Сколько есть вариантов формы пятиугольника при которой можно сделать паркет без пробелов

Обновлено: 28.04.2024

Недавно математикам из Вашингтонского университета в Ботелле удалось обнаружить новый тип пятиугольного паркета. Он стал пятнадцатым, известным на настоящий момент. Мы предлагаем читателю разобраться в том, что это вообще за паркеты такие и какие у них есть замечательные свойства.

UPD. Эта статья была написана в 2015 году, когда было открыто 15-е семейство пятиугольников, которые могут замостить плоскость. В июле 2017 года стало известно, что француз Михаэль Рао доказал, что ничего, кроме этих семейств, нет. В частности работа Рао заканчивает классификацию замощений выпуклыми многоугольниками.

Начнем, собственно, с понятия паркета, которое еще называют замощением. Паркетом называют разбиение плоскости на многоугольники так, что любые две фигуры пересекаются либо по целой стороне, либо по вершине, либо не пересекаются вообще. Разумеется, придумать таких разбиений можно очень много, но нас будут интересовать только достаточно симметричные паркеты.

Самый простой тип паркета, называемый платоновым, — это паркет из правильных n-угольников, то есть многоугольников, у которых все углы и все стороны равны.

Всего таких паркетов три штуки: плоскость могут замощать только правильные треугольники, четырехугольники (они же квадраты) и шестиугольники. Доказать это достаточно легко. Сумма углов многоугольника считается по формуле 180(n - 2). Соответственно, величина угла правильного n-угольника в этом случае составляет 180(n - 2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов (скажем, k штук), причем их сумма должна быть равна 360 градусам. Получаем на эти два целых числа следующее тождество k(n - 2) = 2n. Легко показать перебором, что это равенство разрешимо только для n = 3, 4 и 6.

Забавно, что если отказаться от условия правильности многоугольника, и, скажем, рассмотреть паркеты, составленные только из выпуклых многоугольников (то есть многоугольников, у которых все углы меньше 180 градусов), то выяснится, что сторон в таких многоугольниках все равно не может быть больше шести. Доказывается это, впрочем, несколько сложнее. Если отказаться от условия выпуклости, то семиугольник вполне может замощать плоскость.

Изображение: Wikimedia Commons

Что касается разрешенных для паркета многоугольников, то про них можно сказать вот что. Замостить плоскость можно любым треугольником — достаточно составить из него и повернутой копии параллелограмм. Произвольный четырехугольник на роль паркета также подходит.

С шестиугольниками все любопытнее. Например, можно взять платоново замощение и начать его растягивать по одному из направлений. В результате получится паркет из уже не правильных шестиугольников. Оказывается, впрочем, что такое растягивание (как и некоторые, более хитрые преобразования) сохраняет фиксированный набор свойств.

Чтобы описать их, обозначим углы шестиугольника как A, B, C, D, E, F, а стороны как a, b, c, d, e, f. При этом считаем, что сторона a примыкает к углу A справа и все стороны и углы названы по часовой стрелке. В 60-е годы прошлого века была доказана замечательная теорема: шестиугольником можно замостить плоскость тогда и только тогда, когда он принадлежит одному или более из трех классов (классы тут пересекаются, скажем, правильный шестиугольник принадлежит всем трем) :

A + B + C = 360
A + B + D = 360, a = d, c = e
A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.

Долгое время этот список считался полным, пока в 1968 году Роберт Кершнер вдруг не обнаружил еще три таких класса. В 1975 году математик Ричард Джеймс увеличил это число до девяти. Тут в истории начинается самое интересное — об открытии Джеймса написал журнал Scientific American. Статью увидела Мардж Райс, американская домохозяйка и по совместительству математик-любитель. Разработав собственную систему записи пятиугольных замощений она за 10 лет довела их количество до 14.

Изображение: Wikimedia Commons

И вот, наконец, спустя 30 лет ученые из Вашингтонского университета в Ботелле открыли 15-е замощение. Сделали они это с помощью компьютера: в этом университете проект по численному изучению замощений с участием студентов ведется уже несколько лет. Один из участников группы, Кейси Манн признается, что сделано это было с помощью достаточно большого перебора. То есть никакого серьезного продвижения за этим открытием не стоит.

Замощения с единственной выпуклой плиткой — не единственные и, пожалуй, не самые любопытные. Если разрешить использовать в паркете несколько плиток, то свойства замощения станут интереснее. Если все эти плитки — правильные многоугольники, то уже для конечного набора плиток существует бесконечное число таких замощений.

Чтобы получить что-то любопытное, можно попытаться сузить класс паркетов. Такое сужение хорошо известно и называется однородными замощениями. Однородным называется паркет, в котором подходящим преобразованием плоскости (поворотом и сдвигом то есть) любую вершину паркета можно перевести в любую другую. В каком-то смысле в таком паркете все вершины равноправны, а глобальное устройство паркета является следствием его локальной структуры.

Заметим, что упоминавшиеся ранее платоновы замощения являются однородными. Так вот, помимо этих трех существует еще восемь однородных замощений, состоящих из правильных многоугольников. Их еще называют архимедовыми замощениями.

Изображение: Wikimedia Commons

Наконец, самый экзотический класс — это непериодические и апериодические замощения. Как ни странно, но эти два термина обозначают разные классы математических объектов. В первом случае разбиение, о котором идет речь, не должно иметь трансляционной симметрии. Это означает, что разбиение такое хитрое, что нет вектора, сдвиг на который переводил бы это разбиение в себя.

Приведем два таких непериодических примера. Первый паркет — это замощение сфинкса. Сфинксом называют невыпуклый пятиугольник, который получается из шести правильных треугольников. Штука в том, что и из четырех одинаковых сфинксов можно склеить сфинкса, который будет подобен (в смысле подобных треугольников) исходному. Повторяя этот процесс (как показано на этой гифке), можно построить самоподобное замощение плоскости.

Другой пример непериодического паркета — замощение Фодерберга. Оно состоит из невыпуклых девятиугольников. Замощение стартует с одного многоугольника, затем вокруг двух его вершин конгруэнтные многоугольники выкладываются спиралью. Со временем ветви спирали раскручиваются и получается непериодическое замощение.

Оба примера роднит то, что в обоих случаях из того же набора плиток можно составить периодические замощения (это предлагается проверить читателю в качестве задачи). Апериодическим замощением называется паркет, исполненный таким набором плиток, что из них нельзя сложить ни одно периодическое замощение. Самое, пожалуй, известное апериодическое замощение — это мозаика Пенроуза, состоящая из двух плиток.

Существуют ли апериодические замощения из одной плитки — этот вопрос до сих пор открыт. Единственное, что, как уже говорилось выше, если такие замощения и существуют, то они должны быть пятиугольными.

Современная математика все менее доступна для популярного изложения. Это связано с тенденцией, восходящей еще к программе Николя Бурбаки, предполагающей аксиоматическое изложение на основе теории множеств самой точной из наук и отказ от геометрического описания в пользу алгебраического. Несмотря на экстремальное повышение степени абстракции современной математики, в этой древней науке до сих пор совершаются открытия, понять смысл которых можно сразу. Последнее из них — новый тип пятиугольного паркета: выпуклые пятиугольники, которыми можно замостить плоскость без пробелов и наложений. Эту статью мы включили в число лучших публикаций 2015 года. Другие лучшие материалы можно посмотреть пройдя по этой ссылке.

Поиск и классификация многоугольных паркетов является наглядной и интересной задачей теории замощений современной комбинаторной геометрии. К настоящему времени математикам известно, что любым треугольником и четырехугольником можно замостить плоскость, а также то, что существуют только три типа выпуклых шестиугольников, способных это сделать (многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону).

Выпуклыми фигурами, имеющими более шести сторон, замостить плоскость невозможно. Это же невозможно сделать и при помощи правильных пятиугольников (пентагонов) — выпуклых многоугольников, все пять сторон которых равны друг другу. Таким образом, в настоящее время задача классификации многоугольных паркетов сводится к определению всех типов пятиугольных паркетов. Однако до сих пор математикам не известно точное число типов пятиугольников, способных замостить плоскость.

Первую классификацию пятиугольных паркетов осуществил в 1918 году в своей докторской диссертации аспирант Франкфуртского университета Карл Рейнхард. Он описал пять типов пятиугольных паркетов, а также доказал, что существует всего три типа шестиугольных паркетов. Спустя полвека, в 1968 году, американский математик Ричард Киршнер в журнале The American Mathematical Monthly сообщил об открытии еще трех типов пятиугольных паркетов и утверждал (правда, без доказательств), что вместе с фигурами Рейнхарда он перечислил все выпуклые пятиугольники, которыми можно замостить плоскость.

Математики из Вашингтонского университета в Ботелле открыли новый тип пятиугольных паркетов — выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить плоскость без пробелов и наложений. Ранее было известно только 14 типов таких пятиугольников, последний из которых был открыт 30 лет назад. Об этом сообщает издание The Guardian.

Проблема нахождения и классификации паркетных многоугольников является одной из наиболее актуальных в современной комбинаторной геометрии. Известно, что любым треугольником и выпуклым четырехугольником можно замостить плоскость, а также то, что существуют только три типа выпуклых шестиугольников, способных выполнить такую же задачу.

Открытый учеными 15-й тип пятиугольного паркета

Изображение: Casey Mann

Выпуклыми фигурами, имеющими более шести сторон, замостить плоскость невозможно. Математикам в настоящее время не известно точное число типов пятиугольников, способных замостить плоскость.

Первую классификацию таких пятиугольников осуществил к 1918 году математик Карл Рейнхард, описавший пять типов фигур. В период с 1968 по 1985 год четырьмя другими учеными были найдены еще девять типов аналогичных многоугольников. Открытие американскими учеными 15-го типа пятиугольников стало первым за последние 30 лет.

Известные науке 15 типов пятиугольных паркетов

Изображение: Ed Pegg / Wikipedia

Манн также отметил, что пока не знает, найдут ли он и его коллеги новые типы пятиугольников, которые могут замостить плоскость. С этой целью математики собираются продолжить свои исследования, представляющие собой перебор на компьютере существующих возможностей.

Как замечает Манн, исследование пятиугольных фигур представляет не только академический, но и практический интерес. «Многие структуры, которые мы видим в природе, например капсиды вирусов, состоят из специальным образом формирующих свою геометрию и динамику строительных блоков, объединяющихся вместе для формирования структуры большего масштаба», — говорит математик.

Математики из филиала Вашингтонского университета в Ботелле обнаружили новый, пятнадцатый способ замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками. Об этом сообщает The Guardian.

Замощением плоскости или паркетом называется разбиение этой плоскости на равные многоугольники с условием так, что любые два многоугольника имеют либо общую вершину, либо общую сторону, либо не имеют общих точек вообще.

Существует несколько теорем, которые описывают возможные паркеты для выпуклых многоугольников. Известно, что любым треугольником и четырехугольником (кстати, и невыпуклым тоже) плоскость замостить можно. Также, в 60-х годах была доказана теорема, что существует всего три вида выпуклых шестиугольников, из которых можно собрать паркет. Кроме этого для выпуклых многоугольников с количеством сторон больше шести паркетов не существует.

Ситуация с пятиугольниками намного сложнее: на настоящий момент не существует теоремы, описывающей классификацию замощений плоскости выпуклыми пятиугольниками. Последний до недавнего времени паркет за номером 14 был открыт математиком-любителем Маржори Райс в 1985 году.

Материалы по теме

Дубликаты не найдены

Мне кажется, эту картинку тоже надо бы прикрепить

Автор, вам не надоело давать заголовки, но ничего не пояснять в посту? Как то нехорошо так поступать.

Так если посмотреть список его постов, становится понятно что он пиарит какой-то сайт.

Интересно, с администрацией это согласовано?

Тот сайт вполне интересный, я на него давно подписан. До пикабу.
Но некорректно размещать только заголовки. Нафиг такие посты на пикабу?

А то что их тут двое и они частенько баянят?

Рисуночки от образовача – это конечно здорово, но баянистости это не отменяет.

Тут я не компетентен.

ебаные невозможные фракталы

Уже куча было доказательств, после которых снова находили новый вид замощения. С 1:24:24 об этом.

Гексагональные пятиугольники, самые обычные, то есть допустимые, это же математики.

О сообществе

Мы любим науку и популяризируем её! Мы — лига науки Пикабу!

Основные условия публикации

– Посты должны иметь отношение к науке, актуальным открытиям или жизни научного сообщества и содержать ссылки на авторитетный источник.

– Посты должны по возможности избегать кликбейта и броских фраз, вводящих в заблуждение.

– Научные статьи должны сопровождаться описанием исследования, доступным на популярном уровне. Слишком профессиональный материал может быть отклонён.

– Видеоматериалы должны иметь описание.

– Названия должны отражать суть исследования.

– Если пост содержит материал, оригинал которого написан или снят на иностранном языке, русская версия должна содержать все основные положения.

Не принимаются к публикации

– Точные или урезанные копии журнальных и газетных статей. Посты о последних достижениях науки должны содержать ваш разъясняющий комментарий или представлять обзоры нескольких статей.

– Юмористические посты, представляющие также точные и урезанные копии из популярных источников, цитаты сборников. Научный юмор приветствуется, но должен публиковаться большими порциями, а не набивать рейтинг единичными цитатами огромного сборника.

– Посты с вопросами околонаучного, но базового уровня, просьбы о помощи в решении задач и проведении исследований отправляются в общую ленту. По возможности модерация сообщества даст свой ответ.

– Оскорбления, выраженные лично пользователю или категории пользователей.

– Попытки использовать сообщество для рекламы.

– Многократные попытки публикации материалов, не удовлетворяющих правилам.

– Нарушение правил сайта в целом.

Окончательное решение по соответствию поста или комментария правилам принимается модерацией сообщества. Просьбы о разбане и жалобы на модерацию принимает администратор сообщества. Жалобы на администратора принимает @SupportComunity и общество пикабу.

Французский математик Михаэль Рао из Лионского университета закончил решение задачи о замощении плоскости выпуклыми многоугольниками. Препринт работы можно посмотреть на странице ученого.

Многоугольник называется выпуклым, если все его углы меньше 180 градусов или, что то же самое, вместе с любой парой точек такой многоугольник содержит и отрезок, их соединяющий. Задача о замощении (еще ее называют задачей о паркете) формулируется так: пусть плоскость разбита на многоугольники так, что любые два многоугольника либо не имеют общих точек, либо имеют только граничные общие точки. Если все многоугольники такого разбиения одинаковы (то есть один в другой можно перевести композицией сдвига, поворота или осевой симметрии), то говорят, что многоугольник замощает плоскость. Задача звучит так: описать все выпуклые многоугольники, замощающие плоскость.

Используя некоторые комбинаторные рассуждения, можно доказать, что у такого многоугольника может быть только 3, 4, 5 или 6 сторон. Легко проверяется, что плоскость можно замостить любым трех- и четырехугольником. Об этом подробнее можно прочитать в нашем материале «Пять углов».

Чтобы описать все шестиугольники, обозначим их углы как A, B, C, D, E, F, а стороны как a, b, c, d, e, f. При этом считаем, что сторона a примыкает к углу A справа и все стороны и углы названы по часовой стрелке. В 60-е годы было доказано, что все шестиугольники, которыми можно замостить плоскость, принадлежат как минимум одному из трех классов (классы тут пересекаются, скажем, правильный шестиугольник принадлежит всем трем) :

A + B + C = 360
A + B + D = 360, a = d, c = e
A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.

Все 15 известных пятиугольных замощений

Самый сложный случай — случай пятиугольного паркета. В 1918 году математик Карл Райнхардт описал пять классов таких паркетов, простейшим из которых был класс пятиугольников с условием, что найдется сторона, сумма примыкающих к которой углов равна 180 градусам. В 1968 году Роберт Кершнер нашел еще три таких класса, а в 1975 году Ричард Джеймс нашел еще один. Про открытие Джеймса написал журнал Scientific American, статью в нем увидела американская домохозяйка и математик-любитель Мардж Райс, которая вручную за 10 лет нашла еще 5 семейств.

Последнее продвижение в задаче о замощении произошло в августе 2015 года. Тогда математики из филиала Вашингтонского университета в Ботелле с помощью компьютерной программы нашли 15-й класс пятиугольных паркетов. В своей новой работе Михаэль Рао свел задачу классификации пятиугольных паркетов к перебору 371 вариантов. Варианты он перебрал на компьютере и показал, что ничего, кроме 15-ти уже известных классов замощений, не существует. Тем самым он окончательно закрыл задачу о замощении.

Читайте также: