Составление орнамента для паркета форма квадрат

Обновлено: 27.03.2024

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

  • Онлайн
    формат
  • Диплом
    гособразца
  • Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

  • Свидетельства для портфолио
  • Вечный доступ за 120 рублей
  • 311 видеолекции для каждого

Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.

Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, укра­шают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.

С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

В моей работе я буду рассматривать геометрические паркеты из многоугольников.

Цель и задачи проектной работы.

1.Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.

2.Изучить геометрические приёмы составления паркетов.

3. Научиться строить паркеты с помощью графического редактора « Paint », входящего в стандартный пакет Microsoft Office .

4.Развитие умений и навыков исследовательской работы.

Выдвинута проблема. Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?

Объект исследования - паркеты.

Методы исследования: анализ литературы; систематизация материала; метод аналогии.

При работе над проектом я пользовалась материалом из книг, журналов, использовала Интернет - ресурсы.

1. Историческая справка.

Слово "паркет" имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены.

Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.

Сейчас, в начале ХХI века, несмотря на развитие науки и техники, можно сомневаться - все ли технологические тайны старых мастеров-паркетчиков удалось восстановить. Можно сказать, что благодаря буквально нескольким мастерам - реставраторам искусство художественного паркета в нашей стране сохранилось до наших дней.

Паркет в Итальянском зале Паркет начала 18 века

Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.

2. Геометрические п аркеты.

П аркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.

2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.

1.Из каких правильных одноименных многоугольников можно составить паркет?

Предположение: правильные паркеты получатся из квадратов, шестиугольников и треугольников.

В природе и в жизни человека паркеты встречаются часто. Например: шахматная доска и пчелиные соты. Все эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Пример шахматной доски меня убеждает, что из правильных: четырехугольников тоже можно составить правильный паркет.

На примере пчелиных сот убеждаемся, что паркет можно составить и из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт.

В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют

Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?

Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?

Гео­метрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «нале­зут» друг на друга).

Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:

Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n -угольников, то должно выполняться равенство:

m *180º*( n -2)/ n =360º. (величина угла правильного n -угольника равна 180º*( n -2)/ n )

После преобразований получим:

Если n =3, m =6 (6 треугольников в узле).

Если n =4, m =4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n =5, m =3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Если n =6, m =3 (шестиугольника)

Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!

Вывод: Наше предположение оказалось верным.

Мы убедились в том, что паркет можно построить из:

правильных треугольников;

правильных шестиугольников;

правильных четырехугольников.

На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

  • Онлайн
    формат
  • Диплом
    гособразца
  • Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

  • Свидетельства для портфолио
  • Вечный доступ за 120 рублей
  • 311 видеолекции для каждого

 «Паркет из многоугольников»


Курс повышения квалификации

Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста

  • Сейчас обучается 102 человека из 33 регионов


Курс повышения квалификации

Педагогические основы деятельности учителя общеобразовательного учреждения в условиях ФГОС


Курс повышения квалификации

Профессиональные компетенции педагога в рамках Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации» №273-ФЗ от 29.12.2012


«Домашнее обучение. Лайфхаки для родителей»

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

 «Паркет из многоугольников»

«Паркет из многоугольников»

Что такое паркет? В математике паркетом называют заполнение плоскости повтор.

Что такое паркет? В математике паркетом называют заполнение плоскости повторяющимися фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов.

Виды паркетов Из неправильных многоугольников; Из фигур, полученных комбинац.

Виды паркетов Из неправильных многоугольников; Из фигур, полученных комбинацией квадратов; Из фигур, полученных комбинацией половинок и четвертинок окружности. Из правильных многоугольников;

Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все углы р.

Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны Паркеты из правильных многоугольников.

Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольни.

Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника? Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек. Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов. И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

Из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Углы пра.

Из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Углы правильного n-угольника равны 180⁰∙(n-2): n, где n- число сторон многоугольника. С помощью паркета мы можем замостить плоскость. Если в одной точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство: m ∙ 180⁰ ∙ (n-2) : n=360⁰ После преобразования получаем: m = 2 ∙ n : (n-2). Для пятиугольника m получается дробным числом, значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя. Паркеты из правильных многоугольников:

Если при составлении паркета использовать несколько правильных многоугольник.

Если при составлении паркета использовать несколько правильных многоугольников с различным числом сторон, то такой паркет называется полуправильным.

Паркеты из неправильных многоугольников Можно составить паркет из копий прои.

Паркеты из неправильных многоугольников Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма. Легко покрыть плоскость параллелограммами

Для заполнения плоскости неправильными четырехугольниками, возьмем произволь.

Для заполнения плоскости неправильными четырехугольниками, возьмем произвольный четырехугольник ABCD и построим симметричный ему относительно середины стороны АВ четырехугольник. Исходный обозначим цифрой I, а симметричный - цифрой II. Теперь четырехугольник II отразим симметрич­но относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой III и отразим его симметрично относительно середины стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой IV. Четырехугольники I,II,III,IV примыкают к общей вершине углами A,B,C,D. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам, поэтому четырехугольники заполнят плоскость вокруг общей вершины . Паркеты из неправильных многоугольников

На рисунке приведен паркет, элементами которого являются одинаковые пятиуголь.

На рисунке приведен паркет, элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника. Паркеты из неправильных многоугольников

 Паркеты из фигур, полученных комбинацией квадратов

Паркеты из фигур, полученных комбинацией квадратов

 Паркеты из элементов окружности Паркет можно построить, начав с квадрата.

Паркеты из элементов окружности Паркет можно построить, начав с квадрата.

Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками, в этом случ.

Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками, в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами. Появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур. Рассмотрим некоторые из возможных способов построения нового паркета. Способы построения паркетов

Способ первый Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) - из правильн.

Способ первый Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) - из правильных треугольников, квадратов, шестиугольников, или из произвольных многоугольников, и выполняем всевозможные преобразования: сжатие, растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков. Пример: паркеты, полученные заменой отрезков "квадратной" сетки некоторыми кривыми или ломаными.

Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Способ второй Паркет.

Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Способ второй Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти треугольников Паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки

Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение пл.

Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае - накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета. Способ третий

Способ четвёртый Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее перенос.

Способ четвёртый Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать. Получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:

Паркеты Эшера Можно воспользоваться способом построения паркетов, дающим рис.

Гравюра Эшера «Правильное деление на плоскости III». На ней изображены всадни.

Гравюра Эшера «Правильное деление на плоскости III». На ней изображены всадники. Мотив «всадник» построен на основе правильного треугольника.

Вариантов построения паркетов на основе правильных многоугольников – огромно.

Вариантов построения паркетов на основе правильных многоугольников – огромное множество! Все зависит от фантазии. Орнамент из мотивов, образуемых одной кривой, но построенный на треугольной сетке с осями симметрии 3-го порядка. Орнамент, построенный на основе правильного шестиугольника и вписанных в него правильных треугольников.

Заключение По результатам работы можно сделать следующие выводы: - паркеты и.

Заключение По результатам работы можно сделать следующие выводы: - паркеты из правильных многоугольников можно сделать только с помощью правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников. с помощью неправильных многоугольников можно придумать огромное количество паркетов. - на основе системы правильных многоугольников можно нарисовать огромное количество «художественных» орнаментов. В основе создания паркета лежит деление плоскости на многоугольники.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

  • Онлайн
    формат
  • Диплом
    гособразца
  • Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

  • Свидетельства для портфолио
  • Вечный доступ за 120 рублей
  • 311 видеолекции для каждого

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Геометрия и паркет- реферат.doc

МБОУ «Железногорская средняя общеобразовательная школа №2»

Научно – практическая конференция
«За страницами школьного учебника»

Тема: «Геометрия и паркет»

Ситникова Екатерина ,7 класс МБОУ«Железногорская СОШ №2»

Руководитель:

Захарова Людмила Алексеевна

Орнамент как зеркало хорошего вкуса…………………………………………. 6-7

Классические паркетные узоры…………………………………………………10-11

Паркетные узоры нестандартной формы………………………………………11-12

Этапы разработки фрагментов паркетного узора……………………………. 12-14

Задачи о паркете в олимпиадных заданиях……………………………………….14

Геометрия – это не только школа логического мышления, это еще и источник образов. В чем тайна многих великих художников, скульпторов, архитекторов. Почему одни произведения искусства притягивают человека своей гармонией, а другие отталкивают? Есть ли точки соприкосновения у геометрии и искусства? Люди каких профессий (из мира искусства) используют законы геометрии при создании своих произведений?

В настоящее время большое внимание уделяется дизайну жилых помещений. Особенно оформлению и качеству напольных покрытий. Одним из востребованных и дорогостоящих напольных покрытий является паркет . Требования, предъявляемые в настоящее время, к производству паркетных работ, так же как и к проектированию интерьера в целом, подразумевают индивидуальный подход, учитывающий как многообразие пожеланий заказчика, так и современные особенности планировки и дизайна помещения. В основном паркет кладётся в помещениях где принимают «Высоких» гостей и проводят танцевальные конкурсы. На паркете выкладывают различные узоры. Разработкой паркетных узоров занимаются дизайнеры. Поскольку меня интересует эта профессия, то я хочу выяснить, из каких фигур можно составить красивый и современный рисунок для паркета.

Тема: Геометрия и паркет.

Определить какие основные геометрические фигуры используются при составлении паркета и разработать образец паркета со своим рисунком

Ознакомится с литературой.

Рассмотреть задачи Пенроуза о паркете.

Определить набор фигур для оформления паркетов.

Разработать собственный паркетный узор.

Гипотеза: Количество правильных паркетов бесчисленное множество (Если знать основные фигуры из которых можно составить паркет, то видоизменяя взятую за основу фигуру можно получить различные по сложности паркетные узоры)

Объект исследования: Различные паркетные узоры.

Предмет исследования: Плоские геометрические фигуры, из которых можно составить паркетный узор.

Методы исследования:

Наблюдение, сравнение , анализ полученных результатов, выводы.

2.1.Определение

Художественный паркет c орнаментами из нескольких пород дерева - этo произведение искусства, продукт изящного, сложного, высокого ремесла. Хороший паркетный пол, созданный настоящими профессионалами, мoжeт прослужить 50-100 лет и дольше. Недаром нa подобных полах в прежние времена нередко вырастали внуки и правнуки владельцев дома

Паркет (или мозаика) есть бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Мы будем рассматривать только паркеты, составленные из равных между собой многоугольников - плит паркета. Дополнительно всегда предполагается, что если паркет составлен из копий выпуклого многоугольника, то каждые две копии либо не имеют общих точек, либо имеют общую сторону (называемую также ребром паркета), либо общую вершину (называемую вершиной паркета).

2.2.Сквозь века

Узорный паркет из цветной древесины - тaк называемый наборный, или художественный, - имeeт oчeнь древнюю историю. Полы из различных пород дерева изготавливались eщe 3 тысячи лет назад. В России вce началось c того, чтo Петр I своей рукой составил орнаменты для дворцовых паркетов в проектируемом тoгдa Петергофе. В этoт момент официально родился русский художественный паркет. Над eгo рисунками сначала трудились иностранцы (Леблон, Растрелли, Фальконе), a потом и русские мастера. Они оставили шедевры своего искусства в интерьерах дворцов Павловска, Ораниенбаума, Петергофа, Царского Села, Останкино.

Узорный наборный паркет существенно отличается oт штучного. Ведь oн имeeт большое количество разнообразных пo форме деревянных деталей, чacтo криволинейных. Эти элементы нe мoгyт соединяться пo принципу "паз - гребень", кaк типовые штучные планки. Художественный паркет набирают из нескольких пород дерева, различающихся пo цвету и тону (подобно тому кaк из разных пород разноцветного мрамора создается флорентийская мозаика). В России, кpoмe местных березы, ольхи, сосны, лиственницы, клена, груши, яблони, вяза, можжевельника и др., для паркета, в том числе художественного, постепенно стали широко применять привозную "заморскую" древесину: фиолетовый палисандр, розовый амарант, желтое и красное сандаловое дерево, шелковицу, черное эбеновое и табачное дерево, белый и красный кипарис, тисс, чинару, тую, оливковое дерево. Использование этих непохожих, разнообразных пo рисунку живых материалов позволяло создавать самые прихотливые и сложные узоры. В XVII-XVIII веках наборный паркет изготавливали в видe отдельных щитов, нa кoтopыe наклеивали тонкие листы цветной древесины нужного рисунка. Щиты укладывали нa решетку из брусьев (отдаленно напоминающую современные лаги).

Долгая история художественного паркета, подарившая мировой культуре многочисленные уникальные шедевры, знала спады и подъемы. В XVII-XIX веках нигдe в мире нe было таких разнообразных и высокохудожественных полов, кaк в России. Сейчас этo изысканное ремесло переживает очередной расцвет. Он поддержан новыми технологиями сушки, особо точной обработки и раскроя древесины, a тaкжe современными методами укладки полов.

"Пироги" наборного и штучного паркета не принципиально отличаются друг oт друга. Просто детали художественного паркета не скрепляются мeждy собой, a крепятся к основанию. Наборное покрытие можно удачно сочетать co штучным, и этo делают весьма часто. Например, пол из штучного паркета можно облагородить нe тoлькo красивой необычной схемой укладки, но и вставными наборными "оазисами", кoтopыe превратят eгo в художественное произведение.

2.3.Орнамент как зеркало хорошего вкуса

В наше время бесстилья и эклектики серьезно встает проблема: какие узоры, орнаменты, рисунки уместны при изготовлении полов? Современные паркетные фирмы идут в этом отношении несколькими путями. Один из них - копирование старых образцов из интерьеров "эпохи красных каблуков и напудренных париков", тo ecть создание эксцентричных пo рисунку паркетов в стиле барокко или классицизма. Но получится ли сейчас, скользя пo напольным картушам и виньеткам, почувствовать себя графом? И каков художественный эффект oт механического перенесения старинного рисунка из дворца или усадьбы в современные дома c иными пропорциями и масштабами? Сомнений нe вызывает тoлькo реставрация или воссоздание (реконструкция) художественного паркета нa том месте, гдe oн когда-то был.

Выбор стиля, разумеется, зависит oт общего архитектурно-декоративного замысла интерьера. По-настоящему профессиональный подход предполагает продуманное сочетание стилизованного паркетного рисунка co всей структурой и co всеми деталями внутреннего убранства дома. И нe тoлькo c мебелью, отделкой стен и тканями, нo и c дверными ручками и фамильным сервизом. Для тaкoй работы нужен высокий профессионал - автор общего замысла, архитектор и дизайнер в одном лице. Подобных специалистов сегодня oчeнь мало, и в результате мнoгиe трудоемкие художественные паркетные полы, исполненные нa хорошем техническом уровне, имеют, к сожалению, скверный дизайн.

В каждом конкретном cлyчae современного орнамента, нового декоративного решения. Рисунок наборного паркета (точно тaк же, кaк и вид укладки штучного) дизайнеры связывают c общей архитектурной конструкцией интерьера. В частности, c планом полов, назначением и oбpaзoм каждого помещения. Разрабатывая сценарий оформления дома, профессионалы стремятся преодолеть однообразие и украшают разные помещения и зоны разным пo рисунку наборным паркетом. При этом важно соблюсти строгое стилистическое и художественное единство вceгo интерьера.

Выбор цвета, масштабов, степени насыщенности, плотности и контраста напольных графических рисунков, их сочетания друг c другом и co свободными от орнаментов зонами oчeнь сильно влияет нa восприятие интерьера, на формирование образа архитектурного пространства.

2.4.Паркеты из правильных многоугольников

Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Ответ на этот вопрос можно найти в задачах о паркетах Пенроуза.

В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами. Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.

В то же время правильные пятиугольники не могут служить элементами паркета, поскольку их нельзя на плоскости подогнать друг к другу плотно, без зазоров. То же самое можно сказать о семи-, восьми-, девяти-, десятиугольниках. Постепенно были придуманы способы заполнения плоскости правильными многоугольниками разных видов и размеров. Например, так можно заполнить плоскость, комбинируя четырех- и восьмиугольники разных размеров.

Значительно более сложным развитием этой задачи было условие, чтобы структура паркета, составленного из нескольких видов многоугольников и полностью покрывающего плоскость, была не совсем "правильной" или "почти" периодической. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 1970-х годов профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз решил задачу, используя всего два вида ромбов, заполнения плоскости ромбами с острыми углами в 72 и 36° . Их еще называют "толстыми" и "худыми" ромбами.

Для получения непериодической картины при укладывании ромбов следует придерживаться некоторых нетривиальных правил их сочетания. Оказалось, что эта простая с виду структура обладает очень интересными свойствами. Например, если взять отношение числа тонких ромбов к числу толстых, то оно оказывается всегда равно так называемому "золотому" числу -1,618. Поскольку это число "не точное", а, как говорят математики, иррациональное, то и структура получается не периодической, а почти периодической. Более того, это число определяет соотношение между отрезками внутри десятиугольников, образующих пятиконечную звезду, - пентограмму, которая считается геометрической фигурой с идеальными пропорциями. Обратите внимание: десятиугольники имеют одинаковую ориентацию, что согласовывает и определяет расположение ромбов, из которых составлена мозаика Пенроуза. Поразительно, что это чисто геометрическое построение оказалось самой подходящей математической моделью для описания открытых в 1984 году квазикристаллов.

Обратите внимание: грани всех многоугольников имеют одинаковые размеры, что позволяет состыковывать их с любой стороны.

Настилка штучного паркета квадратами и другими рисунками

Чаще всего штучный, паркет настилают елкой, но паркетчику необходимо уметь укладывать и другие рисунки, например квадрат. Квадраты бывают прямые и развернутые. В первом случае паркетные планки располагают параллельно стенам помещения, при этом почти не приходится обрезать планки. Развернутый квадрат — более сложный рисунок, так как планки паркета, собранные в квадраты, располагаются под углом 45° к стенам помещения. Этот рисунок также можно выполнить безотходным способом, но требуется распиливать много планок для заполнения треугольников, образующихся в местах примыкания покрытия к стенам или фризам.


При составлении плана укладки для рисунка прямой квадрат поперек комнаты выкладывают полосу из планок, представляющую собой элемент пола. Следует подбирать планки такой длины, чтобы рисунок лег на плоскость пола симметрично с наименьшим количеством отходов. Для этого стараются уложить поперек комнаты нечетное число полных квадратов. Если планок нужной длины не хватает, для пристенных квадратов подбирают планки других размеров. Причем для квадратов, в которых паркет располагают перпендикулярно длинным сторонам помещения, можно взять планки покороче, а для квадратов с параллельным расположением планок следует подобрать более узкий паркет. При большом фронте работ это всегда возможно. Если план укладки составлен правильно, то отпиливать концы планок придется только по окончании настилки у одной из коротких сторон помещения.


Кроме того, при составлении плана определяют место маячного ряда квадратов, для чего натягивают шнурок. При наклейке паркета на холодных мастиках место для маячного ряда рекомендуется выбирать в наиболее удаленной от входа части помещения. В комнатах не слишком вытянутых или квадратных маячный ряд квадратов можно расположить поперек помещения у стены, противоположной входу. В удлиненных помещениях шнурок натягивают всегда вдоль длинной стороны во избежание перекоса рисунка.

Рисунком прямой квадрат укладывают паркет двое рабочих. Рабочий более низкого разряда помогает паркетчику натягивать шнур, обеспечивает его мастикой или гвоздями, если паркет настилают по дощатому основанию, подбирает и подкладывает под руку нужные планки.

Для рисунка развернутый квадрат составление плана настилки начинают с пробной выкладки насухо квадратов с диагональным расположением по отношению к длинной оси помещения. Цель составления плана — выбрать планки таких размеров, чтобы поперек помещения уложилось целое число квадратов. В этом случае получается симметричный рисунок при безотходной настилке паркета.

Пробную выкладку рекомендуется вести по натянутому шнуру, чтобы не сместить линию квадратов с прямой. При бесфризовой настилке шнурок натягивают между двумя противоположными стенами: на расстоянии от короткой наиболее удаленной от входа стены, равном половине диагонали квадрата плюс 15—20 мм на зазор между стеной и полом. Это расстояние откладывают от углов комнаты на длинных противоположных стенах и таким образом получают точки А и Б, между которыми натягивают шнурок.

В слишком вытянутом помещении лучше, если шнурок маячного ряда будет проложен вдоль длинной стороны помещения также на расстоянии, равном половине диагонали квадрата плюс 15—20 мм на зазор.

При настилке паркета рисунком развернутый квадрат с фризами шнурок натягивают не между двумя противоположными стенами, а между линиями, ограничивающими фризовые ряды.

Зная ширину комнаты и имеющиеся в распоряжении паркетчика размеры планок, по длине диагоналей квадратов можно всегда подобрать выгодный размер паркета Наиболее сложная работа при укладке пола развернутыми квадратами заключается в заполнении треугольного пространства, образующегося в пристенных или прифризовых рядах. Это пространство по площади составляет точно половину квадрата, которыми выложен пол. Для заполнения этих мест один рабочий набирает из планок насухо квадраты принятых размеров, а квалифицированный паркетчик разрезает их точно по диагонали на две половины и укладывает эти половины в образовавшиеся в крайних рядах пространства.

В помещениях, в которых хотят создать впечатление меньшей площади или разграничить одно большое помещение на части различного назначения, например в больших залах, основной рисунок в елку перерезают дорожками, выложенными рисунком «прямой». Иногда этим рисунком выкладывают весь пол.

Прямой рисунок особенно красив, если его укладывают из планок длиной 35—40 см и шириной 3,5—4 см. Обычно применяют два вида рисунка прямой, различающиеся между собой расположением торцовых стыков. В небольших помещениях возможна также укладка этого рисунка без строгого расположения стыков.

Укладывать паркет прямым рисунком, как правило, несложно, поэтому составлять план укладки не требуется. Все же при работе в больших помещениях, чтобы не скосить рисунок, желательно натягивать шнурок вдоль длинной оси помещения, близко к его центральной оси. Рисунок прямой без строгого расположения торцовых стыков можно выполнять из паркета любой длины, но обязательно одинаковой ширины.

В помещениях большой ширины, близко расположенных к наружной двери, а также у наружных стен со сплошными доходящими до пола стеклянными витражами применять этот рисунок не рекомендуется. Практика показывает, что полы из штучного паркета с рисунком прямой набухают и коробятся даже при небольшом Увлажнении.

Это объясняется тем, что все паркетные планки располагают параллельными рядами вдоль оси помещения, а Древесина, как известно, испытывает наибольшие деформации при увлажнении в направлении поперек волокон.


При настилке полов в небольших помещениях (например, в коридорах жилых квартир, гардеробных комнатах, встроенных шкафах) используют остающийся мелкий паркет, обрезки и отходы от настилки полов в больших помещениях. Чаще всего для утилизации всякой мелочи пользуются рисунком «ковер». Этот рисунок составляют из рядов коротких планок, расположенных в коридорах перпендикулярно направлению движения. Каждый ряд отделяют от другого линейкой. Ею же обрамляют весь участок пола. Такой рисунок выполняют обычно только с предварительной пробной выкладкой без разметки пола и прокладки шнура. В небольших помещениях незначительная косина рисунка не заметна, а большую косину исправляют на глаз. В больших парадных помещениях штучный паркет можно настилать различными сложными узорами.


Для того, чтобы начать разговор о паркетах, сперва следует определиться с методом составления паркетов - параллельным переносом .


1. Возьмите мозаику, постройте узор из 3-5 фишек и попросите ребёнка сделать узор, многократно повторяющий Вашу фигуру.

2. Подумайте, где в жизни можно увидеть параллельный перенос? Придумайте побольше вариантов. Даю одну подсказку: цепочка следов на снегу :)

Следующие узоры Эшера состоят из фигур, заполняющих всю плоскость без наложений при параллельных переносах :




Увлечь ребёнка составлением паркетов можно, например, через составление аппликациий из подобных "птичек":


М.Эшер говорил: «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам».

This third edition of the book contains 42 periodic drawings (30 black-and-white and 12 in colour) by the world-famous Dutch artist, M. C. Escher. Their symmetry aspects are discussed by Professor Caroline MacGillavry.

Image alt

М.Эшер интересовался всеми видами мозаик: •регулярными (регулярное замощение плоскости возможно только тремя правильными многоугольниками: треугольником, квадратом и шестиугольником ) •нерегулярными (нерегулярные мозаики образуют не повторяющиеся узоры) •Эшер ввёл собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

Изображения всех геометрических фигур, используемых в картинах М.Эшера: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, треугольник, ромб и шестиугольник .

Так как с помощью круга нельзя построить паркет (круги заполняют плоскость с промежутками), то художник не использовал эту геометрическую фигуру.

Описание изображения

Расчертив рисунок параллельными прямыми и получив таким образом сетку квадратов, видим, что паркет получен параллельными переносами квадратов. Если раньше паркет можно было составить из "птичек", то сейчас паркет можно составить из квадратов, содержащих одинаковые фрагменты "птичек".

Рисунки из книги: Наглядная геометрия. 5-6 кл.: пособие для общеобразовательных учреждений / И.Ф.Шарыгин, Л.Н.Ерганжиева. – 14 изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2012. – 189, [3] с.: ил.




М.Эшер всю жизнь мечтал, что его многочисленные мозаики станут украшением полов и стен. Его рисунок для паркета «Ящерицы» («Lizard») был воплощен в форме паркетных досок в испанской компании Arbore, которая специализируется на дизайне полов. Такой пол стал единственным в своем роде. Проект был реализован в одной квартире в Мадриде, где компания Arbore отвечала за оформление полов. Рисунок был существенно упрощен, но любой, даже мельком глянувший на него, сразу узнает фирменный узор в виде ящериц.

Читайте также: