Оригинальный паркет по геометрии
Обновлено: 19.04.2024
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
- Онлайн
формат - Диплом
гособразца - Помощь в трудоустройстве
Видеолекции для
профессионалов
- Свидетельства для портфолио
- Вечный доступ за 120 рублей
- 311 видеолекции для каждого
Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.
Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.
С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.
В моей работе я буду рассматривать геометрические паркеты из многоугольников.
Цель и задачи проектной работы.
1.Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.
2.Изучить геометрические приёмы составления паркетов.
3. Научиться строить паркеты с помощью графического редактора « Paint », входящего в стандартный пакет Microsoft Office .
4.Развитие умений и навыков исследовательской работы.
Выдвинута проблема. Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?
Объект исследования - паркеты.
Методы исследования: анализ литературы; систематизация материала; метод аналогии.
При работе над проектом я пользовалась материалом из книг, журналов, использовала Интернет - ресурсы.
1. Историческая справка.
Слово "паркет" имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены.
Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.
Сейчас, в начале ХХI века, несмотря на развитие науки и техники, можно сомневаться - все ли технологические тайны старых мастеров-паркетчиков удалось восстановить. Можно сказать, что благодаря буквально нескольким мастерам - реставраторам искусство художественного паркета в нашей стране сохранилось до наших дней.
Паркет в Итальянском зале Паркет начала 18 века
Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.
2. Геометрические п аркеты.
П аркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.
2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.
1.Из каких правильных одноименных многоугольников можно составить паркет?
Предположение: правильные паркеты получатся из квадратов, шестиугольников и треугольников.
В природе и в жизни человека паркеты встречаются часто. Например: шахматная доска и пчелиные соты. Все эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Пример шахматной доски меня убеждает, что из правильных: четырехугольников тоже можно составить правильный паркет.
На примере пчелиных сот убеждаемся, что паркет можно составить и из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт.
В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют
Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?
Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?
Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга).
Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:
Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º
Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n -угольников, то должно выполняться равенство:
m *180º*( n -2)/ n =360º. (величина угла правильного n -угольника равна 180º*( n -2)/ n )
После преобразований получим:
Если n =3, m =6 (6 треугольников в узле).
Если n =4, m =4 (4 четырёхугольника в узле).
Если n =5, m =3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.
Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.
Если n =6, m =3 (шестиугольника)
Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!
Вывод: Наше предположение оказалось верным.
Мы убедились в том, что паркет можно построить из:
правильных треугольников;
правильных шестиугольников;
правильных четырехугольников.
На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.
Для того, чтобы начать разговор о паркетах, сперва следует определиться с методом составления паркетов - параллельным переносом .
1. Возьмите мозаику, постройте узор из 3-5 фишек и попросите ребёнка сделать узор, многократно повторяющий Вашу фигуру.
2. Подумайте, где в жизни можно увидеть параллельный перенос? Придумайте побольше вариантов. Даю одну подсказку: цепочка следов на снегу :)
Следующие узоры Эшера состоят из фигур, заполняющих всю плоскость без наложений при параллельных переносах :
Увлечь ребёнка составлением паркетов можно, например, через составление аппликациий из подобных "птичек":
М.Эшер говорил: «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам».
This third edition of the book contains 42 periodic drawings (30 black-and-white and 12 in colour) by the world-famous Dutch artist, M. C. Escher. Their symmetry aspects are discussed by Professor Caroline MacGillavry.
М.Эшер интересовался всеми видами мозаик: •регулярными (регулярное замощение плоскости возможно только тремя правильными многоугольниками: треугольником, квадратом и шестиугольником ) •нерегулярными (нерегулярные мозаики образуют не повторяющиеся узоры) •Эшер ввёл собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.
Изображения всех геометрических фигур, используемых в картинах М.Эшера: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, треугольник, ромб и шестиугольник .
Так как с помощью круга нельзя построить паркет (круги заполняют плоскость с промежутками), то художник не использовал эту геометрическую фигуру.
Расчертив рисунок параллельными прямыми и получив таким образом сетку квадратов, видим, что паркет получен параллельными переносами квадратов. Если раньше паркет можно было составить из "птичек", то сейчас паркет можно составить из квадратов, содержащих одинаковые фрагменты "птичек".
Рисунки из книги: Наглядная геометрия. 5-6 кл.: пособие для общеобразовательных учреждений / И.Ф.Шарыгин, Л.Н.Ерганжиева. – 14 изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2012. – 189, [3] с.: ил.
М.Эшер всю жизнь мечтал, что его многочисленные мозаики станут украшением полов и стен. Его рисунок для паркета «Ящерицы» («Lizard») был воплощен в форме паркетных досок в испанской компании Arbore, которая специализируется на дизайне полов. Такой пол стал единственным в своем роде. Проект был реализован в одной квартире в Мадриде, где компания Arbore отвечала за оформление полов. Рисунок был существенно упрощен, но любой, даже мельком глянувший на него, сразу узнает фирменный узор в виде ящериц.
Работа обучающегося 8б класса МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 46» Тубольцева Максима Руководитель Супруненко М.Б.
Гипотеза: можно составить паркеты только из правильных многоугольников и количество правильных и полуправильных паркетов конечно .
- Цель: подробно изучить паркеты
- Проблема: определить количество правильных паркетов.
- Задачи:
Изучить литературу, интернет-ресурсы по заданной теме. Закрепить знания свойств правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками.
Узнать, встречаются ли математические паркеты в природе.
Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить паркет.
Перечислить правильные и полуправильные паркеты, тем самым определить количество различных паркетов.
Что такое паркет?
Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.
Правильными паркетами называют те, которые можно наложить друг на друга, чтобы все стороны, углы, вершины совпадали.
Если n=5, m=3,333333 …
Для n ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие
Если паркет нельзя наложить на самого себя, то такие паркеты называются полуправильными паркетами или архимедовыми паркетами.
Паркеты в природе.
ПАРКЕТЫ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФИГУР
Паркеты Мориса Эшера
Паркеты Роджера Пенроуза
Паркеты, составленные мной.
Моя гипотеза подтвердилась наполовину. Количество праильных и полуправильных паркетов действительно конечно, их всего 11. Но паркеты можно составить не только из правильных многоугольников и их бесчисленное множество.
Литература и интернет-ресурсы
Колмогоров А.К., Паркеты из правильных многоугольников, Квант, 1970, №13
Михайлов О., Одиннадцать правильных паркетов-Квант, 1979, №2
Данную презентацию можно использовать во внеурочной деятельности.
Просмотр содержимого документа
«Геометрические паркеты»
Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами, которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства.
Слово «паркет» появилось во Франции, откуда в Европу пришла мода на него. В России активно использовать паркет начали лишь в XVIII веке, во время строительства Эрмитажа. Редкие породы древесины в то время почти не использовали. Наибольшее распространение на Руси получили пол из деревянных досок и художественный паркет.
Художественный паркет
Особое внимание хочется обратить на паркеты Эрмитажа, которые поражают своей красотой и разнообразием.
Паркет в Тронном зале
Паркет в Малахитовом зале
Замечательные паркеты придумывал знаменитый голландский художник Морис Эшер. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий.
Таким образом, существует огромное разнообразие паркетов, составленных не только из различных геометрических фигур, но и из различных изображений.
Паркеты из неправильных многоугольников
Паркеты из произвольных фигур
Способ 1.
Берем уже известный нам паркет и выполняем преобразования: сжатие/растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков.
Способ 2
Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов.
Способ 3
Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями.
Способ 4
Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать…получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры.
Паркеты
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
В последнее время использование мотивов различных паркетов в одежде, аксессуарах, дизайне жилища, строительстве зданий является последним «писком» моды. Математическая теория паркетов имеет свое практическое применение: знание её основ будет полезно дизайнерам, строителям, людям, увлекающимся народными ремёслами. Поэтому актуальность данной работы не вызывает сомнения.
С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.
Гипотеза: Можно ли составить паркет если знать основные фигуры из которых он составит.
Цель: Определить какие основные геометрические фигуры используются при составлении паркета и разработать образец паркета со своим рисунком
Задачи:
- Подбор и изучение необходимой для исследования литературы.
- Рассмотреть задачи Пенроуза о паркете.
- Определить набор фигур для оформления паркетов.
- Разработать собственный паркетный узор.
Основная часть
2.1. Историческая справка
Долгая история художественного паркета, подарившая мировой культуре многочисленные уникальные шедевры, знала спады и подъемы. В XVII-XIX веках в мире нe было таких разнообразных и высокохудожественных полов, кaк в России. Сейчас этo изысканное ремесло переживает очередной расцвет. Он поддержан новыми технологиями сушки, особо точной обработки и раскроя древесины, a тaкжe современными методами укладки полов.
"Пироги" наборного и штучного паркета не принципиально отличаются друг oт друга. Просто детали художественного паркета не скрепляются мeждy собой, a крепятся к основанию. Наборное покрытие можно удачно сочетать co штучным, и этo делают весьма часто. Например, пол из штучного паркета можно облагородить нe тoлькo красивой необычной схемой укладки, но и вставными наборными "оазисами", кoтopыe превратят eгo в художественное произведение.
2.2. Понятие паркета
Советский энциклопедический словарь дает такое определение паркета: паркет (франц. parquet), небольшие древесные, строганные планки (клепки) для покрытия пола. Паркет изготавливают преимущественно из твердых пород дерева, для художественного паркета используют ценные породы. Различают несколько видов паркета: штучный, наборный (мозаичный), щитовой, паркетные доски.
В нашем проекте будем использовать другое определение паркета:
Парке́т или замощение — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий. Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками, разбиениями плоскости, паркетажами.
Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками).
2.3.Паркеты из правильных многоугольников
Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Ответ на этот вопрос можно найти в задачах о паркетах Пенроуза.
В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами. Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.
Значительно более сложным развитием этой задачи было условие, чтобы структура паркета, составленного из нескольких видов многоугольников и полностью покрывающего плоскость, была не совсем "правильной" или "почти" периодической. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 1970-х годов профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз решил задачу, используя всего два вида ромбов, заполнения плоскости ромбами с острыми углами в 72 и 36° . Их еще называют "толстыми" и "худыми" ромбами.
Рисунок.1. Фотография Роджера Пенроуза и паркет, составленный из ромбов с острыми углами в 72 и 36°
Для получения непериодической картины при укладывании ромбов следует придерживаться некоторых нетривиальных правил их сочетания. Оказалось, что эта простая с виду структура обладает очень интересными свойствами. Например, если взять отношение числа тонких ромбов к числу толстых, то оно оказывается всегда равно так называемому "золотому" числу -1,618. Поскольку это число "не точное", а, как говорят математики, иррациональное, то и структура получается не периодической, а почти периодической. Более того, это число определяет соотношение между отрезками внутри десятиугольников, образующих пятиконечную звезду, - пентограмму, которая считается геометрической фигурой с идеальными пропорциями. Обратите внимание: десятиугольники имеют одинаковую ориентацию, что согласовывает и определяет расположение ромбов, из которых составлена мозаика Пенроуза. Поразительно, что это чисто геометрическое построение оказалось самой подходящей математической моделью для описания открытых в 1984 году квазикристаллов.
Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?
Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?
Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга).
Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:
Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º
Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство:
m*180º*(n-2)/n=360º. (величина угла правильного n-угольника равна 180º*(n-2)/n)
После преобразований получим:
m=2*n/(n-2).
Если n=3, m=6 (6 треугольников в узле).
Если n=4, m=4 (4 четырёхугольника в узле).
Если n=5, m=3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.
Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.
Если n=6, m=3 (шестиугольника)
Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!
Можно сделать вывод: паркет можно построить из правильных треугольников, правильных шестиугольников, правильных четырехугольников.
На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.
2.4. Паркеты, составленные из правильных многоугольников разного вида
Паркет называют правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников.
Среди правильных многоугольников одного и того же периметра, используемых для построения паркета, наибольшей площадью обладает шестиугольник. В природе этот факт находит отражение в форме пчелиных сот. Они похожи на паркеты, составленные из правильных шести угольников, поскольку пчелы, строя соты, инстинктивно стараются сделать их как можно более вместительными и израсходовать при этом как можно меньше воска
Паркетов, состоящих из правильных многоугольников разного вида, довольно много - 11, и все они очень красивы.
Эти паркеты составляются так, чтобы вокруг каждой вершины правильные многоугольники располагались в одном и том же порядке. Такие паркеты называют полуправильными.
Рис.2. правильный паркет Рис.3. Полуправильный паркет
2.5.Геометрический паркет на сферической поверхности и торе
Геометрический паркет встречается не только на плоскости. Примером паркета на поверхности сферы может являться обычный футбольный мяч. Паркет состоит из 12 пятигранников и 20 шестигранников.
Рис.4. Футбольный мяч
В развернутом виде этот паркет представим в следующем виде.
Рис.5. Развертка футбольного мяча.
Тор – поверхность, полученная вращением окружности относительно прямой, лежащей в плоскости этой окружности и не имеющей с ней общих точек.
Рис.6. Пример паркета на торе.
Разбиение поверхности на повторяющийся узор геометрических фигур – тесселяция, от греческого tessere, «четырехугольник» – был знаком мастерам многих древних культур, от арабской до индийской и китайской. Именно мозаики испанской Альгамбры вдохновили Эшера на создание собственного художественного стиля. Сегодня тесселяция используется в видеоиграх, позволяя создавать детализированную компьютерную графику. Ну а математики называют такие структуры просто паркетами, решая самые необычные задачи по замощению поверхностей без промежутков.
Рис.7. Пример тесселяции с помощью треугольников.
2.6. Паркеты, составленные из других фигур
Наиболее яркими примерами паркетов являются паркеты голландского художника – математика Мориса Эшера. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий.
Рис.8. Картины Мориса Эшера
Каким же воображением нужно обладать, чтобы создать столь своеобразные и неповторимые произведения.
Этапы разработки фрагмента паркетного узора
Очень интересные паркеты можно получить, если на исходных фигурах имеется рисунок. После рассмотрения различных паркетных узоров мы выделили следующие этапы их разработки:
Выбрать простую плоскую фигуру, из которой можно получить паркет. (например квадрат)
вырезав из нее кусочек и обязательно добавляем его с противоположной стороны. (или наоборот)
Повторяем эту операцию необходимое количество раз.
Рис.9. Пример разработки паркета.
Заключение
Проведённое исследование показало, что в последнее время оформлению паркета уделяется все больше внимания. И не только в смысле использования различных пород древесины. Хотелось бы заметить, что паркет, как напольное покрытие, недаром пользуется повышенным спросом. Красота настоящего дерева, его неповторимый рисунок и долговечность всегда будут считаться элементом особого шика, а стиль, диктуемый паркетом, сохранится на века.
Однако как показывают поэлементные разборы паркетных узоров, в основе всегда лежит плоская геометрическая фигура чаще всего квадрат, ромб, прямоугольник, которые видоизменяются с помощью параллельных сдвигов сторон фигуры.
Список литературы
Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М.: 1990
Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: 1982
Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: 1959
Васильев Н.Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. - М.: Наука, 1974, с. 15 /Библиотечка физико-математической школы, выпуск 4.
Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. - М.; 1961.
Журнал //Квант. 1979. - № 2. - С.9; 1980. - № 2. - С.25; 1986 - № 8 - С 3* 1987. - № 6. - С.27; 1987. - № 11. - С.21; 1989. - № 11. - С.57.
Журнал //Математика в школе. 1967. – № 3. – С.75; 1986. № 1. – С.59;
Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. - 1999. - № 2. - С.32.
Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. - М.- Наука, 1966, с. 100.
Смирнова И.М. В мире многогранников. - М.: Просвещение, 1995.
Классические паркетные узоры
Основная фигура для паркета прямоугольник
Основная фигура для паркета прямоугольник у которого одна сторона в четыре раза меньше второй
Основная фигура для паркета параллелограмм
Основная фигура для паркета прямоугольник у которого одна сторона в четыре раза меньше второй
Основная фигура для паркета прямоугольник
Основная фигура для паркета прямоугольник
Основная фигура для паркета квадрат
Основная фигура для паркета правильный шестиугольник
Основная фигура для паркета правильный треугольник
Основой для классических паркетных узоров являются прямоугольник, параллелограмм, квадрат, правильные шести и трёх угольники
Читайте также: