Какое наибольшее количество ладей можно поставить на шахматную доску
Обновлено: 08.05.2024
Сперва допустим, что ладьи допустимо ставить на одну клетку.
Тогда, каждую ладью можно поставить в любую из 8 горизонталей и в любую из 8 вертикалей.
То есть, постановка ладьи эквивалентна бросанию пары игральных "кубиков" с 8 гранями. Кубики разноцветные, допустим, красный и синий, так как один отвечает за горизонталь, а другой -- за вертикаль.
Поскольку мы ставим две ладьи, то кубики бросаются дважды.
Итак, задача переформулируется в следующем виде: какова вероятность того, что при таком бросании кубиков цифры на обоих красных или на обоих синих совпадут (поскольку ладья бьёт ладью в том случае, если они находятся на одной и той же горизонтали или вертикали) .
Каждая пара кубиков одного цвета задаёт координату в двухмерном пространстве, размером 8 на 8, то есть, на шахматной доске. Комбинация, выпавшая на паре кубиков, эквивалентна выбору одной из клеток шахматной доски. Поскольку пар кубиков у нас две, то и доски будет две, тоже красная и синяя.
Поэтому проводим вторую переформулировку задачи: какова вероятность того, что выбрав случайно и равновероятно по одной клетке на двух досках, мы хотя бы на одной доске попадём на главную диагональ?
Главная диагональ -- это диагональ, когда абсцисса равна ординате, её клетки соответствуют совпадениям на двух кубиках одного цвета.
Всего возможных вариантов выбора "неправильной" клетки на каждой доске -- 64-8=56. То есть, всего комбинаций, при которых на обеих досках мы не попадём на главные диагонали будет 56х56=3136.
Всего же комбинаций у нас 64х64=4096.
Значит, вероятность "непопадания" равна 3136/4096 = примерно 77%. Следовательно, вероятность попадания равна 100%-77%=23%.
Теперь надо учесть, что ладьи нельзя ставить на одну клетку.
В формулировке разноцветных досок это условие означает, что мы не имеем права выбрать одну и ту же клетку на обеих досках.
Поэтому, посчитаем случаи с этим условием.
Всего неблагопоятных вариантов на каждой доске остаётся по 56. Но их общего числа 3136 выпадают те случаи, когда клетки совпали на обоих досках. Таких случаем 56. Значит, неблагоприятных выриантов у нас теперь 3080.
Всего количество вариантов теперь у нас не 4096. Из него надо убрать случаи, когда клетки на досках совпали. Таких вариантов 64. То есть, общее количество вариантов у нас теперь 4096-64=4032.
В итоге, неблагоприятная вероятность равна 3080/4032= примерно 76%.
А, благоприятная, соответственно, 24%.
Да, отвечу и я, надеюсь правильно.
Первую ладью можно поставить на любое поле, останется незанятыми 63 поля из которых 14 будет под боем и 49 не под боем, следовательно вторая ладья окажется
"под боем" с вероятностью 14/63 или примерно 22,(2)%
"не под боем" с вероятностью 49/63 или примерно 77,(7)%
=====================================================
Вот и весь ответ.
С уважением.
Задания Д19 C7 № 508207
А) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие две не били друг друга?
Б) Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?
В) Какое наименьшее число королей нужно поставить на шахматную доску так, чтобы все свободные клетки оказались под боем?
Г) Какое наибольшее число ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?
а) Ясно, что в каждой строке можно поставить не более одной ладьи. Поэтому ладей не более восьми. Можно, например, поставить их в каждую клетку главной диагонали. Тогда их ровно 8 и никакие две не бьют друг друга.
б) Разобьем доску на 16 квадратов 2 на 2. Ясно, что каждый такой квадрат может содержать не более одного короля. Значит, всего можно разместить не более 16 королей. Пример годится, например, такой: ставим по королю в левый нижний угол каждого из квадратов 2 на 2.
в) Расширим шахматную доску до размеров 9Х9, добавив мысленно вертикаль справа и горизонталь сверху. Разобьем полученную доску на 9 квадратов 3Х3. Поставим в центр каждого из квадратов по королю. Тогда все клетки доски 9Х9, а значит, и исходной доски оказались под боем. Видно, что эти 9 королей попали и на исходную доску, поэтому 9 королей хватит.
Докажем, что 8 королей не хватит. Рассмотрим первые две горизонтали. На них должно располагаться не менее трех королей (иначе какие-то поля первой горизонтали не будут биты). Рассмотрим седьмую и восьмую горизонтали. Аналогично на них должно стоять не менее трех королей. Теперь рассмотрим 4 и 5 горизонтали. На них должно стоять тоже не менее трех королей, иначе не будут биты, например, все поля на 4й горизонтали. Таким образом, королей должно быть не менее 9.
г) Ясно, что в каждой строке можно поставить не более одного ферзя. Поэтому ферзей не более восьми.
Приведем пример: поставим ферзей в клетки
Ответ: а) 8; б) 16; в) 9; г) 8.
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
Пожалуйста! надо срочно решить задачу!
Какое наименьшее число ладей нужно поставить на шахматную доску, чтобы все белые клетки стояли под боем этих ладей?
(знаю, что их должно быть 4 и все они стоят по главной диагонали через одну, но нужно доказать в общем, что число ладей больше или равно четырем)
Какое максимальное число белых клеток может находиться под боем одной ладьи? А сколько всего белых клеток?
Пожалуйста! надо срочно решить задачу!
Какое наименьшее число ладей нужно поставить на шахматную доску, чтобы все белые клетки стояли под боем этих ладей?
(знаю, что их должно быть 4 и все они стоят по главной диагонали через одну, но нужно доказать в общем, что число ладей больше или равно четырем)
Вариант:
- Обозначить все клетки доски числами от 0 до 63.
- Перевести обозначения в восмеричную систему счисления.
- Убедиться, что в обозначениях белых клеток одного ряда (вертикального и горизонтального) цифры в соответствующих разрядах разнятся на 2.
- Имея в виду, что "ладья бьет" - это совпадение цифр в разрядах обозначения какой-либо клетки с цифрами в тех же разрядах обозначений белых клеток, выбрать клетки, в обозначении каждой из которых одинаковые цифры, но отличающиеся на 2 в разных из выбранных клеток*:
1. 11, 33, 55, 77.
2. 00, 22, 44, 66.
*Филологи будут в шоке
Народ не подкинете ли каких-нибудь задач олимпиадных на шахматной доске?
| i | Темы объединены. |
Только что забрала на почте свежий номер журнала "КВАНТ"! В нем обнаружились новые задачи с участием шахматных фигур на шахматной доске. ну, и иногда не совсем на шахматной:
В левом нижнем углу шахматной доски 8х8 стоит король. Двое по очереди передвигают его по доске на одну клетку либо вправо, либо вверх, либо по диагонали "вправо-вверх". Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Ферзь стоит в левом нижнем углу клетчатой доски 10х12. Двое по очереди передвигают его по доске на любое число клеток вправо, вверх или по диагонали "вправо-вверх". Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Двое играют в шахматы, но делают по два хода сразу. Есть ли у второго выигрышная стратегия?
Белая ладья преследует черного слона на доске размером 3х100 (ходят по очереди по обычным правилам, начинают белые. Как играть ладье, чтобы взять слона?
Найдите минимальное число ладей, которые могут быть расставлены на доске так, чтобы в каждой вертикали и горизонтали находилась по крайней мере одна ладья, и каждая ладья находилась под ударом хотя бы одной другой ладьи.
Интересная задача!
Сначала подумал про 2n-1 ладей, затем - про по 3 ладьи на каждую пару вертикалей/горизонталей, затем, глядя на цифровую клавиатуру - про по 4 ладьи на каждые 3 вертикали/горизонтали. Придётся всё-таки рисовать на бумаге теперь.
Имея некоторое расположение ладей, удовлетворяющее условиям, можно получить другие, удовлетворяющие условиям, расположения, меняя местами столбцы, строки и транспонируя доску.
Так что можно рассматривать только случаи, когда два левых поля нижней горизонтали заняты ладьями.
не выйдет.
Каковы первые 5 ходов шахматной партии, начинающейся с хода белых (e2-e4) и заканчивающейся взятием чёрным конём белой ладьи, приводящим к мату?
Хромая ладья посещает каждую клетку шахматной доски и возвращается на исходную позицию. За один ход она переходит на соседнюю клетку (с общей стороной). Маршрут хромой ладьи замкнут и представляет собой невыпуклый многоугольник без самопересечений. Найти его площадь (маршрут проходит через центры клеток).
Через каждую клетку маршрут проходит либо прямо, деля её ровно пополам на внутреннюю и внешнюю область, либо поворачивая, с аналогичным, но неравным делением. Поворотов в одну сторону на 4 больше, чем в другую, что даёт разницу в 2 клетки между площадью внешней и внутренней областей.
Формула Пика сразу даёт результат: .
Ладья, как в обычных шахматах, ходит и бьет по горизонталям и вертикалям. Горизонталями и вертикалями считаются ломаные линии, состоящие из отрезков, соединяющих противоположные стороны клеток.
Да, я имел ввиду, что это относится не совсем к обычным шахматам, а к "Шахматам для троих", и может сбить с толку. Давайте договоримся, что ладья ходит по горизонтальным и вертикальным прямым линиям, соединяющим противоположные стороны клеток. Эти линии не являются ломаными.
Давайте для начала разберемся с одномерной картинкой.
Ответте мне — сколько ладей можно поставить в квадрате 2*2, чтобы они не били друг друга? Где ладьи будут располагаться?
Если Вы на такой простой вопрос не можете ответить, смысла дальнейшее решение объяснять нет совершенно.
8*8*8 — это не квадрат, а куб.
Почему именно 64?
в каждом столбике из 8 кубиков-клеток может стоять только одна ладья, поэтому больше 64 ладей поставить нельзя.
Покажем, как поставить 64 ладьи, чтобы они не били друг друга. Введем систему координат с осями, направленными вдоль ребер куба так, чтобы каждая клетка имела координатами тройку (x,y,z) чисел от 0 до 7 и поставим ладьи в клетки, сумма координат которых делится на 8. Эта расстановка является искомой.
Докажем сначала, что эти ладьи не бьют друг друга. Предположим противное — какие-то две ладьи бьют друг друга. Значит, две их координаты (скажем, x и y) совпадают, а третья — различна (обозначим ее z1 и z2 соответственно). По построению суммы x + y + z1 и x + y + z2 делятся на 8. Значит, на 8 делится и их разность z1 – z2, что невозможно, так как z1 и z2 — различные неотрицательные числа, меньшие 8.
Докажем теперь, что в каждом вертикальном столбике находится по ладье, то есть что мы поставили 64 ладьи. Каждый такой столбик определяется своей парой координат x и y. Координата z для ладьи в этом столбике однозначно задается условием x + y + z ≡ 0( 8). А именно, если x + y делится на 8, то z = 0, в противном случае z равно 8 минус остаток от деления на 8 суммы x + y.
не пойму я тебя кати?кто тебя вообще допустил к этим заданиям? они же олимпиадные!тебе хотя бы алгебру которую в школе дают знать!
Помогите мне понять эту задачу. На обычной шахматной доске можно расставить 8 ладей, чтобы они не били друг друга. Стоять они будут по диагонали. В кубе получается 8 таких досок друг на друге. Т.е. всего 64 ладьи. Но как доказать, что они не будут бить друг друга?
2019-04-01
Какое наибольшее число ладей можно расставить на доске $m \times n$ так, чтобы каждая била не более двух других? (Если три ладьи стоят на одной горизонтали или вертикали, то крайние не бьют друг друга.)
Первое решение. Посчитаем общее число ладей, которых бьёт ладья, обходящая доску по периметру (рис.). Их не более чем $2(m+n)$. При этом каждую из стоящих на доске ладей мы посчитали по крайней мере дважды. Поэтому число ладей на доске не более $m+n$.
Пример расстановки $m + n$ ладей показан на рис.
Второе решение. Докажем индукцией по $k = m + n$, что на доске размера $m \times n$ можно расставить не более $m + n$ ладей, чтобы каждая из них била не более двух других.
База индукции. Для досок размера $1 \times n$ и $2 \times 2$ это утверждение не вызывает сомнений.
Индукционный переход. Предположим, что мы уже доказали утверждение для досок $m \times n$ с $m + n \leq k$. Возьмём теперь некоторую доску $m \times n$ ($m$ строк и $n$ столбцов) с $m + n = k + 1$. Для определённости будем считать, что $m \leq n$.
Выберем строку, в которой стоят по крайней мере три ладьи (такая строка обязательно существует, поскольку иначе общее число ладей не превосходило бы $2m \leq m + n$). Рассмотрим столбец, содержащий среднюю из этих ладей (или одну из средних), рис. В этом столбце не может стоять более ни одной ладьи, поскольку в противном случае одна из ладей била бы более двух ладей. Удалим этот столбец, «схлопнув» доску. Мы получим доску размером $m \times (n- 1)$, на которой, согласно предположению индукции, стоит не более $m + n - 1$ ладей. Значит, на исходной доске их было не более $m + n$.
Читайте также: