На доске написано число над которым возможно неоднократно производятся
Обновлено: 10.05.2024
Задание 19. На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Да, может, например, если взять 19 чисел, равных 10, а 20-е равное 1, то после уменьшения 20-го числа на 1, оно становится равным 0 и получается среднее значение уже не 20 чисел, а 19-ти, то есть имеем:
- первоначальное среднее значение: ;
- среднее значение после изменения: .
Как видим, второе среднее значение стало больше исходного.
б) Предположим, что для выполнения этого условия нужно взять единиц, затем взять чисел и одно число , всего 20 чисел. Их среднее арифметическое будет равно
а после стирания единиц должны получить
то есть имеем систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
Таким образом, для выполнения условия данного пункта нужно взять дробное количество чисел, что невозможно в рамках данной задачи.
в) Чтобы получить максимальное среднее оставшихся на доске чисел, изначально нужно записать набор чисел, состоящих из наибольшего числа единиц (которые, затем, будут стерты с доски), а остальные числа должны быть максимальными. Запишем это условие в виде
где - число единиц; - 20-е число (оно выбирается так, чтобы обеспечить среднее равным 27). Отсюда имеем:
Из полученного выражения видно, что минимальное значение , при котором получим максимальное значение . Таким образом, имеем последовательность чисел, сумма которых равна
Официальные решения и критерии оценивания занимательных задач ЕГЭ 2016
Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество хорошим?
б) Является ли множество хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества ?
читать дальше
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа `a` и `b`, записанные на доске, заменяются на два числа: или `a+b` и `2a-1`, или `a+b` и `2b-1` (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
читать дальше
На доске написаны числа 1, 2, 3, . 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
читать дальше
Последовательность `a_1,` `a_2,` . `a_n` (`n >= 3`) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при `n = 10`?
читать дальше
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» --- процент побед, округлённый до целого, «ничьи» --- процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
читать дальше
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно `113/27`.
б) Может ли это число равняться `125/27`?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
читать дальше
На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно `A`, среднее арифметическое чисел во второй группе равно `B`. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше `(A+B)/2`;
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно `(A+B)/2`;
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения `(A+B)/2`.
читать дальше
Последовательность `a_1, a_2, . a_6` состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть `M_k` - среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме `k`-го. Известно, что `M_1 = 1`, `M_2 = 2`.
а) приведите пример такой последовательности, для которой `M_3 = 1.6`.
б) существует ли такая последовательность, для которой `M_3 = 3`?
в) Найдите наибольшее возможное значение `M_3`.
читать дальше
Лекцию читает: Лецко Владимир Александрович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики и физики ВГСПУ.
19 задача традиционно состоит из 3-х частей и оценивается экспертами из 4-х первичных баллов: 1 балл – за верное обоснованное решение 1-го пункта; 1 балл - 2-го пункта; 2 балла - 3-го пункта;
На доске написано несколько различных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4.
а) Может ли сумма этих чисел равняться 282?
б) Может ли сумма этих чисел равняться 390?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если их сумма равна 2226?
В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. 1-й ученик насыпает порции по 100 г, 2-й – по 200 г, 3-й – по 300 г, 4-й – по 400 г. Какие-то кролики могут остаться без корма.
а) может ли оказаться, что все кролики получили равное количество корма, если их было 15?
б) может ли оказаться, что все кролики получили разное количество корма, если их было 15?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый школьник насыпал корм ровно 4-м кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Все члeны последовательности натуральные числа. Каждый из них, кроме первого, в 14 больше или в 14 меньше предыдущего. А сумма всех равна 7424.
а) может ли в последовательности быть ровно 2 числа?
б) может ли в последовательности быть ровно 3 числа?
в) какое наибольшее количество чисел может быть в последовательности?
В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы 2 овоща различной массы, а средняя масса всех овощей 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г., равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г., равна 1030 г.
а) могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой больше 1000 г. и меньше 1000 г.?
б) могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых 1000 г.?
в) какую наибольшую массу может иметь овощ в этом ящике?
На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3 стерли с доски.
а) может ли оказаться среднее арифметическое оставшихся чисел больше 16?
б) может ли среднее арифметическое оставшихся чисел оказаться больше 14, но меньше 15?
в) найдите наибольшее возможное среднее арифметическое оставшихся чисел.
Каждый из 32 студентов писал или одну или обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух работ по отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший (единственный, если писал одну работу) из своих баллов. Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно S.
а) Привести пример, когда S
На доске написано \(100\) различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна \(5120\) .
а) Может ли на доске быть написано число \(230\) ?
б) Может ли быть такое, что на доске не написано число \(14\) ?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных \(14\) , написано на доске?
(ЕГЭ 2017, основная волна)
а) Упорядочим числа по возрастанию \(a_1, a_2, \dots, a_\) . Пусть одно из этих чисел равно \(230\) . Пусть все оставшиеся 99 чисел – это \(1, 2, 3, \dots, 99\) . Тогда сумма всех ста чисел – наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть \(230\) . Вычислим ее: \[\dfrac2\cdot 99+230=5180>5120\] Получили противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.
б) Предположим, что на доске нет числа \(14\) . Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: \(1, 2, \dots, 13, 15, \dots, 101\) . Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел – наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна: \[\dfrac2\cdot 101-14=5137>5120\] Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.
в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные \(14\) (это числа \(14, 28, 42, 56\) ): \[1, 2, \dots, 69, \quad 71, 72, \dots, 83, \quad 85, 86, \dots, 97, \quad 100, 101, 102, 103, 115.\] Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных \(14\) .
Возьмем набор чисел от \(1\) до \(100\) . Сумма чисел в данном наборе равна \(5050\) . Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные \(14\) , странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.
Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число – это \(98\) . Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число – это \(101\) . После этого мы получим минимальную сумму, равную \(5053\) . Она меньше, чем \(5120\) , поэтому будем продолжать дальше.
Поступая аналогично, уберем странные числа \(98, 84, 70\) . Вместо них добавим \(101, 102, 103\) . Получим при этом минимальную сумму, равную \(5104\) . Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав \(56\) и добавив \(104\) , получим минимальную сумму \(5152\) , что больше, чем \(5120\) . В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.
На доске написано \(30\) различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается на \(4\) или \(8\) . Известно, что сумма чисел, написанных на доске, равняется \(2786\) .
а) Может ли на доске быть написано поровну чисел, оканчивающихся на \(4\) , и чисел, оканчивающихся на \(8\) ?
б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на \(8\) ?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на \(8\) , может быть на доске?
(ЕГЭ 2017, основная волна)
а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на \(4\) , и чисел, оканчивающихся на \(8\) , то чисел каждого вида по 15 штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа \(15\cdot 4+15\cdot 8=180\) , то есть последняя цифра должна быть равна \(0\) , что противоречит условию.
Следовательно, ответ: нет.
б) Рассмотрим все подряд идущие 30 натуральных чисел, оканчивающихся на \(4\) , начиная с самого маленького: \(4, \ 14, \ 24, \ 34, \ \dots, 284, \ 294\) . Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(10\) . Следовательно, их сумма равна \[\dfrac2\cdot 30=4470\] Заметим, что это намного больше, чем \(2786\) . И заметим, что это наименьшая возможная сумма 30-ти различных чисел, оканчивающихся на \(4\) . Как нам максимально уменьшить эту сумму, добавив 4 числа, оканчивающихся на \(8\) (а значит и убрав 4 числа, оканчивающихся на \(4\) , ведь количество чисел должно быть всегда равно \(30\) )? Нужно убрать самые большие числа, оканчивающиеся на \(4\) , и добавить самые маленькие, оканчивающиеся на \(8\) . То есть нужно убрать \(294, \ 284, \ 274, \ 264\) и добавить \(8, \ 18, \ 28, \ 38\) . Но в этом случае сумма всех чисел будет равна \[\begin &4470-294-284-274-264+8+18+28+38=\\ &4470-(294-8)-(284-18)-(274-28)-(264-38)=\\ & 4470-286-266-246-226=\\ &3446>2786\end\] Следовательно, ответ: нет.
Каждый из \(28\) студентов написал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от \(0\) до \(20\) включительно. По каждой из двух работ в отдельности средний балл составил \(15\) . Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\) .
а) Приведите пример, когда \(S
б) Могло ли значение \(S\) быть равным \(5\) ?
в) Какое наименьшее значение могло принимать \(S\) , если обе контрольные писали только \(10\) студентов?
(ЕГЭ 2017, основная волна)
б) Пусть \(M\) – сумма максимальных баллов всех студентов. Предположим, что \(S=5\) , то есть \[\dfrac M=5\quad\Rightarrow\quad M=140\] Заметим, что либо первую, либо вторую контрольную писало не менее 14 человек (так как если каждую контрольную писало менее 14 человек, то всего студентов менее 28). Можно считать, что не менее 14 человек писало первую контрольную. Пусть \(\Sigma\) – сумма баллов по первой контрольной, \(x\geqslant 14\) – количество человек, писавших эту контрольную. Тогда \[\dfracx=15\quad\Rightarrow\quad \Sigma=15x\geqslant 15\cdot 14>140=M\] Докажем, что \(M\geqslant \Sigma\) .
Действительно, возьмем произвольного студента. Если он писал только первую контрольную, то его балл будет участвовать и в \(M\) , и в \(\Sigma\) . Если он писал только вторую контрольную, то его балл будет участвовать в \(M\) , но не будет участвовать в \(\Sigma\) . Если он писал обе контрольные, то в \(\Sigma\) будет участвовать его балл за первую контрольную, а в \(M\) – его наибольший балл (то есть либо этот же балл, либо выше). Таким образом, во-первых, слагаемых в \(M\) будет больше, чем в \(\Sigma\) , часть из них будет совпадать со слагаемыми из \(\Sigma\) , а часть будет больше или равна. Чтд.
Ответ: нет.
За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они бли одинаковыми, написать двойку, а если разными - единицу.
Если последняя оставшаяся на доске цифра - единица, то выиграл первый игрок, если двойка - то второй.
Кто выиграет при правильной игре : первый или второй игрок?
Заметим, что чётность суммы всех написанных на доске чисел не меняется : вместо 1, 1 или 2, 2 (суммы равны 2 или 4 - чётные) пишут 2 (тоже чётное), вместо 1, 2 (сумма 3 - нечётная) пишут 1 - нечётное число.
Изначально сумма равна 10 * 1 + 10 * 2 = 30 - и она чётная.
В конце должно остаться одно число, и так как чётность суммы не поменялась, то оно чётное, т.
Значит, выигрывает второй игрок, притом всегда.
Выигрывает второй игрок.
У нас есть 10 единиц и 10 двоек.
Подумаем над тем, что будет если взять две одинаковые цифры :
Если возьмём две единицы, то их станет 8 (четное кол - во)
Если возьмём 1 и 2, то единиц будет 10 - 1 так как взяли, но потом 9 + 1, так как единица из двух разных чисел.
Получаем единиц 10 (чётное кол - во)
Если возьмём две двойки, то единицы не изменятся, останется четное кол - во.
А значит, что единиц всегда четное количество.
Поэтому при правильной игре победит второй игрок.
На доске написаны три двузначных числа?
На доске написаны три двузначных числа.
Первая слева цифра одного из них - 5, второго - 6, а третьего - 7.
Учитель попросил троих учащихся сложить любые два из этих чисел.
Первый учащийся получил в сумме число 147, второй и третий - разные трёхзначные числа, первые слева две цифры которые 1 и 2.
Какие числа написаны на доске?
Два игрока по очереди разламывают шоколадку размером 100х99?
Два игрока по очереди разламывают шоколадку размером 100х99.
За один ход разрешается сделать прямолинейный разлом вдоль углубления одного из имеющихся кусков.
Выигрывает тот, кто первым отломит дольку 1х1.
Кто выигрывает при правильной игре : начинающий или его партнер?
Правильной игрой считается такая игра, при которой игроки, делая ход, стараются выиграть.
Коля стер все цифры на доске и написал вместо них буквы?
Коля стер все цифры на доске и написал вместо них буквы.
Вместо одинаковых цифр он написал одинаковые буквы, а вместо разных цифр он написал разные буквы.
Какие цифры были на доске, если получился такой пример
АВ + ВЕ + ЕА = АВЕ.
Решите любую из задач, пожалуйста :1?
Решите любую из задач, пожалуйста :
Сколько диагоналей в правильном 32 - угольнике не параллельны ни одной из сторон этого 32 - угольника?
2. Петя и Вася играют в игру.
На доске написано число : 11223334445555666677777.
За один ход разрешается стереть любое количество одинаковых цифр.
Выигрывает тот, кто сотрёт последнюю цифру.
Петя ходит первым.
Может ли он так ходить, чтобы гарантированно выиграть?
На доске написанно одно число 147028594324330 разрешается стереть две любые идущие подряд цифры этого числа, и написать вместо них их сумму после после нескольких таких операций на доске записано одно?
На доске написанно одно число 147028594324330 разрешается стереть две любые идущие подряд цифры этого числа, и написать вместо них их сумму после после нескольких таких операций на доске записано одно число, из одной цифры.
Чему равно значение этой цифры?
Единиц третьего разряда, выраженных цифрой 6, и единиц второго и первого разрядов, выраженных цифрой 0?
Единиц третьего разряда, выраженных цифрой 6, и единиц второго и первого разрядов, выраженных цифрой 0.
Единиц третьего разряда, выраженных цифрой 6, и единиц второго и первого разрядов, выраженных цифрой 0?
Единиц третьего разряда, выраженных цифрой 6, и единиц второго и первого разрядов, выраженных цифрой 0.
Написать наименьшее трехзначное число, цифры которых различны поменяйте наоборот цифры местами?
Написать наименьшее трехзначное число, цифры которых различны поменяйте наоборот цифры местами.
На склько единиц второе число будет больше первого?
На доске написано число 20?
На доске написано число 20.
За один ход разрешается либо удвоить число , либо стереть его последнюю цифру .
Можно ли за несколько ходов получить число 25.
На доске написано число 20?
На доске написано число 20.
За один ход разрешается либо удвоить число, либо стереть его последнюю цифру.
Можно ли за несколько ходов получить число 25?
Они могли быть : синими, красными, одна синяя другая красная.
1) 1 - (5 / 18) = 13 / 18 всей суммы останется на 2 и 3 школы 2) (13 / 18) * (6 / 13) = 1 / 3 всей суммы на 2 школу 3) (13 / 18) - (1 / 3) = (13 / 18) - (6 / 18) = 7 / 18 всей суммы на 3 школу Третья школа получила больше денег, так как (7 / 18)>(1 /..
Читайте также: