Из шахматной доски вырезали 7 клеток

Обновлено: 17.05.2024

1. Из шахматной доски 8х8 вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли теперь разрезать доску на доминошки (прямоугольники 2х1)?

2. В левой нижней клетке шахматной доски стоит шахматный конь. Может ли он сделать ровно 3 хода и вернуться в ту же клетку?

3. В левой нижней клетке шахматной доски стоит шахматный конь. За несколько ходов он добрался до противоположной (правой верхней) клетки. Докажите, что он сделал чётное количество шагов.

4. В каждой клетке доски 5х5 сидит жук. Хлопнули в ладоши – и каждый жук переполз в соседнюю (по стороне) клетки. Докажите, что теперь хотя бы в одной из клеток нет ни одного жука.

5. Можно ли разрезать клетчатую доску 10х10 на прямоугольники размером 4х1?

6. Замок имеет вид прямоугольника размером 7х9. Каждая клетка, кроме центральной – комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, проделана дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

7. Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки a1, закончив в клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

8. Шахматную доску разбили на доминошки. Может ли среди этих доминошек оказаться 17 горизонтальных и 15 вертикальных.

Задачи с решением

Если доска разрезана на домииощки (одно поле у доминошки – белое, второе – чёрное), то под ними чёрных и белых клеток поровну. Посчитаем клетки: чёрных – 30, белых – 32.

При ходе коня идёт чередование цвета клеток. Конь стоит на белой клетке. При первом шаге он будет стоять на чёрной клетке, при втором ходе – на белой и т.д. Если ходы нечётные, тот конь находится на чёрной клетке, если ходы чётные, то конь находится на белой клетке. На третьем ходе конь будет стоять на чёрной клетке и на первоначальную клетку не вернётся.

При ходе коня идёт чередование цвета клеток. Если ходы нечётные, тот конь находится на чёрной клетке, если ходы чётные, то конь находится на белой клетке. Конь будет находится на белой клетке, т.е. он сделает чётное количество шагов

Раскрасим доску в шахматном порядке (первая клетка – чёрная). Если жук сидел на белой клетке, то он переползёт на чёрную, и наоборот. Получим: 13 чёрных клеток, 12 – белых. 12 «белых» жуков переползут на 13 чёрных клеток, Вывод: хотя бы одна клетка будет свободна.

5. Можно ли разрезать клетчатую доску 10х10 на прямоугольники размером 4х1?

Сделаем шахматную раскраску в 4 цвета, например, коричневый, синий, зелёный и жёлтый. Для удобства можно каждый цвет назвать цифрой: 1, 2, 3, 4, тогда получим:

Шахматы (от персидского шах мат - властитель умер), игра 32 фигурами (по 16 - белого и черного цвета) на 64-клеточной доске для двух партнеров. Родина шахмат - Индия. В России шахматы появились в 9 - 10 вв.

Шахматы не только популярная игра, но и источник множества интересных математических задач. Не случайно шахматные термины можно встретить в литературе по комбинаторике, теории графов, теории игр, программированию.

Математика на шахматной доске включает в себя решение задач:

задачи о шахматной доске;
задачи о шахматных фигурах.
Приведем примеры комбинаторных задач на шахматной доске.

Из шахматной доски вырезаны две угловые клетки, расположенные на одной диагонали. Можно ли замоститьэту доску прямоугольниками, состоящими из двух клеток?
Эта задача является примером комбинаторной задачи о самой шахтатной доске.

Задачи о маршрутах составлены и для других фигур.

Сколькими способами можно расставить на доске 8 ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу, т. е. никакие 2 не стояли бы на одной линии?
Найти ту или иную расстановку несложно, труднее подсчитать их общее число. Доказано, что существует 92 требуемые расстановки, причем они получаются из 12 основных поворотами и зеркальными отражениями доски.

Подобные задачи ставятся для всех шахматных фигур. Сначала выясняется, какое наибольшее число фигур не угрожает на доске друг другу, а затем - сколько имеется расстановок.

Другой класс задач связан с расположением минимального числа фигур так, чтобы они держали под ударом все свободные поля доски. Но не обо всех фигурах известно, сколько существует необходимых расстановок.

Ладья являетяс самой распространенной фигурой в комбинаторных задачах на шахматной доске и часто упоминается даже в серьезной математической литературе. Многие задачи из комбинаторики, теории групп и теории чисел легко интерпретируются в "ладейных" терминах. Приведем один комбинаторный пример.

Пусть n рабочих назначаются на n различных работ, причем каждая из них должна выполнятсятолько одним рабочим. Спрашивается, сколькими способами можно осуществить такое назначение?
Поставим в соответствие рабочим горизонтали шахматной доски n*n, а работам- ее вертикали. Если i-ый рабочий назначается на j-ю работу то на поле, соответствующее пересечениюi-й горизонтали и j-й вертикали, поставим ладью. Т. К. каждая работа выполняется одним рабочим и каждый рабочий назначается на одну работу, то в результатена любой вертикали и любой горизонтали будет стоять по одной ладье. Другими словами, никакая пара из этих n ладей не будет угрожать друг другу. Таким образом, задаче о назначении можно придать вполне шахматный характер.

2 Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли разрезать оставшуюся часть на доминошки?

Решение. Любая доминошка, вырезанная из доски, содержит одну чёрную и одну белую клетку. Поэтому, если такое разрезание всё-таки возможно, то количество черных и белых клеток должно быть одинаковым. Но так как вырезанные клетки одного цвета (противоположные клетки доски имеют один цвет), то для получившейся фигуры это условие не выполняется, а, значит, разрезать оставшуюся часть доски на доминошки нельзя.

3 Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 1 метр a) разных цветов; б) одного цвета.

Решение.
а) Так как плоскость покрашена в два цвета, то найдутся две разноцветные точки. Пусть точка А покрашена цветом 1, а точка В — цветом 2. Построим ломаную с концами в точках А и В, длина каждого звена которой равна 1 метру. Делаем это так: будем откладывать по лучу АВ отрезки, длиной 1 метр. Начало первого из них совпадает с точкой А, начало каждого следующего совпадает с концом предыдущего. Если в итоге попадём в точку B (в случае, когда расстояние АВ выражается целым числом метров), то получаем нужную ломаную. В противном случае в некоторый момент времени длина непокрытого участка отрезка АВ станет меньше 1 метра. Тогда строим равнобедренный треугольник с боковой стороной 1 метр, у которого этот маленький отрезок будет основанием. Получилась ломаная, концы которой покрашены в разные цвета, поэтому найдутся две соседние вершины также покрашенные в один цвет. Это и будут нужные точки.
б) Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1 метр. У него три вершины, а цветов, в которые раскрашена плоскость, два. Поэтому хотя бы две вершины этого треугольника покрашены в один цвет. Эти две вершины и являются нужными нам точками.

4 У старухи Шапокляк есть ковёр 4×4 метра. Моль проела в нём 15 дырок (каждая дыра — точкa). Может ли старуха Шапокляк вырезать из ковра маленький целый коврик размером 1×1 метр?

Решение. Разрежем ковёр на квадратики 1×1. Получится 16 маленьких ковриков. В них всего не более 15 дырок. (Может быть меньше, если часть дырок оказалась на линиях разреза.) Так как ковриков больше, чем дырок, то найдется нужный целый коврик.

5 Король Прямоугольного государства провёл на карте своей страны несколько прямых по линейке от края до края. Государство оказалось разделено на области. Сможет ли он так раздать области своим князьям и графам, чтобы соседями князей были только графы, а графов — князья? (Если границы двух областей имеют только одну общую точку, то такие области не считаем соседними.)

Решение. Берём любую область. Присваиваем ей номер 0 и отдаём её князьям. Всем областям, соседним с ней, присваиваем номер 1 и отдаём графам. Всем соседям областей с номером 1, которым номера ещё не даны, присваиваем номер 2 и отдаём князьям. Области с номерами, равными 2, не могут граничить с областью номер 0, так как всем её соседям раньше уже был присвоен номер 1. Далее всем соседям областей с номером 2, у которых ещё нет номеров, ставим в соответствие номер 3 и отдаём графам. Очевидно, что они не могут граничить с областями номер 0 и 1. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока у каждой области не появится хозяин.

6. Может ли король из предыдущей задачи оставить одну область себе, чтобы среди его соседей были и князья, и графы?

7 Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что всегда найдётся отрезок длины 1 метр, концы которого раскрашены одинаково. 8 У художника-абстракциониста Карандаша есть только три карандаша — фиолетовый, сиреневый и лиловый. Он всегда использует их все. Может ли он покрасить всю плоскость так, чтобы каждая прямая была раскрашена всего в два цвета?

Решение. Карандаш может действовать, например, таким образом: покрасить некоторую точку в фиолетовый цвет. Провести через неё две прямые и покрасить все точки этих прямых кроме фиолетовой в сиреневый цвет. А всю остальную плоскость покрасить в лиловый цвет.

Решение.

2. На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса? Меридиан — это дуга, соединяющая Северный полюс с Южным. Параллель — окружность, параллельная экватору (экватор тоже является параллелью).

Решение. Сначала проведем только меридианы. Область между двумя соседними меридианами назовем долькой. Пока глобус разбит на 24 дольки. 17 параллелей делят каждую дольку на 18 частей. Т.е. всего частей 24·18 = 432.

3. Разрежьте изображенную на рисунке доску на 4 одинаковые части так, чтобы каждая из них содержала ровно 3 закрашенные клетки.

Решение.

5. Пару доминошек 1×2 назовем гармоничной, если они образуют квадрат 2×2. Существует ли разбиение доски 8×8 на доминошки, в котором ровно одна гармоничная пара?

Решение.

6. Четырехугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2, две из которых параллельны, разбит на четыре одинаковые фигуры. В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найти отношение длины большего отрезка к меньшему.

Сложим эти два уравнения, получим, что 4 x + 4 y = 3, значит, x + y = 3 / 4 и 2 x = 1 − 3 / 4 . Т.е. x = 1 / 8 , а y = 5 / 8 . Т.е. y : x = 5.

7. Разрежьте по клеточкам на 4 части фигуру, изображенную на рисунке, и сложите из них из них квадрат.

Решение.

Решение. Каждая доминошка занимает 2 клетки. Т.е. если фигуру можно разрезать на доминошки, то в ней четное число клеток. Но 8·8 − 1 = 63 нечетно.

Решение. Эту доску можно разбить на одну полоску 1×6 и 7 полосок 1×8. Каждую из них можно разрезать на доминошки.

Решение. Пусть поля этой доски покрашены, как в шахматах. Заметим, что вырезанные поля одного цвета. Любая доминошка покрывает одну белую и одну черную клетку. Т.е. при разбиении фигуры на доминошки количество белых и черных клеток должно быть одинаково. Но клеток одного цвета 30, а другого 32.

Нет,т.к каждая кость домино покрывает 2 клетки разного цвета, потому что только такие клетки примыкают к друг другу.Значит когда 30 костей закроют 60 клеток то остануться 2 одинакового цвета => невозможно

Новые вопросы в Математика

3) Клубника при сушке теряет 65% своей массы. Сколько килограммов сушеной клубники получится из 28 кг свежей?

Помогите, пожалуйста, задачка на проценты, срочно, утром сдавать! В ходе освобождения Мариуполя позавчера русские взяли в плен 700 бандер, вчера - на … 40% больше, а сегодня - 30% от того, что взяли за два предыдущих дня. 25% бандер сдохло. Сколько бандер оказалось в плену у русских за эти три дня?

Будь ласкааа. Мені треба до 00:00 Шлях ѕ, який пройшов пішохід, залежить від часу t. Заповніть таблицю і побудуйте за нею графік руху, який задано ф … ормулою s = 5t. Визначте за отриманим графіком: 1) якщо t= 4 год, то s=. ; 2) якщо s = 25 км, то t=. .

ВЖЕ СРОЧНО ВЖЕ АБО МЕНІ КАПУТ. ПЖ СРОЧНО ВЖЕ СРОЧНО ВЖЕ ВЖЕ ВЖЕ Із 200 насінин пшениці проросло 176, а iз 300 насінин кукурудзи проросло 273. У яког … о зерна відсоток схожості бiльший?

Можно ли расположить очки последовательно с 13 до 18 на гранях игрового кубика так, чтобы: на противоположных гранях была одинаковая сумма очков?Если … да, то эта сумма равна .на трёх гранях с общей вершиной была одинаковая сумма очков?Если да, то эта сумма равна

срочно пожалуйсто. Можно ли расположить очки последовательно с 6 до 11 на гранях игрового кубика так, чтобы: на противоположных … гранях была одинаковая сумма очков?Если да, то эта сумма равна .на трёх гранях с общей вершиной была одинаковая сумма очков?Если да, то эта сумма равна

1) x2 – 5x + 6 = x2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2), 2) x2 – x – 2 = x2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1), 3) x … 2 – 2x – 3 = x2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

длина прямоугольника равна 16 см периметр равен 40 см найти площадь квадрата, если эти фигуры равновеликеПж очень надо

Читайте также: