На доске написано 10 плюсов и 15 минусов

Обновлено: 27.04.2024

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

Свидетельства для портфолио
Вечный доступ за 120 рублей
311 видеолекции для каждого

ЧЁТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ ЧИСЛА

Известно, что целые числа могут быть чётные и нечётные. Чётные числа можно записать в виде 2 k , где k – целые числа, а нечётные – в виде 2 k + 1 .

Легко доказать или показать на примерах следующие свойства чётности для целых чисел:

Сумма чётных чисел чётна.

Сумма двух нечётных чисел чётна.

Сумма чётного и нечётного чисел нечётна.

Произведение любого числа на чётное – чётно.

Если произведение нечётно, то все сомножители нечётны.

Сумма чётного количества нечётных чисел чётна.

Сумма нечётного количества нечётных чисел нечётна.

Разность и сумма двух данных чисел – числа одной чётности.

Если объекты можно разбить на пары, то их количество чётно.

Кузнецу заказали выковать десять мечей. Каждый меч может стоить 3, 5 или 7 златников. Могут ли они стоить вместе 53 златника?

Сумма чётного количества нечётных чисел чётна. У нас есть 10 мечей, цена каждого меча – нечётное число, значит, их сумма должна быть чётна. Но 53 – число нечётное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечётных чисел нельзя.

Ответ : нет.

Можно ли 7 селений соединить между собой попарно так, чтобы каждое было соединено напрямую ровно с тремя другими?

Если мы рассматриваем объекты типа верёвки – провода, дороги, рукопожатия, знакомства и т.д., то при любом количестве объектов число концов должно быть чётным. Предположим, что мы соединили между собой 7 селений попарно так, чтобы каждое было соединено ровно с тремя другими. Подсчитаем количество концов дорог, соединяющих эти селения. Понятно, что их число должно быть чётным. От каждого из 7 селений отходит 3 конца дорог, всего 7 ∙ 3 = 21 конец, число нечётное. Значит, нельзя 7 селений соединить между собой попарно так, чтобы каждое было соединено ровно с тремя другими.

Ответ : нет.

13 команд мечников участвуют в королевском однокруговом турнире. Докажите, что в любой момент есть команда, сыгравшая чётное число встреч. (Однокруговой турнир – когда каждая команда играет с каждой ровно один раз).

Подсчитаем, сколько встреч провела каждая команда, и просуммируем полученные числа. В общей сумме каждая игра учитывается два раза. Если же подсчитать сумму игр 13 команд, сыгравших по нечётному числу встреч, результат будет нечётный. Чтобы общая сумма игр получилась чётной, хотя бы одна команда должна сыграть чётное число встреч.

В секции фехтования мальчиков в 14 раз больше, чем девочек, при этом всего в секции не более 20 человек. Смогут ли они разбиться на пары?

Ответ : нет.

ЧЁТНОСТЬ КАК ИНВАРИАНТ

Инвариант – термин, обозначающий нечто неизменяемое. Разберём несколько задач, где не меняется чётность некоторой величины.

Казначей положил на стол 6 монет, одну из них вверх орлом, другие – решкой. Можно ли все монеты положить вверх орлом, если разрешено одновременно переворачивать две монеты?

При переворачивании двух монет одновременно четность числа монет, лежащих орлом вверх, не меняется. Докажем это.

Если перевернуть две монеты вверх орлом, то они станут вверх решкой (ОО → РР). Орлов стало на два меньше, а решек – на два больше, чётность не изменится.

Если перевернуть две монеты вверх решкой, то они станут вверх орлом (РР → ОО). Орлов стало на два больше, а решек – на два меньше, чётность не изменится.

Если перевернуть одну монету вверх орлом, а другую – вверх решкой (ОР → РО), количество орлов, как и количество решек, останется прежним. Чётность не изменится.

В любом случае чётность числа монет, лежащих вверх орлом, не изменится. Если сначала вверх орлом лежала одна монета (а 1 – число нечётное), значит, при любой манипуляции количество таких монет может быть только нечётным, и соответственно, все 6 монет положить вверх орлом не удастся.

Ответ : нет.

Можно ли в таблице 5 х 5 расставить 25 натуральных чисел так, чтобы во всех строках суммы были чётные, а во всех столбцах – нечётные?

Пусть в каждой строке суммы чисел чётные, а в каждом столбце - нечётные.

Сложим все полученные суммы по строкам: 25 чётных сумм вместе дают чётное число.

Сложим все полученные суммы по столбцам: 25 нечётных сумм вместе дают нечётное число.

Но сумма чисел во всех строках (в нашем примере чётное число) должна быть равна сумме чисел во всех столбцах (в нашем примере нечётное число), что невыполнимо в нашем примере.

Ответ : нет.

В таблице 6 х 6 за один ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли таким образом из таблицы, приведённой:

а) на рисунке 1 ; б) на рисунке 2 , получить таблицу из одних минусов?

а) Рассмотрим. Как меняется количество минусов за один ход. Допустим, мы меняем знаки в строчке. Заметим, что при этом количество минусов в других строчках остается неизменным. Если в изменяемой строчке было чётное количество минусов, то было и чётное количество плюсов, и после смены знаков чётность общего числа минусов в таблице не изменится.

Если там было нечётное количество минусов, то было и нечётное количество плюсов, и после смены знаков чётность общего числа минусов в таблице тоже не изменится.

Аналогично для столбца. Значит, если вначале было 17 минусов (нечётное число), то получить таблицу из 36 минусов (чётное число) нельзя, так как минусов всегда будет нечётное количество.

б) во второй таблице число минусов чётное, но получить нужную таблицу все равно нельзя.

Рассмотрим квадрат 2 х 2 в правом верхнем углу таблицы. Количество минусов в этом отдельно взятом кусочке меняется по тем же правилам, что и во всей таблице, причём чётность количества минусов в этой табличке 2 х 2 тоже не меняется – остаётся нечётной. Значит, даже в этом кусочке нельзя получить все 4 минуса, т.е. будет присутствовать хотя бы один плюс.

Ответ : а) нет; б) нет.

На столе стоят 16 кубков, один из них вверх дном. Можно ли все кубки поставить правильно, если можно одновременно переворачивать по 4 кубка?

Вначале правильно стоят 15 кубков (нечётное число), а вверх дном 1 кубок (нечётное число).

Пусть мы переворачиваем все 4 кубка вверх дном. Тогда «нечёт» – 4 = «нечёт» число кубков будут стоять правильно.

Теперь переворачиваем 3 кубка вверх дном, а 1 кубок – становится правильно. Т.е. 3 кубка, стоящих правильно, будут теперь перевёрнуты, а тот кубок, который был изначально перевёрнут, будет тоже стоять правильно.

Тогда «нечёт» – 3 + 1 = «нечёт» число кубков будут стоять правильно.

Переворачиваем 2 кубка вверх дном и два кубка – станут стоять правильно. Тогда «нечёт» + 2 = «нечёт» число кубков будут стоять правильно.

Если перевернём 1 кубок вверх дном и 3 установим правильно, то получим опять «нечёт» – 1 + 3 = «нечёт» число кубков будут стоять правильно.

Если все 4 кубка установим правильно, то «нечёт» + 4 = «нечёт» число кубков будут стоять правильно.

Итак, чётность правильно стоящих кубков при переворачивании не меняется, то есть остаётся нечётным на любом шаге. Значит, установить все 16 кубков правильно невозможно.

Ответ : нет.

ЧЁТНОСТЬ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧИСЕЛ

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017, 2018. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Вычислим сначала сумму всех чисел, записанных на доске. Она равна:

1 + 2 + 3 + … + 2016 + 2017 + 2018 = (1 + 2018) + (2 + 2017) + … + (1008 + 1009) = [всего 1009 пар] = 2019 ∙ 1009 = нечётное число (так как произведение нечётных чисел равно нечётному числу).

Теперь посмотрим, как меняется эта сумма, если из неё взять два слагаемых и заменить их разностью этих чисел.

Если оба числа чётные, то их сумма была чётной, и их разность тоже будет чётной. Сумма всех данных чисел уменьшится на чётное число, то есть

«нечёт» − «чёт» = «нечёт».

Чётность суммы всех данных чисел не изменится.

Если оба числа нечётные, то их сумма была чётной, и их разность тоже будет чётной. Сумма всех данных чисел уменьшится на чётное число, то есть

«нечёт» − «чёт» = «нечёт».

Чётность суммы всех данных чисел не изменится.

Если одно число чётное, а другое нечётное, то их сумма была нечётной, и их разность тоже будет нечётной. Чётность общей суммы всех данных чисел не изменится.

Значит, у нас могут получаться только нечётные суммы всех записанных чисел на любом шаге, а нуль – число чётное, и оно в конце на доске остаться не может.

Ответ : нет.

На доске написаны числа 1 2 , 2 2 , 3 2 , …, N 2 . Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и « − » и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма быть равной:

а) 12, если N = 12;

Например: 1 2 – 2 2 – 3 2 + 4 2 + 5 2 – 6 2 – 7 2 + 8 2 + 9 2 – 10 2 – 11 2 + 12 2 = 12.

б) Докажем, что это невозможно.

Квадраты чётных чисел – чётные числа, а квадраты нечётных чисел – нечётные числа. Среди 70 последовательных чисел ровно половина – нечётные, то есть в данной алгебраической сумме 35 нечётных чисел и 35 чётных, значит, их сумма всегда нечётна, и, следовательно, не может быть равна 0.

Ответ : а) да; б) нет.

На доске написаны последовательные натуральные числа от 1 до 2015. Разрешается за одну операцию стереть любые два числа и вместо них поставить их произведение. Какое наибольшее число операций можно сделать, прежде чем все числа на доске станут чётными? Какое наименьшее?

Произведение двух нечётных чисел – нечётное, а произведение любого натурального числа на чётное – чётное. Посчитаем, какое наибольшее число операций можно сделать, прежде чем все числа на доске станут чётными.

Оставим на доске одно из нечётных чисел и не будем его трогать, пока есть другие числа. Тогда только после последней операции не останется нечётных чисел. Сколько же таких операций будет проведено?

За каждую операцию количество чисел уменьшается на одно (так как вместо двух чисел записывается одно). Значит, наибольшее возможное число операций 2015 – 1 = 2014.

Посчитаем, какое наименьшее число операций можно сделать, прежде чем все числа на доске станут чётными.

Каждой операцией мы можем убрать не более чем одно число, в том числе и нечётное.

Всего нечётных чисел на доске + 1 = 1007 + 1 = 1008. Значит, нужно хотя бы 1008 операций.

Как можно действовать, чтобы за 1008 операций все числа на доске стали чётными: каждым ходом умножать одно из оставшихся нечётных чисел на чётное, тогда вместо них будет появляться их чётное произведение, и ровно за 1008 операций все числа на доске станут чётными.

Название работы	Кол-во страниц	Размер
Итоговая проверка навыка чтения молча	1	14.83kb.
Мы дождались скворцов. Подправили старые скворечники, повесили новые	1	31.84kb.
Сущность, функции и организация финансов предприятия	1	34.25kb.
Жених: – За невестой. 1-я подружка	1	163.61kb.
3-я неделя Великого поста	4	636.93kb.
Сочинение- рассуждение как вид творческого задания.( написано на.	1	134.29kb.
Светлой памяти Петра Дмитриевича Каволина посвящается эта книга.	18	2798.98kb.
Анна Богачева. Анна-ванна	1	120.57kb.
Задача : Написать 2 истории, темы выбрать выше. Просьба ссылаться.	1	31.46kb.
Защитник сталинграда	1	166.49kb.
Экономическая выгода приобретения каркасов ангаров производства	1	11.48kb.
Ещё раз о физическом плюсе и минусе	1	132.72kb.
Направления изучения представлений о справедливости	1	202.17kb.

Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos” (Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002)

(Līgums Nr. 09-02/1/2009-2755 noslēgts 2009. gada 2. novembrī)

Листок 6

Инвариант

Задача 1. На доске написано десять плюсов и пятнадцать минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус в противном случае. Какой знак останется на доске после выполнения двадцати четырех таких операций?

Задача 2. На доске написано несколько плюсов и минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс, если они различны, и минус в противном случае. Докажите, что последний оставшийся на доске знак не зависит от порядка, в котором производились стирания.

Задача 3. В таблице пп в одной клетке стоит минус, в остальных – плюсы. Разрешается изменить знак на противоположный одновременно во всех клетках, расположенных в одной строке или в одном столбце. Можно ли с помощью этих операций получить таблицу, не содержащую ни одного минуса? Разберите случаи: а) ; б) .

Задача 4. Решите ту же задачу для таблицы 44, если исходно минусы стоят в четырёх угловых клетках, а в остальных – плюсы.

Задача 5. В таблице 44 в одной клетке стоит минус, в остальных – плюсы. Разрешается изменить знак на противоположный одновременно во всех клетках любого прямоугольника 13. Докажите, что после 100 таких операций в таблице обязательно будут минусы.

Задача 6*. В каждой клетке таблицы 44 написан плюс или минус. Разрешается одновременно менять знак на противоположный во всех клетках одной строки или одного столбца. Наименьшее число минусов, к которому можно прийти, начав с данной таблицы, называется характеристикой этой таблицы. Какие значения может принимать характеристика?
Цикл III

Задача 7. В таблице 44 знаки «+» и «» расставлены так, как показано на рисунке 1. Разрешается изменить знак на противоположный одновременно во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или вдоль прямой, параллельной какой-нибудь из диагоналей (в частности, в любой угловой клетке). Можно ли с помощью этих операций получить таблицу, не содержащую ни одного минуса?

+	+		+
+	+	+	+
+	+	+	+
+	+	+	+

Рис. 1
Задача 8. Решите ту же задачу для таблиц, изображенных на рисунках 2—4.

Задача 9. В вершине правильного 12-угольника поставлен минус, а в остальных вершинах – плюсы. Разрешается выбрать любые три вершины, образующие непрямоугольный равнобедренный треугольник, и изменить знаки, написанные в этих вершинах, на противоположные. Можно ли с помощью таких операций добиться, чтобы в вершине оказался минус, а в остальных вершинах – плюсы?

Задача 10. Сохранится ли результат предыдущей задачи, если допустить перемену знака в вершинах любого равнобедренного треугольника, в том числе и прямоугольного?

Оскорбивший никогда не простит. Простить может лишь оскорбленный. Генрих Гейне
ещё >>

Инвариант – термин, используемый в математике и физике, а также в программировании, обозначает нечто неизменяемое.

Все задачи, объединённые условным названием «инвариант», имеют следующий вид: даны некоторые объекты, над которыми разрешается выполнять определённые операции.

Как правило, в задаче спрашивается, можно ли при помощи этих операций из одного объекта получить другой?

Если можно, то нужно привести пример, как это сделать.

Если нельзя, то нужно доказать, что это невозможно.

В качестве инварианта могут выступать самые разные величины - чётность-нечётность, сумма, произведение, остаток от деления и т.д.

Если значения инварианта для начального и конечного объекта не равны, то ответ на поставленный вопрос отрицателен.

Наиболее часто встречаются следующие инварианты: раскраска, выделение части объекта, остаток от деления, алгебраическое выражение, полученное из условия задачи.

Иногда применяется понятие "полуинвариант".

ПОЛУИНВАРИАНТ - величина, которая в процессе изменения может только увеличиваться (уменьшаться).

ЗАДАЧА 1.

На доске написано 12 плюсов и 13 минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них минус, если они разные, и плюс, если они одинаковы. Какой знак останется на доске после выполнения 24 таких операций?

РЕШЕНИЕ.

Заметим, что после каждой такой операции общее количество знаков минус и плюс будет уменьшаться на один. После 24 операций останется только один знак.

Если стереть два минуса и вместо них написать один плюс, то количество минусов уменьшится на 2.
Если стереть один минус и один плюс и вместо них написать минус, то количество минусов не изменится.

Значит, в результате таких операций чётность количества минусов остаётся неизменной. Т.е. если минусов было нечётное количество, то после любого количества таких операций число минусов так и останется нечётным.

Вначале было 13 минусов – нечетное количество.

Тогда после 24 таких операций останется один знак – минус.

ОТВЕТ: минус.

ЗАДАЧА 2.

В одной вершине куба написано число 1, в остальных – нули. Можно прибавлять по единице к числам в концах любого ребра. Можно ли добиться того, чтобы все числа делились на некоторое число N > 1?

РЕШЕНИЕ.

Раскрасим вершины куба в два цвета в шахматном порядке, чтобы на концах каждого ребра были вершины разного цвета.

После этого сумма чисел в четырёх жёлтых вершинах всегда будет отличаться на 1 от суммы чисел в четырёх синих вершинах, так как и к тем, и к другим прибавляется по 1.

Если бы все числа делились на N, то и суммы четырёх таких чисел делились бы на N, и поэтому они не могли бы отличаться на 1.

ОТВЕТ: нет.

ЗАДАЧА 3.

Разменный автомат меняет одну монету на 5 других. Можно ли с его помощью разменять одну монету на 27 монет?

РЕШЕНИЕ.

После каждого такого размена количество монет увеличивается на 4.

При этом остаток при делении на 4 у числа монет всегда остаётся неизменным. Сначала у нас была 1 монета, значит, остаток всегда будет равен 1.

У числа 27 остаток при делении на 4 равен 3, а не 1.

Значит, разменять одну монету на 27 нельзя.

ОТВЕТ: нет.

ЗАДАЧА 4.

Хулиган Вася порвал стенгазету, причём каждый попадающийся ему кусок он рвал на 4 части. Могло ли получиться 2021 кусков? А 2020 кусков?

РЕШЕНИЕ.

Количество кусков каждый раз увеличивается на 3. И это количество можно задать формулой 3n + 1, где n – число, показывающее, сколько раз Вася рвал очередной попадающийся ему кусок. Значит, остаток при делении на 3 является инвариантом и должен равняться 1.

2021 = 673 ∙ 3 + 2 – остаток равен 2; не могло.

2020 = 673 ∙ 3 + 1 – остаток равен 1; могло.

ОТВЕТ: могло получиться 2020 кусков, а 2021 – нет.

ЗАДАЧА 5.

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, 4, …, 99, 100. Можно менять местами два любых числа, между которыми стоит ровно одно. Можно ли получить ряд чисел 100, 99, 98, 97, …, …, 2, 1?

РЕШЕНИЕ.

Заметим, что при разрешённых операциях меняются местами либо только чётные числа, либо нечётные. При этом чётные числа всегда будут находиться на чётных местах.

А в ряду 100, 99, 98, …, 2, 1 чётные числа находятся на нечётных местах.

Значит, указанный ряд получить невозможно.

ОТВЕТ: нет.

ЗАДАЧА 6.

На бесконечной шашечной доске на соседних по диагонали клетках стоят две шашки белого цвета. Можно ли поставить на доску чёрную шашку и произвольное количество белых шашек так, чтобы чёрная шашка «съела» все стоящие на доске белые шашки одним ходом?

РЕШЕНИЕ.

Пронумеруем горизонтальные ряды шашечной доски так, чтобы одна из данных белых шашек стояла на линии с номером 2, а другая – на линии с номером 3 (горизонтали нумеруются по прядку, в том числе и отрицательными числами).

При съедании любой белой шашки чёрная шашка, перепрыгивая через неё по диагонали, перемещается на две горизонтали вверх или на две горизонтали вниз. При этом чётность номера линии, на которой она находилась, не изменяется.

Поскольку две данные белые шашки находятся на горизонталях разной чётности, то одним ходом их «съесть» не удастся.

ОТВЕТ: нет.

ЗАДАЧА 7.

К числу можно прибавить сумму его цифр. Можно ли за несколько шагов из числа 3 получить число 20 092 009?

РЕШЕНИЕ.

При каждом шаге число увеличивается на сумму своих цифр. Сначала у нас имеется число 3, оно делится на 3. Кроме того, если число делится на 3, то и сумма его цифр также делится на 3.

Это значит, что, прибавляя к числу, делящемуся на 3, сумму его цифр (которая тоже делится на 3), мы на каждом шаге будем получать число, которое делится на 3.

Число 20 092 009 не делится на 3, так как сумма его цифр равна

2 + 0 + 0 + 9 + 2 + 0 + 0 + 9 = 22,

а 22 на 3 не делится.

Значит, такое число мы не можем получить ни на каком шаге.

ОТВЕТ: нет.

ЗАДАЧА 8.

Из Астрахани в Москву везли 80 т персиков, которые содержали 99% воды. По дороге они усохли и стали содержать 98% воды. Сколько тонн персиков привезли в Москву?

РЕШЕНИЕ.

В этой задаче инвариантом является вес «сухого остатка» (мякоти персика), т.е. разница между весом персиков и весом содержащейся в них воды.

В Астрахани в персиках содержался 1% мякоти, то есть 0,8 т «сухого остатка». А в Москве эти 0,8 тонн составляли уже 2% привезённых персиков. Тогда вес персиков в Москве составил 0,8 : 2 ∙ 100 = 40 (тонн).

ОТВЕТ: 40 тонн.

ЗАДАЧА 9.

На доске выписаны числа 1, 2, 3, …, 100. Разрешается стереть два числа k, m и вместо них записать число k ∙ m + k + m. Эта операция выполняется до тех пор, пока на доске не останется одно число. Какое число останется на доске?

РЕШЕНИЕ.

Преобразуем запись числа k ∙ m + k + m.

k ∙ m + k + m = (k + 1) ∙ (m + 1) – 1.

Тогда (k ∙ m + k + m) + 1 = (k + 1) ∙ (m + 1) – 1 + 1 = (k + 1) ∙ (m + 1) = М.

Обозначим через М произведение всех выписанных на доске чисел, увеличенных на 1. Эта величина остаётся постоянной, и последнее выписанное число будет равно М – 1.

Тогда искомое число равно:

М – 1 = 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ 101 – 1 = 101! – 1

ОТВЕТ: 101! – 1

ЗАДАЧА 10.

Дана таблица 8 х 8, в которой записаны числа от 1 до 64 (см. рисунок). Закрашиваются 8 клеток таблицы так, что в каждой горизонтали и в каждой вертикали есть ровно одна закрашенная клетка. Найдите сумму чисел, записанных в этих 8 клетках.

РЕШЕНИЕ.

Пронумеруем столбцы в таблице слева направо числами 1 до 8. Тогда любое число в каждой строке можно записать в виде суммы:

в 1 строке: 0 + № столбца,

во 2 строке: 8 + № столбца,

в 3 строке: 16 + № столбца,

в 4 строке: 24 + № столбца,

в 5 строке: 32 + № столбца,

в 6 строке: 40 + № столбца,

в 7 строке: 48 + № столбца,

в 8 строке: 56 + № столбца.

Поскольку в каждой строке и в каждом столбце закрашено ровно по 1 клетке, то независимо от выбора, сумма восьми чисел в этих клетках равна:

(0 + 8 + 16 + 24 + 32 + 40 + 48 + 56) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 260.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов

Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!

В некоторых задачах по математике дается набор преобразований исходного объекта и спрашивается: можно ли, используя эти преобразования, получить из одного состояния объекта другое? Перебором вариантов часто легко убедиться в правильности ответа “нельзя”, однако обосновать этот ответ бывает трудно. Методом, позволяющим во многих случаях решать доказательную часть таких задач, является метод инвариант.

Инвариантом называется нечто, не меняющееся в преобразованиях, например, число, набор чисел, четность какого – либо числа и другое. Если значение инварианта в двух состояниях объекта различно, то одно из них нельзя получить из другого. Придумать инвариант должен ученик, самостоятельно решающий задачу; обычно это вызывает у него затруднения. В качестве инварианта чаще всего рассматриваются четность (нечетность) чисел и остаток от деления. Причем применение четности – одна из наиболее встречающихся идей при решении олимпиадных задач.

Вспомним определения четного и нечетного числа. Особое внимание надо уделить абстрактному понятию четности, объяснить, что такое “разная четность”. Например, число х + 2 имеет ту же четность, что и число х (или оба четные, или оба нечетные), а при прибавлении единицы четность меняется. Применение идеи четности и нечетности основано на двух важных утверждениях (леммах):

Лемма 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.

Пример1. Число 1 +2 + 3 + … + 10 – нечетное, так как в сумме 5 нечетных слагаемых.

Пример 2. Число 5 + 7 + 9 + 11 +13 + 15 – четное, так как в сумме 6 нечетных слагаемых.

Лемма 2. Знак произведения нескольких (отличных от 0) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Пример 3 . Число (-1) *(-2) *(-3) *(-4) положительно, так как в произведении четное число отрицательных сомножителей.
Пример 4. Число (-1) *2 * (-3) * (-4) отрицательно, так как в произведении нечетное число отрицательных сомножителей.

Задача 1 . На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

Нужно предложить выполнить эту операцию учащимся (результат каждого хода записывается на доске), заметить закономерность: после каждого хода характер четности меняется: после первого ученика число становится четным, после второго нечетным; после третьего - четным; после четвертого – нечетным. Тогда после шестнадцатого число будет нечетным. Поэтому нуль в конце получиться не может.

Задача 2. На доске написано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркиваем любые два числа, и если они одинаковые, то дописываем к оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске?

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

1)Если вычеркиваем два нуля, то дописываем нуль, тогда «0»-7,

«1»-7.Осталось 14 чисел. Сумма -нечетное.

2)Если вычеркиваем две единицы, то дописываем нуль, тогда «0»-9, «1»-5. Сумма -нечетное.

3)Если нуль и единицу, то дописываем единицу, тогда «0»-7,

После выполнения данной операции на доске получается на одно число меньше.

---сумма оставшихся чисел все время число нечетное.

Значит, после 14 раз указанной операции на доске останется одно и нечетное число, а это-1!

Задача 3. В таблице, где имеются 15 чисел (-1), можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из (+ 1)?

Решение. Ответ: нельзя. Так как число чисел в таблице нечетно, а после каждой операции число чисел (+ 1) в таблице четно. На языке инвариантов это означает: инвариантом таблицы относительно введенной операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это произведение равно ( - 1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен ( + 1).

Задача 4. Квадрат 5х5 заполнен числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Доказать, что найдется

столбец, в котором произведение чисел также отрицательно.

Найдем произведение всех чисел. Оно отрицательно.

Произведение всех чисел равно произведению чисел в столбцах.

А так как произведение всех чисел отрицательно, то оно должно быть отрицательно в пяти, трех или хотя бы в одном столбце.

Что и требовалось доказать!

Задача 5. 16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?

Т.к количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличается на 1, то рассмотрим сумму: ч + н + ч +…+ н =55

Или н + ч + н +…+ ч = 55.

Значит, разложить 55 арбузов нельзя!

Задачи для самостоятельного решения(6-7 классы):

На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке, и каждая либо снимает, либо вешает ровно один платок. Может ли после ухода девочек на вешалке остаться 10 платков?

Решение: После подхода первой девочки количество оставшихся платков либо 19, либо 21 (нечетное количество); после подхода второй девочки – либо 18, либо 20, либо 22 (четное количество); после подхода третьей девочки – либо 17, либо 21, либо 23, либо 19 (нечетное количество). После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.

Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?

Решение: Нельзя. Проследите за остатками по модулю 4.

На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?

Решение. Нет, так как в любом случае перевернутых вверх дном стаканов будет числом нечетным.

В марсианском алфавите есть две буквы - У и Ы, причем если из любого слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ, то смысл слова не изменится. Точно также смысл не изменится при добавлении в любое место слова буквосочетания ЫУ или УУЫЫ. Верно ли, что слова ЫУЫУЫ и УЫУЫУ имеют одинаковый смысл?

Решение: Обратите внимание, что при любой разрешенной нам операции добавления или выкидывания куска слова количества букв У и Ы в этом куске равны. Это означает, что разность между числом букв У и букв Ы в слове не изменяется. Проследите это на примере

Ы -> ЫЫУ -> ЫУУЫЫЫУ -> ЫУЫЫУ

Во всех этих словах букв Ы на одну больше, чем букв У. Вернемся к решению. В слове ЫУЫУЫ разность равна (-1), а в слове УЫУЫУ равна 1. Значит, из слова ЫУЫУЫ нельзя разрешенными операциями получить слово УЫУЫУ, и следовательно, нельзя утверждать, что эти слова обязательно имеют одинаковый смысл.

100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке?

Решение: нельзя.

Решение. Пронумеруем места, на которых стоят фишки.

В итоге же картинка должна стать такой:

Итак, если изначально фишка стояла на четном месте, то должна оказаться на нечетном месте, но это невозможно, так как разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку (если фишка лежала на четном месте, то ее можно переложить только на четное место). То есть четность места фишки является инвариантом.

Круг разделен на 6 секторов, в каждом из которых стоит фишка-рыбка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора. Можно ли с помощью 20 таких операций собрать все фишки в одном секторе?

Решение. Занумеруем сектора по часовой стрелке числами от 1 до 6. Для любого расположения фишек рассмотрим величину S – сумму номеров секторов, в которых лежат данные нам 6 фишек (при этом если в каком-то секторе лежит две фишки, то его номер учитывается дважды, если три фишки – трижды и т.д. Например, для ситуации, приведенной на рис. эта величина равна 1+2+3+3+5+6=20). Тогда, если мы перекладываем фишку на соседний сектор, S меняется или на 1 или на 5 (если мы перекладываем с 1 на 6 или наоборот). В любом случае четность S меняется. Следовательно, после 20 ходов четность S будет такая же, как в начале. В начале S =1+2+3+4+5+6=21. А если бы все фишки лежали в одном секторе с номером n , то S равнялось бы 6n – четное число. Значит, собрать все фишки в одном секторе за 20 ходов не получится.

На доске написаны десять чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?

Решение: нельзя.

Проследим за суммой всех чисел. При операции из условия эта сумма увеличивается на 2. Значит, четность суммы всех чисел не меняется, она инвариант. В начале сумма всех чисел равна 1+2+…+9+10=45. То есть сумма была нечетной. А если все числа сделать равными какому-то числу n , то их сумма станет равно 10n – четное число. Следовательно, сделать все числа равными невозможно.

Замечание. Сумму чисел от 1 до 10 можно подсчитать аналогично Замечанию 1. А можно не считать, а заметить что она нечетная так как в ней участвует 5 нечетных слагаемых – 1,3,5,7,9.

На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными? (задача, аналогичная предыдущей).

На квадратном поле 10*10 девять клеток 1*1 поросли бурьяном. После этого бурьян может распространиться на клетку, у которой не менее двух соседних клеток уже поросли бурьяном. Докажите, что тем не менее бурьян не сможет распространиться на все клетки.

Как изменяется периметр области, поросшей бурьяном?

Рассмотрим границу области, поросшей бурьяном (т.е. все отрезки длиной 1 между узлами, по одну сторону от которых бурьян, а по другую - нет). Вначале длина границы была не более 9*4=36, поскольку бурьян рос только в девяти клетках. Нетрудно заметить, что в процессе распространения бурьяна длина границы не может увеличиваться. Но если бы все поле 10*10 в некоторый момент оказалось поросшим бурьяном, то длина границы стала бы равной 10*4=40, что противоречит соображениям, приведенным выше .

Для построения инвариантов иногда бывают полезны вспомогательные раскраски, т.е. разбиения рассматриваемых объектов на несколько групп (каждая группа состоит из объектов одного цвета).

Задача 1. С таблицей, где имеется 15 чисел (  1), а остальные равны 1, можно производить следующую операцию  изменить знак двух (не больше, не меньше) чисел в таблице. Можно ли применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из чисел (+1)?

Решение . Ответ очевиден: нельзя. Инвариантом таблицы относительно рассматриваемой операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это произведение равно (  1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен (+1).

Задача 2. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?

Решение . При перекрашивании горизонтали или вертикали, содержащей k черных и 8  k белых клеток, получится 8  k черных клеток, и k белых клеток. Поэтому число черных клеток изменится на (8  k)  k= 8  2 k, т.е. на четное число. Т.к. четность числа черных клеток сохраняется, из исходных 32 черных клеток мы не можем получить одну черную клетку.

Задача 3. В каждой клетке доски 5х5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние по горизонтали или по вертикали клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?(есть в презентации)

Решение. Т.к. общее число клеток нечетно, то черных и белых клеток не может быть поровну. Пусть для определенности черных клеток больше, тогда жуков, сидящих на белых клетках, меньше, чем на черных клетках. Поэтому, хотя бы одна из черных клеток останется пустой, т.к. на черные клетки переползают жуки, сидящие на белых клетках.

Задача 4. На шести елках сидят шесть чижей, на каждой елке  по чижу. Елки растут в ряд с интервалами 10м. Если какой-то чиж перелетает с одной елки на другую, то какой-то другой чиж обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все чижи собраться на одной елке? А если чижей и ёлок  семь?

а) Пронумеруем деревья с 1 по 6 и пусть первоначально на каждой елке сидит по чижу и каждый чиж имеет тот же номер, что и ель. Т. к. чижи перелетают на елки в разных направлениях, то сумма номеров чижей не меняется – инвариант.

Первоначально сумма была (1+6):2*6 = 21. Если предположить, что все чижи собрались на одной елке, то сумма номеров будет 6* n (т. к. все чижи получили номер елки, на которую прилетели), зн 6* n =21, n =3,5 – не натуральное. Значит предположение неверно и такого не может быть.

Задача 5 Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1х4 и 2х2. Плитки высыпали из коробки, и одна плитка 2х2 потерялась. Её заменили на плитку 1х4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.

Документ содержит задания с использованием интересного математического понятия, как инвариант. Оно редко встречается при решении школьных задач, но для ребят, которые увлекаются олимпиадными задачками, должно быть знакомым.

Описание разработки

Хочу познакомить вас с таким интересным математическим понятием, как инвариант. Оно редко встречается при решении школьных задач, но для ребят, которые увлекаются олимпиадными задачками, должно быть знакомым.

Итак, для начала определим, что же такое инвариант. Это математическая величина или математическое свойство, которое остается постоянным, то есть не изменяется при некотором преобразовании. Например, инвариантом могут быть четность или нечетность какой-то величины, остаток при делении на число, алгебраическое выражение (сумма чисел, произведение чисел, сумма обратных величин). Попробуем решить несколько задачек, используя понятие инварианта.

Задача 1.

Леша получил двойку за контрольную работу по математике и в порыве отчаяния разорвал листок со своей работой на десять кусков. Затем один из получившихся кусков он разорвал еще на 10 кусков. Может ли по завершении релаксации оказаться 1) 2 012 кусков бумаги; 2) 2 017 кусков бумаги?

Решение.

Для начала важно определить, что в данной задаче является инвариантом. Попробуем проанализировать. Сначала у Леши был 1 листок – это один кусок. На втором шаге листков стало 10, то есть их количество увеличилось на 10 – 1 = 9 листков. На третьем шаге листков будет уже 19, и их количество, очевидно, опять увеличится на 19 – 10 = 9 листков, и так далее. Таким образом, нетрудно видеть, что инвариантом, то есть неизменной величиной на каждом шаге, в данной задаче является количество листков, на которое увеличивается общее число листков. Теперь разберемся, как нам поможет знание инварианта при решении данной задачи. Построим следующую схему.

1 шаг – 1 листок;

2 шаг – 1 + 9 листков;

3 шаг – 1 + 9 + 9 листков;

Из нее видно, что, если предположить, что в конечном счете может оказаться 2 012 листков, то число 2 012 – 1 = 2011 должно делиться нацело на 9. Но это неверно. Значит, 2 012 кусков в конечном итоге получиться не может.

Теперь рассмотрим случай 2. Число 2 017 – 1 = 2 016 делится на 9, так как сумма его цифр делится на 9. А, значит, второй вариант возможен.

Задача 2.

На доске записано 10 знаков «+» и 15 знаков «–». За один ход можно стереть 2 знака и написать вместо них «+», если знаки одинаковые и «–», если знаки различные. Каким будет знак на доске после 24 ходов?

Решение.

Рассмотрим произвольный ход. Он может быть трех типов:

1) + + = + (количество плюсов уменьшилось на 1, количество минусов осталось прежним);

2) – – = + (количество плюсов увеличилось на 1, количество минусов уменьшилось на 2);

3) + – = – (количество плюсов уменьшилось на 1, количество минусов осталось прежним).

Заметим, что количество минусов за один ход или не меняется, или уменьшается на 2. То есть, мы можем утверждать, что в данной задаче инвариантом является четность количества минусов, на которое изменяется общее количество минусов при каждом последующем ходе. В начале количество минусов было 15, то есть нечетным. Значит, после 24 ходов оно также будет нечетным, так как если от нечетного числа отнимать четное, то получим опять нечетное. Значит, число минусов на доске не может стать равным, например, двум или нулю. А так как после 24 ходов на доске должен остаться ровно один знак, то это и будет «–».

В этой задаче можно было выбрать и другой инвариант. Заметим, что число плюсов на доске на каждом ходе или увеличивается на 1, или уменьшается на 1, то есть на каждом шаге меняется четность числа плюсов. Это закономерное изменение на каждом шаге и примем за инвариант. А тогда, четность числа плюсов на 24 ходе будет такая же, как и в начале (10 – четное число). Значит, число плюсов на доске не может быть 1, следовательно последний знак – «–».

Читайте также: