Паркет из ромбов в тетради

Обновлено: 10.05.2024

Презентация на тему: " ПАРКЕТЫ Паркетом на плоскости называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо." — Транскрипт:

1 ПАРКЕТЫ Паркетом на плоскости называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников, и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом. Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости: а) квадратами; б) правильными треугольниками; в) правильными шестиугольниками.

2 Правильные паркеты На рисунках представлены фрагменты правильных паркетов, составленных из правильных многоугольников с разным числом сторон.

3 Мозаики Пенроуза Примерами более сложных паркетов из многоугольников являются мозаики Р. Пенроуза.

4 Картины М. Эшера (Птицы)

5 Картины М. Эшера (Ящерицы)

6 Картины М. Эшера (Всадники)

7 Картины М. Эшера (Круг)

8 Упражнение 1 Сколько красок потребуется для правильной раскраски паркетов, части которых изображены на рисунке? Ответ: а) 2; б) 3; в) 3; г) 2.

9 Упражнение 2 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

10 Упражнение 3 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

11 Упражнение 4 Изобразите паркет, составленный из треугольников, равных данному. Раскрасьте треугольники в два цвета так, чтобы соседние треугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

12 Упражнение 5 Изобразите паркет, составленный из треугольников, равных данному. Раскрасьте треугольники в два цвета так, чтобы соседние треугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

13 Упражнение 6 Изобразите паркет, составленный из шестиугольников, равных данному. Раскрасьте шестиугольники в три цвета так, чтобы соседние шестиугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

14 Упражнение 7 Изобразите паркет, составленный из шестиугольников, равных данному. Раскрасьте шестиугольники в три цвета так, чтобы соседние шестиугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

15 Упражнение 8 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

16 Упражнение 9 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

17 Упражнение 10 Придумайте пятиугольник, из которого можно составить паркет. Сколько красок потребуется для раскраски этого паркета, чтобы соседние пятиугольники были окрашены разными цветами. Один из возможных пятиугольников изображен на рисунке. Попробуйте составить из него паркет. Ответ: 3.

18 Упражнение 11 Продолжите составление паркета из квадратов и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два квадрата и три треугольника. Раскрасьте квадраты одним цветом, а треугольники – другим. Ответ:

19 Упражнение 12 Продолжите составление паркета из шестиугольников и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два шестиугольника и два треугольника. Раскрасьте шестиугольники одним цветом, а треугольники – другим. Ответ:

20 Упражнение 13 Продолжите составление паркета из шестиугольников, квадратов и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходились шестиугольник, два квадрата и треугольник. Раскрасьте шестиугольники и треугольники одним цветом, а квадраты – другим. Ответ:

21 Упражнение 14 Продолжите составление паркета из восьмиугольников и квадратов, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два восьмиугольника и один квадрат. Раскрасьте восьмиугольники одним цветом, а квадраты – другим. Ответ:

22 Упражнение 15 Продолжите составление паркета из двенадцатиугольников и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два двенадцатиугольника и один треугольник. Раскрасьте двенадцатиугольники одним цветом, а треугольники – другим. Ответ:

23 Упражнение 16 Продолжите составление паркета из двенадцатиугольников, шестиугольников и квадратов, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось двенадцатиугольник, шестиугольник и квадрат. Раскрасьте двенадцатиугольники одним цветом, шестиугольники – другим, а квадраты – третьим. Ответ:

24 Упражнение 17 Составьте паркет из многоугольников, равных данному. Раскрасьте паркет в два цвета так, чтобы соседние многоугольники были окрашены в разные цвета. Ответ:

25 Упражнение 18 Составьте паркет из многоугольников, равных данному. Раскрасьте паркет в два цвета так, чтобы соседние многоугольники были окрашены в разные цвета. Ответ:

Нарисуй в тетради паркет, составленный: а) из одинаковых ромбов; б) из
одинаковых параллелограммов.

Решение

Выполните вычисления с помощью микрокалькулятора и резуль-
тат округлите до тысячных:
3,281 ∙ 0,57 + 4,356 ∙ 0,278 - 13,758 ( Подробнее. )

Привет всем! Нужен ваш совет, как отвечать…
Изобразите силы, действующие на тело, когда оно плавает на поверхности жидкости. ( Подробнее. )

Здравствуйте! Помогите установить соответствие между неравенствами и их решениями: ( Подробнее. )

Здравствуйте! Перед волейбольным турниром измерили рост игроков волейбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из ( Подробнее. )

Вырежи из бумаги 20 одинаковых произвольных треугольников и составь
из них паркет. Всегда ли это можно сделать? Почему?

Презентация на тему: " Паркеты Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую." — Транскрипт:

1 Паркеты Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников, и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом. Теорема. Существует одиннадцать правильных паркетов.

2 Паркет 1 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из треугольников.

3 Паркет 2 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из квадратов.

4 Паркет 3 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из шестиугольников.

6 Паркет 4 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из шестиугольников и треугольников.

7 Паркет 5 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из квадратов и треугольников.

8 Паркет 6 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из квадратов и треугольников.

9 Паркет 7 На рисунке приведен фрагмент еще одного правильного паркета из шестиугольников и треугольников.

10 Паркет 8 На рисунке приведен фрагмент еще одного правильного паркета из шестиугольников, квадратов и треугольников.

11 Паркет 9 На рисунке приведен фрагмент еще одного правильного паркета из двенадцатиугольников, и треугольников.

12 Паркет 10 На рисунке приведен фрагмент еще одного правильного паркета из двенадцатиугольников, шестиугольников и квадратов.

13 Паркет 11 На рисунке приведен фрагмент еще одного правильного паркета из восьмиугольников и квадратов.

14 Паркет из четырехугольников Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников, равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.

15 Паркет из четырехугольников Четырехугольник в предыдущей теореме может быть и невыпуклым.

16 Заполнение плоскости Заполнение плоскости может быть произведено и многоугольниками более сложной формы.

17 Двойственные паркеты Двойственным к правильному паркету называется паркет, вершины которого находятся в центрах правильных многоугольников данного правильного паркета. На рисунке показано образование паркета, двойственного к правильному паркету 6.

18 Вопрос 1 Что называется паркетом? Ответ: Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

19 Вопрос 2 Какой паркет называется правильным? Ответ: Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников, и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

20 Вопрос 3 Какой паркет называется двойственным к правильному паркету? Ответ: Двойственным к правильному паркету называется паркет, вершины которого находятся в центрах правильных многоугольников данного правильного паркета.

21 Вопрос 4 Можно ли составить паркет из равных треугольников произвольной формы? Ответ: Да.

22 Вопрос 5 Можно ли составить паркет из равных четырехугольников произвольной формы? Ответ: Да.

23 Упражнение 1 Изобразите паркет, составленный из треугольников, равных данному. Раскрасьте треугольники в два цвета так, чтобы соседние треугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

24 Упражнение 2 Изобразите паркет, составленный из треугольников, равных данному. Раскрасьте треугольники в два цвета так, чтобы соседние треугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

25 Упражнение 3 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

26 Упражнение 4 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

27 Упражнение 5 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

28 Упражнение 6 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

29 Упражнение 7 Изобразите паркет, составленный из шестиугольников, равных данному. Раскрасьте шестиугольники в три цвета так, чтобы соседние шестиугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

30 Упражнение 8 Изобразите паркет, составленный из шестиугольников, равных данному. Раскрасьте шестиугольники в три цвета так, чтобы соседние шестиугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

31 Упражнение 9 Продолжите составление паркета из квадратов и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два квадрата и три треугольника. Раскрасьте квадраты одним цветом, а треугольники – другим. Ответ:

32 Упражнение 10 Продолжите составление паркета из шестиугольников и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два шестиугольника и два треугольника. Раскрасьте шестиугольники одним цветом, а треугольники – другим. Ответ:

33 Упражнение 11 Продолжите составление паркета из шестиугольников, квадратов и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходились шестиугольник, два квадрата и треугольник. Раскрасьте шестиугольники и треугольники одним цветом, а квадраты – другим. Ответ:

34 Упражнение 12 Продолжите составление паркета из восьмиугольников и квадратов, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два восьмиугольника и один квадрат. Раскрасьте восьмиугольники одним цветом, а квадраты – другим. Ответ:

35 Упражнение 13 Продолжите составление паркета из двенадцатиугольников и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два двенадцатиугольника и один треугольник. Раскрасьте двенадцатиугольники одним цветом, а треугольники – другим. Ответ:

36 Упражнение 14 Продолжите составление паркета из двенадцатиугольников, шестиугольников и квадратов, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось двенадцатиугольник, шестиугольник и квадрат. Раскрасьте двенадцатиугольники одним цветом, шестиугольники – другим, а квадраты – третьим. Ответ:

37 Упражнение 15 На клетчатой бумаге изобразите паркет из шестиугольников и треугольников, аналогичный паркету 4. Ответ:

38 Упражнение 16 На клетчатой бумаге изобразите паркет из квадратов и треугольников, аналогичный паркету 5. Ответ:

39 Упражнение 17 Составьте паркет из каких-нибудь равных пятиугольников? Ответ:

40 Упражнение 18 Можно ли составить паркет из равных семиугольников? Ответ: Нет.

41 Упражнение 19 Заполните плоскость многоугольниками, равными данному. Раскрасьте многоугольники в два цвета так, чтобы соседние многоугольники были окрашены в разные цвета. Ответ:

42 Упражнение 20 Заполните плоскость многоугольниками, равными данному. Раскрасьте многоугольники в два цвета так, чтобы соседние многоугольники были окрашены в разные цвета. Ответ:

43 Упражнение 21 Из каких многоугольников состоят паркеты, двойственные к паркетам, изображенным на рисунках 1 – 3? Ответ: 1) Четырехугольников; 2) шестиугольников; 3) треугольников.

44 Упражнение 22 Из каких многоугольников состоят паркеты, двойственные к паркетам, изображенным на рисунках 4 – 7? Какие у них углы? Ответ: 4) Пятиугольников с углами 60 о, 120 о, 120 о, 120 о, 120 о ; Рис. 5 Рис. 4 Рис. 6Рис. 7 5) пятиугольников, с углами 90 о, 90 о, 120 о, 120 о, 120 о ; 6) пятиугольников с углами 90 о, 120 о, 90 о, 120 о, 120 о ; 7) четырехугольников с углами 60 о, 120 о, 60 о, 120 о.

45 Упражнение 23 Из каких многоугольников состоят паркеты, двойственные к паркетам, изображенным на рисунках 8 – 11? Какие у них углы? Ответ: 8) Четырехугольников с углами 60 о, 90 о, 120 о, 90 о ; Рис. 8 Рис. 10 Рис. 9 Рис. 11 9) треугольников с углами 120 о, 30 о, 30 о ; 10) треугольников с углами 90 о, 60 о, 30 о ; 11) треугольников с углами 90 о, 45 о, 45 о.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов

Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!

Курс повышения квалификации

Особенности методической работы в онлайн-образовании

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

«Традиции или инновации»

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Паркет из многоугольников»

Что такое паркет? В математике паркетом называют заполнение плоскости повторяющимися фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов.

Виды паркетов Из неправильных многоугольников; Из фигур, полученных комбинацией квадратов; Из фигур, полученных комбинацией половинок и четвертинок окружности. Из правильных многоугольников;

Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны Паркеты из правильных многоугольников.

Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника? Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек. Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов. И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

Из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Углы правильного n-угольника равны 180⁰∙(n-2): n, где n- число сторон многоугольника. С помощью паркета мы можем замостить плоскость. Если в одной точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство: m ∙ 180⁰ ∙ (n-2) : n=360⁰ После преобразования получаем: m = 2 ∙ n : (n-2). Для пятиугольника m получается дробным числом, значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя. Паркеты из правильных многоугольников:

Если при составлении паркета использовать несколько правильных многоугольников с различным числом сторон, то такой паркет называется полуправильным.

Паркеты из неправильных многоугольников Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма. Легко покрыть плоскость параллелограммами

Для заполнения плоскости неправильными четырехугольниками, возьмем произвольный четырехугольник ABCD и построим симметричный ему относительно середины стороны АВ четырехугольник. Исходный обозначим цифрой I, а симметричный - цифрой II. Теперь четырехугольник II отразим симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой III и отразим его симметрично относительно середины стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой IV. Четырехугольники I,II,III,IV примыкают к общей вершине углами A,B,C,D. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам, поэтому четырехугольники заполнят плоскость вокруг общей вершины . Паркеты из неправильных многоугольников

На рисунке приведен паркет, элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника. Паркеты из неправильных многоугольников

Паркеты из фигур, полученных комбинацией квадратов

Паркеты из элементов окружности Паркет можно построить, начав с квадрата.

Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками, в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами. Появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур. Рассмотрим некоторые из возможных способов построения нового паркета. Способы построения паркетов

Способ первый Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) - из правильных треугольников, квадратов, шестиугольников, или из произвольных многоугольников, и выполняем всевозможные преобразования: сжатие, растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков. Пример: паркеты, полученные заменой отрезков "квадратной" сетки некоторыми кривыми или ломаными.

Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Способ второй Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти треугольников Паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки

Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае - накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета. Способ третий

Способ четвёртый Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать. Получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:

Гравюра Эшера «Правильное деление на плоскости III». На ней изображены всадники. Мотив «всадник» построен на основе правильного треугольника.

Вариантов построения паркетов на основе правильных многоугольников – огромное множество! Все зависит от фантазии. Орнамент из мотивов, образуемых одной кривой, но построенный на треугольной сетке с осями симметрии 3-го порядка. Орнамент, построенный на основе правильного шестиугольника и вписанных в него правильных треугольников.

Заключение По результатам работы можно сделать следующие выводы: - паркеты из правильных многоугольников можно сделать только с помощью правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников. с помощью неправильных многоугольников можно придумать огромное количество паркетов. - на основе системы правильных многоугольников можно нарисовать огромное количество «художественных» орнаментов. В основе создания паркета лежит деление плоскости на многоугольники.

Паркеты

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

В последнее время использование мотивов различных паркетов в одежде, аксессуарах, дизайне жилища, строительстве зданий является последним «писком» моды. Математическая теория паркетов имеет свое практическое применение: знание её основ будет полезно дизайнерам, строителям, людям, увлекающимся народными ремёслами. Поэтому актуальность данной работы не вызывает сомнения.

С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

Гипотеза: Можно ли составить паркет если знать основные фигуры из которых он составит.

Цель: Определить какие основные геометрические фигуры используются при составлении паркета и разработать образец паркета со своим рисунком

Задачи:

- Подбор и изучение необходимой для исследования литературы.

- Рассмотреть задачи Пенроуза о паркете.

- Определить набор фигур для оформления паркетов.

- Разработать собственный паркетный узор.

Основная часть

2.1. Историческая справка

Долгая история художественного паркета, подарившая мировой культуре многочисленные уникальные шедевры, знала спады и подъемы. В XVII-XIX веках в мире нe было таких разнообразных и высокохудожественных полов, кaк в России. Сейчас этo изысканное ремесло переживает очередной расцвет. Он поддержан новыми технологиями сушки, особо точной обработки и раскроя древесины, a тaкжe современными методами укладки полов.

"Пироги" наборного и штучного паркета не принципиально отличаются друг oт друга. Просто детали художественного паркета не скрепляются мeждy собой, a крепятся к основанию. Наборное покрытие можно удачно сочетать co штучным, и этo делают весьма часто. Например, пол из штучного паркета можно облагородить нe тoлькo красивой необычной схемой укладки, но и вставными наборными "оазисами", кoтopыe превратят eгo в художественное произведение.

2.2. Понятие паркета

Советский энциклопедический словарь дает такое определение паркета: паркет (франц. parquet), небольшие древесные, строганные планки (клепки) для покрытия пола. Паркет изготавливают преимущественно из твердых пород дерева, для художественного паркета используют ценные породы. Различают несколько видов паркета: штучный, наборный (мозаичный), щитовой, паркетные доски.

В нашем проекте будем использовать другое определение паркета:

Парке́т или замощение — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий. Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками, разбиениями плоскости, паркетажами.

Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками).

2.3.Паркеты из правильных многоугольников

Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Ответ на этот вопрос можно найти в задачах о паркетах Пенроуза.

В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами. Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.

Значительно более сложным развитием этой задачи было условие, чтобы структура паркета, составленного из нескольких видов многоугольников и полностью покрывающего плоскость, была не совсем "правильной" или "почти" периодической. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 1970-х годов профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз решил задачу, используя всего два вида ромбов, заполнения плоскости ромбами с острыми углами в 72 и 36° . Их еще называют "толстыми" и "худыми" ромбами.

Рисунок.1. Фотография Роджера Пенроуза и паркет, составленный из ромбов с острыми углами в 72 и 36°

Для получения непериодической картины при укладывании ромбов следует придерживаться некоторых нетривиальных правил их сочетания. Оказалось, что эта простая с виду структура обладает очень интересными свойствами. Например, если взять отношение числа тонких ромбов к числу толстых, то оно оказывается всегда равно так называемому "золотому" числу -1,618. Поскольку это число "не точное", а, как говорят математики, иррациональное, то и структура получается не периодической, а почти периодической. Более того, это число определяет соотношение между отрезками внутри десятиугольников, образующих пятиконечную звезду, - пентограмму, которая считается геометрической фигурой с идеальными пропорциями. Обратите внимание: десятиугольники имеют одинаковую ориентацию, что согласовывает и определяет расположение ромбов, из которых составлена мозаика Пенроуза. Поразительно, что это чисто геометрическое построение оказалось самой подходящей математической моделью для описания открытых в 1984 году квазикристаллов.

Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?

Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?

Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга).

Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:

Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство:

m*180º*(n-2)/n=360º. (величина угла правильного n-угольника равна 180º*(n-2)/n)

После преобразований получим:

m=2*n/(n-2).

Если n=3, m=6 (6 треугольников в узле).

Если n=4, m=4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n=5, m=3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Если n=6, m=3 (шестиугольника)

Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!

Можно сделать вывод: паркет можно построить из правильных треугольников, правильных шестиугольников, правильных четырехугольников.

На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.

2.4. Паркеты, составленные из правильных многоугольников разного вида

Паркет называют правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников.

Среди правильных многоугольников одного и того же периметра, используемых для построения паркета, наибольшей площадью обладает шестиугольник. В природе этот факт находит отражение в форме пчелиных сот. Они похожи на паркеты, составленные из правильных шести угольников, поскольку пчелы, строя соты, инстинктивно стараются сделать их как можно более вместительными и израсходовать при этом как можно меньше воска

Паркетов, состоящих из правильных многоугольников разного вида, довольно много - 11, и все они очень красивы.

Эти паркеты составляются так, чтобы вокруг каждой вершины правильные многоугольники располагались в одном и том же порядке. Такие паркеты называют полуправильными.

Рис.2. правильный паркет Рис.3. Полуправильный паркет

2.5.Геометрический паркет на сферической поверхности и торе

Геометрический паркет встречается не только на плоскости. Примером паркета на поверхности сферы может являться обычный футбольный мяч. Паркет состоит из 12 пятигранников и 20 шестигранников.

Рис.4. Футбольный мяч

В развернутом виде этот паркет представим в следующем виде.

Рис.5. Развертка футбольного мяча.

Тор – поверхность, полученная вращением окружности относительно прямой, лежащей в плоскости этой окружности и не имеющей с ней общих точек.

Рис.6. Пример паркета на торе.

Разбиение поверхности на повторяющийся узор геометрических фигур – тесселяция, от греческого tessere, «четырехугольник» – был знаком мастерам многих древних культур, от арабской до индийской и китайской. Именно мозаики испанской Альгамбры вдохновили Эшера на создание собственного художественного стиля. Сегодня тесселяция используется в видеоиграх, позволяя создавать детализированную компьютерную графику. Ну а математики называют такие структуры просто паркетами, решая самые необычные задачи по замощению поверхностей без промежутков.

Рис.7. Пример тесселяции с помощью треугольников.

2.6. Паркеты, составленные из других фигур

Наиболее яркими примерами паркетов являются паркеты голландского художника – математика Мориса Эшера. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий.

Рис.8. Картины Мориса Эшера

Каким же воображением нужно обладать, чтобы создать столь своеобразные и неповторимые произведения.

Этапы разработки фрагмента паркетного узора

Очень интересные паркеты можно получить, если на исходных фигурах имеется рисунок. После рассмотрения различных паркетных узоров мы выделили следующие этапы их разработки:

Выбрать простую плоскую фигуру, из которой можно получить паркет. (например квадрат)

вырезав из нее кусочек и обязательно добавляем его с противоположной стороны. (или наоборот)

Повторяем эту операцию необходимое количество раз.

Рис.9. Пример разработки паркета.

Заключение

Проведённое исследование показало, что в последнее время оформлению паркета уделяется все больше внимания. И не только в смысле использования различных пород древесины. Хотелось бы заметить, что паркет, как напольное покрытие, недаром пользуется повышенным спросом. Красота настоящего дерева, его неповторимый рисунок и долговечность всегда будут считаться элементом особого шика, а стиль, диктуемый паркетом, сохранится на века.

Однако как показывают поэлементные разборы паркетных узоров, в основе всегда лежит плоская геометрическая фигура чаще всего квадрат, ромб, прямоугольник, которые видоизменяются с помощью параллельных сдвигов сторон фигуры.

Список литературы

Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М.: 1990

Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: 1982

Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: 1959

Васильев Н.Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. - М.: Наука, 1974, с. 15 /Библиотечка физико-математической школы, выпуск 4.

Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. - М.; 1961.

Журнал //Квант. 1979. - № 2. - С.9; 1980. - № 2. - С.25; 1986 - № 8 - С 3* 1987. - № 6. - С.27; 1987. - № 11. - С.21; 1989. - № 11. - С.57.

Журнал //Математика в школе. 1967. – № 3. – С.75; 1986. № 1. – С.59;

Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. - 1999. - № 2. - С.32.

Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. - М.- Наука, 1966, с. 100.

Смирнова И.М. В мире многогранников. - М.: Просвещение, 1995.

Классические паркетные узоры

Основная фигура для паркета прямоугольник

Основная фигура для паркета прямоугольник у которого одна сторона в четыре раза меньше второй

Основная фигура для паркета параллелограмм

Основная фигура для паркета прямоугольник у которого одна сторона в четыре раза меньше второй

Основная фигура для паркета прямоугольник

Основная фигура для паркета квадрат

Основная фигура для паркета правильный шестиугольник

Основная фигура для паркета правильный треугольник

Основой для классических паркетных узоров являются прямоугольник, параллелограмм, квадрат, правильные шести и трёх угольники

Читайте также: