Можно ли разрезать доску 9 5 на трехклеточные уголки

Обновлено: 27.04.2024

Из доски 8х8 вырезали одну угловую клетку. Остаток доски разрезали на N уголков из трех клеток и K полосок 1х4 (N и K >=0). Сколько различных N может быть?

задан 11 Ноя '17 13:51

1 ответ

Общее число полей делится на 3, поэтому K тоже делится на 3, и в принципе может принять значения 0, 3, . , 15. Значения N, которые этому соответствуют, равны 1, 5, 9, 13, 17, 21 (в обратном порядке). Приведём примеры для всех этих значений кроме первого, и покажем, что ровно один уголок быть не может.

Легко покрыть 5 уголками квадрат 4x4 без одной угловой клетки. Оставшуюся часть доски покроем 8 вертикальными плитками 1x4, лежащими параллельно, и 4 горизонтальными. Из двух уголков можно сложить прямоугольник 2x3, из четырёх -- 3x4. Это значит, что вместо трёх рядом лежащих плиток 1x4 можно использовать 4 уголка. У нас в покрытии можно выделить три независимых прямоугольника 3x4. Заменяя в их покрытии плитки на уголки, получаем последовательно значения 9, 13, 17 для числа уголков.

Случай, когда уголков 21, а плиток 1x4 нет, строится отдельно. Пусть удалена клетка a1 в шахматных обозначениях. Положим один уголок в центре, покрывая поля d5, e4, e5. При этом в каждом из четырёх квадратов 4x4, получающихся при разрезании доски посередине, отсутствует одна клетка. Остальные покрываем уголками.

К слову заметим, что есть старая олимпиадная задача: дана клетчатая доска со стороной 2^m, и в ней удалена одна из клеток (не обязательно в углу). Требуется доказать, что остальную часть можно покрыть уголками. Это делается по индукции.

Теперь последняя часть: надо доказать, что ровно один уголок быть не может. Для этого воспользуемся раскраской. Пронумеруем клетки нижней строки 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4. Следующую строку можно раскрасим со сдвигом, то есть как 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1. Строку над ней -- ещё со сдвигом, то есть как 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, и так далее. Помимо этого, рассмотрим второй вид раскраски, где цвета 2 и 4 поменяем ролями. Ясно, что любая плитка 1x4, горизонтальная или вертикальная, покроет по одному полю каждого цвета как при одном, так и при другом способе раскраски.

У нас удалена клетка цвета 1, и тогда единственный уголок должен покрывать поля цветов 2, 3, 4 -- чтобы оставшуюся часть можно было замостить плитками. Сравнивая раскраски, видим, что уголок, покрывающий цвета 2, 3, 4 в одной раскраске, будет в другой покрывать поля цветов 2, 1, 4, что нам не подходит.

Здравствуйте, kfmn, Вы писали:

K>Задача с математического кружка для 5 класса:

K>Можно ли разрезать прямоугольник 5x9 на уголки из 3 клеток?

Детская задача — детский ответ:
— Можно ли разрезать прямоугольник 5x9 на уголки из 3 клеток?
— (подумав) Нет, нельзя.
— Почему?
— Потому что иначе б спрашивалось не "можно ли", а "как"

Реально слышал в школе.

Здравствуйте, uuu84, Вы писали:

K>>Уголок это квадрат 2x2 без одной клетки.

U>Тогда можно:

U>

Браво! А я несколько недель пытался доказать, что нельзя и все удивлялся, почему же не выходит!

K>Уголок это квадрат 2x2 без одной клетки.

Здравствуйте, kfmn, Вы писали:

K>Ну, считай, что это этюд: для заданного прямоугольника MxN определить число способов разрезать его на уголки (с точностью до вращений и отражений)

Вариантов всего 384. Если отбросить повороты и отражения, то остается 96.

Много из этих вариантов похожи друг на друга за счет наличия прямоугольников 3х2, каждый из которых дает два варианта расположения уголков. Если учесть что у нас имеется 5 прямоугольников (Re[4]: Детская задача

), то они дают 32 варианта расположения уголков в них. Значит имеется три (96/32) "базовых" варианта расстановки (отброшены все повороты и отражения, разбиение на уголки и прямоугольники 2х3). Один из таких вариантов уже предложен. Интересно увидеть остальные два.

Задача с математического кружка для 5 класса:

Можно ли разрезать прямоугольник 5x9 на уголки из 3 клеток?

K>Можно ли разрезать прямоугольник 5x9 на уголки из 3 клеток?

Что такое "уголки из 3 клеток"? Прямоугольные треугольники? Равнобедренные или нет? Площадью 3 квадратных клетки или катеты длиной 3 клетки?

Здравствуйте, uuu84, Вы писали:

K>>Можно ли разрезать прямоугольник 5x9 на уголки из 3 клеток?

U>Что такое "уголки из 3 клеток"? Прямоугольные треугольники? Равнобедренные или нет? Площадью 3 квадратных клетки или катеты длиной 3 клетки?

Уголок это квадрат 2x2 без одной клетки.

Нет. Иначе можно было бы заполнить прямоугольниками 2x3, а 45 на 6 не делится.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Здравствуйте, kfmn, Вы писали:

K>>Задача с математического кружка для 5 класса:

K>>Можно ли разрезать прямоугольник 5x9 на уголки из 3 клеток?

А>Нет. Иначе можно было бы заполнить прямоугольниками 2x3,

А можно вот этот вывод обосновать?

Здравствуйте, uuu84, Вы писали:

U>Тогда можно:

U>

Прямоугольники там, где 2 уголка и без разницы как именно расположены.

Здравствуйте, kfmn, Вы писали:

K>Браво! А я несколько недель пытался доказать, что нельзя и все удивлялся, почему же не выходит!

Блин, тут IT-форум, или что?

Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском

Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>Здравствуйте, uuu84, Вы писали:

U>>Тогда можно:

U>>

VEA>Для удобства:

VEA>

VEA>Прямоугольники там, где 2 уголка и без разницы как именно расположены.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

VEA>>

VEA>>Прямоугольники там, где 2 уголка и без разницы как именно расположены.

А>Круто!

А>Как нашли?

Просто рисовал, рисовал и получилось, решил не постить ответ, а это не мой вариант.

Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Здравствуйте, kfmn, Вы писали:

K>>Браво! А я несколько недель пытался доказать, что нельзя и все удивлялся, почему же не выходит!

E>Блин, тут IT-форум, или что?

Ну, считай, что это этюд: для заданного прямоугольника MxN определить число способов разрезать его на уголки (с точностью до вращений и отражений)

Число и возможность -- это таки разные задачи

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

K>>Можно ли разрезать прямоугольник 5x9 на уголки из 3 клеток?

А>Нет. Иначе можно было бы заполнить прямоугольниками 2x3, а 45 на 6 не делится.

Из того, что 45 не делится на 6 следует только то, что прямоугольник 5x9 нельзя заполнить прямоугольниками 2x3. В задаче же спрашивается про уголки, а не про прямоугольники. И, кстати, 45 не делится на 6, но прекрасно делится на 3.

2 Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли разрезать оставшуюся часть на доминошки?

Решение. Любая доминошка, вырезанная из доски, содержит одну чёрную и одну белую клетку. Поэтому, если такое разрезание всё-таки возможно, то количество черных и белых клеток должно быть одинаковым. Но так как вырезанные клетки одного цвета (противоположные клетки доски имеют один цвет), то для получившейся фигуры это условие не выполняется, а, значит, разрезать оставшуюся часть доски на доминошки нельзя.

3 Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 1 метр a) разных цветов; б) одного цвета.

Решение.
а) Так как плоскость покрашена в два цвета, то найдутся две разноцветные точки. Пусть точка А покрашена цветом 1, а точка В — цветом 2. Построим ломаную с концами в точках А и В, длина каждого звена которой равна 1 метру. Делаем это так: будем откладывать по лучу АВ отрезки, длиной 1 метр. Начало первого из них совпадает с точкой А, начало каждого следующего совпадает с концом предыдущего. Если в итоге попадём в точку B (в случае, когда расстояние АВ выражается целым числом метров), то получаем нужную ломаную. В противном случае в некоторый момент времени длина непокрытого участка отрезка АВ станет меньше 1 метра. Тогда строим равнобедренный треугольник с боковой стороной 1 метр, у которого этот маленький отрезок будет основанием. Получилась ломаная, концы которой покрашены в разные цвета, поэтому найдутся две соседние вершины также покрашенные в один цвет. Это и будут нужные точки.
б) Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1 метр. У него три вершины, а цветов, в которые раскрашена плоскость, два. Поэтому хотя бы две вершины этого треугольника покрашены в один цвет. Эти две вершины и являются нужными нам точками.

4 У старухи Шапокляк есть ковёр 4×4 метра. Моль проела в нём 15 дырок (каждая дыра — точкa). Может ли старуха Шапокляк вырезать из ковра маленький целый коврик размером 1×1 метр?

Решение. Разрежем ковёр на квадратики 1×1. Получится 16 маленьких ковриков. В них всего не более 15 дырок. (Может быть меньше, если часть дырок оказалась на линиях разреза.) Так как ковриков больше, чем дырок, то найдется нужный целый коврик.

5 Король Прямоугольного государства провёл на карте своей страны несколько прямых по линейке от края до края. Государство оказалось разделено на области. Сможет ли он так раздать области своим князьям и графам, чтобы соседями князей были только графы, а графов — князья? (Если границы двух областей имеют только одну общую точку, то такие области не считаем соседними.)

Решение. Берём любую область. Присваиваем ей номер 0 и отдаём её князьям. Всем областям, соседним с ней, присваиваем номер 1 и отдаём графам. Всем соседям областей с номером 1, которым номера ещё не даны, присваиваем номер 2 и отдаём князьям. Области с номерами, равными 2, не могут граничить с областью номер 0, так как всем её соседям раньше уже был присвоен номер 1. Далее всем соседям областей с номером 2, у которых ещё нет номеров, ставим в соответствие номер 3 и отдаём графам. Очевидно, что они не могут граничить с областями номер 0 и 1. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока у каждой области не появится хозяин.

6. Может ли король из предыдущей задачи оставить одну область себе, чтобы среди его соседей были и князья, и графы?

7 Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что всегда найдётся отрезок длины 1 метр, концы которого раскрашены одинаково. 8 У художника-абстракциониста Карандаша есть только три карандаша — фиолетовый, сиреневый и лиловый. Он всегда использует их все. Может ли он покрасить всю плоскость так, чтобы каждая прямая была раскрашена всего в два цвета?

Решение. Карандаш может действовать, например, таким образом: покрасить некоторую точку в фиолетовый цвет. Провести через неё две прямые и покрасить все точки этих прямых кроме фиолетовой в сиреневый цвет. А всю остальную плоскость покрасить в лиловый цвет.

Подскажите, пожалуйста, почему существует чётное число способов разрезать доску $%6 \times 7$% на трехклеточные уголки?

задан 2 Дек '19 19:48

1 ответ

Поскольку число 7 нечётно, один из уголков примыкает к стороне длиной 7 по одной клетке. Тогда рядом с ним имеется ещё один уголок, который вместе даёт прямоугольник 2x3. С каждым разбиением свяжем конкретный такой прямоугольник -- например, примыкающий к верхней стороне, и расположенный как можно левее.

В пределах данного прямоугольника 2x3 есть ровно 2 способа его разрезать на уголки, поэтому все способы разбиваются при этом на пары.

отвечен 3 Дек '19 2:43

falcao
275k ● 9 ● 37 ● 51

А сколько всего таких способов получится?

@Александр_3000: количество подсчитать, наверное, можно, но это задача скорее для компьютера.

А если разбить уголки на пары, чтобы получились прямоугольники 2х3. Всего таких прямоугольников будет 7. Способов расставить эти прямоугольники на доске ровно 2 (не учитывая повороты, потому что это одна и та же расстановка получится). И составить такие прямоугольники из двух уголков тоже можно двумя способами. В конечном итоге имеем: 2 * 2^7 = 256. Что скажете? P.S. хотел прикрепить изображение, но не хватило репутации

@Александр_3000: думаю, что тут всё намного сложнее. Во-первых, ниоткуда не следует, что вся доска будет покрыта прямоугольниками 2x3, состоящими из двух уголков. Во-вторых, даже если брать только такие замощения, то их никак не два, а намного больше. В третьих, подсчёт здесь не должен вестись с точностью до симметрии.

Если всю доску резать на уголки, то получатся только такие прямоугольники 2х3, у меня по-другому не получается. Как еще можно разрезать такие прямоугольники, кроме как этими двумя способами? Все остальные получаются поворотом. А что вы имели ввиду под третьим пунктом?

@Александр_3000: даже если сам факт верен (хотя у меня в этом есть сомнения), то его надо доказывать. То, что в каких-то вариантах других видов разрезания не получается, ещё ничего не значит.

Третий пункт означал, что число замощений нужно считать как оно есть. Если одно замощение получается из другого при помощи симметрии, то это не один способ, а два.

@falcao, Ваши сомнения весьма обоснованы. Ниже пример разрезания, в котором всего 3 прямоугольника. Для клеток последовательно построчно сверху вниз и слева направо указаны номера уголков, покрывающих эту клетку: (1,2,2,3,3,4,4),(1,1,2,3,5,5,4),(6,6,7,8,8,5,9),(6,10,7,7,8,9,9),(11,10,10,12,13,14,14),(11,12,12,13,13,14).

Здравствуйте ! Помогите, пожалуйста, с решением задачки. Известно, что $%x+y+z=1$%, $%z^2+y^2+z^2=1$%. Необходимо найти наименьшее значение наименьшег .

задан 23 Ноя '21 7:04

Разделение на подмножества

Подскажите, пожалуйста, можно ли разделить множество $%\mathbb \setminus \$% на бесконечное число непересекающихся подмножеств вида $%\

задан 3 Апр '21 23:27

Количество слов

Прошу помочь, пожалуйста, в решении задачи.В слове АЛЬПИНИСТ одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры. Сколько .

задан 14 Янв '21 6:39

ГМТ линий в трапеции

Добрый день! Есть следующая задача (см. 9.5. link text)Есть предположение, что они лежат на той части средней линии, которая находится между диагоналя .

задан 5 Июн '20 10:43

Разность между суммами чисел

В таблице $%n \times n$% расставили в каждую клетку по одному числу от $%1$% до $%n^2$%. Если число максимальное в той строке, где оно стоит, то будем .

задан 3 Фев '20 18:20

Оценка значения градусной меры угла

В треугольнике $%ABC$% $%\angle C=2\angle A$%. Из вершины угла $%B$% провели медиану $%BM$%. В треугольнике $%BMA$% провели биссектрису $%AO$%. Доказа .

задан 11 Янв '20 9:22

Коэффициент корреляции

Известно, что случайный вектор $%(X,Y)$% равномерно распределен в прямоугольнике $% (x,y): -1 < x < 3, -2 < y < 2 $%. Необходимо найти коэ .

задан 17 Дек '19 22:10

Рисование квадратов

На клетчатой бумаге нарисован квадрат $%17 \times 17$%, в котором зарисовывают квадраты $%3 \times 3$%. Какое наименьшее их количество можно зарисоват .

задан 2 Дек '19 20:32

Разрезание доски

задан 2 Дек '19 19:48

Наименьшее значение выражения

Найдите наименьшее значение выражения и все пары $%(x,a)$%, при которых оно достигается:$%\sqrt<157+\log_a^2 \cos \frac-\log_a \cos^ \frac

задан 6 Июн '19 19:49

Задача с параметром

При каких $%a \ne 0$% неравенство не имеет решений?$%\log^2_4 \Big(x^2-3ax+ \frac + a +1\Big) - \Big( \log_4 \frac \Big) \cdot \log_4 .

задан 24 Апр '19 17:30

Задача из ЕГЭ по стереометрии

На ребре $%AB$% правильной треугольной пирамиды $%SABC$% с основанием $%ABC$% отмечена точка $%K$%, причём $%AK=15$%, $%BK=3$%. Через точку $%K$% пров .

задан 6 Мар '19 19:42

Параллельность оси $%Ox$%

На графике квадратичной функции $%y = ax^2+ bx + c$% c целыми коэффициентами $%a$%, $%b$% и $%c$% отмечены две различные точки $%A$% и $%B$% с целыми .

задан 23 Мар '18 18:25

Все решения уравнения

задан 21 Янв '18 14:19

Расстановка чисел

Можно ли в таблице из $%5$% строк и $%6$% столбцов разместить числа от $%1$% до $%30$% (каждое по одному разу) так, чтобы в каждом столбце сумма была .

Читайте также: