На доске написана последовательность из 12 чисел
Обновлено: 04.05.2024
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших из них равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?
в) Найдите наибольшее среднее арифметическое всех чисел.
(ЕГЭ 2018, основная волна)
б) Пусть мы имеем набор упорядоченных по возрастанию чисел \(a_1, a_2, \dots, a_\) . Так как \((a_1+a_2+\dots+a_6):6=5\) , то \(a_1+\dots +a_6=30\) . Аналогично \(a_5+a_6+\dots a_=90\) . Тогда \(a_1+a_2+\dots +a_+(a_5+a_6)=120\) .
Наименьшее возможное значение \(a_5\) – это 5, так как числа натуральные и различные и они упорядочены по возрастанию. Тогда самое маленькое возможное значение \(a_6\) – это 6. Но тогда наибольшая возможная сумма \(a_1+\dots +a_=120-(5+6)=109\) . Но тогда наибольшее возможное среднее арифметическое всех десяти чисел равно \(109:10=10,9
в) В предыдущем пункте мы сказали, что \(a_1+a_2+\dots +a_=120-(a_5+a_6)\) . Следовательно, для того, чтобы найти наибольшую возможную сумму всех чисел, нужно найти наименьшую возможную сумму \(a_5+a_6\) .
Ранее мы доказали, что минимальная сумма \(a_5+a_6=11\) . Заметим, что, учитывая условие, что сумма наименьших шести чисел равна 30, такая ситуация невозможна: наибольшее возможное \(a_5\) тогда равно 5, значит, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(1+2+3+4=10\) , откуда мы получаем, что наибольшая сумма первых шести чисел равна \(1+2+3+4+5+6 Рассмотрим случаи:
1) Пусть \(a_5+a_6=12\) . Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=18\) . Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 5. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(1+2+3+4
2) Пусть \(a_5+a_6=13\) . Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=17\) . Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(2+3+4+5
3) Пусть \(a_5+a_6=14\) . Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=16\) . Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(2+3+4+5
Задание 19. На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Решение.
а), в) Чтобы среднее арифметическое, уменьшенных в 2 раза чисел, оказалось больше 14, необходимо некоторые числа сделать меньше 1 и удалить их из последовательности, иначе среднее арифметическое станет 7:2=3,5.
Для достижения максимального среднего, нужно отбросить как можно больше слагаемых, а оставшиеся должны быть наибольшими, т.е. изначально в последовательности записать наибольшее число слагаемых, равных 1. Можно заметить, что если взять последовательность вида
то получим среднее близкое к 7. Следовательно, одно из чисел 40 нужно уменьшить так, чтобы среднее стало 7, получим
Полученная последовательность из 25 единиц, четырех максимальных чисел 40 и одного числа 25 даст среднее арифметическое 7. И после уменьшения чисел в 2 раза, получим максимально возможное среднее, равное
которое больше 14.
Ответ: а) да; в) 18,5.
б) Чтобы ответить на этот вопрос достаточно рассмотреть последовательность вида
где переменные подобраны так, чтобы среднее арифметическое было равно 7, т.е. должно выполняться равенство
По условию задачи, уменьшенная в 2 раза последовательность должна иметь среднее , получим:
Вычитаем из второго уравнения первое, имеем:
Вычислим значения при и 13, получим:
то есть не существует целого , при котором среднее арифметическое будет находиться в диапазоне .
На листочке написано несколько натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое‐то число m, выписываемое на доску, посторяется несколько раз, то на доске оставляется только одно такое число m, а все остальные числа, равные m, стираются. Например, если задуманы числа 2,3,4,5, то на доске будет записан набор 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14
Б) Существует ли пример таких записанных на листочке чисел, для которых на доске записан набор чисел 1,3,4,5,6,9,10,11,12,13,14,17,18,19,20,22?
В) Приведите все примеры записанных на листочке чисел, для которых на доске будет записан набор чисел 9,10,11,19,20,21,22,30,31,32,33,41,42,43,52.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
а) Можно смело утверждать, что первое число из последовательности однозначно было записано на листке. В таком случае у нас точно была 2. Далее, чтобы получить 4, у нас должна была быть еще одно 2 или просто число 4. В первом случае затем, чтобы получить шесть придется добавить еще 2. И так же еще 2, чтобы получить 8. В итоге получаем последовательность чисел на листочке: 2,2,2,2. Для второго случая необходимо будет добавить еще одну 2. И получим 2,2,4. б)Аналогично рассуждая получаем, что точно есть 1. Чтобы получить 3 она изначально должна присутствовать, или нужно число 2, или же изначально три единицы. Число 2 явно отсутствует, иначе оно было бы в последовательности, как и три единицы, так же была бы двойка. Значит уже есть 1 и 3. Далее у нас есть 5, чтобы ее получить у нас должна быть или 5, или 1,1,3 или 1,1,1,1,1 (варианты с 2ками уже отбросили). Крайние два не подходят, при сумме появилась бы двойка, значит есть 5, но тогда 3+5=8, а 8 отсутствует в последовательности, то есть не может быть в) Аналогично с пунктом б рассуждая получаем, что точно есть 9, 10 и 11. А далее путем подборов находим, что нам понадобится еще 11 и 11, или же 22.
не знаю как честно это оформлять но все же
что это за числа которые делятся на 3 и заканчиваются на 2
это 12, 42, 72, 102 и так далее то есть 12 + 30(n-1) n=1,2,3,4.
1) 216 это 12* 18 ответ да
2) 330 раз оканчивается на ноль значит количество чисел должно быть кратно 5
то есть можно представить 42*5 +12 *10 =330 тоже ответ да
3) ну тут тоже легко заметить что 1164 это 1200 -36 =12*97 то есть ответ 97
а как уж честно это оформлять я не знаю
можно даже чуть сильнее утверждение сделать так как 60 это 12* 5
то есть все такого вида можно будет свести 12 + 60 (n-1) и 42 + 60(n-1) ничего иного не будет и вокруг этого уже суждения строить
В выражении a*b*. *z = 38 может быть составлено только как
38 = 38
2*19 = 38
Если a*b*. *z = 38
То
2n/5 + 38 = 38,8
n = 2
Следовательно,
12+30*0 + 12*30*38 = 12 + 1152 = 1164
Если a*b*. *z = 2*19
То n = 2 и 12*30*2 + 12*30*19 не равно 1164
Следовательно, 1164 таким способом можно получить сложив только два числа 12 и 1152
я понимаю что вы правильно решали, хотя зачем для третьего пункта находить минимальное количество, если там просят максимальное найти
но как вы плюс превратили в умножить?) там не a*b*..*z а a+b+..+z
да и 12*30*38 этот никак не 1152, а 13680
Игорь Козленко Мыслитель (9126) Александр Черкашин, да я обосрался в третьем пункте, исправляюсь 3) (12+30a) + (12+30b) . +(12+30z) = 1164 12*n + 30(a+b+. +z) = 1164 6(2*n + 5(a+b+. +z)) = 1164 2*n + 5*(a+b+. +z) = 194 2n/5 + a+b+. +z = 38,8 n здесь равно количеству чисел, из которых собирается сумма 1164 a, b, ..z - множители 30 для каждого числа, входящего в эту сумму 2n/5 = 4n/10 n должно превращать числитель в число, оканчивающееся на 8, чтобы получить 0,8 в десятичной части То есть числитель должен быть равен числу, делящемуся на 4 и оканчивающемуся ня 8. Деление этого числа на 4 даст кол-во чисел, из которых можно собрать 1164 Числа, оканчивающиеся на 8 и делящиеся на 4 8, 28, 48, 68. Следовательно, чисел в этой сумме может быть 2, 7, 12, 17. И отнимать от 38,8 они будут 0,8, 2,8, 4,8, 6,8.
Следовательно. вариант будет таким
12+30*1 = 42
12+30*2 = 72
12+30*3 = 102
12+30*4 = 132
12+30*5 = 162
12+30*10 = 312
12+30*11 = 342
Сложив все это, будет 1164
Следовательно, максимальное количество РАЗНЫХ натуральных чисел с заданными условиями, из которых можно собрать 1164, равно 7.
Все расчеты произведены с условием, что записанные числа различны.
а) Да, например, набор чисел
б) Нет. Записаны n чисел X1(2), X2(2), X3(2) . Xn(2), где Xi(2) - число Xi*10 + 2 (например, число 102 представим как 10*10 + 2, то есть в данном случае Xi=10). Сумма этого ряда равна 330, то есть 10(X1 + X2 + X3 + .+ Xn) = 330 - 2n, откуда n кратно 5, притом n <> 0. То есть минимальное значение n, при котором равенство может выполняться - 5. Докажем, что при n = 5 это невозможно. Заметим, что Xi у нас такой, что он равняется 1, 4, 7, 10, 13 и так далее (записанные числа кратны трём, при этом гарантированно в числе есть цифра 2 => сумма цифры 2 и Xi должна быть кратна 3, отсюда и такие значения для Xi). При n = 5 сумма ряда X1 + X2 + .+ Xn = 32 (33 - 2n/10 = 32), и это максимально возможное значение суммы; одновременно с этим минимально возможное значение суммы ряда X1 + X2 + .+ X10 = (1 + 1 + 4 * 3)/2 * 5 = 35. Противоречие.
в) 7 чисел.
Аналогично рассуждениям пункта б) получаем следующее:
10(X1 + X2 + .+ Xn) = 1164 - 2n
Исходя из этого равенства делаем вывод, что n = (левая часть кратна 10 => правая тоже => 1164 - 2n = 10k (принадлежит множеству чисел, кратных 10) => n = ). При n = 12 сумма ряда X1 + X2 + .+ Xn не меньше, чем 210, что нас, очевидно, не удовлетворяет. Пример для n = 7: 12; 42; 72; 102; 132; 162; 642
Ответ:
а) да
б) нет
в) 7
12 последовательных целых чисел (ленинградская олимпиада)
На доске написано 12 последовательных целых чисел (среди них могут быть и отрицательные). Школьнику, указавшему число, после после вычёркивания которого сумма оставшихся одиннадцати чисел на доске является квадратом целого числа, Анна Петровна ставит пятёрку (если это число ещё не было никем названо ранее). Какое наибольшее количество пятёрок могли получить ученики Анны Петровны? Не забудьте объяснить, почему невозможно получить большее количество пятёрок.
а) Если условие задачи понимать именно так, как оно написано, то решение, на мой взгляд, тривиально (если там нет коварно ускользнувшего от меня подвоха).
Пример для 4-х пятёрок - если на доске написаны числа от -5 до 6, то назвавшие числа 6, 5, 2 и -3 получат по пятёрке.
5 пятёрок нельзя, так как после вычёркивания одного из 12 исходных чисел сумма оставшихся 11 может принимать только одно из 12 последовательных значений. А среди этих 12 значений может быть не более 4 квадратов.
б) Сразу после прочтения мне не удалось понять условие задачи правильно (меня смутило слово "вычёркивания"). Мне показалось, что после того, как ученик называет число, оно вычёркивается, и следующий ученик уже получает на входе массив, в котором на одно число меньше, чем получил предыдущий. А сколько пятёрок можно получить в этом случае? Например, если бы изначально чисел было не 12, а 3, можно было бы получить 3 пятёрки, если бы исходными числами были 0, 1 и 2 и первый ученик вычеркнул бы 2, второй вычеркнул бы 0 и третий - 1 (сумма нуля чисел равна нулю, а это тоже квадрат). Так вот, сколько пятёрок можно получить из 12 чисел?
Последний раз редактировалось Shadow 19.07.2018, 09:49, всего редактировалось 2 раз(а).
Среди 12-ти посл. чисел ровно три вида . Одно из них можно убрать на первом ходу и получить в сумме квадрат, но две все равно останутся и их невозможно убрать т.к уравнение , как известно, неразрешимо в целых числах. Придется смириться десятю пятерками. Числа от до . Убираем последовательно:
Читайте также: