На доске в порядке возрастания написаны пять различных натуральных чисел

Обновлено: 28.04.2024

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.

а) Могло ли это произойти за 7 дней?

б) Могло ли это произойти за 8 дней?

в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий?

На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.

а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?

б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?

в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.

На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 8, а зелёные числа кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.

а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1395 = 3 + 6 + ⋯ + 90, если на доске написаны только кратные 3 числа?

б) Может ли сумма чисел быть 1066, если только одно число красное?

в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1066.

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.

а) Может ли быть записано число 250?

б) Можно ли обойтись без числа 11?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5120.

а) Может ли быть записано число 230?

б) Можно ли обойтись без числа 14?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

а) Может ли быть 24 четных числа?

б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?

в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое или оканчивается на 9, или четное, а сумма чисел равна 877.

а) Может ли быть на доске 27 четных чисел?

б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 9?

в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 9 может быть на доске?

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 3, или на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 2502.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 3 или на 7?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?

Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?

в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 4, или на цифру 8. Сумма написанных чисел равна 2786.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 или на 8?

б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на 8?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть на доске?

Каждый из 32 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример задуманных числел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 55, 110, 275, 550?

в) Приведите все примеры пяти задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 91.

Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число A.

а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?

б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз?

в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел?

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?

в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?

а) Приведите пример числа, из которого получается 4106137125.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 27593118?

в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M_k — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что

а) Приведите пример такой последовательности, для которой

б) Существует ли такая последовательность, для которой

в) Найдите наименьшее возможное значение

На доске написано $100$ различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна $5120$ .
а) Может ли на доске быть написано число $230$ ?
б) Может ли быть такое, что на доске не написано число $14$ ?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных $14$ , написано на доске?

(ЕГЭ 2017, основная волна)

а) Упорядочим числа по возрастанию $a_1, a_2, \dots, a_$ . Пусть одно из этих чисел равно $230$ . Пусть все оставшиеся 99 чисел – это $1, 2, 3, \dots, 99$ . Тогда сумма всех ста чисел – наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть $230$ . Вычислим ее: \[\dfrac2\cdot 99+230=5180>5120\] Получили противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

б) Предположим, что на доске нет числа $14$ . Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: $1, 2, \dots, 13, 15, \dots, 101$ . Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел – наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна: \[\dfrac2\cdot 101-14=5137>5120\] Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные $14$ (это числа $14, 28, 42, 56$ ): \[1, 2, \dots, 69, \quad 71, 72, \dots, 83, \quad 85, 86, \dots, 97, \quad 100, 101, 102, 103, 115.\] Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных $14$ .
Возьмем набор чисел от $1$ до $100$ . Сумма чисел в данном наборе равна $5050$ . Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные $14$ , странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.
Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число – это $98$ . Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число – это $101$ . После этого мы получим минимальную сумму, равную $5053$ . Она меньше, чем $5120$ , поэтому будем продолжать дальше.
Поступая аналогично, уберем странные числа $98, 84, 70$ . Вместо них добавим $101, 102, 103$ . Получим при этом минимальную сумму, равную $5104$ . Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав $56$ и добавив $104$ , получим минимальную сумму $5152$ , что больше, чем $5120$ . В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.

На доске написано $30$ различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается на $4$ или $8$ . Известно, что сумма чисел, написанных на доске, равняется $2786$ .

а) Может ли на доске быть написано поровну чисел, оканчивающихся на $4$ , и чисел, оканчивающихся на $8$ ?

б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на $8$ ?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $8$ , может быть на доске?

(ЕГЭ 2017, основная волна)

а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на $4$ , и чисел, оканчивающихся на $8$ , то чисел каждого вида по 15 штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа $15\cdot 4+15\cdot 8=180$ , то есть последняя цифра должна быть равна $0$ , что противоречит условию.
Следовательно, ответ: нет.

б) Рассмотрим все подряд идущие 30 натуральных чисел, оканчивающихся на $4$ , начиная с самого маленького: $4, \ 14, \ 24, \ 34, \ \dots, 284, \ 294$ . Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью $10$ . Следовательно, их сумма равна \[\dfrac2\cdot 30=4470\] Заметим, что это намного больше, чем $2786$ . И заметим, что это наименьшая возможная сумма 30-ти различных чисел, оканчивающихся на $4$ . Как нам максимально уменьшить эту сумму, добавив 4 числа, оканчивающихся на $8$ (а значит и убрав 4 числа, оканчивающихся на $4$ , ведь количество чисел должно быть всегда равно $30$ )? Нужно убрать самые большие числа, оканчивающиеся на $4$ , и добавить самые маленькие, оканчивающиеся на $8$ . То есть нужно убрать $294, \ 284, \ 274, \ 264$ и добавить $8, \ 18, \ 28, \ 38$ . Но в этом случае сумма всех чисел будет равна \[\begin &4470-294-284-274-264+8+18+28+38=\\ &4470-(294-8)-(284-18)-(274-28)-(264-38)=\\ & 4470-286-266-246-226=\\ &3446>2786\end\] Следовательно, ответ: нет.

Каждый из $28$ студентов написал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от $0$ до $20$ включительно. По каждой из двух работ в отдельности средний балл составил $15$ . Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов равно $S$ .

а) Приведите пример, когда \(S

б) Могло ли значение $S$ быть равным $5$ ?

в) Какое наименьшее значение могло принимать $S$ , если обе контрольные писали только $10$ студентов?

(ЕГЭ 2017, основная волна)

б) Пусть $M$ – сумма максимальных баллов всех студентов. Предположим, что $S=5$ , то есть \[\dfrac M=5\quad\Rightarrow\quad M=140\] Заметим, что либо первую, либо вторую контрольную писало не менее 14 человек (так как если каждую контрольную писало менее 14 человек, то всего студентов менее 28). Можно считать, что не менее 14 человек писало первую контрольную. Пусть $\Sigma$ – сумма баллов по первой контрольной, $x\geqslant 14$ – количество человек, писавших эту контрольную. Тогда \[\dfracx=15\quad\Rightarrow\quad \Sigma=15x\geqslant 15\cdot 14>140=M\] Докажем, что $M\geqslant \Sigma$ .
Действительно, возьмем произвольного студента. Если он писал только первую контрольную, то его балл будет участвовать и в $M$ , и в $\Sigma$ . Если он писал только вторую контрольную, то его балл будет участвовать в $M$ , но не будет участвовать в $\Sigma$ . Если он писал обе контрольные, то в $\Sigma$ будет участвовать его балл за первую контрольную, а в $M$ – его наибольший балл (то есть либо этот же балл, либо выше). Таким образом, во-первых, слагаемых в $M$ будет больше, чем в $\Sigma$ , часть из них будет совпадать со слагаемыми из $\Sigma$ , а часть будет больше или равна. Чтд.
Ответ: нет.

Потребитель оплатил заводу-производителю 120 тыс. рублей за 800 изделий. Производитель снизил цену одного изделия на 15 руб. Какое максимальное количество изделий может отпустить производитель в счет полученной предоплаты?

Старая цена одного изделия равна $120\,000:800=150$ рублей. Новая цена изделия составила $150-15=135$ рублей. Значит, количество изделий, которое может отпустить производитель на $120\,000$ рублей, равно \[\dfrac=888\frac.\] Так как количество изделий должно быть целым числом, то наибольшее число изделий равно $888$ .

На рисунке показана диаграмма продаж автомобилей в автосалоне по месяцам года. Определите по диаграмме минимальное число месячных продаж в летние месяцы.

Летние месяцы – это июнь, июль и август. Из диаграммы видно, что наименьшее количество проданных автомобилей было в июне и составило 50 штук.

Из прямоугольной заготовки $ABCD$ штамп вырезает деталь, изображенную на чертеже. Найдите площадь детали, если размер каждой клетки равен 1 см $\times$ 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Из прямоугольника $ABCD$ нужно вырезать два одинаковых куска, каждый из которых представляет собой треугольник с основанием, равным 5, и высотой, проведенной к этому основанию, равной 1. Следовательно, площадь каждого треугольника равна $\frac12\cdot 1\cdot 5=\frac52$ , а площадь двух равна $5$ . Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $4\cdot 5=20$ , следовательно, площадь изделия равна $20-5=15$ .

В урне шары с номерами от 1 до 50. Найдите вероятность того, что номер случайно выбранного шара делится на 6, но не делится на 7.

Чисел от 1 до 50, делящихся на 6, 8 штук: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48. Из них на 7 делится только одно число: 42. Следовательно, подходящих шаров 7 штук. Всего шаров столько же, сколько чисел от 1 до 50, то есть 50. Следовательно, вероятность равна отношению числа подходящих исходов к числу всех исходов: \[\dfrac7=0,14.\]

Решите уравнение $\sqrt=x$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.

ОДЗ уравнения: $3x+28\geqslant 0$ и $x\geqslant 0$ .
Решим на ОДЗ. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[3x+28=x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x^2-3x-28=0\] По теореме Виета корнями будут $x_1=7$ и $x_2=-4$ . Проверкой убеждаемся, что $x_2$ не подходит по ОДЗ. Следовательно, ответ: $x=7$ .

В равнобедренном треугольнике $ABC$ сторона $BC=1$ , $\sin \angle C=0,6$ . Найдите основание $AC$ .

Проведем высоту $BH$ .

Так как треугольник равнобедренный, то $BH$ также является медианой, следовательно, $AH=HC$ . Так как синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то \[\sin\angle C=\dfrac \quad\Rightarrow\quad BH=0,6.\] Тогда по теореме Пифагора из $\triangle BHC$ : \[HC=\sqrt=0,8.\] Следовательно, $AC=2HC=1,6$ .

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику в точке с абсциссой $x=2$ . Найдите значение выражения $\dfrac$ .

Так как значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной, то $f'(2)=\mathrm\,60^\circ=\sqrt3$ . Следовательно, \[\dfrac=1.\]

Площадь поверхности куба равна 150 кв. см. Найдите площадь поверхности меньшего куба, ребро которого на 2 см меньше ребра исходного. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его шести граней. Так как все грани куба равны, то и их площади равны, следовательно, площадь одной грани равна $150:6=25$ . Так как грань представляет собой квадрат, то ребро куба равно $\sqrt=5$ .
Тогда ребро меньшего куба равно $5-2=3$ . Следовательно, площадь его поверхности равна $6\cdot 3^2=54$ .

Найдите значение выражения \[\cos\dfrac<5\pi>6\cdot \mathrm\,\dfrac<4\pi>3\]

По формулам приведения: \[\begin &\cos\dfrac<5\pi>6=\cos\left(\pi-\dfrac<\pi>6\right)=-\cos\dfrac<\pi>6 =-\dfrac2\\[3ex] &\mathrm\,\dfrac<4\pi>3=\mathrm\,\left(\pi+\dfrac<\pi>3\right)= \mathrm\,\dfrac<\pi>3=\sqrt3 \end\] Следовательно, значение выражения равно \[-\dfrac2\cdot \sqrt3=-1,5.\]

Энергия (в джоулях), выделяющаяся при абсолютно неупругом соударении двух тел с одинаковой массой $m$ , движущихся с одинаковой скоростью $v$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу, определяется выражением $Q=mv^2\cdot \sin^2\alpha$ . При соударении тел, движущихся со скоростью $10$ м/с точно навстречу друг другу, выделилось $500$ джоулей. Сколько джоулей энергии выделится при соударении этих же тел, движущихся под углом $120^\circ$ друг к другу со скоростью $12$ м/с?

Так как в первом случае тела двигались точно навстречу друг другу, то они двигались под углом $180^\circ$ друг к другу. Следовательно, подставляя данные в формулу, получим: \[500=m\cdot 10^2\cdot \sin^2\dfrac2 \quad\Leftrightarrow\quad m=5.\] Значит, во втором случае энергия равна \[Q=5\cdot 12^2\cdot \left(\sin\dfrac2\right)^2=540.\]

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найдите длину поезда. Ответ дайте в метрах.

Фраза “поезд проезжает мимо столба” означает, что в начале движения напротив столба находится голова поезда, а в конце – хвост поезда. То есть, проехав мимо столба, поезд проехал расстояние, в точности равное длине поезда.
Переведем его скорость в м/с: \[60 \ >>=\dfrac>>>>>>= \dfrac>>>>>>= \dfrac6 \ >>\] Следовательно, длина поезда равна \[\dfrac6\cdot 30=500 \ >>\]

Найдите наибольшее значение функции $y=4\sin x-5\cos x+11x-10$ на отрезке $\left[-\dfrac<3\pi>2;0\right].$

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, изобразим эскиз ее графика на этом отрезке. Для этого найдем ее промежутки возрастания/убывания.
Найдем производную: \[f'(x)=4\cos x+5\sin x+11\] Так как области значения синуса и косинуса – это отрезок $[-1;1]$ , то $-4\leqslant 4\cos x\leqslant 4$ и $-5\leqslant 5\sin x\leqslant 5$ , следовательно, \[-9\leqslant 4\cos x+5\sin x\leqslant 9\] Значит, \[2\leqslant 4\cos x+5\sin x+11\leqslant 20\] Следовательно, производная всегда положительна, значит, функция всегда возрастает. Значит, схематично ее график выглядит так:

Следовательно, наибольшее значение на отрезке $\left[-\dfrac<3\pi>2;0\right]$ функция принимает в его правом конце: \[f_>=f(0)=4\sin 0-5\cos 0+11\cdot 0-10=-15.\]

а) Решите уравнение \[\sqrt2\cdot \sin \left(\dfrac<3\pi>2-x\right)\sin x=\cos x\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-5\pi;-4\pi].$

а) По формуле приведения $\sin \left(\dfrac<3\pi>2-x\right)=-\cos x$ . Следовательно, уравнение примет вид: \[-\sqrt2\cos x\sin x=\cos x\quad\Leftrightarrow\quad \cos x(1+\sqrt2\sin x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin\begin &\cos x=0\\[2ex] &\sin x=-\dfrac2 \end\end\right.\]

Решением первого уравнения являются $x=\dfrac<\pi>2+\pi m, m\in\mathbb$ .

Решением второго уравнения являются $x=-\dfrac<\pi>4+2\pi n, n\in\mathbb$ и $x=-\dfrac<3\pi>4+2\pi k, k\in\mathbb$ .

б) Отберем корни.

$-5\pi\leqslant \dfrac<\pi>2+\pi m\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -5,5\leqslant m\leqslant -4,5 \quad\Rightarrow\quad m=-5\quad \Rightarrow\quad x=-\dfrac<9\pi>2.$

$-5\pi\leqslant -\dfrac<\pi>4+2\pi n\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -\dfrac8\leqslant n\leqslant -\dfrac8\quad\Rightarrow\quad n=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac<17\pi>4.$

$-5\pi \leqslant -\dfrac<3\pi>4+2\pi k\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -\dfrac8\leqslant k\leqslant -\dfrac8 \quad\Rightarrow\quad k=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac<19\pi>4.$

а) $-\dfrac<\pi>4+2\pi n; \ -\dfrac<3\pi>4+2\pi k; \ \dfrac<\pi>2+\pi m; \quad n,k,m\in\mathbb$

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $4$ , а высота призмы равна $\sqrt$ . Точка $E$ лежит на диагонали $BD_1$ , причем $BE=1$ .
а) Постройте сечение призмы плоскостью $A_1C_1E$ .
б) Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости $ABC$ .

а) Назовем плоскость $(A_1C_1E)$ плоскостью $\alpha$ . Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей грани $A_1B_1C_1D_1$ . Тогда $O\in \alpha$ . Следовательно, вся прямая $OE\in \alpha$ .

Заметим, что прямые $OE$ и $BD$ лежат в одной плоскости – плоскости $BB_1D_1$ . Пусть $E'$ – точка пересечения прямой $OE$ и прямой $BD$ . Тогда $E'\in \alpha$ . Таким образом, мы получили точку пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABCD$ . Так как грани $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$ параллельны, то плоскость $\alpha$ пересечет их по параллельным прямым. Поэтому проведем в грани $ABCD$ через точку $E'$ прямую параллельно $A_1C_1$ . Пусть эта прямая пересекла ребра $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $M$ соответственно.
Таким образом, мы получили сечение $A_1C_1MN$ призмы плоскостью $\alpha$ .

б) Так как основанием призмы является квадрат, а диагонали квадрата перпендикулярны, то $A_1C_1\perp BD$ . Так как $MN\parallel A_1C_1$ , то $MN\perp BD$ .
Необходимо построить линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями $\alpha$ и $ABC$ , то есть построить перпендикуляры в каждой из плоскостей к их линии пересечения. $MN$ и есть их линия пересечения, следовательно, в плоскости $ABC$ уже найден перпендикуляр – это $ED$ . Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах прямая $OE'\perp MN$ (как наклонная, проекцией которой является прямая $E'D$ ). Следовательно, необходимо найти $\angle OE'D$ .

Рассмотрим плоскость $BB_1D_1D$ .

Проведем $OO'\perp BD$ и найдем $\mathrm\,\angle OE'O'$ . Для этого нам нужно найти $E'O'$ (так как $OO'=DD_1=\sqrt$ ).

Заметим, что $BD=AB\sqrt2=4\sqrt2$ , следовательно, $BO'=0,5BD=2\sqrt2=OD_1$ .
Тогда $BD_1=\sqrt=7$ . Следовательно, $ED_1=7-1=6$ .

Заметим также, что $\triangle EE'B\sim \triangle EOD_1$ по двум углам. Следовательно, \[\dfrac=\dfrac \quad\Rightarrow\quad E'B= \dfrac3.\] Следовательно, \[E'O'=2\sqrt2-\dfrac3=\dfrac3.\] Следовательно, \[\mathrm\,\angle OE'O'=\dfrac= \dfrac><\frac3>=0,3\sqrt \quad\Rightarrow\quad \angle OE'O'=\mathrm\,(0,3\sqrt).\]

Решите неравенство \[2^-16\cdot 2^-2^+16\leqslant 0\]

Сгруппируем слагаемые в левой части: первое с третьим и второе с четвертым: \[2^\left(2^-1\right)-16\left(2^-1\right)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left(2^-16\right)\left(2^-1\right)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left(2^-2^4\right)\left(2^-2^0\right)\leqslant 0\] По методу рационализации скобку $a^x-a^n$ можно заменить на $(a-1)(x-n)$ . Сделаем это для двух скобок в левой части: \[(2-1)(x+1-4)(2-1)(x+3-0)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x-3)(x+3)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;3].\]

Две окружности касаются внешним образом в точке $Q$ . Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$ , а второй – в точке $B$ . Прямая $AQ$ пересекает вторую окружность в точке $C$ .
а) Докажите, что отрезок $BC$ – диаметр второй окружности.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$ , если радиус первой окружности равен 36, а радиус второй равен 49.

а) Пусть центр первой окружности – точка $M$ , центр второй – точка $N$ . Проведем отрезки $AM, BN, CN$ . Тогда $AM\perp AB, BN\perp AB$ как радиусы, проведенные в точки касания. Заметим, что если окружности касаются внешним образом, то их центры, а также их точка касания лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle AQM=\angle CQN$ как вертикальные. Заметим также, что $\triangle AQM$ и $\triangle CQN$ равнобедренные. Следовательно, $\angle AMQ=\angle CNQ$ .

Рассмотрим четырехугольник $ABNM$ . Сумма углов его равна $360^\circ$ , следовательно, его $\angle N=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle AMQ=180^\circ-\angle AMQ$ .
Тогда $\angle BNQ+\angle CNQ=180^\circ-\angle AMQ+\angle AMQ=180^\circ$ . Это значит, что точки $B, N$ и $C$ лежат на одной прямой. Следовательно, так как $BN$ – радиус, то $BC$ – диаметр.

б) Для того, чтобы найти площадь $\triangle ABC$ , нужно найти его второй катет $AB$ .

Рассмотрим четырехугольник $ABNM$ . Это прямоугольная трапеция с основаниями $AM=36$ и $BN=49$ . Проведем $MH\perp BN$ . Тогда $MH=AB$ . Так как $MN=36+49$ , а $HN=BN-AM=49-36$ , то по теореме Пифагора из $\triangle MHN$ : \[MH=\sqrt=\sqrt=\sqrt=84.\] Тогда площадь $\triangle ABC$ равна \[S=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12\cdot 84\cdot 98=4116.\]

Семья взяла в банке ипотечный кредит под $10\%$ годовых на 8 лет. Условия погашения кредита следующие: по истечении каждого года заемщик погашает банку начисленные проценты за год и $\frac18$ часть основной суммы. Какую сумму семья взяла в банке, если последний платеж, которым она полностью погасила кредит, составил 605 тысяч рублей? Ответ дайте в миллионах рублей.

Из условия можно сделать вывод, что система платежей по кредиту дифференцированная.

Пусть в ипотеку было взято $A$ тыс. рублей. Составим таблицу: \[\small <|l|c|c|c|>\hline \text&\text &\text & \text\\ \hline 1 & A & A+0,1A & 0,1A+\frac18A \\ \hline 2 & \frac78A & \dfrac78A+0,1\cdot \frac78A & 0,1\cdot \frac78A+\frac18A\\ \hline . & . & . & . \\ \hline 8 & \frac18A & \frac18A+0,1\cdot \frac18 A & 0,1\cdot \frac18A+ \frac18A \\ \hline \end>\]

Таким образом, последний платеж равен \[\frac18A+0,1\cdot \frac18A=605 \quad\Leftrightarrow\quad A=4400\] Следовательно, в кредит было взято 4400 тыс. рублей или 4,4 млн. рублей.

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение \[\sqrt=2\cdot \big(|x+a-3|+|x-a+3|\big)\]

имеет единственное решение.

Рассмотрим функцию \[f(x)=\sqrt-2\cdot \big(|x+a-3|+|x-a+3|\big)\]

Эта функция является четной, так как $f(x)=f(-x)$ . Следовательно, если уравнение $f(x)=0$ будет иметь решение $x_0\ne 0$ , то оно также будет иметь решение $-x_0$ . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы этим решением был $x=0$ . Подставим $x=0$ в уравнение и найдем $a$ : \[\sqrt=2\cdot 2|a-3| \quad\Leftrightarrow\quad |a-3|(|a-3|-4)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin\begin &a=3\\ &a=7\\ &a=-1 \end\end\right.\] Заметим, что данные значения для $a$ гарантируют, что решением уравнения будет $x=0$ , но не гарантируют, что это решение будет единственным. Следовательно, сделаем проверку и увидим, что при $a=3$ уравнение принимает вид \[x^2=4|x|,\] решением которого является не только $x=0$ , но и $x=\pm 4$ . Следовательно, значение $a=3$ не подходит. Остаются только $a=-1$ и $a=7$ (проверкой можно убедится, что при них уравнение имеет единственный корень).

На доске в порядке возрастания написаны пять различных натуральных чисел. Известно, что если стереть первое или последнее из них, то сумма любых двух оставшихся чисел будет больше любого другого из оставшихся чисел.
а) Может ли пятое число быть в 100 раз больше, чем первое?
б) Может ли пятое число быть в 3 раза больше, чем второе?
в) Какое наибольшее значение может принимать отношение суммы первого и пятого чисел к сумме второго и четвертого, если третье число равно 100?

а) Да. Например: 3, 297, 298, 299, 300.

б) Нет. Назовем эти числа, расположенные в порядке возрастания, $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ . Тогда после стирания $a_1$ останутся $a_2, a_3, a_4, a_5$ . Если сумма наименьших двух чисел будет больше наибольшего числа, то есть $a_2+a_3>a_5$ , то и сумма любых двух чисел будет больше любого числа.
После стирания $a_5$ останутся $a_1, a_2, a_3, a_4$ . Аналогично, достаточно, чтобы $a_1+a_2>a_4$ .

в) Рассмотрим выражение $\dfrac \qquad (*)$ . Заметим, что так как $a_3=100$ и числа расположены в порядке возрастания и являются натуральными, то наибольшее значение, которое может принимать $a_2$ – это 99. Минимальное значение для $a_4$ – это 101. Наименьшее значение для $a_2$ – это 52, так как если $a_2=51$ , то максимальное значение для $a_1$ уже 50, и их сумма тогда максимум равна 101, что уже не может быть строго больше $a_4$ .
Таким образом, $52\leqslant a_2\leqslant 99$ .

Если обозначить $a_2=x$ , то максимальное значение для $a_1$ – это $x-1$ . Так как $a_2+a_3>a_5$ , а $a_2+a_3=x+100$ , то максимальное значение для $a_5$ – это $x+100-1$ .
Заметим, что дробь $(*)$ будет принимать наибольшее значение, если ее числитель будет как можно больше, а при этом знаменатель как можно меньше. Возьмем наименьшее возможное значение для $a_4=101$ и рассмотрим функцию (где $x=a_2$ ): \[f(x)=\dfrac=\dfrac,\] где взяты по максимуму значения для $a_1$ и $a_5$ и наименьшее значение для $a_4$ . Можно проверкой убедиться, что при таких значениях выполнено условие “если стереть первое или последнее из них, то сумма любых двух оставшихся чисел будет больше любого другого из оставшихся чисел”.
Найдем производную: \[f'(x)=\dfrac\] Заметим, что при всех $x\in [52;99]$ производная больше нуля, следовательно, функция возрастает. Следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем $x$ , то есть при $x=99$ . Тогда наибольшее значение дроби равно: \[\dfrac=1,48.\]

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших из них равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?
в) Найдите наибольшее среднее арифметическое всех чисел.

(ЕГЭ 2018, основная волна)

б) Пусть мы имеем набор упорядоченных по возрастанию чисел $a_1, a_2, \dots, a_$ . Так как $(a_1+a_2+\dots+a_6):6=5$ , то $a_1+\dots +a_6=30$ . Аналогично $a_5+a_6+\dots a_=90$ . Тогда $a_1+a_2+\dots +a_+(a_5+a_6)=120$ .
Наименьшее возможное значение $a_5$ – это 5, так как числа натуральные и различные и они упорядочены по возрастанию. Тогда самое маленькое возможное значение $a_6$ – это 6. Но тогда наибольшая возможная сумма $a_1+\dots +a_=120-(5+6)=109$ . Но тогда наибольшее возможное среднее арифметическое всех десяти чисел равно \(109:10=10,9

в) В предыдущем пункте мы сказали, что $a_1+a_2+\dots +a_=120-(a_5+a_6)$ . Следовательно, для того, чтобы найти наибольшую возможную сумму всех чисел, нужно найти наименьшую возможную сумму $a_5+a_6$ .
Ранее мы доказали, что минимальная сумма $a_5+a_6=11$ . Заметим, что, учитывая условие, что сумма наименьших шести чисел равна 30, такая ситуация невозможна: наибольшее возможное $a_5$ тогда равно 5, значит, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна $1+2+3+4=10$ , откуда мы получаем, что наибольшая сумма первых шести чисел равна \(1+2+3+4+5+6 Рассмотрим случаи:

1) Пусть $a_5+a_6=12$ . Тогда $a_1+a_2+a_3+a_4=18$ . Тогда наибольшее возможное значение для $a_5$ – это 5. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(1+2+3+4

2) Пусть $a_5+a_6=13$ . Тогда $a_1+a_2+a_3+a_4=17$ . Тогда наибольшее возможное значение для $a_5$ – это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(2+3+4+5

3) Пусть $a_5+a_6=14$ . Тогда $a_1+a_2+a_3+a_4=16$ . Тогда наибольшее возможное значение для $a_5$ – это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(2+3+4+5

а) Для выполнения условий достаточно, чтобы произведение двух меньших чисел было больше 40, а произведение двух больших было меньше 100. Рассмотрим пять последовательных чисел, представленных в виде: n, n 1, n 2, n 3, n 4. Тогда должны быть справедливы неравенства: n2 n > 40 и n2 7n 12 < 100. Неравенства справедливы при n = 6 (т.к. 62 6 >40 и 36 42 12 = 90 < 100). Поэтому условию удовлетворяют пять различных натуральных чисел: 6,7,8,9,10 или 6,7,8,9,11. Ответ – да.
б) Пусть шесть чисел записаны на доске в порядке возрастания a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6.
Заметим, что a2 ? 7 и a5 ? 9, иначе произведение a1·a2 будет меньше 40, а произведение a5·a6 будет больше 100. Значит, на доске может быть только одно число a1 < 7 и только одно двузначное число a6 ? 10. Но тогда четырьмя различными числами a2< a3 < a4 < a5 должны быть три числа 7, 8 и 9, что невозможно, поэтому ответ - нет.
в) Пусть на доске написаны 4 числа в порядке возрастания: a1 < a2 < a3 < a4. Как было показано в пункте б), соседние с крайними числа всегда подчиняются условию:
7? a2 < a3 ? 9. Следовательно, возможны только три случая:
Если записаны числа: a1, 7, 8, a4, то наибольшие возможные крайние числа a1 = 6, a4 = 12. Сумма четырех записанных на доске чисел будет равна 33.
Если записаны числа: a1, 7, 9, a4, то крайними будут a1 = 6, a4 = 11, а сумма чисел будет равна 33.
Если записаны числа: a1, 8, 9, a4, то крайними будут a1 = 7, a4 = 11, а сумма чисел будет равна 35.
Таким образом, наибольшее значение суммы четырех чисел, записанных на доске, равно 35.
Ответ: а) да; б) нет; в) 35.

Последние задачи

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая $AD$ в точке $M$, $AD=90$, $MD=69$, $H$ - точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведенную из вершины $B$, в отношении $13:12$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=20$.

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=60$, $AC=80$, точка $O$-центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Читайте также: