На доске было написано несколько различных натуральных чисел эти числа разбили на три группы
Обновлено: 09.05.2024
На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.
а) Может ли сумма составлять 282?
б) Может ли их сумма составлять 390?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?
а) Да, может. Например,
Как мы получили пример?
Числа A, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4 можно представить как или где k и n – целые. Очевидно,
9n+3 делится на 3, значит n+1 делится на 3.
Выпишем несколько чисел n, таких, что и найдём, чему будут в этих случаях равны k и A.
| n | k | a |
| 2 | 8 | 24 |
| 5 | 18 | 54 |
| 8 | 28 | 84 |
| 11 | 38 | 114 |
| 14 | 48 | 144 |
| 17 | 58 | 174 |
Заметим, что и что
Подходят числа 54; 84; 144, их сумма 282.
б) Предположим, что сумма нескольких таких чисел равна 390.
Заметим, что наши числа А образуют арифметическую прогрессию, где
При этом значения k также образуют арифметическую прогрессию, где
и это значит, что нужно взять не менее 5 чисел вида Здесь
Однако сумма этих чисел будет не меньше, чем
Значит, предположение было неверно, сумма не может быть равна 390.
в) Найдём, сколько чисел на доске, если их сумма равна 2226
Если взять m чисел вида где то их сумма не меньше, чем сумма m членов арифметической прогрессии, в которой
с другой стороны, Получим:
Мы можем решить это квадратичное неравенство (у соответствующего квадратичного уравнения ужасный дискриминант!) А можем подобрать наибольшее натуральное m, для которого неравенство выполняется.
Если неравенство не выполняется. Если выполняется. Значит, Это оценка.
Однако, если взять 11 чисел каждое из которых оканчивается на 8, их сумма оканчивается на 8 и не может быть равна 742.
Для 10 чисел, каждое из которых оканчивается на 8, сумма оканчивается на ноль и не равна 742.
Для 9 чисел противоречия нет, так как
Приведём пример для 9 чисел, оканчивающихся на 8, сумма которых равна 742.
Возьмём числа 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 398, их сумма 742. Тогда на доске числа:
Задание 19. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
а) Предположим для простоты, что в каждой группе по одному натуральному числу и эти числа различны:
По условию задания к первому числу приписывается 3, ко второму – 7, а третье остается без изменений. Математически это можно записать так:
Нужно найти такие A, B, C, чтобы сумма увеличилась в 8 раз, то есть, чтобы соблюдалось условие:
Сделаем это методом подбора. Положим первое число A=1, тогда:
Далее, выберем натуральное C такое, чтобы получалось натуральное B. Например, при C=4, B = 8 и имеет три натуральных числа:
Для них выполняется равенство:
б) Предположим, что в 1-й группе оказалось m чисел с их суммой равной A, во второй – n чисел с суммой, равной B, а в третьей числа с суммой C. Тогда условие задания можно записать так:
И, например, сумму A можно определить так:
При условии, что значение A будет меньше m. Следовательно, условие б выполняться не может.
в) Найдем наибольшее k, для которого выполняется равенство:
Выразим это значение, получим:
Отсюда видно, что для максимального k величина C должна быть минимальной (C = 1). Далее, величина 3m растет медленнее, чем 7n, значит, числа из 1-й группы лучше перебросить во вторую. В результате, для максимизации k размер 1-й и 3-й группы следует взять равной 1 – по одному числу. Получаем новое выражение для k:
Отсюда видно, что для максимизации k числитель должен быть максимальным, а знаменатель – минимальным. Следовательно, натуральные числа в группах должны быть:
то есть, начинаться с 1 и увеличиваться на 1 (т.к. должны быть разными). Значит, сумма A+B+C – это арифметическая прогрессия из n+2 слагаемых:
Найдем значение n, при котором k максимально. Так как n меняется дискретно с шагом 1, то производную можно заменить конечной разностью:
Отсюда видно, что знак разности меняется при переходе от n=3 к n=4, следовательно, это и есть точка максимума, при которой:
Задание 19. На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Да, может, например, если взять 19 чисел, равных 10, а 20-е равное 1, то после уменьшения 20-го числа на 1, оно становится равным 0 и получается среднее значение уже не 20 чисел, а 19-ти, то есть имеем:
- первоначальное среднее значение: ;
- среднее значение после изменения: .
Как видим, второе среднее значение стало больше исходного.
б) Предположим, что для выполнения этого условия нужно взять единиц, затем взять чисел и одно число , всего 20 чисел. Их среднее арифметическое будет равно
а после стирания единиц должны получить
то есть имеем систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
Таким образом, для выполнения условия данного пункта нужно взять дробное количество чисел, что невозможно в рамках данной задачи.
в) Чтобы получить максимальное среднее оставшихся на доске чисел, изначально нужно записать набор чисел, состоящих из наибольшего числа единиц (которые, затем, будут стерты с доски), а остальные числа должны быть максимальными. Запишем это условие в виде
где - число единиц; - 20-е число (оно выбирается так, чтобы обеспечить среднее равным 27). Отсюда имеем:
Из полученного выражения видно, что минимальное значение , при котором получим максимальное значение . Таким образом, имеем последовательность чисел, сумма которых равна
Задание 18 № 548575
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
а) Пусть на доске были написаны числа 1, 8 и 4, из которых получили числа 13, 87 и 4. При этом Значит, сумма увеличилась в 8 раз.
б) Пусть в первой группе было m чисел, а их сумма равнялась А, во второй группе было n чисел, а их сумма равнялась B, а сумма чисел в третьей группе равнялась C. Тогда сумма чисел была равна а стала
Предположим, что сумма увеличилась в 17 раз. Тогда получаем:
Это невозможно, поскольку
в) Рассмотрим отношение Q получившейся суммы чисел и изначальной:
Если перенести одно число из первой или третьей группы во вторую, то не изменится, а увеличится. Значит, отношение Q будет наибольшим, если в первой и третьей группах находится по одному числу. Поэтому будем считать, что m = 1, а общее количество чисел равно n + 2. Поскольку числа различные, получаем Кроме того, Значит,
Найдём, при каком значении n выражение принимает наибольшее значение. Рассмотрим разность
Значит, при и при Таким образом, f(n) принимает наибольшее значение при n = 4. Следовательно,
Покажем, что отношение Q могло равняться Пусть было написано шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, из которых получили числа 1, 23, 37, 47, 57, 67. Тогда сумма чисел была равна 21, а стала 232. Таким образом,
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы - цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
а) Пусть в первой группе $$x$$ чисел суммой $$A$$, во второй: $$y$$ суммой $$B$$ и в третьей $$Z$$ суммой $$C$$. Тогда: $$A\to 10a+x\cdot 1;B\to 10B+8y;C\to C.\ 10A+x+10B+8y+C=4(A+B+C)$$ $$\to x+8y=3C-6A-6B$$. $$\frac=C-2A-2B$$. Пусть $$x=1;y=4$$. (1 и 2;3;4;5) тогда: $$\frac=C-2-2\cdot 14\leftrightarrow 11=C-30\to C=41$$, т.е. в третьей одно число 41 $$\to $$ может.
б) Аналогично, $$10A+x+10B+8y+C=18A+18B+18C\to x+8y=8A+8B+17C$$. Но $$x\le A$$ и $$y\le B\to x+8y\le A+8B\to $$ т.к. $$A,B,C\in N$$, то не может.
в) Аналогично, $$10A+x+10B+8y+C=11A+11B+11C\to x+8y=A+B+10C\to $$ Необходимо, чтобы $$x+y+z\to max$$. Сумма справа больше при $$y\to max$$. Тогда $$x=z=1$$.
И: 1) $$x=z=1;A=1;C=2$$. Тогда: $$1+8y\le 1+B+20\to 8y\le B+20$$. При этом минимальная сумма справа при $$B\to min$$, то есть сумма $$y$$ - последовательных натуральных чисел с 3. $$8y\le \frac\cdot y+20\leftrightarrow y^2-11y+40\le 0\to D
2) $$x=z=1:A=2;C=1$$. Тогда: $$1+8y\le 2+B+10\to 8y\le B+11\leftrightarrow 8y\le \frac\cdot y+11\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow y^2-11y+22\le 0:D=33\to \left[ \begin y_1=\frac>\in (8;9) \\ y_2=\frac> \end \right.$$.
Тогда $$y\le 8\to y=8$$. Тогда всего чисел 10. Приведем пример: Пусть 1-ая группа: 2, третья: 1; вторая: 3,4,5,6,7,8,9,m. Получим: $$1+8\cdot 8=2+42+m+10\leftrightarrow m=65-54=11$$.
Читайте также: