На доске написаны десять попарно различных натуральных чисел которые удовлетворяют двум условиям
Обновлено: 13.05.2024
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
а) да , например:
1-е число: 2009
2-е число: 2 + 0 + 0 + 9 = 11
3-е число: 1 + 1 = 2
Сумма 3-х чисел: 2009 + 11 + 2 = 2022
б) нет
Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3 (остаток от деления 0). Число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на 3 (остатки 1 или 2).
При делении таких 3-х чисел, получим три равных остатка, сумма остатков всегда делится на 3. Значит и сумма 3-х чисел делится на 3.
Число 2021 на 3 не делится, т.к. сумма цифр числа не делится на 3 (2 + 0 + 2 + 1 = 5), получили противоречие.
в)
1-е число: трёхзначное (от 100 до 999);
2-е число: двухзначное;
3-е число: 2.
Сумма равна 2 в следующих случаях:
1 + 1 = 2
2 + 0 = 2
Значит 2-е число равно 11 или 20.
Если 2-е число равно 11, то 1-ми числами могут быть (сумма цифр 1-го числа равна 11):
119 128 137 146 155 164 173 182 191
209 218 227 236 245 254 263 272 281 290
308 317 326 335 344 353 362 371 380
407 416 425 434 443 452 461 470
506 515 524 533 542 551 560
605 614 623 632 641 650
704 713 722 731 740
803 812 821 830
902 911 920
Всего в этом случае 1-х чисел 61, а значит и 61 тройка чисел.
Если 2-е число равно 20, то 1-ми числами могут быть (сумма цифр 1-го числа равна 20):
299
389 398
479 488 497
569 578 587 596
659 668 677 686 695
749 758 767 776 785 794
839 848 857 866 875 884 893
929 938 947 956 965 974 983
Всего в этом случае 1-х чисел 36, а значит и 36 троек чисел.
Всего таких троек существует:
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших из них равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?
в) Найдите наибольшее среднее арифметическое всех чисел.
(ЕГЭ 2018, основная волна)
б) Пусть мы имеем набор упорядоченных по возрастанию чисел \(a_1, a_2, \dots, a_\) . Так как \((a_1+a_2+\dots+a_6):6=5\) , то \(a_1+\dots +a_6=30\) . Аналогично \(a_5+a_6+\dots a_=90\) . Тогда \(a_1+a_2+\dots +a_+(a_5+a_6)=120\) .
Наименьшее возможное значение \(a_5\) – это 5, так как числа натуральные и различные и они упорядочены по возрастанию. Тогда самое маленькое возможное значение \(a_6\) – это 6. Но тогда наибольшая возможная сумма \(a_1+\dots +a_=120-(5+6)=109\) . Но тогда наибольшее возможное среднее арифметическое всех десяти чисел равно \(109:10=10,9
в) В предыдущем пункте мы сказали, что \(a_1+a_2+\dots +a_=120-(a_5+a_6)\) . Следовательно, для того, чтобы найти наибольшую возможную сумму всех чисел, нужно найти наименьшую возможную сумму \(a_5+a_6\) .
Ранее мы доказали, что минимальная сумма \(a_5+a_6=11\) . Заметим, что, учитывая условие, что сумма наименьших шести чисел равна 30, такая ситуация невозможна: наибольшее возможное \(a_5\) тогда равно 5, значит, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(1+2+3+4=10\) , откуда мы получаем, что наибольшая сумма первых шести чисел равна \(1+2+3+4+5+6 Рассмотрим случаи:
1) Пусть \(a_5+a_6=12\) . Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=18\) . Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 5. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(1+2+3+4
2) Пусть \(a_5+a_6=13\) . Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=17\) . Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(2+3+4+5
3) Пусть \(a_5+a_6=14\) . Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=16\) . Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(2+3+4+5
На доске написано \(100\) различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна \(5120\) .
а) Может ли на доске быть написано число \(230\) ?
б) Может ли быть такое, что на доске не написано число \(14\) ?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных \(14\) , написано на доске?
(ЕГЭ 2017, основная волна)
а) Упорядочим числа по возрастанию \(a_1, a_2, \dots, a_\) . Пусть одно из этих чисел равно \(230\) . Пусть все оставшиеся 99 чисел – это \(1, 2, 3, \dots, 99\) . Тогда сумма всех ста чисел – наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть \(230\) . Вычислим ее: \[\dfrac2\cdot 99+230=5180>5120\] Получили противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.
б) Предположим, что на доске нет числа \(14\) . Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: \(1, 2, \dots, 13, 15, \dots, 101\) . Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел – наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна: \[\dfrac2\cdot 101-14=5137>5120\] Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.
в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные \(14\) (это числа \(14, 28, 42, 56\) ): \[1, 2, \dots, 69, \quad 71, 72, \dots, 83, \quad 85, 86, \dots, 97, \quad 100, 101, 102, 103, 115.\] Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных \(14\) .
Возьмем набор чисел от \(1\) до \(100\) . Сумма чисел в данном наборе равна \(5050\) . Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные \(14\) , странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.
Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число – это \(98\) . Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число – это \(101\) . После этого мы получим минимальную сумму, равную \(5053\) . Она меньше, чем \(5120\) , поэтому будем продолжать дальше.
Поступая аналогично, уберем странные числа \(98, 84, 70\) . Вместо них добавим \(101, 102, 103\) . Получим при этом минимальную сумму, равную \(5104\) . Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав \(56\) и добавив \(104\) , получим минимальную сумму \(5152\) , что больше, чем \(5120\) . В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.
На доске написано \(30\) различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается на \(4\) или \(8\) . Известно, что сумма чисел, написанных на доске, равняется \(2786\) .
а) Может ли на доске быть написано поровну чисел, оканчивающихся на \(4\) , и чисел, оканчивающихся на \(8\) ?
б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на \(8\) ?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на \(8\) , может быть на доске?
(ЕГЭ 2017, основная волна)
а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на \(4\) , и чисел, оканчивающихся на \(8\) , то чисел каждого вида по 15 штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа \(15\cdot 4+15\cdot 8=180\) , то есть последняя цифра должна быть равна \(0\) , что противоречит условию.
Следовательно, ответ: нет.
б) Рассмотрим все подряд идущие 30 натуральных чисел, оканчивающихся на \(4\) , начиная с самого маленького: \(4, \ 14, \ 24, \ 34, \ \dots, 284, \ 294\) . Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(10\) . Следовательно, их сумма равна \[\dfrac2\cdot 30=4470\] Заметим, что это намного больше, чем \(2786\) . И заметим, что это наименьшая возможная сумма 30-ти различных чисел, оканчивающихся на \(4\) . Как нам максимально уменьшить эту сумму, добавив 4 числа, оканчивающихся на \(8\) (а значит и убрав 4 числа, оканчивающихся на \(4\) , ведь количество чисел должно быть всегда равно \(30\) )? Нужно убрать самые большие числа, оканчивающиеся на \(4\) , и добавить самые маленькие, оканчивающиеся на \(8\) . То есть нужно убрать \(294, \ 284, \ 274, \ 264\) и добавить \(8, \ 18, \ 28, \ 38\) . Но в этом случае сумма всех чисел будет равна \[\begin &4470-294-284-274-264+8+18+28+38=\\ &4470-(294-8)-(284-18)-(274-28)-(264-38)=\\ & 4470-286-266-246-226=\\ &3446>2786\end\] Следовательно, ответ: нет.
Каждый из \(28\) студентов написал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от \(0\) до \(20\) включительно. По каждой из двух работ в отдельности средний балл составил \(15\) . Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\) .
а) Приведите пример, когда \(S
б) Могло ли значение \(S\) быть равным \(5\) ?
в) Какое наименьшее значение могло принимать \(S\) , если обе контрольные писали только \(10\) студентов?
(ЕГЭ 2017, основная волна)
б) Пусть \(M\) – сумма максимальных баллов всех студентов. Предположим, что \(S=5\) , то есть \[\dfrac M=5\quad\Rightarrow\quad M=140\] Заметим, что либо первую, либо вторую контрольную писало не менее 14 человек (так как если каждую контрольную писало менее 14 человек, то всего студентов менее 28). Можно считать, что не менее 14 человек писало первую контрольную. Пусть \(\Sigma\) – сумма баллов по первой контрольной, \(x\geqslant 14\) – количество человек, писавших эту контрольную. Тогда \[\dfracx=15\quad\Rightarrow\quad \Sigma=15x\geqslant 15\cdot 14>140=M\] Докажем, что \(M\geqslant \Sigma\) .
Действительно, возьмем произвольного студента. Если он писал только первую контрольную, то его балл будет участвовать и в \(M\) , и в \(\Sigma\) . Если он писал только вторую контрольную, то его балл будет участвовать в \(M\) , но не будет участвовать в \(\Sigma\) . Если он писал обе контрольные, то в \(\Sigma\) будет участвовать его балл за первую контрольную, а в \(M\) – его наибольший балл (то есть либо этот же балл, либо выше). Таким образом, во-первых, слагаемых в \(M\) будет больше, чем в \(\Sigma\) , часть из них будет совпадать со слагаемыми из \(\Sigma\) , а часть будет больше или равна. Чтд.
Ответ: нет.
Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным \(20\) ?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным \(81\) ?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
(ЕГЭ 2013, основная волна)
а) Пусть число \(N=100a+10b+c\) , где \(a,b,c\) – число сотен, десятков и единиц соответственно, следовательно, они могут принимать натуральные значения от \(0\) до \(9\) (только \(a\) не может быть равно \(0\) ).
Предположим, что \[\dfrac=20 \quad\Rightarrow\quad 10(8a-b)=19c\] Пусть \(8a=b\) , откуда, так как \(a,b\) – цифры, то \(a=1\) и \(b=8\) . Тогда \(10(8a-b)=0\) , следовательно, \(19c=0\) , откуда \(c=0\) . Таким образом, получили число \(180\) .
Проверкой убеждаемся, что действительно \(180:(1+8+0)=20\) .
Ответ: да.
б) Предположим, что \[\dfrac=81 \quad\Rightarrow\quad N=81(a+b+c)\] Следовательно, \(N\) делится на \(81\) , следовательно, его можно представить в виде \(N=81\cdot k\) , где \(k\) – некоторое натуральное число и \(k=a+b+c\) . Заметим, что так как \(N\) – трехзначное число, то \(81\cdot k\leqslant 999\) , откуда \(k\leqslant 12\) .
Из того, что \(N\) делится на \(81\) , можно сделать вывод, что \(N\) делится на \(9\) . Следовательно, сумма его цифр должна делиться на \(9\) . Но так как сумма его цифр равна \(k\) , а \(k\leqslant 12\) , то \(k=9\) . Следовательно, \(N=9\cdot 81=729\) . Но у числа \(729\) сумма цифр не равна \(9\) , следовательно, \(729\) не подходит. Так как это был единственный возможной вариант, то ответ: нет.
Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем \(198\) . Сумма его цифр равна \(18\) и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем \(11\) .
Докажем, что \(11\) – наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.
Предположим противное. Пусть частное от деления \(N=100a+10b+c\) на \(a+b+c\) равно \(k\) , где \(k\leqslant 10\) – натуральное число. Тогда: \[\dfrac=k \quad\Leftrightarrow\quad (100-k)a+(10-k)b=(k-1)c\]
Так как число сотен не может быть равно нулю, то \(a\geqslant 1\) . Так как \(k\leqslant 10\) , то \(100-k\geqslant 90\) , следовательно, \((100-k)a\geqslant 90\) . Так как \(b\geqslant 0\) , то \((10-k)b\geqslant 0\) , следовательно, вся левая часть равенства \(\geqslant 90\) .
Так как число единиц не может быть больше \(9\) , то есть \(c\leqslant 9\) , и \(k-1\leqslant 9\) , то \((k-1)c\leqslant 9\cdot 9=81\) .
Следовательно, в нашем равенстве левая часть \(\geqslant 90\) , а правая \(\leqslant 81\) . Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и \(11\) – наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Пусть \(i-\) ое выписанное число имеет вид \(10\cdot a_i + b_i\) , где \(a_i, b_i \in \\) . Для суммы \(b_i\) по всем значениям индекса \(i\) , таким, что слагаемое \(b_i\) есть этой в сумме, используем обозначение \(\underset b_i\) .
Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид \[\underset (10a_i + b_i) = 10\cdot\underset a_i + \underset b_i.\] Обозначим \(A = \underset a_i\) , \(B = \underset b_i\) , тогда \(2970 = 10\cdot A + B\) .
После смены мест цифр \(i-\) ое полученное число имеет вид \(10\cdot b_i + a_i\) . Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид \[\underset (10b_i + a_i) = 10\cdot\underset b_i + \underset a_i = 10\cdot B + A.\]
а) Уменьшение суммы в 3 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(\dfrac = 990\) , что равносильно \(10\cdot B + A = 990\) . Рассмотрим систему
\[\begin \begin 10\cdot A + B = 2970\\ A + 10\cdot B = 990 \end \end\]
вычитая из первого уравнения второе, находим, что \(9\cdot A - 9\cdot B = 1980\) , откуда \(A = 220 + B\) . Подставляя это в первое уравнение системы, находим \(B = 70\) , тогда \(A = 290\) .
Попробуем брать в качестве \(a_i\) 9, пока их сумма не превосходит 290 – так можно положить \[a_1 = . = a_ = 9,\quad a_ = 290 - 32\cdot 9 = 2,\] то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить \[b_1 = . = b_ = 2,\quad b_ = 70 - 32\cdot 2 = 6.\]
б) Уменьшение суммы в 5 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(\dfrac = 594\) , что равносильно \(10\cdot B + A = 594\) . Рассмотрим систему
\[\begin \begin 10\cdot A + B = 2970\\ A + 10\cdot B = 594 \end \end\]
вычитая из первого уравнения второе, находим, что \(9\cdot A - 9\cdot B = 2376\) , откуда \(A = 264 + B\) . Подставляя это в первое уравнение системы, находим \(B = 30\) , тогда \(A = 294\) .
Так как \(B = 30\) , а все \(b_i\geqslant 1\) , то слагаемых в сумме не более 30, но тогда \(A\leqslant 30\cdot 9 = 270\) , следовательно, при \(B = 30\) не может быть выполнено \(A = 294\) .
в) Пусть сумма полученных чисел равна \(S\) , что равносильно системе
\[\begin \begin 10\cdot A + B = 2970\\ A + 10\cdot B = S \end \end\]
вычитая из первого уравнения второе, находим, что \(9\cdot A - 9\cdot B = 2970 - S\) , откуда \[A = 330 - \dfrac + B.\] Подставляя это в первое уравнение системы, находим \[B = \dfrac - 30,\] откуда в частности следует, что \(S\) делится на \(99\) .
Понятно, что \(B > 30\) (так как все \(b_i\geqslant 1\) , то при не более чем \(30\) слагаемых сумма исходных чисел не превзойдёт \(30\cdot 90 + 30 = 30\cdot 91 < 2970\) ). Тогда \[\dfrac - 30 > 30,\] откуда \(S > 594\) , но \(S\) делится на \(99\) , тогда \(S\geqslant 693\) .
При \(S = 693\) получим \(B = 40\) , откуда \(A = 293\) .
Аналогично примеру из пункта а) построим решение:
Попробуем брать в качестве \(a_i\) 9, пока их сумма не превосходит 293 – так можно положить \[a_1 = . = a_ = 9,\quad a_ = 293 - 32\cdot 9 = 5,\] то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить \[b_1 = . = b_ = 1,\quad b_ = 40 - 32\cdot 1 = 8,\] итого, искомая сумма \(32\times 91 + 58\) .
а) \(32\times 92 + 26\) , где запись \(32\times 92\) означает сумму из 32 слагаемых, каждое из которых равно 92.
Возрастающие арифметические прогрессии \(a_1, . a_n, . \) и \(b_1, . b_n, . \) состоят из целых положительных чисел.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых \(a_2b_2 + 3a_4b_4 = 5a_3b_3\) .
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых \(3a_2b_2 + a_6b_6 = 4a_3b_3\) ?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение \(a_3b_3\) , если \(3a_2b_2 + a_6b_6\leqslant 108\) ?
а) В качестве примера подходят прогрессии \(4, 5, 6, 7, . \) и \(2, 3, 4, 5, . \) (то есть \(a_1 = 4\) , \(b_1 = 2\) , а разности у обеих прогрессий равны \(1\) ).
В самом деле, для таких прогрессий требуемое равенство превращается в \[5\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot 5 = 5\cdot 6\cdot 4\] верное равенство.
б) Пусть разность прогрессии \(a_1, . \) равна \(d\) , а разность прогрессии \(b_1, . \) равна \(\tilde\) . Тогда требуемое равенство можно переписать в виде \[3(a_3 - d)(b_3 - \tilde) + (a_3 + 3d)(b_3 + 3\tilde) = 4a_3b_3\]
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим \[12d\tilde = 0\,,\] чего быть не может, ведь по условию обе прогрессии возрастают и состоят из целых положительных чисел, следовательно, \(d\geqslant 1\) и \(\tilde\geqslant 1\) , но тогда \(12d\tilde \geqslant 12 > 0\,.\)
в) Аналогично пункту б) имеем \[3a_2b_2 + a_6b_6 = 3(a_3 - d)(b_3 - \tilde) + (a_3 + 3d)(b_3 + 3\tilde) = 4a_3b_3 + 12d\tilde\,.\]
Таким образом, условие пункта в) равносильно условию \[4a_3b_3 + 12d\tilde\leqslant 108\qquad\Leftrightarrow\qquad a_3b_3 + 3d\tilde\leqslant 27\,.\]
Так как \(d\geqslant 1\) и \(\tilde\geqslant 1\) , то получаем оценку сверху: \[a_3b_3\leqslant 24 = 6\cdot 4\,.\]
Покажем, что эта оценка достигается: рассмотрим прогрессии \(4, 5, 6, 7, 8, 9, . \) и \(2, 3, 4, 5, 6, 7, . \) , тогда \[3a_2b_2 + a_6b_6 = 3\cdot 5\cdot 3 + 9\cdot 7 = 108\,,\] следовательно, условие задачи выполнено и \(24\) действительно является наибольшим возможным значением для \(a_3\cdot b_3\) .
а) \(4, 5, 6, 7, . \) и \(2, 3, 4, 5, . \)
На доске были написаны несколько натуральных чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, разность которых делится на \(5\) .
а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться \(70\) , если изначально на доске по одному разу были написаны все натуральные числа от \(27\) до \(38\) включительно?
б) Могло ли на доске остаться ровно два числа, произведение которых оканчивается на цифру \(6\) , если изначально на доске по одному разу были написаны квадраты целых чисел от \(112\) до \(217\) включительно?
в) Пусть известно, что на доске осталось ровно два числа, а изначально по одному разу были написаны квадраты целых чисел от \(112\) до \(217\) включительно. Какое наибольшее значение может иметь отношение оставшихся на доске чисел?
а) Достаточно стирать числа следующим образом: \[\,\quad \,\quad \,\quad \,\quad \\,,\] тогда на доске останутся \(33\) и \(37\) , сумма которых и есть \(70\) .
б) Рассмотрим отдельно процесс стирания чисел, кратных числу \(5\) .
Так как \(5\) – простое, то квадрат числа делится на \(5\) тогда и только тогда, когда и само это число делится на \(5\) . Итак, пусть \(n\in\mathbb\) , \((5n)^2\) – одно из чисел на доске ( \(112 \leqslant 5n\leqslant 217\) ). Пусть при этом число \((5n)^2\) было стёрто вместе с числом \(a^2\) , тогда существует \(k\in\mathbb\) , такое что \[(5n)^2 - a^2 = 5\cdot k\,,\] откуда следует, что \(a^2\) делится на \(5\) , следовательно, и само \(a\) должно делиться на \(5\) .
Итак, мы доказали, что числа, кратные пяти, могут стираться только в паре друг с другом. Но сколько их на доске? Их количество равно \((215 - 115) : 5 + 1 = 21\) , то есть все такие числа в принципе нельзя стереть, так как одному из них обязательно не найдётся пары, ведь их количество нечётно.
Произведение двух чисел, одно из которых кратно пяти, может оканчиваться на \(0\) или на \(5\) , но не на \(6\) , следовательно, на доске не могло остаться ровно два числа, произведение которых оканчивается на цифру \(6\) .
в) В принципе наибольшее отношение могло бы быть \(\left(\dfrac\right)^2\) , но мы знаем из решения пункта б), что из двух оставшихся чисел ровно одно делится на \(5\) . Тогда наибольшее отношение может быть \(\left(\dfrac\right)^2\) или \(\left(\dfrac\right)^2\) . Какое из этих чисел больше? Нетрудно убедиться, что \[\dfrac > \dfrac\qquad\Rightarrow\qquad \left(\dfrac\right)^2 > \left(\dfrac\right)^2\,.\]
Итак, большего отношения, чем \(\left(\dfrac\right)^2\) , нам не получить. Попробуем получить хотя бы его.
Заметим теперь, что разность квадратов двух целых чисел делится на \(5\) тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из условий: 1) их сумма делится на \(5\) , 2) их разность делится на \(5\) . Таким образом, можно считать, что на доске выписаны сами числа от \(112\) до \(217\) включительно, но стирать можно пару, для которой выполнено хотя бы одно из условий 1), 2), а мы хотим оставить числа \(112\) и \(215\) .
Для этого будем стирать числа следующим образом:
(здесь разность чисел в каждой паре делится на \(5\) ). В первом столбце в итоге стираются все числа от \(113\) до \(122\) включительно. Во втором столбце стираются все числа от \(123\) до \(132\) включительно и т.д.
Теперь на доске остались числа \(112\) , \(213\) , \(214\) , \(215\) , \(216\) и \(217\) . Избавиться от неугодных чисел можно так: \[\,\quad \\] (здесь сумма чисел в каждой паре делится на \(5\) ).
Итак, мы добились того, чего хотели, следовательно, ответ \[\left(\dfrac\right)^2\]
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество \(\\) хорошим?
б) Является ли множество \(\\>\) хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества \(\\) ?
а) Данное множество состоит из 100 подряд идущих натуральных чисел, тогда его можно разбить на 50 пар с одинаковыми суммами: \(\, \, . \\) .
Так как количество таких пар 50 (важно, что оно чётно), то можно составить первое подмножество из всех элементов любых 25 из этих пар, а второе подмножество взять содержащим все остальные числа.
б) Данное множество не является хорошим, так как \(2^\) больше суммы всех остальных его элементов. Это следует из формулы \[1 + 2 + . + 2^ = 2^n - 1.\] Покажем по индукции, что эта формула верна.
1) При \(n = 1\) имеем: \(1 = 2^1 - 1\) – верно.
2) Пусть теперь формула верна для \(n = m\) , покажем, что тогда она верна и для \(n = m + 1\) : \[1 + 2 + . + 2^ <(m + 1) - 1>= 1 + 2 + . + 2^ + 2^m.\] По предположению индукции сумма всех слагаемых без последнего равна \(2^m - 1\) , тогда вся сумма равна \[2^m - 1 + 2^m = 2\cdot 2^m - 1 = 2^ - 1,\] что и требовалось. Ну а сумма \[2 + 4 + 8 + . + 2^ = -1 + 1 + 2 + 4 + 8 + . + 2^ = -1 + 2^ - 1 = 2^ - 2 < 2^.\]
в) Для элементов хорошего четырёхэлементного подмножества должно выполняться либо равенство вида \[a + b + c = d,\] либо равенство вида \[a + b = c + d.\]
Равенство \(a + b + c = d\) может быть выполнено только в случае \(3 + 4 + 5 = 12\) (сумма любых трёх других элементов больше любого элемента данного множества). Рассмотрим теперь случай равенства вида \(a + b = c + d\) .
В данном множестве всего два нечётных элемента. Для хорошего четырёхэлементного подмножества понятно, что они либо оба содержатся в нём, либо оба не содержатся в нём.
Рассмотрим подходящие четырёхэлементные подмножества, содержащие \(3\) и \(5\) . Так как \(3 + 5 = 8\) , что меньше суммы любых двух других элементов исходного множества, то в требуемом равенстве вида \(a + b = c + d\) они должны стоять по разные стороны от знака равенства: \[a + 3 = c + 5\qquad\Rightarrow\qquad a - c = 2,\] то есть на роль пары чисел \((a; c)\) подходят пары \((12; 10), (10; 8), (8; 6), (6; 4)\) – всего 4 пары, следовательно, в случае равенства вида \(a + b = c + d\) есть ровно 4 хороших подмножества из 4 элементов, содержащих \(3\) и \(5\) .
Остаётся рассмотреть подходящие четырёхэлементные подмножества, не содержащие ни \(3\) , ни \(5\) . Они, таким образом, являются подмножествами множества \[\,\] но в нём всего 5 элементов, то есть искомое его подмножество должно содержать все его элементы, кроме одного. Кроме того, ясно, что так как в множестве \(\\) все элементы чётные, то в равенстве вида \(a + b = c + d\) слева и справа должны стоять чётные числа, тогда сумма всех четырёх чисел должна делиться на 4.
Следовательно, нельзя удалять из множества \(\\) 6 или 10. Остаётся убедиться, что при удалении из него 4, 8 или 12 будут получаться хорошие подмножества. Это видно из равенств \[8 + 10 = 6 + 12,\qquad 6 + 10 = 4 + 12,\qquad 4 + 10 = 6 + 8.\] Таким образом, есть ровно 3 хороших подмножества исходного множества, не содержащие \(3\) и \(5\) .
Итого: у исходного множества есть ровно \(1 + 4 + 3 = 8\) хороших четырёхэлементных подмножеств.
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.
а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
а) Нет, не может.
Обозначим 11 различных натуральных чисел как:
По условию среднее арифметическое семи наибольших равно 14.
Наибольшее из чисел а11 = 16, возьмём наибольшие возможные значения для семи наибольших чисел:
Найдём их среднее арифметическое:
Тогда наибольшее возможное среднее арифметическое семи наибольших чисел, при а11 = 16, равно 13, но 13, значит а11 не может быть равно 16.
б) Нет, не может.
Среднее арифметическое 6 наименьших чисел рано 8, найдём их сумму:
Среднее арифметическое 7 наибольших чисел рано 14, найдём их сумму:
Сложив две эти суммы получим:
В каждой сумме повторяется a5 + a6, зная это выразим сумму всех 11 чисел:
С другой стороны по условию, среднее арифметическое всех 11 чисел должно равняется 10, найдём их сумму:
Можем найти чему равна сумма a5 + a6:
Минимально возможное значение a6 будет в следующем случае:
Тогда минимально возможные последние 7 чисел равны:
Найдём их среднее арифметическое:
Но по условию их среднее арифметическое должно быть 14, это меньше, чем наименьшее возможное среднее арифметическое 20,9. Значит, среднее арифметическое всех 11 чисел НЕ может равняется 10.
в) Из пункта б), знаем, что сумма 11 чисел равна:
Тогда среднее арифметическое равно:
Что бы оно было наименьшим, вычитаемая сумма a5 + a6 должна быть наибольшей.
Из пункта а), знаем, что если а11 = 16, то среднее арифметическое 7 наибольших чисел, чуть меньше того, что в условии 13.
Пусть а11 = 17, тогда наибольшие значения а5 и а6 будут в следующем случае:
Проверим равно ли теперь их среднее арифметическое 14:
Зная значения а5 и а6 подберём значения 6 наименьших чисел, так, что бы их среднее арифметическое было равно 8 (по условию), а, следовательно, сумма 48 (пункт б):
Найдём наименьшее значение среднего арифметического всех 11 чисел:
Читайте также: