На доске написана последовательность натуральных чисел
Обновлено: 18.04.2024
Задание 19. На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Да, может, например, если взять 19 чисел, равных 10, а 20-е равное 1, то после уменьшения 20-го числа на 1, оно становится равным 0 и получается среднее значение уже не 20 чисел, а 19-ти, то есть имеем:
- первоначальное среднее значение: ;
- среднее значение после изменения: .
Как видим, второе среднее значение стало больше исходного.
б) Предположим, что для выполнения этого условия нужно взять единиц, затем взять чисел и одно число , всего 20 чисел. Их среднее арифметическое будет равно
а после стирания единиц должны получить
то есть имеем систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
Таким образом, для выполнения условия данного пункта нужно взять дробное количество чисел, что невозможно в рамках данной задачи.
в) Чтобы получить максимальное среднее оставшихся на доске чисел, изначально нужно записать набор чисел, состоящих из наибольшего числа единиц (которые, затем, будут стерты с доски), а остальные числа должны быть максимальными. Запишем это условие в виде
где - число единиц; - 20-е число (оно выбирается так, чтобы обеспечить среднее равным 27). Отсюда имеем:
Из полученного выражения видно, что минимальное значение , при котором получим максимальное значение . Таким образом, имеем последовательность чисел, сумма которых равна
Задание 18 № 548408
На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.
а) Может ли сумма составлять 282?
б) Может ли их сумма составлять 390?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?
а) Пусть на доске написаны числа 24, 54 и 204. Тогда их сумма равна 282.
б) Каждое из написанных чисел оканчивается на 4, поэтому если их сумма оканчивается на 0, то их количество должно делиться на 5. Сумма пяти наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна Значит, получить сумму 390 невозможно.
в) Пусть на доске написано n чисел. Заметим, что любое число, которое оканчивается на 4, представимо в виде 5k + 4. Значит, сумма чисел, написанных на доске, равна Следовательно, 4n даёт остаток 1 при делении на 5, откуда получаем, что n даёт остаток 4 при делении на 5.
Предположим, что Сумма четырнадцати наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна
Значит, n Ответ: а) да, б) нет, в) 9.
Приведем решение Евгения Обухова (Москва).
а) Возрастающий ряд натуральных чисел, делящихся на 3 (сумма цифр числа делится на 3) и оканчивающихся на 4, начинается фрагментом: 24, 54, 84, 114, 144, . . Легко подобрать пример:
б) Допустим, может. Это означает, что в сумме как минимум пять слагаемых (иначе сумма чисел, оканчивающихся на 4, не заканчивается 0). Следовательно, сумма не меньше, чем Противоречие.
в) Из пункта а) следует, что рассматриваемая последовательность чисел возрастает. Разность соседних чисел должна делиться и на 10, так как все числа оканчиваются на 4, и делиться на 3, поскольку все числа делятся на 3. Следовательно, эта разность равна 30. То есть на доске написаны числа вида где ki — целое неотрицательное число. Тогда сумма n чисел на доске равна
Так как все числа на доске различны, то
Из этого неравенства следует, что Из (⁎) следует, что делится на 10, следовательно, и заведомо не подходят. При из (⁎) получаем, что Построение примера завершает его предъявление:
Ответ: а) да, б) нет, в) 9.
Приведем решение Владислава Франка (Санкт-Петербург).
а) Да. Например, 24 + 54 + 204.
б) Нет. Если их последние цифры четверки, то нужно минимум 5 чисел, чтобы их сумма кончалась на 0, но даже сумма самых маленьких пяти таких чисел слишком велика:
в) Разобьем числа на группы по пять. Тогда в каждой группе сумма кончается на 0. Значит, в последней группе (она могла бы быть неполной) должно быть 4 числа — иначе последняя цифра суммы не сойдется. Итак, общее количество чисел может быть Если взять 14 наименьших чисел, то их сумма будет равна Поэтому чисел не более девяти. Девять чисел взять можно, например,
Задание 18 № 517579
На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 8, а зелёные числа кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1395 = 3 + 6 + ⋯ + 90, если на доске написаны только кратные 3 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1066, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1066.
а) Пусть на доске записано 30 зеленых чисел, тогда последнее число можно найти по формуле:
Тогда сумма всех зеленых чисел составит 1395.
Теперь заменим зеленое число 27 на красное число 24, тогда сумма чисел написанных на доске будет равна
При этом на доске написаны только кратные 3 числа.
б) Ясно, что сумма 30 зелёных чисел, приведённая в пункте а) - минимальна, так как минимально значение (при больших значениях сумма будет возрастать). Чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных чисел, вычтем из минимально возможной суммы 30 зелёных чисел самое большое - последнее число, равное 90:
Теперь, чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных и 1 красного чисел, прибавим к минимально возможной сумме 29 зелёных чисел минимально возможное красное число, то есть число 8:
Таким образом, получаем, что минимально возможная сумма 29 зелёных и 1 красного чисел а это означает, что, если на доске написано только 1 красное число, то сумма чисел не может быть равна 1066.
в) Пусть n - число красных чисел, тогда число зелёных составит (30-n). Суммы красных и зелёных чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии будут составлять:
Сумма всех чисел So должна быть по крайней мере меньше или равна 1066, тогда:
Значит, необходимо заменить не менее 7 зеленых чисел. В ряду из 30 зелёных чисел заменим зеленые числа на красные: 90 на 8, 87 на 16, 84, на 24, 81 на 32, 78 на 40, 75 на 48. Таким образом, сумма записанных на доске чисел составит:
Задание 18 № 548408
На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.
а) Может ли сумма составлять 282?
б) Может ли их сумма составлять 390?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?
а) Пусть на доске написаны числа 24, 54 и 204. Тогда их сумма равна 282.
б) Каждое из написанных чисел оканчивается на 4, поэтому если их сумма оканчивается на 0, то их количество должно делиться на 5. Сумма пяти наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна Значит, получить сумму 390 невозможно.
в) Пусть на доске написано n чисел. Заметим, что любое число, которое оканчивается на 4, представимо в виде 5k + 4. Значит, сумма чисел, написанных на доске, равна Следовательно, 4n даёт остаток 1 при делении на 5, откуда получаем, что n даёт остаток 4 при делении на 5.
Предположим, что Сумма четырнадцати наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна
Значит, n Ответ: а) да, б) нет, в) 9.
Приведем решение Евгения Обухова (Москва).
а) Возрастающий ряд натуральных чисел, делящихся на 3 (сумма цифр числа делится на 3) и оканчивающихся на 4, начинается фрагментом: 24, 54, 84, 114, 144, . . Легко подобрать пример:
б) Допустим, может. Это означает, что в сумме как минимум пять слагаемых (иначе сумма чисел, оканчивающихся на 4, не заканчивается 0). Следовательно, сумма не меньше, чем Противоречие.
в) Из пункта а) следует, что рассматриваемая последовательность чисел возрастает. Разность соседних чисел должна делиться и на 10, так как все числа оканчиваются на 4, и делиться на 3, поскольку все числа делятся на 3. Следовательно, эта разность равна 30. То есть на доске написаны числа вида где ki — целое неотрицательное число. Тогда сумма n чисел на доске равна
Так как все числа на доске различны, то
Из этого неравенства следует, что Из (⁎) следует, что делится на 10, следовательно, и заведомо не подходят. При из (⁎) получаем, что Построение примера завершает его предъявление:
Ответ: а) да, б) нет, в) 9.
Приведем решение Владислава Франка (Санкт-Петербург).
а) Да. Например, 24 + 54 + 204.
б) Нет. Если их последние цифры четверки, то нужно минимум 5 чисел, чтобы их сумма кончалась на 0, но даже сумма самых маленьких пяти таких чисел слишком велика:
в) Разобьем числа на группы по пять. Тогда в каждой группе сумма кончается на 0. Значит, в последней группе (она могла бы быть неполной) должно быть 4 числа — иначе последняя цифра суммы не сойдется. Итак, общее количество чисел может быть Если взять 14 наименьших чисел, то их сумма будет равна Поэтому чисел не более девяти. Девять чисел взять можно, например,
Задание 19. На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Решение.
а), в) Чтобы среднее арифметическое, уменьшенных в 2 раза чисел, оказалось больше 14, необходимо некоторые числа сделать меньше 1 и удалить их из последовательности, иначе среднее арифметическое станет 7:2=3,5.
Для достижения максимального среднего, нужно отбросить как можно больше слагаемых, а оставшиеся должны быть наибольшими, т.е. изначально в последовательности записать наибольшее число слагаемых, равных 1. Можно заметить, что если взять последовательность вида
то получим среднее близкое к 7. Следовательно, одно из чисел 40 нужно уменьшить так, чтобы среднее стало 7, получим
Полученная последовательность из 25 единиц, четырех максимальных чисел 40 и одного числа 25 даст среднее арифметическое 7. И после уменьшения чисел в 2 раза, получим максимально возможное среднее, равное
которое больше 14.
Ответ: а) да; в) 18,5.
б) Чтобы ответить на этот вопрос достаточно рассмотреть последовательность вида
где переменные подобраны так, чтобы среднее арифметическое было равно 7, т.е. должно выполняться равенство
По условию задачи, уменьшенная в 2 раза последовательность должна иметь среднее , получим:
Вычитаем из второго уравнения первое, имеем:
Вычислим значения при и 13, получим:
то есть не существует целого , при котором среднее арифметическое будет находиться в диапазоне .
Читайте также: