На доске выписали n единиц между некоторыми единицами поставили знак 132

Обновлено: 24.04.2024

На доске написаны числа 1, 2, 3, . 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек числа, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательности 5 ходов.
б )Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Заметим, что сумма чисел в каждой тройке . В задачах такого типа часто удобнее пользоваться нестрогим неравенством, чем строгим.

а) Пример привести легко (и получить за этот пример 1 первичный балл на ЕГЭ!)
30, 1, 3 (сумма 34)
2, 4, 27 (сумма 33)
5, 6, 21 (сумма 32)
7, 8, 16 (сумма 31)
9, 10, 11 (сумма 30).

б) Выясним, можно ли сделать 10 ходов. Ведь у нас 30 чисел, и сделав 10 ходов, мы сотрем с доски их все. А значит, вопрос можно переформулировать следующим образом:

«Можно ли разбить натуральные числа от 1 до 30 на тройки так, чтобы суммы чисел в каждой тройке были различны и каждая из них не превышала 34?»

Предположим, что такое разбиение возможно. Обозначим суммы чисел в каждой тройке , где принимает значения от 1 до 10. Расставим эти суммы в порядке убывания. Пусть – максимальная сумма, причем она не превосходит 34, и каждая следующая сумма меньше предыдущей.

Суммируя по всем десяти тройкам, получим, что сумма всех тридцати чисел не превосходит 34 + 33 + 32 + 31 + … + 25, то есть 295.

(мы применили формулу суммы n членов арифметической прогрессии: .
С другой стороны, мы задействовали все 30 чисел, и сумму их легко найти – это сумма арифметической прогрессии, члены которой – натуральные числа от 1 до 30.

Получили, что 295' alt='S_>295' /> – противоречие.
Значит, 10 ходов сделать нельзя.

в) Какое же максимальное число ходов можно сделать? В пункте а) мы выяснили, что 5 ходов сделать можно. В пункте б) доказали, что 10 ходов сделать нельзя. Нам осталось проверить, можно ли сделать 9, 8, 7 или 6 ходов.

Повторим рассуждения, аналогичные пункту 2, для случаев n = 9, 8, 7 и 6.

Если n (число ходов) равно 9, то не превосходит 34 + 33 + … + 26, то есть . С другой стороны, из чисел от 1 до 30 мы выбираем 9 троек, то есть 27 чисел, и их сумма не меньше, чем 1 + 2 + 3 + 4 … + 27, то есть – противоречие.

Аналогично, для n = 8 получим, что и – тоже противоречие.
Для n=7 имеем: и , значит, и 7 ходов сделать нельзя.

Для n = 6 противоречия нет. Итак, число ходов .

Приведем пример, когда n = 6 (этот метод называется «Оценка плюс пример», о нем подробно рассказано в Видеокурсе по задачам на числа и их свойства)

Тройки чисел:
12, 11, 10, сумма 33
13, 14, 7, сумма 34
15, 16, 1, сумма 32
17, 2, 3, сумма 22
4, 8, 9, сумма 21
18, 5, 6, сумма 29.

Задание 18 № 501694

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске. (Или числа 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4.)

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2 (или 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4); б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

Источник: ЕГЭ — 2013, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 1.

Задание 18 № 509826

На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.

а) Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?

б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

Заметим, что если среди выписанных чисел есть число 1, то попарные суммы всех остальных чисел будут делиться на 1.

а) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 7, . 2015 (выписано 1008 нечётных чисел от 1 до 2015 и число 2). Сумма 1 и любого нечётного числа делится на 2, сумма 1 и 2 делится на 3, сумма любых двух чисел, отличных от 1, делится на 1.

Другой пример: 1, 2, 3, . , 1007, 2014, 2015. Если среди двух чисел нет 1, то их сумма делится на 1. Если вместе с 1 выписаны числа k и k + 1, то сумма первых двух делится на третье; оставшиеся суммы 1 + 1007 и 1 + 2015 делятся на 2.

Третий пример: 1, 2, 3, 5, 6, . , 1009, 2015 (в группе подряд идущих чисел пропущено 4).

б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, где a = 403.

в) Пример для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 5a, где a = 403.

Покажем, что трёх чисел быть не может. Действительно, пусть три различных числа таковы, что a 5000. Противоречие.

Приведём другое доказательство.

Пусть даны числа a, b, c, и сумма любых двух из них делится на третье. Если они все имеют отличный от 1 наибольший общий делитель d, то на него можно сократить, и свойство делимости сохранится. Будем считать, что все три числа взаимно простые. Поскольку сумма двух чисел делится на третье, то сумма всех чисел делится на каждое. Числа попарно взаимно просты, поэтому их сумма должна делиться на произведение. В частности, a + b + c ≥ abc. Полагая a 5000.

Ответ: а) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 7, . 2015; б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015; в) 4, например, 1, 2, 3, 2015.

Задание 18 № 513279

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

а) Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.

б) Пусть x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна и их штук.

После описанных действий будет чисел с общей суммой Значит,

Отсюда следует, что Но тогда что невозможно.

в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения Очевидно, следует взять и максимизировать то есть следует максимизировать x.

Заметим однако, что сумма изначальных чисел не превосходит откуда Тогда требуемое выражение будет равно Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая

Ответ: а) да б) нет в)

Задание 18 № 501714

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число — наибольшее число в наборе, то есть 6. Наименьшее число в наборе −11 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только −7 и −4 дают в сумме −11. Значит, были задуманы числа −7, −4 и 6.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно четыре нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.

в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: а) −7, −4, 6; б) 5; в) нет.

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Сибирь. Вариант 302., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

Математика ЕГЭ 100БАЛЛОВ запись закреплена

Всем привет
Имеет ли смысл подавать апелляцию?
Поставили 1 из 4
Задача звучала как-то так
На доске написано единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например на доске было написано n =10. Поставили + и получили число 136
А. Могло быть n=60 а сумма 132
Б. N=80 сумма 132
В. Назовите все возможные n, при которых сумма будет 132
Заранее всем спасибо

Аяна Ванчикова

У тебя 3 выплаты по 0.3S и две по 338 т.р. В конце ты считаешь общую сумму выплат как 0.3S + 2*338, а не как 3*0.3S + 2*338. Ответ неверный

Александр Гомзяков

Сергей, соболезную Сергей, 50 баллов тоже хорошо ! Держитесь

Похоже, что в критериях было другое решение 15го задания. Многим поставили 0 баллов именно за это решение. С моей точки зрения, метод интервалов применён верно, но нет явного пересечения с ОДЗ. Тем не менее, есть пометка правее от минус бесконечности до трёх. Я бы на апелляции поборолась за два балла. Надо качественно подготовиться, чтобы объяснить комиссии, как именно делалось пересечение с ОДЗ.

Стихи и цветы,поздравления и сценарии. Школьная математика, подготовка к ЕГЭ и ГИА,тесты, проекты,задачи и решения. Собственные произведения и фотографии моих цветов: георгины и розы.

четверг, 7 октября 2021 г.

Единицы на доске

На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.

а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?

б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?

в) Чему могло равняться n , если полученная сумма чисел равна 150?

а) Да. Можно взять число 111, тогда остается еще 57 единиц, даже если взять 57 раз по 1, то сумма будет равна 168. Значит нужно брать число 11, остальные по 1 и постепенно увеличивать количество чисел 11 в записи, получаем такие суммы:

2. 11 + 11 + 56 = 78

3. 11 + 11 + 11 + 54 = 87

4. 11+ 11 + 11+ 11 + 52 = 96

Можно заметить, что при увеличении количества числа 11 в записи, количество единиц в записи уменьшается на 2, то есть вся сумма числа увеличивается на 9, 11 – 2 = 9.

Получаем суммы равные: 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141, 150

Для получения суммы равной 150 нужно, взять число 11 10 раз, и остальные 40 чисел по 1.

Приведем другой пример решения:

Возьмем число 111, остается 57 единиц, если взять 57 раз по 1, сумма будет 168. значит возьмем число 11 и несколько единиц, получим такую сумму:

11 + 1 + 1 + 1 + 1 = 15; сумма единиц равна 15, количество единиц 6. Чтобы получить сумму равную 150, нужно взять 150/15 = 10 таких пар, количество единиц при этом будет равно 10*6 = 60. Чтобы получить сумму равную 150, нужно взять 10 пар с суммой 11 + 1 + 1 + 1 + 1 = 15.

б) Нет. Также как и в случае с n = 60, если взять число 111 сумма чисел будет больше 150. Значит будем брать по 11, остальные по 1 и постепенно увеличивать количество чисел 11 в записи. Как и в случае с n = 60, сумма будет увеличиваться на 9. Но так как количество единиц в записи больше, суммы будут другие и будут равны: 89, 98, 107, 116, 125, 134, 143, 152.

в) Вернемся к n = 60 и вспомним, что при увеличении количества числа 11 в записи суммы, сумма увеличивается на 9. Запишем любое число при записи которого используются числа 11 и 1 и их сумма равна 150:

11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 150.

В записи этого числа используется 33 единицы, если мы уменьшим количество чисел 11 в записи, то получим:

11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 150.

В записи этого числа мы получаем 42 единицы

При увеличении количества чисел 11 в записи, мы уменьшаем количество чисел 1 в записи суммы на 9 и наоборот, если уменьшать количество чисел 11 в записи суммы, то количество 1 увеличивается на 9. Так как мы можем взять количество чисел 11 от 0 до 13. Мы получаем следующее количество единиц в записи суммы:

150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33.

Но при записи мы также можем использовать число 111, но только один раз, значит будем использовать числа 11 и 1

При использовании числа 111 получаем следующие суммы:

111 + 11 + 11 + 11 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 150 (6 раз по 1)

111 + 11 + 11 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 150 (17 раз по 1)

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда .Т.е. x = 9.

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение:

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Решение:

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

. Т.е. нам нужно найти все числа, не больше , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа и . Переводим их в десятичную систему счисления:

3. Решение уравнений

Пример 6

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Переведем все числа в десятичную систему счисления:

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. (т.к. основание системы не может быть отрицательным). .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: ?

Представим все числа выражения, как степени двойки:

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя и , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Читайте также: