят разные вещи в жизни. Я быстро вник, определил свои тип, и начал раздавать типы всем своим знакомым. Попутно я прочитал книгу автора типологии, после чего стал распространять идею среди всех до кого вообще мог дотянуться. Так как общественная деятельность в студенческие годы кипела, дотянуться я успел много до кого.

В моём круге общения почти не осталось людей, которые не вникли в тему. Это породило особый жаргон, который внешне выглядел как что-то сектантское, но мы то знали, идея базируется на науке (так заверял автор технологии). Что самое забавное, этот таинственный жаргон скорее привлекал людей, чем отталкивал.

Люди задавали вопросы, высказывали скепсис и получали очень убедительно выглядящие ответы. «Спасибо» курсу дебатных технологий (по формату Карла Поппера). На тот момент я обладал весьма неплохими навыками убеждения. Я ведь упоминал, что риторика это обоюдоострое оружие для любой позиции?

Изнутри все выглядело так, как будто технология работает. Сомнений не возникало, все стандартные возражения были отработаны мною лично и пропущены через себя. Данное убеждение стало частью меня и моей жизни. Что могло пойти не так?

Состав

Не стану вдаваться в детали, но в какой то момент в мою голову влетел локомотив с большими красными буквами «Критическое мышление». Признаюсь, я далеко не сразу сопоставил содержимое вагонов этого поезда и своей головы. Но на каком-то из вагонов для меня стало очевидно, что с типологиями вообще и с нашей в частности что-то не так. Вагоны далее идут примерно в том же порядке, в котором они проезжались по моей неадекватности конкретно в этой теме.

Вагон 1. Эффект Форера (он же - Эффект Барнума).

Психолог Бертрам Форер в далёком 1948 году попросил своих студентов заполнить тест, и пообещал составить точный психологический портрет каждого. 34 из 39 студентов высоко оценили точность описания. Вот только описание было одно на всех и взято было из газетного гороскопа. Свойство нашего мозга считать убедительными расплывчатые описания нашей личности назвали Эффектом Форера. Усиливает данный эффект два основных фактора: если описание подготовлено индивидуально для нас (после опроса или тестирования) и если описание составляет «квалифицированный специалист», то есть авторитет.

Вагон 2. Апофения.

Наш мозг заточен на поиск закономерностей. И это круто, ведь позволяет нам устанавливать причинно-следственные связи. Но есть и побочный эффект, мы вычленяем закономерности даже тогда, когда их нет. Что ещё хуже, корреляции встречаются неизбежно, и тем чаще, чем больше параметров мы анализируем (есть даже сайт с забавными корреляциями). А именно корреляции наш мозг принимает за закономерности и превращает их в предрассудки. Здесь могла бы спасти статистика, но наша интуиция отказывается с ней работать. К тому же и в самой статистике есть сложности с обработкой подобных кейсов. Именно из-за этих сложностей рождаются аргументы вроде «эффекта Марса».

Вагон 3. Нормальное распределение

Возьмём экстраверсию и интроверсию. Если оценить 100 случайных людей по шкале от 1 до 10 (где 1 = абсолютный экстраверт, а 10 = абсолютный интроверт), то получим мы. примерно вот такую штуку. Большинство людей будет сосредоточено вокруг средних значений, а «абсолютно» крайние значения будут самыми редкими. Это действительно для подавляющего числа характеристик которые «прогнозируют» типологии личности. Люди по любым случайно выбранным критериям будут скорее около средних значений, чем около крайних.

Вагон 4. Искажение подтверждения

Наш мозг устроен таким образом, что мы «по умолчанию» стремимся увеличить уверенность в уже имеющихся наблюдениях. Такое явление называется рационализацией или мотивированным мышлением (мы к ним ещё неоднократно вернёмся). Яркой демонстрацией этой склонности является эксперимент «задача 2-4-8» Питера Уосона. Попытки опровергнуть то, во что мы верим - деятельность неестественная. Более того, хорошое владение формальной логикой, но ее выборочное применение, зачастую приводит к мотивированному скептицизму. Это как раз моя ситуация. После курса по дебатам, я легко находил ошибки в любых аргументах против моих убеждений. Проблема в том, что я даже не пытался искать такие ошибки в самих убеждениях. Зато я неплохо умел искать источники подтверждающие мои убеждения и «упаковывать» их в убедительно звучащие аргументы. Таким образом я систематически наращивал свою уверенность в убеждениях в отрыве от баланса свидетельств.

Вагон 5. Зависимость от трактовки.

Коротко напомню суть: если модель способна описать любой исход это значит, что она не даёт никакого прогноза. В таком случае польза от неё почти нулевая, а вред вполне себе ощутим. А вы ведь помните как работают типологии, если их прогноз не удаётся?

«Ты целеустремленный человек»
«Что есть, то есть»
«И для тебя очень важная работа, ты готов проводить там все свободное время»
«Ну вообще-то не совсем так»
«А, точно, иногда у представителей твоего типа есть такая особенность. Это делает тебя ещё более крутым».

Перечитав черновик статьи, решил кое-что прояснить. Может возникнуть ощущение, что я знал, что данная типология не работает и намерено вводил людей в заблуждение, используя инструменты убеждения. Однако это не так. Изнутри это ощущалось именно как рабочий инструмент с понятным и прозрачным механизмом. После всех этих вагонов мне пришлось отказаться от использования данной методики. А ещё рассказать людям, многих из которых я лично вербовал и склонял к использованию данной методики, о своих наблюдениях. И конечно же, в этот раз многие из них были куда более критичны по отношению к моим аргументам.

Доска́ Га́льтона (англ. Galton box , также распространены названия квинкункс, quincunx и bean machine) — устройство, изобретённое английским учёным Фрэнсисом Гальтоном (первый экземпляр изготовлен в 1873 году [1] , затем устройство было описано Гальтоном в книге Natural inheritance, изданной в 1889 году) и предназначающееся для демонстрации центральной предельной теоремы.

Содержание

Устройство

Доска Гальтона представляет собой ящик с прозрачной передней стенкой. В заднюю стенку в шахматном порядке вбиты штырьки, образующие треугольник. Сверху в ящик через воронку (выход из которой расположен ровно посередине между левой и правой стенками) кидаются шарики. В идеальном случае сталкиваясь со штырьком, шарик каждый раз с одинаковой вероятностью может повернуть либо направо, либо налево. Нижняя часть ящика разделена перегородками (число которых равно числу штырьков в нижнем ряду), в результате чего шарики, скатываясь на дно ящика, образуют столбики, которые тем выше, чем ближе к середине доски (при достаточно большом числе шариков внешний вид столбиков приближается к кривой нормального распределения).

Распределение шариков

Обозначим как n общее число столкновений шарика со штырьками; как k число раз, когда шарик поворачивает направо (таким образом, он оказывается в k-м по порядку столбике). Тогда число способов, которыми он может добраться до k-го столбика, определяется биномиальным коэффициентом " width="" height="" />
. Отсюда следует, что вероятность оказаться в k-м столбике равна p^k (1-p)^" width="" height="" />
, где p — вероятность поворота направо (обычно можно считать, что ). Это функция вероятности биномиального распределения, которое в соответствии с центральной предельной теоремой при достаточно большом n аппроксимирует нормальное распределение.

Читайте также: