На доске написана последовательность из 13 чисел

Обновлено: 15.04.2024

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двадцать четвертая статья данной серии. Здесь собраны задачи с реальных экзаменов.

Задача 1. Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше

а) «Дыра» между 99 и 110 составляет 11. Если числа не превосходят 11, то, прибавив одно из них к 99, мы обязательно попадем в «яму». Или наоборот, наберем чисел на сумму 110, затем одно вычтем – получим обязательно число, большее 99.

б) Пусть числа одинаковые и их 11 штук

То есть 10 чисел по 10,05 подойдут, но это – не любой набор.

Другой пример: пусть есть 10 чисел по 10, и одно число 11. Сумма десяти из них либо 100, либо 101.

в) Если взять чисел, больших 10, хотя бы 10 штук, то полученная сумма будет больше 100. Если взять числа, величины которых лежат в пределах от 10 до 11 включительно, 9 штук, а потом к ним добавить число, не превосходящее 10, то «провалимся в дырку» между 101 и 110.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

Задача 2. На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа $a$ и $b$, записанные на доске, заменяются на два числа: или $a+b$ и $2a-1$, или $a+b$ и $2b-1$. Например, из чисел 2 и 3 можно получить числа либо 3 и 5, либо 5 и 5.

а) Приведите пример последовательности ходов, после которой одно из двух чисел, написанных на доске, будет числом 13.

б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?

в) Сделали 513 ходов, причем на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел? (ЕГЭ-2016).

а) Пробуем получить 13. Имеем либо $3; 5$, либо $5; 5$. Следующий ход: в первом случае можем получить $5; 8$ или $8; 9$, затем $9; 13$ или $13; 15$. Во втором случае имеем $9; 10$, потом $17; 19$ или $19; 19$. Пример наш таков: $(2; 3), (3; 5), (5; 8), (9, 13)$.

б) Как видно из пункта а) в ряду появляются числа 2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129 и т.д. Так как $17=2^4+1$, $33=2^5+1$, $65=2^6+1$, $129=2^7+1$, и т.д., то на двухсотом ходу получим число $2^+1$, что примерно равно $10^$, что значительно больше 400.

в) Если изначально даны четное и нечетное числа, то сумма четного и нечетного – нечетна, а удвоенное нечетное без 1 – тоже нечетное. То есть из нечетного и четного чисел получим на первом ходу два нечетных. На втором ходу одно будет четным, второе – нет, и таким образом ходы чередуются. На 513 ходу на доске обязательно написаны два нечетных числа. Самая маленькая разность между ними – 2.

Ответ: а) $(2; 3), (3; 5), (5; 8), (9, 13)$; б) нет; в) 2.

Задача 3. На доске написаны числа $1, 2, 3, \ldots 30$. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм трех чисел, стертых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных пяти ходов;

б) Можно ли сделать 10 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать? (ЕГЭ-2016).

а) Да, можно: (15, 2, 3), (6, 4, 5), (7, 8, 9), (10, 11, 12), (13, 14, 1).

б) Сумма всех чисел

$$\frac\cdot 30=31\cdot 15=465$$

Разделив 465 на 10 троек, получаем, что средняя сумма тройки 46,5, что больше 35. Ответ – нет.

Можно и по-другому: если стираем 30, то вместе с ним можно стереть либо 1 и 2, либо 1 и 3. Вычеркиваем 29. Вместе с ним можно вычеркнуть 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3. Но единица уже вычеркнута с 30-кой, и 2-ка либо тройка – тоже.

в) Нужно проверить возможности сделать от 6 до 9 ходов, так как пять ходов мы уже сделали, а 10 сделать невозможно.

378, деленное на 9, – это больше 35.

300, деленное на 8, – это больше 35.

231, деленное на 7, – это меньше 35.

Но сумма самых больших сумм $34+33+32+\ldots+28=\frac\cdot 7=217$ – не больше 217. Поэтому этот случай тоже невозможен.

6 ходов возможно сделать: изменим имеющиеся в пункте а) ходы, записав числа друг под другом:

Задание 18 № 514742

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a + b и 2a − 1, или a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.

б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?

в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

а) Число 13 могло получится в результате следующей последовательности ходов:

б) После первого хода на доске будет записано либо 3 и 5, либо 5 и 5. Заметим, что после каждого последующего хода каждое из двух чисел увеличивается хотя бы на 2. Значит, после 200 ходов меньшее из двух чисел будет не меньше 3 + 199 · 2 = 401. Значит, после 200 ходов на доске не может оказаться число 400.

в) Пусть в какой-то момент на доске была написана пара чисел a и b, причём b > a. Тогда после хода на доске будет написано либо 2a − 1 и a + b, либо a + b и 2b − 1. В первом из этих случаев разность чисел равна b − a + 1, а во втором b − a − 1. То есть после каждого хода разность большего и меньшего числа изменяется на 1, причём для любых двух различных чисел можно сделать ход так, чтобы разность увеличилась, и так, чтобы разность уменьшилась.

Изначально разность большего и меньшего чисел была равна 1, а после каждого хода её чётность меняется. Значит, после 513 ходов разность должна быть чётной. Поэтому наименьшая возможная разность — это 2.

Например, если сначала сделать 257 ходов, увеличивающих разность, а затем 256 ходов, уменьшающих разность, то получится два числа, разность которых равна 2.

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

1. Является ли множество хорошим?
2. Является ли множество хорошим?
3. Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества ?

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a + b и 2a − 1, или a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).

1. Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
2. Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
3. Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

1. Приведите пример последовательных 5 ходов.
2. Можно ли сделать 10 ходов?
3. Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Последовательность a₁,a₂,a₁..a_n (n > 2) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

1. Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
2. Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
3. Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 10?

В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17).

1. Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
2. Может ли после выигранной партии увеличится показатель «поражений»?
3. Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?

Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.

1. Приведите пример числа, для которого это частное равно 113/27
2. Может ли это частное равняться 125/27
3. Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

1. Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше (A+B)/2.
2. Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно (A+B)/2.
3. Найдите наибольшее возможное значение выражения (A+B)/2.

Последовательность a₁,a₂,a₃,a₄,a₄,a₆ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M_k — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. известно. что M₁ = 1, M₂ = 2.

Официальные решения и критерии оценивания занимательных задач ЕГЭ 2016

Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество хорошим?
б) Является ли множество хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества ?
читать дальше

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа `a` и `b`, записанные на доске, заменяются на два числа: или `a+b` и `2a-1`, или `a+b` и `2b-1` (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
читать дальше

На доске написаны числа 1, 2, 3, . 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
читать дальше

Последовательность `a_1,` `a_2,` . `a_n` (`n >= 3`) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при `n = 10`?
читать дальше

В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» --- процент побед, округлённый до целого, «ничьи» --- процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
читать дальше

Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно `113/27`.
б) Может ли это число равняться `125/27`?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
читать дальше

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно `A`, среднее арифметическое чисел во второй группе равно `B`. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше `(A+B)/2`;
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно `(A+B)/2`;
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения `(A+B)/2`.
читать дальше

Последовательность `a_1, a_2, . a_6` состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть `M_k` - среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме `k`-го. Известно, что `M_1 = 1`, `M_2 = 2`.
а) приведите пример такой последовательности, для которой `M_3 = 1.6`.
б) существует ли такая последовательность, для которой `M_3 = 3`?
в) Найдите наибольшее возможное значение `M_3`.
читать дальше

Презентация по алгебре "Геометрическая прогрессия. составлена к учебнику алгебры для 9 класса авторов С.М.Никольского, М.К. Потапов, Н.Н.Решетников и др. Презентацию можно применять при изучении новой темы.

Просмотр содержимого документа
«Презентация по алгебре на тему "Геометрическая прогрессия" (9 класс)»

Определение геометрической прогрессии. Формула n -го члена геометрической прогрессии.

1 . Дайте определение арифметической прогрессии.

Ответ: Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

2. Что называют разностью арифметической прогрессии? Как обозначают?

Ответ: Это число, показывающее на сколько каждый последующий член больше или меньше предыдущего. Обозначают буквой d.

3. Назовите формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

Какие из последовательностей являются арифметическими прогрессиями?

1000, 1001, 1002, 1003, … .

5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, … .

Андрей написал на доске последовательность чисел. Первое число равно (-14), а каждое следующее на 6 больше, чем предыдущее. Найдите сумму первых 11 членов этой последовательности.

а 1 = - 14

а 1 1 = а 1 +10d= - 14 +10*6=- 14 +60= 46

Регина написала на доске последовательность чисел. Первое число равно 13, а каждое следующее на 13меньше, чем предыдущее. Найдите сумму первых 82 членов этой последовательности.

а 1 = 13

d= - 13

а 82 = а 1 + 81 d= 13 + 81 * (-13) = 13-1053 = -1040

Читайте также:

  
• Как сделать всплывающее окно ватсап
  
• Строительные работы установка дверей
  
• Каким цветом покрасить баню если крыша коричневая
  
• Пособие к снип основания и фундаменты
  
• Как подключить теплый пол электрический пленочный под ламинат к терморегулятору