Проект паркет из правильных многоугольников

Обновлено: 05.05.2024

исследовательский проект учащихся 6 класса, в котором они отвечают на вопросы - сколько существует правильных паркетов? Как их построить? Где они встречаются?

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Правильные паркеты Красота спасет мир? Основополагающий вопрос: Гипотеза: Правильных паркетов конечное число? 2) Как их построить?

Учебные вопросы : Определение правильных многоугольников Построение правильных многоугольников Вычисление углов правильных многоугольников Определение групп : Историки Теоретики Строители

Задания для групп: Изучить историю данного вопроса используя научную литературу и интернет ресурсы ; Найти определение правильных паркетов, ответить на вопрос – « сколько их существует и почему?» Построить все правильные паркеты используя цветной картон и чертежные инструменты

История История паркета насчитывает несколько тысячелетий. Более тридцати веков назад люди начали использовать древесину для оформления пола в жилище. Слово «паркет» появилось во Франции, откуда в Европу пришла мода на фанерованный паркет. Там же впервые начали изготавливать щитовой и мозаичный пол из древесины. В России активно использовать паркет начали лишь в 18 веке, во время строительства Эрмитажа.

Сколько сходится многоугольников в одной звезде? Звездой вершиной называется фигура, образованная всеми многоугольниками, содержащими её. 360⁰

Сколько всего правильных паркетов? Как они устроены? Подобно тому как при бесчисленном множестве многогранников вообще существует лишь конечное число правильных многогранников, так и при бесчисленном множестве паркетов существует лишь конечное число правильных паркетов. Решение нашей задачи естественно начать с исследования вершин паркета. Из определения правильности сразу вытекает принцип эквивалентности вершин: любые две вершины устроены одинаково в том смысле, что звезды всех вершин одинаковы.

Число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°). Многоугольника с углами по 180 градусов не существует Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, не может превышать 6 (360°/60°) 180⁰ 180⁰

Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - два варианта паркета; (3,4,4,6) - четыре варианта; (3,3,3,4,4) - четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках - обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 - правильный шестиугольник, 12 - правильный двенадцатиугольник ). Некоторые варианты паркета показаны на следующих иллюстрациях:

Геометрические паркеты Паркет (или мозаика) - бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек; но мы будем рассматривать как правильные, так и неправильные многоугольники. Итак, какими же многоугольниками можно замостить плоскость ?

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Спецкурс «Симметрия в орнаментах, бордюрах, паркетах, замощениях».

Все в мире подчиняется закону гармонии. С древних времен многие народы владели представлением о симметрии в широком смысле - как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлен.

Занятие кружка по наглядной геометрии в 6 классе по теме: "Паркет. Геометрия и гармония".

Тема занятия кружка по наглядной геометрии 6 класса: " Паркет, геометрия и гармония". Раздел курса: " Симметрия, Бордюры и орнаменты". Автор курса: Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. учебное пособие .

занятие кружка по наглядной геометрии в 6 классе по теме : "Паркет. Геометрия и гармония"

Материал для проведения занятия кружка по наглядной геометрии в 6 классе по теме: "Паркет. Геометрия и гармония". Раздел: "Симметрия." Этот материал можно использовать для проведения внеклассного заня.

Проектно-исследовательская работа по теме"Паркеты"

Паркеты и математика. История паркетов. Гипотеза:о бесконечном множистве правильных паркетов.(доказательство).

Интегрированный урок "Правильные многоугольники и паркеты"

Этот урок расчитан на два часа, объединяет урок математики и информатики. На уроке дети в ходе Деловой игры выполняют практические расчеты, работают с компьютером, а также урок со.

Проект "Паркеты" 9 класс

1 этап. Начальный. На уроках геометрии учащиеся получают начальные сведения о правильных паркетах;решение задачи о том, из каких правильных многоугольников может быть составлен правильн.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов

Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!

Курс повышения квалификации

Авторская разработка онлайн-курса

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету "Математика" в условиях реализации ФГОС ООО

Сейчас обучается 103 человека из 37 регионов

Курс повышения квалификации

Геймификация как универсальная технология развития внутренней учебной мотивации школьников

«Обзор традиционных и современных методик для формирования навыков арифметических вычислений в уме у младших школьников»

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Паркет из правильных многоугольников Выполнила Калугина Екатерина

Цель и задачи проектной работы. Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме. Изучить геометрические приёмы составления паркетов. Ознакомится с историей паркетов. Проблема Вопрос: из каких фигур можно составить правильный паркет, и какой количество этих фигур нужно использовать. анализ литературы; систематизация материала; метод аналогии. При работе над проектом я пользовалась материалом из книг, журналов, использовала Интернет - ресурсы. Методы исследования:

«Историческая справка» Паркет-французское слово. В ср. в. во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры исчезли, паркетные полы стали частью интерьера В России, стране с холодным климатом и огромным количеством лесов, зарождение паркета было лишь вопросом времени. Паркетные полы были нововведением Петра I цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) дубовые. Паркет в Эрмитаже Царицыно Екатерининский зал большого дворца

Теория Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, звенья которой не пересекаются. Пра́вильный многоуго́льник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы Паркет - заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом. Полуправильный паркет-это паркет, при составлении которого использовалось несколько правильных многоугольников с различным числом сторон. В основе любого паркета лежит математическая строгость организации формы, простая или усложненная система поворотов, узор, который строится на симметрии или при помощи параллельного переноса.

Паркеты из одинаковых (одноименных) правильных многоугольников Главное условие, необходимое для построения паркетов: •Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга. Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство: m*180º*(n-2)/n=360º. Величина угла правильного n-угольника равна 180º*(n-2)/n После преобразований получим: m=2*n/(n-2), m – натуральное число.

m=2*n/(n-2), m – натуральное число Если n=3, m=6 (6 треугольников в узле). Если n=4, m=4 (4 четырёхугольника в узле). Если n=5, m=3,333333… Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя. Если n=6, m=3 (шестиугольника) Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя! Правильный паркет можно построить из: правильных треугольников; правильных шестиугольников; правильных четырехугольников; Паркеты из одинаковых (одноименных) правильных многоугольников

1 2 3 4 5 6 1+2+…=360 Вид паркета 60 60 60 60 60 60 Паркет из 3-ов правильный 1 2 3 4 5 6 1+2+…=360 Вид паркета 60 60 60 60 120 Паркет из 3-ов и 6-ка полуправильный 1 2 3 4 5 6 1+2+…=360 Вид паркета 60 60 60 90 90 Два паркета из 3-в и 4-в полуправильный 1 2 3 4 5 6 1+2+…=360 Вид паркета 60 60 120 120 Паркет из 3-в и 6-в полуправильный 1 2 3 4 5 6 1+2+…=360 Вид паркета 60 90 90 120 Паркет из 3-в, 4-в и 6-в полуправильный

Практическая работа 40 050рублей 30 150‬ рублей 3 м 1,5 м

Остальные виды паркетов. Квазиправильный паркет (или многогранник)— однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа. Сферический паркет или сферический многогранник —разбиение сферы на сферические многоугольники дугами больших кругов. Неоднородные паркеты. Существует бесконечное множество неоднородных паркетов, состоящих из правильных много угольников.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

Свидетельства для портфолио
Вечный доступ за 120 рублей
311 видеолекции для каждого

Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.

Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.

С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

В моей работе я буду рассматривать геометрические паркеты из многоугольников.

Цель и задачи проектной работы.

1.Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.

2.Изучить геометрические приёмы составления паркетов.

3. Научиться строить паркеты с помощью графического редактора « Paint », входящего в стандартный пакет Microsoft Office .

4.Развитие умений и навыков исследовательской работы.

Выдвинута проблема. Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?

Объект исследования - паркеты.

Методы исследования: анализ литературы; систематизация материала; метод аналогии.

При работе над проектом я пользовалась материалом из книг, журналов, использовала Интернет - ресурсы.

1. Историческая справка.

Слово "паркет" имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены.

Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.

Сейчас, в начале ХХI века, несмотря на развитие науки и техники, можно сомневаться - все ли технологические тайны старых мастеров-паркетчиков удалось восстановить. Можно сказать, что благодаря буквально нескольким мастерам - реставраторам искусство художественного паркета в нашей стране сохранилось до наших дней.

Паркет в Итальянском зале Паркет начала 18 века

Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.

2. Геометрические п аркеты.

П аркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.

2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.

1.Из каких правильных одноименных многоугольников можно составить паркет?

Предположение: правильные паркеты получатся из квадратов, шестиугольников и треугольников.

В природе и в жизни человека паркеты встречаются часто. Например: шахматная доска и пчелиные соты. Все эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Пример шахматной доски меня убеждает, что из правильных: четырехугольников тоже можно составить правильный паркет.

На примере пчелиных сот убеждаемся, что паркет можно составить и из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт.

В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют

Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?

Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?

Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга).

Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:

Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n -угольников, то должно выполняться равенство:

m *180º*( n -2)/ n =360º. (величина угла правильного n -угольника равна 180º*( n -2)/ n )

После преобразований получим:

Если n =3, m =6 (6 треугольников в узле).

Если n =4, m =4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n =5, m =3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Если n =6, m =3 (шестиугольника)

Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!

Вывод: Наше предположение оказалось верным.

Мы убедились в том, что паркет можно построить из:

правильных треугольников;

правильных шестиугольников;

правильных четырехугольников.

На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

Свидетельства для портфолио
Вечный доступ за 120 рублей
311 видеолекции для каждого

Курс повышения квалификации

Авторская разработка онлайн-курса

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету "Математика" в условиях реализации ФГОС ООО

Сейчас обучается 103 человека из 37 регионов

Курс повышения квалификации

Геймификация как универсальная технология развития внутренней учебной мотивации школьников

«Обзор традиционных и современных методик для формирования навыков арифметических вычислений в уме у младших школьников»

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Паркет из многоугольников»

Что такое паркет? В математике паркетом называют заполнение плоскости повторяющимися фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов.

Виды паркетов Из неправильных многоугольников; Из фигур, полученных комбинацией квадратов; Из фигур, полученных комбинацией половинок и четвертинок окружности. Из правильных многоугольников;

Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны Паркеты из правильных многоугольников.

Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника? Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек. Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов. И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

Из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Углы правильного n-угольника равны 180⁰∙(n-2): n, где n- число сторон многоугольника. С помощью паркета мы можем замостить плоскость. Если в одной точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство: m ∙ 180⁰ ∙ (n-2) : n=360⁰ После преобразования получаем: m = 2 ∙ n : (n-2). Для пятиугольника m получается дробным числом, значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя. Паркеты из правильных многоугольников:

Если при составлении паркета использовать несколько правильных многоугольников с различным числом сторон, то такой паркет называется полуправильным.

Паркеты из неправильных многоугольников Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма. Легко покрыть плоскость параллелограммами

Для заполнения плоскости неправильными четырехугольниками, возьмем произвольный четырехугольник ABCD и построим симметричный ему относительно середины стороны АВ четырехугольник. Исходный обозначим цифрой I, а симметричный - цифрой II. Теперь четырехугольник II отразим симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой III и отразим его симметрично относительно середины стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой IV. Четырехугольники I,II,III,IV примыкают к общей вершине углами A,B,C,D. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам, поэтому четырехугольники заполнят плоскость вокруг общей вершины . Паркеты из неправильных многоугольников

На рисунке приведен паркет, элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника. Паркеты из неправильных многоугольников

Паркеты из фигур, полученных комбинацией квадратов

Паркеты из элементов окружности Паркет можно построить, начав с квадрата.

Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками, в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами. Появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур. Рассмотрим некоторые из возможных способов построения нового паркета. Способы построения паркетов

Способ первый Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) - из правильных треугольников, квадратов, шестиугольников, или из произвольных многоугольников, и выполняем всевозможные преобразования: сжатие, растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков. Пример: паркеты, полученные заменой отрезков "квадратной" сетки некоторыми кривыми или ломаными.

Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Способ второй Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти треугольников Паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки

Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае - накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета. Способ третий

Способ четвёртый Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать. Получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:

Гравюра Эшера «Правильное деление на плоскости III». На ней изображены всадники. Мотив «всадник» построен на основе правильного треугольника.

Вариантов построения паркетов на основе правильных многоугольников – огромное множество! Все зависит от фантазии. Орнамент из мотивов, образуемых одной кривой, но построенный на треугольной сетке с осями симметрии 3-го порядка. Орнамент, построенный на основе правильного шестиугольника и вписанных в него правильных треугольников.

Заключение По результатам работы можно сделать следующие выводы: - паркеты из правильных многоугольников можно сделать только с помощью правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников. с помощью неправильных многоугольников можно придумать огромное количество паркетов. - на основе системы правильных многоугольников можно нарисовать огромное количество «художественных» орнаментов. В основе создания паркета лежит деление плоскости на многоугольники.

Выяснить, число паркетов, составленных из правильных одноимённых многоугольников, конечно?
Создание своего математического паркета.

Изучить информацию о возникновении и развитии паркетного искусства.
Что означает математический паркет, и как его создать.
Рассмотреть примеры не математических паркетов.

Выдвинута проблема: Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?

Объект исследования - паркеты.

Анализ литературы.
Систематизация материала.
Метод аналогии.

Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полу цветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.

Паркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий.

2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.

Плоскость можно покрыть правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек. Из каких же правильных одноименных многоугольников можно составить паркет? Самый простой вариант – это из квадратов. А ещё есть варианты? Давайте разбираться.

Решение нашей задачи естественно начать с исследования вершин паркета.

Сколько сходится многоугольников в одной вершине? Если это квадраты, то четыре. Два многоугольника сходиться не могут, поскольку не существует многоугольника, у которого угол равняется 180 ° . Если сходятся три многоугольника, то каждый угол должен равняться по 120 ° , а это правильный шестиугольник, так как угол вычисляется по формуле:

Легко догадаться, что шесть правильных треугольника тоже образуют вершину паркета, так как 6 ⋅ 60 ° = 360 ° . Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая), следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, не может превышать шести. Итак, в вершине пакета может быть три шестиугольника, или четыре квадрата, или шесть треугольников.

Выясним, а может быть пять многоугольников:

360 ° : 5 = 72 ° - один угол;
, после преобразования, получается, что ,
Вывод: пять многоугольников не может быть.

2.2. Паркеты из полуправильных многоугольников.

Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии, переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами (см. презентация – слайды…)

2.3. Пятиугольные паркеты.

Сложными являются паркеты, составленные из неправильных пятиугольников.

В 1975 году домохозяйка из города Сан-Диего, мать пятерых детей, не имеющая математического образования, украдкой читала ежемесячные издания ScientificAmerican, которые выписывал один из ее интересующихся наукой сыновей. Работая за кухонным столом, Райс открыла новый (первый был открыт в 1918г.) тип пятиугольных паркетов, о чем написала в журнал. С ней познакомилась математик Дорис Шаттшнайдер, при поддержке которой Райс открыла еще три ранее неизвестных вида пятиугольных паркетов. В 1985 году в издании MathematicsMagazineРольфШтайн из Дортмундского университета сообщил об обнаружении 14-го типа пятиугольных паркетов. Он же сообщил, что его открытие завершает перечисление всех типов пятиугольных паркетов и таким образом решает задачу классификации многоугольных паркетов. И только в 2015 году, спустя 30 лет, профессоры Кейси Манн и Дженнифер Маклауд, а также бакалавр Дэвид вон Дюрей из Вашингтонского университета в Ботелле открыли 15-й тип пятиугольного паркета

«Не математические паркеты»

Ма́уриц Корне́лис Э́шер — нидерландский художник-график. Из всех работ Эшера лучше всего известны его орнаменты (или мозаики), то есть периодическое заполнение плоскости одинаковыми фигурами без их пересечений и щелей между ними. Разбивая плоскость на хитроумные комбинации контуров птиц, рыб, пресмыкающихся, млекопитающих и человеческих фигур, Эшер умело включает свои орнаменты в необычайные, подчас озадачивающие неожиданными решениями композиции.

Паркеты Эшера, с причудливым переплетением фигур людей, животных или монстров — это не фантасмагория Сальвадора Дали или Рене Маргитта, а тонкие философские и математические наблюдения.

В заключение, мы хотим представить вашему вниманию паркеты, которые составили сами.

Читайте также: