На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех

Обновлено: 28.04.2024

№ 1. Имеем 4 разных конверта без марок и 3 разные марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для отправления письма?

34 = 12 (способов)

Ответ: 12 способов.

№ 2. В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.

1) Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?

2) Сколькими способами из коробки можно вынуть два разноцветных шара?

№ 3. В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин, после него из оставшихся фруктов Надя выбирает яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов? При каком выборе Пети у Нади больше возможностей выбора?

Если Петя берёт 1 яблоко, то у Нади больше возможностей для выбора.

Ответ: 401. Петя берёт 1 яблоко.

№ 4. Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов?

№ 5. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

№ 6. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

№ 7. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

№ 8. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов?

= = = = 5 = 210 (способов).

№ 9. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить, кто из 15 его участников будет выступать первым, вторым и третьим?

= = =13 = 2780 (способов).

№ 10. На плоскости отметили 5 точек. Их необходимо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать, если в латинском алфавите 26 букв?

№ 11. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,если цифры в числе не повторяются?

= = = 2 = 120 (способов).

№ 12*. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8,если цифры в числе не повторяются?

№ 13. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные и первая цифра отлична от нуля?

№ 14. Сколько разных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2) кратными 5?

№ 15*. Решите уравнение: 1) =20; 2) = 6.

х 2 -3х -4х + 12 – 6 = 0

х 2 – 7х + 6 = 0 х₁ = 6, х₂ = 1 (исключить).

№ 1. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?

Решение: Р₄ = 4! = 1 = 24 (способа)

№ 2. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

№ 3. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?

Решение: Р₅ = 5! =1 (выражений)

№4. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Решение:Р₃ = 3! = 1(вариантов)

№ 5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Ответ: 1) 720; 2) 600.

№ 6. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр), есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2) кратны 5?

№ 7. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр в числе).

№ 8. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли подряд?

№ 9*. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихотворений, чтобы сборники стихотворений стояли рядом в случайном порядке?

№ 10. Найдите, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных?

Р₁₀ = 10! =1 - расположения 5 мальчиков и 5 девочек в любом месте и в любом ряду.

Если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных, то таких способов будет равно: Р₅₅ = 5!5! = 1

Ответ: 3628800; 14400.

№ 1. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

№ 2. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: = = = = 56 (способов).

№ 3. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

№ 4. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен обязательно; 2) словарь ему не нужен?

Решение: из 3 книг, которые надо выбрать – нужны 1 словарь и 2 художественные = Р₁ = 1! = 1 (способ) 2 художественные из 11 художественных можно выбрать = = = = 55 (способов).

Тогда 1 словарь и 2 художественные книги можно выбрать

Если не нужен словарь, то

№ 5. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории необходимо выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

№ 6. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?

№ 7. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями.

Сколько всего фотографий необходимо было для этого?

№ 8. Сколько перестановок можно сделать из букв слова “Харьков”?

Решение: Р₇ – Р₆ = 7! – 6! = 6!(7-1) = 6! = 1

№ 9. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек.

Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?

№ 10. Сколькими разными способами собрание из 40 человек может выбрать из числа своих членов председателя собрания, его заместителя и секретаря?

№ 11. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой?

Решение: = = = = 28 (прямых линий)

№ 12. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их повторения?

Решение: = = = 2(разных пятизначных числа)

№ 13. Определите число всех диагоналей правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.

Решение: общая формула вычисления диагоналей у n- угольника

n=5, то = 10 (диагоналей)
n=12, то = 66 (диагоналей)
n=8, то = 28 (диагоналей)
n=15, то = 105(диагоналей)

Ответ: 10; 66; 28; 105.

№ 14. Сколько разных трехцветных флагов можно сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Решение: Р₃ = 3! = 1 = 6 (флагов).

№ 15. Сколько разных плоскостей можно провести через 10 точек, если ни какие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Решение: = = = 360 (разных плоскостей)

№ 16*. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 без их повторения?

Решение: Р₅ – Р₄ = 5! – 4! = 4! (5-1) = 4! 4 = 1 3 = 96 (разных пятизначных чисел)

№ 17. Среди перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрой 5? числом 12? числом 123?

Решение: 4! = 1 3 - перестановок начинаются цифрой 5.

3! = 1 3 6 - перестановок начинаются цифрой 12.

2! = 1 перестановок начинаются с цифрами 123.

№ 18. Среди сочетаний из 10 букв a, b, c, . по 4 сколько таких, которые не содержат буквы а? букв a и b?

= = 63 (сочетаний не содержат букву a)

= = 140 (сочетаний не содержат букву a и b)

№ 19. Среди размещений из 12 букв a, b, c, . по 5 сколько таких, которые не содержат буквы а? букв a и b?

Решение: - = - = – = =7 = 83160 (размещений)

– = – = – = =720(132 – 1) = 94320 (размещений)

Ответ: 83160; 94320.

№ 20. Сколько необходимо взять элементов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше, чем число размещений из них по 2?

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

Свидетельства для портфолио
Вечный доступ за 120 рублей
311 видеолекции для каждого

Курс повышения квалификации

Теория и методика педагогического проектирования

Курс повышения квалификации

Основы общей и педагогической психологии в деятельности педагога образовательного учреждения

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

«Формирование единой системы гармоничного и эффективного развития математических способностей детей»

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Прежде, чем приступить к изучению теории вероятностей, Необходимо ознакомиться с основными математическими понятиями, которые необходимы для расчета вероятности. Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает различные группы и соединения (комбинации).

Комбинации, типы комбинаций Соединением (комбинацией) называют объекты или предметы объединенные в группу. Комбинацией можно назвать группу студентов в аудитории, учащихся одного класса, совокупность произвольных букв, букв определенного слова, набор цифр, книги на полке и другое. Предметы из которых состоят соединения, называются элементами. Из элементов одного соединения можно составить другие соединения, которые формируются различными способами.

Перестановки Перестановками из n элементов называются такие соединения, каждое из которых содержит все n элементов, и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов. Например, возьмем в качестве трех элементов цифры 1, 2, 3, тогда n=3. Построим из них все соединения, которые будут содержать все три элемента и отличаться друг от друга лишь порядком их расположения. Таких соединений будет шесть ( число перестановок из трех элементов). Число перестановок из n элементов обозначается (читается: n факториал) Факториалом называется произведение n натуральных чисел от 1 до n. 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1

Перестановки 1. Сколькими способами можно составить список из пяти фамилий? Решением задачи является число перестановок из пяти элементов. 2. На книжной полке выставлены 8 книг различных авторов. Сколько способов имеется для расстановки этих книг в различном порядке? Решением задачи является число перестановок из 8 элементов. 3. Собрание сочинений А.С.Пушкина издано в шести томах. Сколько существует способов расставить эти тома?

На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать? В 10 классе в среду пять уроков: алгебра, геометрия, физкультура, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на этот день? Адъютант должен развести пять копий приказа генерала пяти полкам. Сколькими способами он может выбрать маршрут доставки копий приказа? У Вовы на обед – первое, второе, третье блюда и пирожное. Он обязательно начнет с пирожного, а все остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда. Перестановки

Вычислите: а) 7! б) 8!в) 6! – 5! г) д) е) ж) з) Сократите дробь: а) б) в) г) Решите уравнение: а) n! = 7(n - 1)! б) (m+17)!=420(m+15)! в) (k – 10)! = 77(k – 11)! г) (3x)! = 504 (3x -3)! Перестановки

Перестановки с повторениями Пусть имеется совокупность из n элементов, среди которых m элементов первого, l – второго, k – третьего типов (m+l+k=n). Элементы повторяются α, β, γ раз соответственно. Такие соединения называются перестановками с повторениями. Количество возможных перестановок с повторениями из n элементов определяется по формуле: Задача. Сколько четырехзначных чисел можно составить из двух 1 и двух 2. Для расчета применим формулу числа перестановок с повторениями. Задача. Сколькими способами можно переставить буквы в слове ОЛОВО.

Сочетания Пусть имеется совокупность из n элементов. Из нее выбирают соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, не зависимо от порядка их расположения. Такие соединения называются сочетаниями из n элементов по m. Для подсчета числа сочетаний из n элементов по m элементов в каждом, которое обозначается символом будем использовать формулу числа сочетаний:

Свойства сочетаний Задача. Для дежурства в аудитории из группы студентов 20 человек надо выбрать три человека. Сколькими способами это можно сделать? Для решения задачи использует общую формулу при n =20, m = 3

Сочетания Вычислите: а) б) в) г) д) е) ж ) Сравните: а) и б) и Решите уравнение: а) б) в) г)

Сочетания с повторениями Рассмотрим случай, когда сочетание из n элементов по m элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно, или не содержать его совсем. Такое соединение называется сочетанием с повторениями. Каждое сочетание с повторениями из n элементов по m элементов может состоять не только из различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов из числа n или не содержащих их вообще. Число сочетаний с повторениями можно рассчитать по формуле:

Размещения Пусть имеется совокупность из n элементов. Из нее выбирают соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Такие соединения называются размещениями из n элементов по m. Число размещений из n элементов по m элементов в каждом Обозначается символом и вычисляется по формуле:

Размещения Вычислите: а) б) в) г) д) е) ж ) Решите уравнение: а) б) в) г)

Размещения с повторениями

Урок 20 Комбинаторные задачи и методы их решения УПРАЖНЕНИЯ В турнире принимают участие 6 команд: Динамо, Спартак Торпедо, Локомотив, Химик Волга. Каждая пара команд проводит две встречи — на своём поле и на чужом. Найдите число всех матчей. Указание: Для решения задачи Вы можете использовать один из рассмотренных выше способов. Мы рекомендуем составить график встреч. В забеге участвует 5 спортсменов. Сколькими способами можно предсказать распределение первых трёх мест, считая что победители показывают разное время? Указание: переберите возможные варианты с помощью дерева. Замок сейфа открывается. если набрана правильная комбинация из четырёх цифр от 0 до 9. Преступник пытается открыть сейф и набирает шифр наудачу. Найдите наибольшее возможное число безуспешных попыток. Указание: подсчитайте число способов, с помощью которых можно выполнить каждое действие, состоящее в наборе очередной цифры шифра.

В турнире принимают участие 6 команд: Динамо, Спартак, Торпедо, Локомотив, Химик, Волга. Каждая пара команд проводит две встречи — на своём поле и на чужом. Найдите число всех матчей. Динамо Спартак Торпедо Локомотив Химик Волга Динамо Спартак Торпедо Локомотив Химик Волга

В забеге участвует 5 спортсменов. Сколькими способами можно предсказать распределение первых трёх мест, считая что победители показывают разное время? Выбор из 5 по 3 Для выбора первого – 5 вариантов Для выбора второго – 4 варианта Для выбора третьего – 3 варианта Всего – 5∙4∙3 = 60 Ответ – 60

В забеге участвует 5 спортсменов. Сколькими способами можно предсказать распределение первых трёх мест, считая что победители показывают разное время? Выбор из 5 по 3 Для упорядоченной тройки чисел Число размещений из 5 элементов по 3 Второй способ

Замок сейфа открывается. если набрана правильная комбинация из четырёх цифр от 0 до 9. Преступник пытается открыть сейф и набирает шифр наудачу. Найдите наибольшее возможное число безуспешных попыток. Выбор из 10 по 4 с повторением Для выбора первой цифры –10 Для выбора второй – 10 вариантов Для выбора третьей – 10 вариантов Для выбора четвертой – 10 Всего – 10∙10∙10∙10 = 10000

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

Свидетельства для портфолио
Вечный доступ за 120 рублей
311 видеолекции для каждого

Курс повышения квалификации

Теория и методика педагогического проектирования

Курс повышения квалификации

Основы общей и педагогической психологии в деятельности педагога образовательного учреждения

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

«Формирование единой системы гармоничного и эффективного развития математических способностей детей»

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Комбинаторика. Перестановки.
Размещения.
Сочетания.
9 класс

повторить элементы комбинаторики;
научить исследовать и решать задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам;
сформировать умение использовать формулы ;
закрепить умение решать задачи комбинаторики.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются ПЕРЕСТАНОВКИ
ЗАДАЧА 1. Сколькими способами можно построить 3 человека в шеренгу?
Решение: авс, асв,
вас, вса,
сав, сва
Рn – число перестановок. Р3 =3∙2∙1 = 6

Перестановкой из n элементов называется
каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
Рn = 1∙2 ∙3(n -2)(n-1) ∙n =n!
n! - называется факториалом числа n – это произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.
ЗАДАЧА 2. В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?
Решение: Р5 =5! =5∙4 ∙3 ∙2 ∙1=120
ЗАДАЧА 3. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова( необязательно осмысленных)?
а) УЧЕБНИК; б) АВТОР; в) ФОНАРЬ

ЗАДАЧА 4. На дверях четырёх одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырёх заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?
РАЗМЕЩЕНИЕМ из n элементов по k
(k ≤ n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов
k
An = n (n -1)(n -2) … (n – (k – 1))

ЗАДАЧА 5. Учащиеся 2 класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?
4
Решение: А8 = 8∙7 ∙6 ∙5 = 1680

ЗАДАЧА 6. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?

ЗАДАЧА 7. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять место в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?

СОЧЕТАНИЕМ из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов
k
Сn = n!
K! (n – k)!
ЗАДАЧА 8. Иван Николаевич купил билет лото « 6 из 49». Он должен зачеркнуть 6 номеров из 49. Сколько существует способов это сделать?

ЗАДАЧА 9. В классе 25 учеников. Сколькими способами учитель может выбрать в этом классе для опроса:
а) 5 разных учеников; б) 6 разных учеников;
в) 20 разных учеников.

Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить:
а) 5! ; б) 7!; в) 10!; г) 100!; д) 15!; е) 12! .
2! 5! 8! 99! 13!12! 9!3!
2. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
3. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?
б) Сколько среди них чисел кратных пяти?
в) Сколько среди них чисел кратных одиннадцати?г) Сколько среди них чисел кратных трем?

2. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде четырех вертикальных полос одинаковой ширины разных цветов — белого, синего, красного, зеленого. У каждой страны — свой флаг.

а) Сколько всего стран могут использовать такую символику?
б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с первой белой полосой?
в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с третьей зеленой полосой?
г) Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

3. В футбольном турнире участвует несколько команд. Оказалось, что все они использовали для трусов и футболок белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были использованы все возможные варианты.

а) Сколько команд участвовало в турнире?
б) Сколько команд играло в зеленых футболках?
в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?
г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?

4. На контрольной будет пять задач — по одной из каждой из пяти тем. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме. При подготовке к контрольной Вова решил только по 8 задач из каждой темы. Найдите:

а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы;
б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач;
в) число тех вариантов, в которых Вова ничего не сможет решить;
г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.

5. В клетки квадратной таблички 2 ґ‘ 2 произвольно ставят крестики и нолики.

а) Сколькими способами можно заполнить эту табличку?
б) В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик?
в) В скольких случаях в верхней левой и нижней правой клетках будут разные значки?
г) Решите задачи а), б) и в) для таблички 3 ґ 3.

2. Дерево вариантов

6. Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и помнит, что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ.
б) Сколько среди них тех, в которых индекс равен двойке?
в) Сколько среди них тех, в которых индекс стоит не на втором месте?
г) Как изменится дерево вариантов, если Вова помнит, что на первом месте точно стоит H, а порядок остальных букв забыл?

7. Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. Кандидатуры на должность мэра выставили Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта — Эшкин, Юшкин, Яшкин.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов голосования.
б) В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?
в) В скольких вариантах фамилии кандидатов на должность мэра и на должность префекта состоят из разного числа букв?
г) Как изменятся ответы в а) и б), если учесть еще кандидата «против всех»?

8. Из четырех тузов поочередно выбирают двух.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.
б) В скольких случаях среди выбранных будет бубновый туз?
в) В скольких случаях вторым выбранным будет туз пик?
г) В скольких случаях тузы будут разного цвета?

9. У Аси есть любимый костюм, в котором она ходит в школу. Она одевает к костюму белую, голубую, розовую или красную блузку, а в качестве «сменки» надевает босоножки или туфли. Кроме того, у Аси есть три разных бантика (№ 1, 2, 3), подходящих ко всем блузкам.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов Асиной одежды.
б) Сколько дней Ася сможет выглядеть по-разному в этом костюме?
в) Сколько дней она будет ходить в туфлях?
г) Сколько дней она будет ходить в красной блузке и босоножках?

10. Руководство некоторой страны решило сделать свой государственный флаг таким: на одноцветном прямоугольном фоне в одном из углов помещается круг другого цвета. Цвета решено выбрать из трех возможных: красный, желтый, зеленый.

а) Сколько вариантов такого флага существует?
б) Сколько из них флагов с кругом в верхнем правом углу?
в) Сколько флагов не желтого прямоугольного фона?
г) Сколько красных флагов с кругами в нижних углах?

3. Факториалы и перестановки

13. Делится ли 11! на:

14. На сколько нулей оканчивается число:

15. Сократите дробь:

16. Упростите выражение:

17. Решите в натуральных числах уравнение:

а) n! = 7(n – 1)!;

б) (k – 10)! = 77(k – 11)!;

в) (m+17)! = 420(m+15)!;

г) (3x)! = 504(3x-- 3)!.

а) На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?
б) В 9 «А» классе в среду 5 уроков: алгебра, геометрия, физкультура, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?
в) Сколькими способами четыре вора могут по одному разбежаться на все четыре стороны?
г) Адъютант должен развести пять копий приказа генерала по пяти полкам. Сколькими способами он может выбрать маршрут доставки приказа?

19. У Вовы на обед – салат, первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнет с пирожного, а все остальное съест в произвольном порядке. Найдите число всевозможных вариантов обеда.

20. В гостинице – семь одноместных номеров. Из семи приехавших постояльцев трое уже зарезервировали свои номера. Найдите число способов расселения.

21. Одиннадцать футболистов строятся перед началом матча. Первым – обязательно капитан, вторым – обязательно вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?

22. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K?

4. Закрепление пройденного

23. Современные пятиборцы в течение двух дней участвуют в соревновании по пяти видам спорта: конкур (кросс на лошадях), фехтование, плавание, стрельба, бег.

а) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования?
б) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег?
в) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег, а первым — конкур?
г) Сколько существует вариантов, в которых конкур и фехтование не проходят подряд?

24. Шесть граней игрального кубика помечены цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кубик бросают дважды и записывают выпадающие цифры.

а) Найдите число всех возможных результатов.
б) Укажите те из них, в которых произведение выпавших чисел кратно 10.
в) Составьте таблицу из двух строк. В первой строке запишите суммы выпавших очков, во второй – количество результатов, в которых выпадает эта сумма.
г) Составьте аналогичную таблицу для модуля разности выпавших очков.

25. На плоскости даны 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

а) 3 точки покрасили в рыжий цвет, а остальные – в черный. Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами?
б) Сколько можно провести отрезков с «рыжими» концами?
в) Составьте таблицу из двух строчек. В первой строке запишите количество рыжих точек из 10 данных (от 0 до 10), во второй – число «разноцветных» отрезков при таком способе раскраски.
г) 5 точек покрасили в серый цвет, 2 точки – в бурый и 3 – в малиновый цвет. Сколько можно построить «серобуромалиновых» треугольников?

26. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов похода.
б) Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы?
в) Сколько есть полностью не пеших вариантов?
г) Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?

24. В Сети связь происходит через узлы, которые нумеруются восьмизначными номерами (номер, например 00011122, возможен).

а) Сколько в Сети может быть узлов?
б) Какой минимальной длины должны быть номера узлов, чтобы их хватило каждому жителю Земли?
в) Сколько в Сети узлов с суммой цифр номера равной 71?
г) Сколько в Сети узлов с суммой цифр номера меньше 3?

28. Вова услышал в песне, что «… у зим бывают имена …». Он вспомнил семь самых хороших зим своей жизни и решил дать им семь разных, нравящихся ему женских имен.

а) Сколькими способами он может это сделать?
б) Сколько способов существует, если первая зима – точно Татьяна, а последняя – несомненно, Анна?
в) Сколько способов существует, если женских имен восемь, а не семь?
г) Сколько способов существует, если имен семь, а зим – восемь?

29. Ася помнит, что в ответе задачи на правило умножения для двух испытаний получалось 48 и что испытания с одним исходом не рассматривались. Ей надо вспомнить число исходов в обоих испытаниях.

а) Из скольких вариантов Асе придется выбирать правильный ответ?
б) Сколько вариантов, которые состоят из чисел разной четности?
в) Сколько вариантов, которые состоят из чисел, отличающихся друг от друга более, чем на 10 ?
г) А сколько всего вариантов, если испытаний было три?

Ответы

О поурочном планировании

В тексте основного учебного материала нет поурочного деления. Такое явное разбиение на уроки может излишне регламентировать работу учителя и, на наш взгляд, имеет некоторый оттенок недоверия к его профессиональным возможностям. Кто-то может сначала разобрать весь материал параграфа, а затем перейти к упражнениям. Кто-то выберет способ равномерного чередования теории и практики. В более подготовленных классах можно часть материала начинать рассматривать с задач, новые понятия вводить по ходу дела, а «беллетристику» оставить для самостоятельного чтения.

В отличие от теоретической части, упражнения к параграфам расположены по темам, каждая из которых достаточно точно соответствует одному уроку. Тем самым, перечень этих тем в том виде, в каком он присутствует в тексте этого учебного пособия, и дает примерное поурочное планирование. Вот этот перечень.

§ 1. Простейшие комбинаторные задачи. Правило умножения и дерево вариантов. Перестановки (4 урока)

1. Правило умножения.
2. Дерево вариантов.
3. Факториалы и перестановки.
4. Закрепление пройденного.

§ 2. Выбор нескольких элементов. Сочетания (4 урока)

1. Выбор двух элементов.
2. Выбор трех и более элементов.
3. Сочетания и числа .
4. Закрепление пройденного.

§ 3. Случайные события и их вероятности (5 уроков)

1. События достоверные, невозможные и случайные.
2. Классическое определение вероятности.
3. Вероятность противоположного события.
4*. Вероятность суммы несовместных событий.
5. Закрепление пройденного. Контрольная работа.

§ 4. Статистика – дизайн информации (4 урока)

1. Варианты и их кратности.
2. Многоугольники распределения данных.
3.Кривая нормального распределения.
4*. Числовые характеристики выборки.

§ 5. Независимые повторения испытаний с двумя исходами (4 урока)

1. Схема Бернулли.
2. Использование функции j .
3. Использование функции F .
4. Закрепление пройденного.

Итак, основной материал каждого параграфа рассчитан, как правило, на три урока. Плюс один урок отводится для самостоятельной работы и для закрепления пройденного материала. Таким образом, максимум составляет 21 урок, а минимальный формат – 16 уроков: по 3 в каждом из пяти параграфов и один урок – контрольная работа. Тем самым, время изучения всего этого учебного материала – около месяца. Если этот материал изучается вместо главы о тригонометрических функциях, то, видимо, время его изучения придется на конец 9-го класса.

Темы (уроки), отмеченные в приведенном выше плане звездочкой, можно в классах с недостаточной предварительной подготовкой отложить до изучения их в старшей профильной школе. Контрольную работу целесообразно провести по материалу первых трех параграфов, поскольку тематика двух других параграфов специфичнее остальных, и к ней ученику еще надо привыкнуть.

Среди упражнений к четвертому, «статистическому», параграфу имеются задания, по сути дела, являющиеся лабораторными работами. Ученики могут отчитаться по этой теме, письменно представив результаты такой самостоятельной работы. Если в школе позволяют технические возможности и есть хороший контакт с преподаванием информатики, то разумно в этом месте познакомить учащихся с простейшими приемами статистической обработки информации с помощью редактора «Microsoft Exel».

Подборка задач по комбинаторике (с ответами) для 11 класса.

Просмотр содержимого документа
«Задачи по комбинаторики для 11 класса»

Задачи по комбинаторики

Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?

Ответ: перестановки, 5! = 120.

Задача 2: В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: размещения из 11 по 2, А 2 ₁₁= 110.

Задача 3: Расписание на день содержит 5 уроков. Определить количество возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни один предмет не стоит дважды.

Ответ: размещения из 14 по 5, 1320.

Задача 4: Сколько различных трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Ответ: перестановки, 6 способов.

Задача 5: В классе 24 ученика. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

Ответ: сочетания из 24 по 4,

Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

Ответ: перестановки, 6 способов.

Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?

Ответ: сочетания, 455 способами.

Задача 8: Из ящика, где находится 15 шаров, нумерованных последовательно от 1 до 15, требуется вынуть 3 шара. Определить число возможных комбинаций при этом?

Ответ: размещения, 2830 способами.

Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

Ответ: перестановки, 4! – 3! =18.

Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в четырехместной каюте?

Ответ: размещения из 6 элементов по 4, 360 способами.

Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Ответ: сочетания из 10 элементов по 2, 45 способами.

Ответ: сочетания из 13 по 4, 715 бригад.

Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Ответ: сочетания из 16 по 2, 120 рукопожатий.

Задача 14: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого?

Ответ: сочетание из 30 по 2, 435 фотокарточек.

Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Ответ: сочетание из 10 по 3; 120 точек

Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?

Ответ: размещение из 10 по 7.

Задача 18: Сколько существует таких перестановок 7 учеников, при которых 3 определенных ученика находятся рядом друг с другом? Ответ: 720 = 3! · 5!

Задача 19: На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах. Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 3 и 4 рядом не стояли?

Задача 20: Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные и различные?

Ответ: размещение из 5 по 3, 60.

Задача 21: У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого?

Ответ: сочетания, С 2 ₁₀·С 2 ₈ = 1260.

Презентация по математике «Комбинаторика» Основные понятия и решение задач

Описание презентации по отдельным слайдам:

Сколькими способами можно составить список различных фамилий 5 человек

Введение в теорию множеств и комбинаторику

Практическая работа № 12. Перестановки

Вопросы к работе

Что такое « перестановки из n элементов»?
Сколько перестановок существует для n элементов?
Какие перестановки называются перестановками с повторениями?
По какой формуле вычисляется число перестановок с повторениями?

Образцы решения заданий

Пример 1.Вычислить

. Итак,

Пример 2. Сколькими способами можно рассадить на скамейке пять человек?

Решение: Способов столько, сколько различных перестановок можно составить из 5 элементов, т. е. . Итак, пять человек на скамейке можно рассадить 120 способами.

Пример 3. Сколько всех семизначных чисел, у каждого из которых цифра 6 встречается 3 раза, а цифра 5 четыре раза?

чисел.

Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами это можно сделать? (Ответ: 2520).
Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трех бандеролях соответственно по 2, 3, 4 книги в каждой бандероли? (Ответ: ).
Сколькими способами можно распределить семь молодых специалистов по трем цехам, которым, соответственно, нужны 1, 2, 4 специалиста? (Ответ: ).
Сколькими способами можно составить список из 25 студентов? (Ответ: ).
Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется одно письмо? (Ответ: ).
Десять лиц, которые отдельно обедают и ужинают в одной и той же столовой, просят содержателя подождать с получением денег до тех пор, пока они не пересядут за столом всеми возможными способами, если каждый день за обедом они будут сидеть по-другому. Сколько лет пришлось бы ждать содержателю столовой, если бы он согласился на это предложение? (Ответ: около 4971 года).
Сколькими способами 15 книг можно расположить на полке? (Ответ: 15!).
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «математика»? (Ответ: ).
В доме отдыха давали на десерт либо яблоко, либо апельсин, либо мандарин. В течение 24 дней было выдано 9 яблок, 7 мандаринов и 8 апельсинов. Сколько различных вариантов выдачи может быть? (Ответ:
Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так, чтобы 4 буквы «е» шли подряд? (Ответ: ).

Задания для самоконтроля

Найти все натуральные n , удовлетворяющие неравенству:

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

Читайте также:

На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех

Теория и методика педагогического проектирования

Основы общей и педагогической психологии в деятельности педагога образовательного учреждения

Современные педтехнологии в деятельности учителя

«Формирование единой системы гармоничного и эффективного развития математических способностей детей»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Теория и методика педагогического проектирования

Основы общей и педагогической психологии в деятельности педагога образовательного учреждения

Современные педтехнологии в деятельности учителя

«Формирование единой системы гармоничного и эффективного развития математических способностей детей»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Просмотр содержимого документа «Задачи по комбинаторики для 11 класса»

Презентация по математике «Комбинаторика» Основные понятия и решение задач

Сколькими способами можно составить список различных фамилий 5 человек

Просмотр содержимого документа
«Задачи по комбинаторики для 11 класса»