Можно ли шахматную доску разрезать на 15 вертикальных и 17 горизонтальных доминошек

Обновлено: 18.04.2024

Задача 1: Можно ли выложить шахматную доску тридцатью двумя доминошками так, чтобы 17 из них были расположены горизонтально, а 15 – вертикально?

Решение: Раскраска «зеброй». Горизонтальные доминошки занимают нечётное число чёрных клеток (а именно – 17), а вертикальные – чётное.

Задача 2: Можно ли выложить квадрат 8 × 8, используя 15 прямоугольников 1 × 4 и один уголок вида ?

Решение: Раскраска «зеброй». Прямоугольники занимают чётное число чёрных клеток, а уголок – нечётное.

Задача 3: Можно ли выложить прямоугольник 6 × 10 прямоугольниками 1 × 4?

Решение: Применим раскраску «в горошек» – покрасим в чёрный цвет те клетки, которые находятся на пересечении чётных вертикалей и чётных горизонталей, а остальные – в белый. Каждый прямоугольник занимает чётное количество чёрных клеток, значит все вместе они тоже занимают чётное число чёрных клеток. Кроме того, проходит шахматная раскраска крупными квадратами 2 × 2 и диагональная четырёхцветная раскраска.

Задача 4: Можно ли сложить квадрат 6 × 6 с помощью 11 прямоугольников 1 × 3 и одного уголка вида ?

Решение: Предположим, что квадрат удалось сложить. Раскрасим клетки в три цвета «по диагоналям», причём так, чтобы, две «крайних» клетки уголка оказались одного цвета (синего). Прямоугольники будут занимать ещё 11 синих клеток, значит все фигурки вместе занимают 13 синих клеток, но синих клеток на доске всего 12.

Другое решение: раскрасим доску «зеброй» в три занумерованных цвета (1, 2, 3) и заметим, что сумма цветов клеток по всей доске делится на 3. С другой стороны, сумма цветов клеток, покрываемых любым прямоугольником 1 × 3, делится на 3, а сумма цветов клеток, покрываемых уголком, не делится на три.

Задача 5: На каждой клетке доски 5 × 5 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки взлетают и приземляются на соседние по стороне клетки. Докажите, что при этом окажется хотя бы одна пустая клетка.

Задача 6: Из доски 8 × 8 вырезали угловую клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на прямоугольники 3 × 1?

Решение: трёхцветная раскраска

Задача 7: Фигура «верблюд» ходит по шахматной доске ходом типа (1, 3). Можно ли пройти ходом «верблюда» с произвольного поля на соседнее?

Решение: Ход верблюда не меняет цвета клетки, на которой он стоит, поэтому на соседнюю клетку перейти он не сможет.

Задача 8: Можно ли доску размером 10 × 10 покрыть фигурами вида ?

Решение: Шахматная раскраска. Каждая такая фигурка занимает нечётное число чёрных клеток, значит все 25 фигурок тоже занимают нечётное число чёрных клеток.

Задача 9: Дана доска 12 × 12. В левом нижнем углу стоят 9 шашек, образуя квадрат 3 × 3. За один ход можно выбрать какие-то две шашки и переставить одну из них симметрично относительно другой (не выходя при этом за пределы доски). Можно ли за несколько ходов переместить эти шашки так, чтоб они образовали квадрат 3 × 3 в правом нижнем углу?

Решение: Нет (шахматная раскраска – шашки остаются на клетках тех же цветов).

Задача 10: В каждой клетке квадрата 9 × 9 сидит жук. По команде каждый жук перелетает на одну из соседних по диагонали клеток. Доказать, что по крайней мере 9 клеток после этого окажутся свободными.

Решение: Раскрасим доску в четыре цвета, так чтобы каждый цвет образовывал раскраску «в горошек». Назовём цвет, в который окрашены угловые клетки, синим, а цвет, в который окрашены клетки, примыкающие к угловым по диагонали – красным. На синие клетки жуки могут перелетать только с красных. Остаётся заметить, что синих клеток на 9 больше, чем красных. Стоит заметить, что мы здесь имеем дело с той же самой шахматной раскраской, но применённой к диагоналям.

Задача 11: Замок имеет форму правильного треугольника, разделенного на 25 маленьких залов той же формы. В каждой стене между залами проделана дверь. Путник ходит по замку, не посещая более одного раза ни один из залов. Найти наибольшее число залов, которое ему удастся посетить.

Решение: 21 зал. Раскрасим треугольник в шахматном порядке. Залов одного цвета (например чёрного) – 15, а другого цвета (белого) – 10. Заметим, что в чёрном зале путник может находиться с самого начала, или попасть в него из белого, поэтому он побывает не более, чем в 11 чёрных залах. Таким образом, не менее 4 чёрных залов останутся непосещёнными. Пример, когда путник не посетит ровно четыре зала, строится без труда.

Задача 12: Дан куб 6 × 6 × 6. Докажите, что его нельзя разбить на параллелепипеды 4 × 1 × 1.

Решение: Трёхмерный вариант задачи 3.

Задача 13: Докажите, что числа от 40 до 99 нельзя разбить на группы по 4 числа так, чтобы числа каждой группы в одном разряде совпадали, а цифры другого разряда шли бы подряд (например «54, 55, 56, 57»; «44, 54, 64, 74»)

Указание: Попытайтесь закодировать эту задачу так, чтобы оправдать её наличие в теме «раскраски».

Решение:

Задача кодируется задачей 3

Задача 14: Докажите, что трёхзначные числа нельзя разбить на группы по 4 так, чтобы числа в каждой группе совпадали во всех разрядах кроме одного, а в оставшемся разряде цифры шли бы подряд.

Решение: Трёхмерный вариант задачи 13 (кодируется задачей очень похожей на задачу 12).

1. Шахматный конь стоит в левом нижнем углу доски. Может ли он через а) 4; б) 5; в) 1803 хода вернуться на исходное поле?

Решение. в) Нет, так как при каждом ходе конь меняет цвет поля, значит, после нечётного числа ходов он может оказаться только на поле противоположного цвета.

2. Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли разрезать оставшуюся часть на доминошки? 3. В каждой клетке треугольной доски размером 7 × 7 × 7 сидит жук. В один прекрасный момент каждый жук переполз на соседнюю по стороне клетку.
а) Докажите, что хотя бы одна клетка оказалась при этом свободной.
б) Какое наименьшее число клеток могло оказаться свободными?
в) Задача-конкурс. Придумайте такое «переползание» жуков, чтобы как можно больше клеток оказались пустыми.

Решение. Раскрасим клетки доски в шахматном порядке. Тогда жуки, которые сидели на чёрных клетках, после переползания окажутся на белых, и наоборот. Поскольку клеток одного цвета на 7 больше, чем другого, останется по крайней мере 7 пустых клеток.

4. Можно ли разрезать шахматную доску на доминошки так, чтобы никакие две доминошки не образовали квадрат 2 × 2?

5. Какое наибольшее число а) ладей; б) королей можно расставить на шахматной доске, чтобы они не били друг друга?

Решение. а) Так как в каждом столбце может стоять не больше одной ладьи, то ладей не может быть больше восьми. Восемь ладей можно поставить, например, на одну из диагоналей.
б) Разобьём доску на 16 квадратиков 2 × 2. Тогда в каждом из них может стоять не больше одного короля. Значит, всего на доске не может быть больше 16 королей. 16 королей можно поставить, например, в левых верхних углах таких квадратиков.

6. На каждом поле доски 11× 11 стоит шашка. Настя и Лена играют в такую игру. За один ход можно убрать одну шашку или любую «полоску» из шашек (несколько шашек, расположенных подряд без пропусков в столбце или строке). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Может ли одна из девочек ходить так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни старалась её победить соперница? 7. Можно ли разрезать шахматную доску на 15 вертикальных и 17 горизонтальных доминошек?

Решение. Допустим, так разрезать можно. Раскрасим доску на чёрные и белые горизонтальные полосы.
Тогда вертикальные доминошки займут 15 чёрных и 15 белых клеток. Соответственно, горизонтальным доминошкам достанется 49 чёрных и 49 белых клеток. Но каждая горизонтальная доминошка занимает две клетки одного цвета, значит, все горизонтальные доминошки должны занимать чётное число чёрных и чётное число белых клеток. Получили противоречие.

4. Можно ли разрезать шахматную доску на доминошки так, чтобы никакие две доминошки не образовали квадрат 2 × 2?

1. Шахматный конь стоит в левом нижнем углу доски. Может ли он через а) 4; б) 5; в) 2005 ходов вернуться на исходное поле?

2. В каждой клетке треугольной доски размером 7×7×7 сидит жук. В один прекрасный момент каждый жук переполз на соседнюю по стороне клетку.
а) Докажите, что хотя бы одна клетка оказалась при этом свободной.
б) Какое наименьшее число клеток могло оказаться свободными?
в) Задача-конкурс. Придумайте такое «переползание» жуков, чтобы как можно больше клеток оказались пустыми.

3. Какое наибольшее число а) ладей; б) королей можно расставить на шахматной доске, чтобы они не били друг друга?

Решение.
а) Так как в каждом столбце может стоять не больше одной ладьи, то ладей не может быть больше восьми. Восемь ладей можно поставить, например, на одну из диагоналей.
б) Разобьём доску на 16 квадратиков 2×2. Тогда в каждом из них может стоять не больше одного короля. Значит, всего на доске не может быть больше 16 королей. 16 королей можно поставить, например, в левых верхних углах таких квадратиков.

4. Можно ли разрезать шахматную доску на доминошки так, чтобы никакие две доминошки не образовали квадрат 2×2?

5. Лена и Настя играют в следующую игру: в каждую клетку шахматной доски они по очереди ставят по шашке. Проигрывает тот, после чьего хода в столбце или строке окажется три шашки. Начинает Лена. Может ли одна из девочек играть так, чтобы всегда выигрывать, независимо от ходов соперницы?

Решение. Настя может играть так, чтобы всегда выигрывать. Для этого она должна делать ходы, симметричные ходам Лены относительно вертикальной оси. Тогда после хода Насти в столбце будет столько же шашек, сколько и после хода Лены, а в строке будет четное число шашек. Поэтому Лена первой получит три шашки.

Доказать, что клетчатую доску 10х10 нельзя разрезать по линиям сетки на прямоугольники 1х4. (Решения по Д.Ю. Кузнецову.)

Решение 1 . Разделим доску на квадраты 2х2 и раскрасим их в шахматном порядке (рис.1). Заметим, что любой прямоугольник 1х4 содержит поровну (по 2) чёрных и белых клеток, но при данной раскраске на доске 52 чёрных клетки и 48 белых, т.е. не поровну. Значит, разрезать доску 10х10 на прямоугольники 1х4 не удастся.

Решение 2 . Раскрасим доску диагональной раскраской в 4 цвета (рис.2). Заметим, что любой прямоугольник содержит по одной клетке каждого из четырёх цветов, но при данной раскраске на доске по 25 клеток 1-го и 3-го цветов, 26 клеток – 2-го и 24 клетки – 4-го, т.е. не поровну. Значит, разрезать доску 10х10 на прямоугольники 1х4 не удастся.

1. Из шахматной доски вырезали нижнюю правую и левую угловые клетки. Можно ли полученную фигуру разрезать на доминошки 1х2? А если вырезать нижнюю правую и верхнюю левую?

2. Можно ли доску 6х6 разрезать на доминошки, так чтобы среди них было ровно 11 горизонтальных? (Горизонтальная раскраска в два цвета.)

3. Раскрасьте рисунок в четыре цвета так, чтобы соседние части были покрашены в разные цвета. Можно ли обойтись тремя цветами? (См. Занятие 6: Раскраска географической карты - 5-6 класс).

4. В квадрате 4x4 клетки левой половины покрашены в чёрный цвет, а остальные в белый. За одну операцию разрешается перекрасить в противоположный цвет все клетки внутри любого прямоугольника. Как за три операции из первоначальной раскраски получить шахматную?

5. Несколько кузнечиков сидят на одной прямой, причём расстояния между соседями - одинаковы. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Саша оказаться на том месте, где в начале сидел его сосед Лёша?

6. а) Можно ли разрезать шахматную доску на фигурки, состоящие из 4 клеток в форме буквы "Т"?

б) Можно ли разрезать на такие фигурки шахматную доску 10x10?

7. Можно ли разбить квадрат 8×8 с отрезанным уголком на прямоугольники 1×3?

8. Можно ли доску 10×10 разрезать на фигурки из четырёх клеток в форме буквы"Г"? (Горизонтальная раскраска в два цвета.)

9. Доска 8×8 разрезана на доминошки размером 2×1. Может ли быть 15 вертикальных и 17 горизонтальных доминошек?

10. Треугольник разбит на треугольнички (25 штук), как показано на рисунке. Жук может ходить по треугольнику, переходя между соседними (по стороне) треугольничками. Какое максимальное количество треугольничков может пройти жук, если в каждом он побывал не больше одного раза?

11. Какое наибольшее количество ромбов, каждый из которых составлен из двух равносторонних треугольников со стороной 1, можно вырезать из равностороннего треугольника со стороной 5 (см. рис. предыдущей задачи).

12. Треугольный замок разделён на 100 одинаковых треугольных залов. В середине каждой стены сделана дверь. Сколько залов может осмотреть человек, не желающий нигде побывать больше одного раза?

Читайте также: