На доске было написано пять целых чисел коэффициенты и корни некоторого квадратного трехчлена

Обновлено: 24.04.2024

Решение:
Предположим что оба корня положительны. Из этого получаем, что не выполняется первая строка теоремы Виета. (Сумма двух положительных чисел не может быть отрицательной)
Предположим, что один корень отрицательный. Из этого получается что не выполняется вторая строка из теоремы Виета. (Произведение положительного и отрицательного числа дает отрицательное число)
Предположим, что оба корня отрицательны. В данном случаи они удовлетворяют условию 1 и 2 теоремы Виета. Но учитывая то, что коэффициент при X всегда оставался положительным, когда его меняли ученики, а решение с двумя отрицательными корнями требует отрицательный, можно сказать, что целых корней не было.
Ответ: нет, не верно.

Новые вопросы в Математика

Луч ВД делит прямой угол АВС на 2 угла,что угол АВД составляет 70% угла АВС .Найдите градустную меру угла АВК

найпрацелюбніші санітари лісу мурашки у середньому мурашки приносять 2 десятки комах скільки мурашки принесуть за годину вирішення

Два моторних човна вийшли назустріч один одному з двох портів, відстань між якими 501,9км. Через скільки годин вони зустрінуться, якщо перший за кожні … 2 год проходить 44,6 км, а другий за кожні 2,5 год проходить 63,75 км? У відповідь запишіть результат і пояснення до кожної дії : 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Дано: A(-6;1), B(-4;3), C(-3;3), D(-1;1) . Побудувати образ даної трапеції при : а) симметрії відносно осі Х; б) симметрії відносно початку координат; … в) паралельному перенесенні на вектор CD; г) повороті на 90° навколо точки А за годинниковою стрілкою; д) гомотетії з центром Dі коефіцієнтом k=-2.

Задание 1398 постройте график уравнения, запишите координаты точки пересечения графика с осью ординат.2) -3х+2у-4=04) 4х+3у-12=06) х+2у+4=0

чему равен объем тела, сложенного из одинаковых кубиков, если объём одного кубика равен кубической единице? ответ дайте в кубических единицахСРОЧНО И … ПОДРОБНО ПОЖАЛУЙСТА!

Нарисуйте круг радиусом 3 см! Нарисуйте диаметр этой окружности по линии MN. Переместитесь на линию окружности в точку К. Начертите угол, нарисовав лу … чи КМ и КН! Что такое угол MKN?

Алеша написал на доске 5 целых чисел - коэффиценты и корни квадратного трехчлена.

Бороя стер одно из них.

Остались числа 2, 3, 4, - 5.

Восстановите стертое число.

Пусть трёхчлен имеет вид ах2 + bx + c, а его корни равныmиn.

По теореме Виета c = amn, b = –a(m + n).

Отсюда видно, чтоcделилось по крайней мере на три других числа.

Но на доске осталасьлишь однапара чисел, одно из которых делится на другое : 2 и 4.

Значит, было стёрто числоc.

Так какbделится наa, то a = 2, b = 4, числа 3 и –5 – корни, а

c = amn = 2·3·(–5) = –30.

На доске было написано 8 последовательных натуральных чисел?

На доске было написано 8 последовательных натуральных чисел.

Когда стёрли одно из них, то сумма оставшихся получилась 107.

Какое число стёрли?

Сумма всех коэффициентов приведенного квадратного трехчлена равна 17 , а его корни - целые числа ?

Сумма всех коэффициентов приведенного квадратного трехчлена равна 17 , а его корни - целые числа .

Найдите эти корни .

Васю попросили составить квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, который имеет два различных корня и написать на доске его дискриминант?

Васю попросили составить квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, который имеет два различных корня и написать на доске его дискриминант.

Вася написал на доске число 27.

Какую оценку следует поставить Васе и почему?

(по 10 - бальной шкале).

На доске было написано 8 последовательных натуральных чисел?

На доске было написано 8 последовательных натуральных чисел.

Когда стёрли одно из них, то сумма оставшихся получилась 107.

Какое число стёрли?

На доске было написано 8 последовательных натуральных чисел?

На доске было написано 8 последовательных натуральных чисел.

Когда стёрли одно из них, то сумма оставшихся получилась 107.

Какое число стёрли?

На доске написано 2013 целых чисел?

На доске написано 2013 целых чисел.

Докажите , что всегда можно стереть одно число так, что сумма оставшихся будет честной.

На доске было написано 5 последовательных натуральных чисел?

На доске было написано 5 последовательных натуральных чисел.

Когда стёрли одно из них, то сумма оставшихся получилась 32.

Какое число стёрли?

Коля записал на доске десять последовательных чисел, кратных 14, начиная с наименьшего?

Коля записал на доске десять последовательных чисел, кратных 14, начиная с наименьшего.

Когда он стёр решение, на доске осталось число 70.

Восстановите Колено решение.

Учитель написал на доске десять чисел, но кто то стер последние пять?

Учитель написал на доске десять чисел, но кто то стер последние пять.

Чему равна сумма всех чисел которые были стерты, если на доске осталось только числа : 13, 30, 64, 115, 183, ?

Ученик Михаил на доске заполнил таблицу числами так, что сумма любых трёх идущих чисел равна 15, ?

Ученик Михаил на доске заполнил таблицу числами так, что сумма любых трёх идущих чисел равна 15, .

На перемене кто - то стер почти все числа , кроме двух .

Можно ли восстановить всю таблицу?

На доске было написано пять целых чисел – коэффициенты и корни некоторого квадратного трёхчлена.

Одно из них стерлось, и остались числа 2, 3, 4, −5

Какое наибольшее значение могло быть у стертого числа?

У нас есть квадратный трехчлен : ax ^ 2 + bx + c = 0, имеющий корни x1 и x2

Будем подбирать по корням.

2(x - 3)(x - 4) = 2x ^ 2 - 14x + 24 - нет.

2(x - 3)(x + 5) = 2x ^ 2 + 4x - 30 - подходит, неизвестное - 30, корни 3 и - 5.

2(x - 4)(x + 5) = 2x ^ 2 + 2x - 20 - нет

3(x - 2)(x - 4) = 3x ^ 2 - 18x + 24 - нет

3(x - 2)(x + 5) = 3x ^ 2 + 9x - 30 - нет

3(x - 4)(x + 5) = 3x ^ 2 + 3x - 60 - нет

4(x - 2)(x - 3) = 4x ^ 2 - 20x + 24 - нет

4(x - 2)(x + 5) = 4x ^ 2 + 12x - 40 - нет

4(x - 3)(x + 5) = 4x ^ 2 + 8x - 60 - нет - 5(x - 2)(x - 3) = - 5x ^ 2 + 25x - 30 - нет - 5(x - 2)(x - 4) = - 5x ^ 2 + 30x - 40 - нет - 5(x - 3)(x - 4) = - 5x ^ 2 + 35x - 60 - нет

Вариант только один : - 30.

Барт написал на доске 10 последовательных натуральных чисел?

Барт написал на доске 10 последовательных натуральных чисел.

Пришел Нельсон и стер одно из них.

После этого сумма девяти оставшихся оказалось равна 2017.

Какое число было стерто?

4. В клетках квадрата 3х3 были записаны числа так, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали были одинаковыми?

4. В клетках квадрата 3х3 были записаны числа так, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали были одинаковыми.

Некоторые числа стерли.

Восстановите стертые числа.

На доске были написаны 5 последовательных натуральных чисел?

На доске были написаны 5 последовательных натуральных чисел.

Одно из них стерли, после чего сумма оставшихся оказалась равна 2016.

Какое число стерли?

По кругу выписаны числа 1, 2, 3, ?

По кругу выписаны числа 1, 2, 3, .

. . , 10 в некотором порядке.

Петя вычислил 10 сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшее из вычисленных чисел.

Какое наибольшее число могло быть написано на доске?

На доске написано 400 последовательных целых чисел (среди них могут быть и отрицательные)?

На доске написано 400 последовательных целых чисел (среди них могут быть и отрицательные).

Назовем число хорошим, если сумма остальных 399 чисел (кроме него) является квадратом целого числа.

Какое наибольшее количество хороших чисел может быть среди 400 чисел на доске?

На доске написано 400 последовательных целых чисел (среди них могут быть и отрицательные)?

На доске написано 400 последовательных целых чисел (среди них могут быть и отрицательные).

Назовем число хорошим, если сумма остальных 399 чисел (кроме него) является квадратом целого числа.

Какое наибольшее количество хороших чисел может быть среди 400 чисел на доске?

На доске записаны натуральные числа от 1 до 1001?

На доске записаны натуральные числа от 1 до 1001.

Стерли все числа, делящиеся на 6.

Сколько чисел осталось на доске?

На доске записаны натуральные числа от 1 до 1001 ?

На доске записаны натуральные числа от 1 до 1001 .

Стерли все числа делящиеся на 7 .

Сколько чисел осталось на доске.

На доске было написано 10 последовательных натуральных чисел когда стёрли одно из них то сумма 9 оставшихся в получилось 2017 какое число стерли?

На доске было написано 10 последовательных натуральных чисел когда стёрли одно из них то сумма 9 оставшихся в получилось 2017 какое число стерли.

Помогите, пожалуйста?

Перед уроком учительница математики выписала на доске девять последовательных чисел, но дежурные одно из чисел случайно стерли.

Когда начался урок, выяснилось, что сумма оставшихся восьми чисел равна 1764.

Какое число стерли дежурные?

Все коэффициенты квадратного трехчлена - целые нечетные числа .

Может ли он иметь два целых корня?

Попробуй так : (метод от противного)

Допустим, что существует пара целых корней х1 и х2 твоего уравнения, тогда возможны следующие варианты :

1) они оба четные

3) один четны, один нечетный

рассмотри каждый из случаев, применяя теорему обратную к теореме виета, например,

если х1 и х2 четные тогда по теореме обратной к теореме виета х1 + х2 = - b четное, что противоречит тому что все коэффиценты четные,

и рассмотри так все случаи, для каждого из которых у тебя получится противоречие,

после чего делаешь вывод, что целых корней нет

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если : сумма корней равна - 1дробь6, а произведение равно 11дробь12?

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если : сумма корней равна - 1дробь6, а произведение равно 11дробь12.

Дан квадратный трехчлен , все коэффициенты которого отличны от нуля?

Дан квадратный трехчлен , все коэффициенты которого отличны от нуля.

Если поменять местами коэффициенты a и b, то трехчлен будет иметь один корень.

Если поменять местами b и c, то трехчлен также имеет один корень.

Найдите, сколько корней имеет трехчлен .

(Ответ без решения не засчитываю!

Существует ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами один из корней которого равен?

Существует ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами один из корней которого равен.

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен ?

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен .

Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корникоторого равны числам - 0, 5 и 5?

Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни

которого равны числам - 0, 5 и 5.

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами корнями которого являются числа, - 1 / 2и 3?

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами корнями которого являются числа, - 1 / 2и 3.

Квадратный трехчлен x ^ 2 + ax + b имеет целые корни по модулю > ; 2?

Квадратный трехчлен x ^ 2 + ax + b имеет целые корни по модулю > ; 2.

Док, что число a + b + 1 - составное.

Составте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если его корнями служат числа - 4 и 3 / 8?

Составте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если его корнями служат числа - 4 и 3 / 8.

Квадратные трехчлены x2 + px + q с целыми коэффициентами имеют целые корни и p + q = 30?

Квадратные трехчлены x2 + px + q с целыми коэффициентами имеют целые корни и p + q = 30.

Найдите все такие трёхчлены.

Рассматриваются все квадратные уравнения вида с целыми коэффициентами, у которых ?

Рассматриваются все квадратные уравнения вида с целыми коэффициентами, у которых .

Сколько таких уравнений имеют целые корни?

Щедрая награда, давайте, поторопитесь).

144 : 5 = 28. 8 деталей выточил помощник. 144 - 28. 8 = 115. 2 деталей выточил токарь Ответ : токарь выточил 115. 2 детали, а его помощник 28. 8 деталей.

1. Известно, что a + b + c < 0 и что уравнение ax 2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Определить знак коэффициента с.

Квадратный трёхчлен f(x) = ax 2 + bx + c не имеет действительных корней, значит, он сохраняет один и тот же знак для всех значений аргумента х. Так как f(1) = a + b + c < 0, то f(0) = c < 0.

2. Может ли квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант равный 23?

Допустим, что дискриминант указанного уравнения равен числу 23. Тогда можно записать:

Заметим, что b – 5 и b + 5 – числа одинаковой чётности, поэтому их произведение, если оно чётно, делится на 4. Правая часть последнего равенства есть чётное число, не делящееся на 4. Полученно противоречие, значит, сделаное допущение ложно.

3. Найти все пары действительных чисел p, q, для которых многочлен x 4 + px 2 + q, имеет 4 действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

Многочлен x 4 + px 2 + q, имеет 4 действительных корня в том и только в том случае, если многочлен у 2 + pу + q (относительно у = x 2 ) имеет два неотрицательных корня, т.е. числа р и q удовлетворяют условиям

Если исходный многочлен имеет 4 действительных корня (а именно: –х₁, –х₂, х₁, х₂, где без ограничения общности считаем, что х₁ > х₂ > 0), то они образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда совместна система

(смотрите теорему Виета и обратную к ней), т.е. когда q = 0,09 · р 2 . Таким образом, все искомые пары чисел р, q описываются условиями

(неравенства p 2 > 4q и q > 0,вытекают из последнего равенства).

4. Пусть a, b, c – действительные числа. Доказать, что уравнение

всегда имеет хотя бы один действительный корень. Выяснить, когда таких корня два.

Без ограничения общности рассуждений можно считать, что a < b < c. Рассмотрим все возможные случаи:

Так как f ( x ) – непрерывная квадратичная функция, принимающая значения разного знака на концах интервалов (a; b) и (b; c), то она имеет два различных действительных корня х ₁ и х ₂ . Более того

Решение задачи окончено.

5. Дан многочлен ax 2 + bx + c. За один ход разрешается заменить х на (х – k) или заменить многочлен целиком на многочлен

Можно ли после нескольких ходов из многочлена x 2 – 3x – 4 получить многочлен x 2 – 2x – 5?

Нетрудно убедиться, что при указанных заменах исходного многочлена его дискриминант не изменяется. Значит, если из многочлена x 2 – 3x – 4 можно получить многочлен x 2 – 2x – 5, то их дискриминанты должны быть равны. Однако это не так.

6. Найдите все значения a и b, такие, что для любого х из отрезка [–1; 1] будет выполняться неравенство

Пусть числа а и b такие, что для любого х из отрезка [–1; 1] выполняется данное неравенство, т. е,

Полагая здесь последовательно х = 0, х = 1, х = – 1, получаем, что а и b удовлетворяют следующей системе неравенств:

Сложив почленно два последних неравенства, подучим

Отсюда и из первого неравенства следует, что b = –1. Тогда а удовлетворяет следующим двум неравенствам:

и поэтому, а = 0. Таким образом, если существуют числа а и b, удовлетворяющие условию задачи, то

и других решений задача не имеет.

Чтобы доказать, что найденные значения а = 0, b = – 1 являются решением задачи, остается проверить, что для любого х из отрезка [–1; 1] верно двойное неравенство

А оно равносильно неравенству

которое, очевидно, справедливо на числовом промежутке [–1; 1].

7. По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Поставим каждому из пешеходов в соответствие точку в прямоугольной системе координат. Точки (х₁; у₁), (х₂; у₂), (х₃; у₃) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Так как скорости пешеходов постоянны, то х₁(t), у₁(t), х₂ (t), у₂(t), х₃(t) и у₃(t) – линейные функции от времени t и последнее равенство является квадратным уравнением относительно t, которое может иметь не более двух решений t₁ и t₂. Это и есть те два возможных момента времени, когда все три пешехода могут оказаться на одной прямой.

8. На координатной плоскости Oхy нарисован график функции y = x 2 . Потом оси координат стёрли, осталась только парабола. Как при помощи циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

Докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть M и N – середины двух параллельных хорд параболы. Тогда прямая MN параллельна оси параболы.

Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых

тогда абсциссы точек A , B , C , D – это корни уравнений

а абсциссы точек M и N – полусуммы корней этих уравнений, то есть по теореме Виета равны k /2. Следовательно, точки M и N лежат на прямой х = k /2, которая параллельна оси Oy . Лемма доказана.

Вернёмся к исходной задаче.

Последовательно осуществляем следующие построения:

1) две параллельные прямые, каждая из которых пересекает параболу в двух точках;

2) прямую через середины получающихся отрезков;

3) перпендикуляр к этой прямой, пересекающий параболу в двух точках А и В;

4) серединный перпендикуляр к отрезку АВ – это ось Оу;

5) ось Ох перпендикулярна Оу в точке пересечения с параболой;

6) единичный отрезок – абсцисса пересечения прямой у = х с параболой.

9. Учитель написал на доске квадратный трехчлен х 2 + 10х + 20, после чего по очереди каждый из учеников увеличил или уменьшил на единицу либо коэффициент при х, либо свободный член, но не оба сразу. В результате на доске оказался написан квадратный трехчлен х 2 + 20х+10. Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трехчлен с целыми корнями?

Заметим, что при каждом изменении трехчлена его значение в точке х = – 1 изменяется на 1 (в ту или другую сторону). Значение первого трехчлена

в этой точке равно f(–1) = 11, а последнего,

— g(–1) = –9. Поэтому в какой-то промежуточный момент на доске был написан трехчлен

для которого h(–1)=0. Оба его корня – целые числа: один равен –1, другой по теореме Виета равен –q.

Каждому квадратному трёхчлену

поставим в соответствие точку координатной плоскости Оbc, где вдоль оси Оb будем откладывать значения второго коэффициента, а вдоль Ос – свободного члена. Многочленам

будут соответствовать точки

соответственно. Предложенные в условии операции предполагают перемещение от точки А к точке В вдоль узлов некоторой ломаной L. Узлы L – некоторые целочисленные точки плоскости Оbc, а длина каждого звена L равна 1 (соседние звенья могут лежать на одной прямой).

Так как точки А и В расположены в разных полуплоскостях относительно прямой

то ломаная L одним из своих узлов имеет точку этой прямой. Значит, одним из промежуточных многочленов будет многочлен вида

10. Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x 2 + 2bx + c = 0 действительны?

Для того чтобы вопрос задачи имел смысл, предположим, что точка (b; c) равномерно распределена на квадрате с центром в начале координат и стороной 2B. Решим задачу при фиксированном значении B, а затем устремим B к бесконечности, так что b и c могут принимать любые значения.

На рисунке более тёмная выделенная область отвечает случаю действительных корней,

более светлая – комплексных.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо и достаточно, чтобы

На приведенном рисунке изображена парабола с = b 2 и показана область, где наше уравнение имеет действительные корни для B = 4.

Нетрудно подсчитать, что площадь «комплексной» области равна (4 · B 3/2 )/3 (при B > 1), а площадь всего квадрата, конечно, равна 4B 2 . Следовательно, вероятность того, что корни комплексные, равна 1/(3 √ В ). При B = 4 она составляет 1/6. Действительно,

С ростом B значение дроби 1/ √ В стремится к нулю, так что вероятность того, что корни вещественные, стремится к 1.

Замечание. Рассмотренная задача отличается от такой же задачи, связанной с уравнением

Конечно, можно разделить на a, но если a, b и c были независимы и равномерно распределены в некотором кубе, то b/a и c/a уже зависимы и распределены неравномерно.

Задачи без решений

1. Корни уравнения х 2 + pх + q = 0, у которого p + q = 198, являются целыми числами. Найдите эти корни.

2. В квадратном уравнении х 2 + pх + q = 0 коэффициенты p и q независимо пробегают все значения от –1 до +1 включительно. Найти множество значений, которые при этом могут принимать действительные корни данного уравнения.

3. Квадратный трёхчлен f ( х ) = ax 2 + bx + c таков, что уравнение f ( х ) = x не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение f ( f ( х )) = х так же не имеет вещественных корней.

4. Найдите уравнение общей касательной к параболам у = x 2 + 4x + 8 и у = x 2 + 8x + 4.

Читайте также: