Окно эймса как сделать

Обновлено: 17.05.2024

Эта статеечка для начинающих пользователей Emacs, рассказывает об управлении окнами в этом замечательном редакторе.

Многие пользователи, работающие под Линуксом, так же как впрочем и под другими Unix-ами, а некоторые даже и под Windows, используют в качестве редактора Emacs.

Редактор не просто мощный, а сверхмощный, но как каждая мощная вещь, требует некоторых усилий в освоении. Расскажу про управление окнами.

Несколько слов о терминологии. В Emacs она несколько необычна. То, что обычно мы называем окном, в Emacs называется фреймом (frame). Окном (window) называется некоторая часть фрейма. Обычно окно занимает весь фрейм, но можно разделить фрейм на несколько окон, что очень, очень удобно.

Например команда C-x 2 делит текущее окно по горизонтали на два других окна, команда C-x 3 делает то же самое, но по вертикали, C-x 0 уничтожает текущее окно. Для навигации по окнам есть несколько способов. Первый, это просто кликнуть мышкой по нужному окну. Второй, использовать комбинацию клавиш «перейти к следующему окну», C-x o, команда/функция (other-window). Ну и третий способ, вставить в .emacs строчку:

(windmove-default-keybindings)

Теперь можно двигаться по окнам, используя комбинацию клавиш Shift- или по emacs-овски, , , , .

То же самое можно делать из скриптов.

Таки образом, например определив в нашем файле .emacs функцию:

и вызвав ее на выполнение, мы получим следующую конфигурацию окон:

Лично я, в своем органайзере, на базе org-mode использую вот такую комбинацию:

Интересно, но какая из всего этого польза? Ну например, можем в каждом из окон открыть интересующий нас файл. Модифицируем функцию:

Так, хорошо, но вот если у нас уже поделено пространство на окна, наша функция делит текущее окно на три части, а мы хотим, чтобы наши окна занимали бы весь фрейм. Нет вопросов. Добавляем первой строчкой уничтожение других окон:

Теперь мы хотим, чтобы в правом окне, у нас находился бы всегда один и тот же буфер, с открытым файлом, а Emacs делает хочет, и запросто может поместить в нашем окне нежелательный нам буфер. Применим dedicated-mode. В Ubuntu он находится в пэкидже emacs-goodies. Итак, устанавливаем emacs-goodies. и добавляем в нашу функцию команду:

Обратите внимание на строчку (other-window 1), это мы перегнали курсор в нужное нам окно, и только тогда подали команду (dedicated-mode). Теперь наше правое окно будет всегда связано с буфером файла «file_1».

Эту же самую команду можно подать и интерактивно, она привязана к клавишам ESC M-d.

Иллюзия окна Эймса показывает, как мы не воспринимаем внешнюю реальность напрямую.

мы бля трезвые то не всегда понимаем оптические иллюзии, а ты выложил её , когда все напились..ну спасибо чё.

Как готовится "еда" для рекламы⁠ ⁠

На эту тему уже было два видео: одно гифка про пиццу, одно - обрезанное до одной минуты.

Размещаю, потому что на мой взгляд интересно.

Vsauce: Иллюзии времени⁠ ⁠

Как наш мозг искажает восприятие времени и как технологии влияют на этот процесс.

Майкл рассмотрит несколько типов временных иллюзий, свойственных человеку, и их механизмы на примере истории и поп-культуры.

Ответ на пост «Как создать иллюзию 3Д куба»⁠ ⁠

При просмотре вспомнился этот отрывок речи Нила Деграсса Тайсона об НЛО, эпизод касательно нашей хрупкой и ненадёжной системы восприятия. Речь полностью здесь

Как создать иллюзию 3Д куба⁠ ⁠

Иллюзия⁠ ⁠

Победители конкура «Лучшие иллюзии 2020 года»⁠ ⁠

Оптические иллюзии вводят в заблуждение мозг, раскрывая его необычные механизмы действия. Такие знания ценны для исследователей в области нейробиологии.

На протяжении 15 лет ежегодно выбираются победители конкурса на лучшую иллюзию года. Конкурс был организован парой нейробиологов Сюзаной Мартинес-Конде и Стивеном Макником, чтобы показать яркие примеры сложной работы визуального восприятия. Задача этого конкурса не только в том, чтобы выбрать самые интересные работы. Он призван обеспечить среду для научных исследований человеческого восприятия, которые часто допускают ложное представление о реальности.

В этом году первое место на Конкурс на лучшую иллюзию года выиграл математик Кокичи Сугихара из Университета Мэйдзи в Токио.

Исследователь сделал так называемую 3D версию лестницы Шредера.

Здесь можно увидеть двухстороннюю лестницу. Просто поверните модель на 180 градусов, и лестница будет вести вниз, а не вверх.

Второе место в конкурсе занял Мэтт Причард с его работой «Настоящая вещь??».

В ней изображены две банки кока-колы. Сначала зритель убеждается, что одна из них - всего лишь зеркальное отображение. Но это иллюзия. Сцена была построена таким образом, чтобы показать, как человеческий разум готов принять ложную интерпретацию.

Последнее место на подиуме заняла работа голландца Даниэля Маарлевельда - Impossible grid typography.

Её название объясняет принцип работы 3D-моделей, которые образуют отдельные цифры и буквы. Форма, которая минуту назад была выпуклой, теперь вогнута, а фрагмент, который был наверху, уже находится внизу, без всяких логических объяснений. Эти цифры противоречивы по своей пространственности. Их невозможно построить в реальной жизни. Это просто иллюзия. Её автором является человеческий мозг, который искажает поступающие к нему сигналы и дает неверные интерпретации.

Мне уже под 70, но не разу не смог разглядеть не одной стереокартинки.

Интересно) эту иллюзию первый раз вижу, не считая комнаты.

Эти кубы не двигаются⁠ ⁠

UPD: есть подозрение что кубы всё же двигаются

Магическая линза⁠ ⁠

Как сломать свой мозг:⁠ ⁠

Как будто два разных мира⁠ ⁠

Могут ли кошки видеть оптические иллюзии?⁠ ⁠

ТОП научно-популярных видео недели (11.07.21 – 17.07.21)⁠ ⁠

Здравствуйте! Это подборка самых научно-популярных видео за неделю, по версии подписчиков SciTopus.

На пятом месте «Откуда берется МАССА у частиц?» от канала Физика от Побединского:

На четвёртом месте видео «Лучшая модель атома? [Минутка физики]», Минута Физики:

Канал Vert Dider занял второе место благодаря видео «Стили обучения — это миф [Veritasium]»:

Самым популярным видео недели стало «Эпидемии побеждённые вакцинацией», канал Redroom:

Если вам интересна научно-популярная тематика, то вам может быть полезен наш полный список всех научпоп каналов.

Ответ на пост «Ветромобиль, который смог!»⁠ ⁠

Продолжение истории с "Ветромобилем", автор заключил пари на 10.000$ с профессором Александром Кусенко.

В результате обсуждения и разбора профессор признал поражение.

Вывод: Ветромобиль может двигаться выше скорости ветра.

Ветромобиль, который смог!⁠ ⁠

В этом ролике показали, как болид, гонимый ветром, может двигаться быстрее этого самого ветра.
Мне очень понравилось!
Приятного просмотра!

Великая и Могущественная иллюзия⁠ ⁠

Долго думал куда же он пропадает⁠ ⁠

Пока не построил схематическую модельку.

Теперь все стало предельно понятно.

Жизнь⁠ ⁠

Всё не то, чем кажется. Часть 1 или как нас обманывает наш собственный мозг⁠ ⁠

Всем привет! Я предприниматель и маркетолог (надеюсь, здесь за это не бьют 🤷‍♂️ ) и немного упарываюсь по изучению процессов принятия решений — чтобы использовать это в бизнесе и в то же время знать, как противостоять различного рода маркетинговым манипуляциям — ведь я и сам потребитель.

Я часто слышу утверждение "на меня реклама не действует". Я уверен, что это не так, и реклама действует на всех — даже тех, кто так не думает. В двух постах проиллюстрирую, почему я так в этом уверен. В двух, потому что иначе пост будет уж слишком длинным.

В этой, первой, части покажу, как мы галлюцинируем, а обмануть нас очень легко. Особенно хорошо умеет это делать наш собственный мозг. Но сначала посмотрите этот ролик (английский знать необязательно, смотрите на трюк с картами):

Комментировать ролики не буду, ведь и так все понятно?

Еще для демонстрации идеи покажу оптические иллюзии. Их вы, конечно, видели миллион. Моя любимая эта:

Столы Шепарда. Можете взять линейку и проверить. Но я уже проверил :)

Иллюзия Эббингауза. В этот раз поверите без линейки?

А вот оно в движении:

Понимаете в чем подвох, да?

Еще парочка прикольных:

Фокусируйтесь на красной точке в центре. Заметили что-нибудь?

И снова фокусируемся на центре:

А хотите вообще сломать мозг?

На 56 секунде я завис. Пришлось пересмотреть несколько раз, чтобы понять, в чем подвох.

Не могу удержаться, вот вам еще одна:

Увеличьте картинку, сфокусируйтесь (как вы уже догадались) на ее центре и не двигайте глазами.

А теперь эксперимент

Можете перерисовать на лист бумаги картинку ниже — точку и крест на расстоянии примерно 10-15 см друг от друга, но должно сработать и с экрана.

Картинка располагается горизонтально: точка — слева, крест — справа. Смотрите на нее на расстоянии вытянутой руки. Правой рукой закрываете правый глаз, левым глазом смотрите на крест. Теперь медленно подносите экран или лист к лицу (или придвигайтесь к экрану), а левый глаз не сводите с креста. В какой-то момент вы заметите, что точка исчезла, а потом снова появилась.

Это происходит потому, что на сетчатке есть место, не чувствительное к свету — там, где нервные волокна собираются в зрительный нерв. Но причины для нас сейчас не важны. Важно, что мы не видим объекта реального мира (точку), хотя вот он прямо перед глазами. И что еще интереснее, никаких черных пятен тоже не видим, то есть даже не замечаем, что часть изображения отсутствует.

Дело в том, что это слепое пятно компенсируется вторым глазом и мозгом, который достраивает недостающую информацию. Но, если мы закроем один глаз, то никаких черных пятен в оставшемся нет. И вот сейчас тоже — второй глаз у нас закрыт, точку мы не видим, а белый фон под ней почему-то видим, хотя по идее видеть его не можем. Его нам рисует мозг.

А маркетинг-то и реклама тут при чем?

Моя главная мысль:

Объективная реальность и наше ее восприятие — разные штуки. Мы думаем, что видим реальный мир, но на самом деле видим лишь его интерпретацию, каким ее создает тело с помощью органов чувств и мозга.

Многие считают себя этакими рациональными, осознанными продумАнами — мол мы все видим, все понимаем, все распознаем, нас не проведешь, маркетинг и реклама на нас не действуют.

Ребята, почему вы допускаете существование оптических иллюзий, но отрицаете мысль, что в мозгу у вас полно таких же иллюзий, которые могут быть использованы маркетологами?

Здесь надо бы поговорить о когнитивных искажениях, но, чтобы не раздувать статью, приведу тезисно:

▪️ Мы ежедневно принимаем десятки тысяч решений, и большинство из них — неосознанно, автоматически. Если бы это было не так, наш мозг впал бы в ступор.

▪️ Наш мозг постоянно анализирует огромные объемы сигналов, информации, идей, расставляет приоритеты, принимает решения. И, чтобы облегчить себе работу и сэкономить энергию, периодически «срезает путь».

▪️ «Срезание пути» энергоэффективно и позволяет решить задачу, но совершенно необязательно это решение будет наилучшим или рациональным. Такие неоптимальности называются когнитивными искажениями.

▪️ Когнитивные искажения влияют на наше поведение, даже если мы про них знаем. Оптические иллюзии показывают как раз для иллюстрации этой идеи: вы знаете, в чем подвох, но развидеть не можете. Когнитивные искажения — это своего рода иллюзии, только не оптические, а мыслительные.

Наш мозг экономит энергию и по возможности «срезает путь». Можно пойти по длинному пути, проанализировав все аспекты, а можно по короткому: не все учли, зато энергоэффективно и быстро.

Нами легко манипулировать

Сказали смотреть на карты, ну мы и смотрим и ничего вокруг не замечаем (это я про карточный трюк в начале статьи).

И вот мы думаем, что маркетинг на нас не действует.

Если вы заметили манипуляцию, значит просто маркетолог проиграл. А если не заметили, то не можете быть уверены, что ее не было.

Поэтому маркетологи обязаны изучать, как люди на самом деле принимают решения и каким образом на них влиять.

А не маркетологам (хотя и им тоже) лучше всё всегда подвергать сомнению, априори предполагая, что сейчас либо нами пытаются манипулировать, либо решение за нас принимает автопилот, подверженный искажениям, либо и то и другое одновременно.

Во второй части статьи я покажу примеры, как маркетологи (нормальные, а не школьники после трехдневных курсов) используют отличия между реальным миром и нашей его интерпретацией, чтобы влиять на наше потребительское поведение. И как этому противостоять.

О себе: в маркетинге с 2005, в предпринимательстве с 2011. Периодически запускаю новые продукты (и периодически закрываю). Делюсь опытом, в том числе как противостоять маркетинговым уловкам, в телеграм-канале.

Была спроектирована американским офтальмологом Альбертом Эймсом в 1934 году и построена в 1935 году. Кстати в парке Горького есть такая комната.

здорово. Я так понимаю, левый край просто ближе, а правый дальше. А благодаря кривым стенам (которые кажутся паралельными полу) возникает иллюзия.

Эти кубы не двигаются⁠ ⁠

UPD: есть подозрение что кубы всё же двигаются

Магическая линза⁠ ⁠

Как сломать свой мозг:⁠ ⁠

Могут ли кошки видеть оптические иллюзии?⁠ ⁠

Великая и Могущественная иллюзия⁠ ⁠

Долго думал куда же он пропадает⁠ ⁠

Пока не построил схематическую модельку.

Теперь все стало предельно понятно.

Жизнь⁠ ⁠

Всё не то, чем кажется. Часть 1 или как нас обманывает наш собственный мозг⁠ ⁠

Комментировать ролики не буду, ведь и так все понятно?

Еще для демонстрации идеи покажу оптические иллюзии. Их вы, конечно, видели миллион. Моя любимая эта:

Столы Шепарда. Можете взять линейку и проверить. Но я уже проверил :)

Иллюзия Эббингауза. В этот раз поверите без линейки?

А вот оно в движении:

Понимаете в чем подвох, да?

Еще парочка прикольных:

Фокусируйтесь на красной точке в центре. Заметили что-нибудь?

И снова фокусируемся на центре:

А хотите вообще сломать мозг?

На 56 секунде я завис. Пришлось пересмотреть несколько раз, чтобы понять, в чем подвох.

Не могу удержаться, вот вам еще одна:

Увеличьте картинку, сфокусируйтесь (как вы уже догадались) на ее центре и не двигайте глазами.

А теперь эксперимент

А маркетинг-то и реклама тут при чем?

Моя главная мысль:

Объективная реальность и наше ее восприятие — разные штуки. Мы думаем, что видим реальный мир, но на самом деле видим лишь его интерпретацию, каким ее создает тело с помощью органов чувств и мозга.

Ребята, почему вы допускаете существование оптических иллюзий, но отрицаете мысль, что в мозгу у вас полно таких же иллюзий, которые могут быть использованы маркетологами?

Здесь надо бы поговорить о когнитивных искажениях, но, чтобы не раздувать статью, приведу тезисно:

Нами легко манипулировать

И вот мы думаем, что маркетинг на нас не действует.

Если вы заметили манипуляцию, значит просто маркетолог проиграл. А если не заметили, то не можете быть уверены, что ее не было.

Поэтому маркетологи обязаны изучать, как люди на самом деле принимают решения и каким образом на них влиять.

В цифровой обработке сигналов оконные функции широко используются для ограничения сигнала во времени и их названия хорошо известны всем, кто так или иначе сталкивался с дискретным преобразованием Фурье: Ханна, Хэмминга, Блэкмана, Харриса и прочие. Но являются ли они достаточными, можно ли придумать что-то новое и есть ли в этом смысл?

В этой статье мы рассмотрим вывод оконной функции с новыми свойствами, используя Wolfram Mathematica. Предполагается также, что читатель имеет общие представления о цифровой обработке сигналов в контексте обсуждаемого вопроса и как минимум знаком со статьёй из википедии.

Введение

Исторически первые оконные функции появлялись в процессе попыток улучшить их спектральные свойства снижением амплитуды боковых лепестков — поскольку при умножении сигнала на оконную функции происходит свёртка их спектров, что вносит некоторые ограничения для анализа. В то время, 50-ые года 20 века, вычислительные мощности не позволяли легко и непринужденно манипулировать символьными вычислениями, и подбор оптимальных параметров представлял достаточную сложность. Это одна из причин, по которой функции названы разными именами — они, а точнее, их спектральные свойства, изучались разными исследователями в течении достаточно длительного времени. Побочным эффектом от этого стало то, что сложившийся набор именованных оконных функций воспринимается как некоторый «стандартный набор», за пределами которого ничего найти уже не возможно; при этом названия этих окон не несут никакой информации о свойствах и предполагают их отдельное изучение и зазубривание.

Классификация

Все оконные функции получаются произведением некоторой функции на прямоугольную, что гарантированно обеспечивает её ограничение во времени. Поэтому в первую очередь их можно классифицировать по функциям, которые в них используются:

сумма косинусов. Наиболее обширный класс по причине того, что их спектр легко вычислим и представляет из себя сумму взвешенных sinc-функций. Сюда входят Hann, Hamming, Blackman, Harris .
кусочно-непрерывные полиномиальные. Получаются в результате свёртки простых функций — например, прямоугольной и треугольной. Их спектры при этом перемножаются и их нахождение так же не представляет особых сложностей. Сюда входят Dirichlet, Triangular, Parzen, Welch.
все прочие — с использованием экспонент, гауссиан, sinc и других, выбор конкретных функций в которых носит скорее идейный характер, нежели конкретно спектральные свойства.

отсутствие разрывов на краях — равенство нулю значений. Разрывы имеют Dirichlet, Hamming, Blackman-Harris. Не имеют — Triangular, Hann, Nuttal
отсутствие разрывов 1-ой и прочих производных

Кайзера, позволящей задавать ширину главного лепестка;
Дольфа-Чебышева, все боковые лепестки которой равны заданной амплитуде.

Реверс инжиниринг

Посмотрим на определения функций Блэкмана и Наттела:

Они представляют из себя суммы из 3-х и 4-х косинусоид с чётными частотами (начиная с нуля) и некоторыми коэффициентами. Откуда взялись эти коэффициенты? Вряд ли они были подобраны вручную, по крайней мере, каждый по отдельности — ведь существуют граничные условия, которым окна должны соответствовать вне зависимости от их спектральных свойств — как минимум, равенство единице в центре.

Попробуем «изобрести» функцию Блэкмана самостоятельно. Для этого определим функцию с пока ещё неизвестными коэффициентами

и составим систему уравнений, определяющих граничные условия — равенства единице в центре, нулю на краях, и равенства нулю производных на краях:

↓

Решение нашлось, но не одно, а множество — в зависимости от коэффициента a, о чём Wolfram нас учтиво предупредил. Теперь из найденного решения зададим новую функцию, зависящую от неизвестного коэффициента:

Легко видеть, что при a=0.42 получим функцию Блэкмана. Но почему именно 0.42?

Для ответа на этот вопрос нам нужно построить её спектр. Аналитическое преобразование Фурье — не самая простая задача, но Wolfram справляется и с ней, избавляя нас от рутинной работы.

↓

В отличие от многих других операций, в команде FourierTransform нужно указывать не одну переменную, а две — в том числе и для того, чтобы не путаться, в какой области находится определение функции — временном или частотном. Традиционно для частотной области используется переменная w. Здесь мы заодно нормировали функцию к единице в центре координат — но не прямой подстановкой нуля в w, поскольку это вызывает деление на ноль, а через нахождение предела.

В таком виде график функции пока ещё мало информативен, поскольку спектр удобнее анализировать в логарифмическом масштабе. Добавив соответствующее преобразование в децибелы , получим тот самый привычный график спектра оконных функций:

В процессе изменения параметра мы будем наблюдать нечто подобное:

В зависимости от параметра a меняется уровень боковых лепестков, и при a=0.42 он боле-менее минимальный и равномерный. При а=0.409 мы можем получить результат чуточку лучше, если под «лучше» понимать минимально возможный уровень боковых лепестков.

Здесь можно вспомнить, что во времена становления теории ЦОС никаких Вольфрамов с интерактивными графиками не было и все эти вычисления и поиск оптимальных параметров производился вручную, ручкой на бумаге.

Развитие

Очевидно подобная микрооптимизация вовсе не стоила затраченных усилий. Можно ли качественно улучшить свойства этого окна, не изменяя исходных данных?

Ранее мы рассматривали вывод оконных функций, суммирующихся в единицу, что позволяет восстанавливать исходный сигнал. Попробуем применить эту технику для нашего окна и посмотрим, как она отразится на спектре.

Определим вспомогательную функцию для построения перекрывающихся окон с учётом границ изменения аргумента в диапазоне от -1/2 до 1/2:

Находим первообразную, смещаем её к центру координат и масштабируем к единице:

↓

выводим её на график:

Как видим, Wolfram здесь тоже справился самостоятельно и нам не пришлось вручную задавать кусочно-непрерывное определение первообразной. Теперь вид нашего окна зависит не только от переменной a, но от степени перекрытия — и по мере его увеличения будет стремится к форме производной:

И последний штрих — найти аналитическую функцию для спектра, чтобы определить оптимальное значение параметра a.

Здесь, если мы попробуем вычислить преобразование непосредственно, как в прошлый раз — то вгоним Wolfram в глубокую задумчивость. Есть несколько способов ускорить этот процесс:

— использовать дискретное преобразование вместо аналитического — наиболее простое. Но настоящий математик не будет применять численные методы там, где можно найти чисто аналитическое решение — и мы (пока) не будем; к тому же у него есть очевидные ограничения (по разрешению и ограничению спектра);

— передавать в качестве параметра перекрытия конкретные значения и, глядя на результаты, попытаться увидеть закономерность и обобщить их. Вполне работающий вариант, но требующих дополнительных умственных и творческих усилий. Оставим его на крайний случай.

— производить вычисления непосредственно в частотном домене. Это возможно благодаря следующим свойствам преобразования Фурье:

1) оно линейно, т.е. сумма образов равно образу суммы;
2) интегрирование во временном домене равносильно делению на i w в частотном.
3) смещение во времени равносильно модуляцией комплексной синусоидой.
(подробнее в википедии или тут).

Таким образом, имея спектр hw произвольной оконной функции, мы можем получить из него спектр hwo суммирующейся в единицу функции с перекрытием t:

↓

Теперь можно посмотреть, как меняется спектр в динамике:

Здесь изменение параметра перекрытия уже будет влиять на спектр окна несколько по-другому:

Немного поигравшись с параметрами легко заметить, что «больше — не значит лучше», и оптимальная степень перекрытия для той функции находится в районе четырёх. Конкретно, для t=4 и a=0.404 мы получаем уровень боковых лепестков, не превышающий -80 дБ. Это очень даже неплохой результат — особенно учитывая, что функция приподнятого косинуса, традиционно используемая для суммируемых в единицу окон, даёт уровень лепестков примерно в -30 дБ. Ну а выписанная явном образом наша новая оконная функция будет выглядеть так:

Дальнейшее развитие

Что ещё можно сделать, чтобы ещё более снизить уровень боковых лепестков? Можно взять косинусы не с чётными, а с нечётными частотами (здесь для компактности решение системы уравнений внедрено непосредственно в определение функции):

и после интегрирования с параметрами a=0.6628 и уровнем перекрытия 4.5 получить подавление в -90 дБ:

Можно добавить ещё один косинус и увеличить количество нулевых производных:

и после интегрирования с параметрами a=0.5862 и уровнем перекрытия 6.4 получить подавление в -110 дБ:

Ещё более значительного снижения уровня боковых лепестков можно добиться, возведя Фурье-образ в квадрат и тем самым снизив уровень боковых лепестков сразу в 2 раза. Это позволяет избавится от увеличения количества параметров для их ручного подбора, но добавляет сложности в вычислении свёртки во временном домене.

и здесь уже можно добиться подавления свыше 160 дБ:

Формулу в явном виде приводить не будем из-за её внушительного размера.

Гипергеометрические оконные функции

Для обеспечения нужного количества нулей на границах нашей функции мы использовали поиск через решение системы уравнений с последующим интегрированием. Это не очень удобно — ведь нужно каждый раз менять количество уравнений. Может, есть более просто и красивое решение? Есть! И поможет нам в этом гипергеометрическая функция.

Из курса матанализа нам известно, что практически любую функцию можно разложить в степенной ряд. Гипергеометрические функции решают прямо противоположную задачу — определяют функцию через её степенной ряд, задавая конечный набор некоторых коэффициентов и правило вычисления произвольного члена ряда в зависимости от них. Это позволяет оперировать большим количеством функций без задания им явных имён — в том числе и уже известными.

Она состоит из суммы двух частей: первообразная от функции , нормированной по амплитуде к точке (1,1) и функцией со свободными параметрами, помноженных на ту же для того, чтобы сохранить необходимое количество нулевых производных:

От того, какую именно функцию мы выберем для корректировки формы, будут зависеть точность настройки и их влияние на распределение боковых лепестков — тут возможны варианты, требующие отдельных исследований. В данном случае функция даёт вполне приемлемый вариант — и за счёт двух параметров позволяет делать более точную настройку.

Сама же формула интересна (и удобна) тем, что при чётных n упрощается до полинома, а при нечётных — до суммы полинома с арксинусом и квадратным корнем — что делает итоговую формулу более компактной и более простой для вычислений.

Подбирать параметры здесь уже проще (и быстрее) через дискретное преобразование Фурье. Нам также потребуется дополнительное определение overlap-функции для работы с тремя параметрами:

В качестве примера, после подстановки параметров с картинки наша функция упростится до

↓

Инверсное окно Кайзера

Если задача суммирования окон в единицу не стоит, то наиболее оптимальным окном является окно Кайзера, позволяющее плавно регулировать ширину основного лепестка. Однако у него есть недостаток — поскольку оно выражается через функцию Бесселя, считать его за пределами математических пакетов несколько затруднительно. Можно, конечно, отдельно реализовать функцию Бесселя — а можно и поискать аппроксимацию через элементарные функции. И неожиданно оказалось, что используя для этого функцию спектра окна Кайзера (ограниченного во времени) можно получить результат даже чуточку лучше —

Расплатой за такое хитрое решение оказалось невозможность выразить её спектр чисто аналитически — но это не так и важно, поскольку на практике мы в любом случае оперируем и анализируем данные в дискретном виде используя дискретное же преобразование Фурье. Ниже на графике можно сравнить их спектры, где красным — оригинальное окно Кайзера, зелёным — его аппроксимация:

При той же ширине основного лепестка уровень боковых лепестков получается несколько ниже. А для удобства использования можно составить таблицу с ориентировочными значениями параметра k для получения необходимого уровня подавления боковых лепестков:

Отдельной интересной задачей остаётся нахождение аппроксимации первообразной инверсного окна Кайзера. Пока что удалось только выразить его через степенной ряд, который довольно медленно сходится:

Возможно, специалисты в математике смогут подсказать более лучшее решение в комментариях.

Заключение

Несмотря на то, что цифровая обработка сигналов является вполне себе сформировавшейся дисциплиной, в ней есть ещё куда развиваться и находить что-то новое — как минимум в существующей специальной и научной литературе вопросы построения суммирующихся в единицу оконных функций не рассматривается; а возможности современных систем компьютерной алгебры позволяют переосмыслить накопленные знания на качественно новом уровне.

Исходный документ Wolfram Mathematica со всеми вычислениями доступен на GitHub.

Читайте также: