Метод укладки паркета пифагор

Обновлено: 23.04.2024

Теорема Пифагора едва ли не самая узнаваемая и, несомненно, самая знаменитая в истории математики. В геометрии она применяется буквально на каждом шагу. Несмотря на простоту формулировки, эта теорема отнюдь не очевидна: глядя на прямоугольный треугольник со сторонами a

Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет!

Эти слова известны всем со средней школы, с тех самых пор, когда на уроке геометрии мы изучали знаменитую теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

На рисунке представлено одно из доказательств равновеликости большого квадрата и двух маленьких квадратов.

На видео - еще одно доказательство (опубликовано в Википедии):

На сайте Математические этюды представлена интерактивная головоломка "Теорема Пифагора". Попробуйте сами доказать равновеликость квадратов, перетаскивая фигуры из малых квадратов в большой квадрат.
Ссылка ЗДЕСЬ

1. Происхождение штанов понятно: построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов. Правда, это как посмотреть: средневековые школяры называли эту теорему «pons asinorum», что означает «ослиный мост».

2. Книга рекордов Гиннесса называет теорему Пифагора теоремой с максимальным числом доказательств. И поясняет в 1940 году была опубликована книга, которая содержала триста семьдесят доказательств теоремы Пифагора, включая одно предложенное президентом США Джеймсом Абрамом Гарфилдом.

3. Теорему Пифагора доказывали через подобные треугольники, методом площадей и даже через дифференциальные уравнения – это сделал английский математик начала двадцатого века Годфри Харди. Известны доказательства теоремы Пифагора, предложенные Евклидом и Леонардо Да Винчи. А Электроник – мальчик из чемоданчика в книге Евгения Велтистова знал целых двенадцать способов, а среди них «метод укладки паркета» и «стул невесты».

4. Только одно доказательство теоремы Пифагора нам не известно: доказательство самого Пифагора. Долгое время считалось, что доказательство Евклида и есть доказательство Пифагора, но теперь считают, что это доказательство принадлежит Евклиду.

5. К настоящему моменту историки математики обнаружили, что теорема Пифагора не была открыта Пифагором – ее знали в разных странах задолго до рождения самого Пифагора, древнегреческого философа и математика родом с острова Самос, жившего в VI веке до н.э.

6. Крупнейший историк математики Мориц Кантор разглядел папирус из Берлинского музея и обнаружил, что равенство три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате было известно уже египтянам около 2300 года до нашей эры во времена царя Аменемхета I.

7. Приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника обнаруживается в вавилонских текстах времен правления царя Хаммурапи, то есть за два тысячелетия до нашей эры. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около VIII века до нашей эры.

8. Голландский математик Бартель Ван дер Варден сделал важный вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Пифагор, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

Со слов неизвестного древнего стихотворца легенда о гекатомбе – жертвоприношении ста быков пошла гулять по умам и страницам изданий. Остряки шутят, что с тех самых пор все скоты боятся нового.

Пифагора Самосского (570—495 годы до н. э.), чьё имя давно и неразрывно связано с замечательной теоремой, в известном смысле можно назвать одним из первых математиков, чье имя донесла до нас история. Именно с него математика начинается как точная наука, где всякое новое знание — результат не наглядных представлений и вынесенных из опыта правил, а итог логических рассуждений и выводов. Лишь так можно раз и навсегда установить истинность любого математического предложения. До Пифагора дедуктивный метод применял только древнегреческий философ и учёный Фалес Милетский, живший на рубеже VII—VI веков до н. э. Пифагор продвинулся гораздо дальше. Считается, что он ввёл первые определения, аксиомы и методы доказательства, а также создал первый курс геометрии, известный древним грекам под названием «Предание Пифагора».
Другая важная заслуга Пифагора — основание славной школы математиков, которая более столетия определяла развитие этой науки в Древней Греции. С его именем связывают и сам термин «математика» (от греческого слова μαθημa — учение, наука), объединивший четыре родственные дисциплины созданной Пифагором и его приверженцами — пифагорейцами — системы знаний: геометрию, арифметику, астрономию и гармонику.

Отделить достижения Пифагора от достижений его учеников невозможно: следуя обычаю, они приписывали собственные идеи и открытия своему Учителю. Никаких сочинений ранние пифагорейцы не оставили, все сведения они передавали друг другу устно. Так что 2500 лет спустя историкам не остаётся ничего иного, кроме как реконструировать утраченные знания по переложениям других, более поздних авторов. Отдадим должное грекам: они хоть и окружали имя Пифагора множеством легенд, однако не приписывали ему ничего такого, чего он не мог бы открыть или развить в теорию. И носящая его имя теорема не исключение.

Римский архитектор Витрувий особо выделял теорему Пифагора «из многочисленных открытий, оказавших услуги развитию человеческой жизни», и призывал относиться к ней с величайшим почтением. Было это ещё в I веке до н. э. На рубеже XVI–XVII веков знаменитый немецкий астроном Иоганн Кеплер назвал её одним из сокровищ геометрии, сравнимым с мерой золота. Вряд ли во всей математике найдётся более весомое и значимое утверждение, ведь по числу научных и практических приложений теореме Пифагора нет равных.

Пифагоровы штаны

Теорема Пифагора для случая равнобедренного прямоугольного треугольника

Фигуры, изображённые на рис. 1 и 2, напоминают простейший орнамент из квадратов и их равных частей — геометрический рисунок, известный с незапамятных времён. Им можно сплошь покрыть плоскость. Математик назвал бы такое покрытие плоскости многоугольниками паркетом, или замощением * . При чём тут Пифагор? Оказывается, он первым решил задачу о правильных паркетах, с которой началось изучение замощений различных поверхностей. Так вот, Пифагор показал, что плоскость вокруг точки могут покрыть без пробелов равные правильные многоугольники только трёх видов: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника.

4000 лет спустя

История теоремы Пифагора уходит в глубокую древность. Упоминания о ней содержатся ещё в вавилонских клинописных текстах времён царя Хаммурапи (XVIII век до н. э.), то есть за 1200 лет до рождения Пифагора. Теорема применялась как готовое правило во многих задачах, самая простая из которых — нахождение диагонали квадрата по его стороне. Не исключено, что соотношение a 2 + b 2 = c 2 для произвольного прямоугольного треугольника вавилоняне получили, попросту «обобщив» равенство a 2 + a 2 = c 2 . Но им это простительно — для практической геометрии древних, сводившейся к измерениям и вычислениям, строгих обоснований не требовалось.

Теперь, почти 4000 лет спустя, мы имеем дело с теоремой-рекордсменом по количеству всевозможных доказательств. Между прочим, их коллекционирование — давняя традиция. Пик интереса к теореме Пифагора пришёлся на вторую половину XIX — начало XX столетия. И если первые коллекции содержали не более двух-трёх десятков доказательств, то к концу XIX века их число приблизилось к 100, а ещё через полвека превысило 360, и это только тех, что удалось собрать по разным источникам. Кто только не брался за решение этой нестареющей задачи — от именитых учёных и популяризаторов науки до конгрессменов и школьников. И что примечательно, в оригинальности и простоте решения иные любители не уступали профессионалам!

Самым древним из дошедших до нас доказательствам теоремы Пифагора около 2300 лет. Одно из них — строгое аксиоматическое — принадлежит древнегреческому математику Евклиду, жившему в IV–III веках до н. э. В I книге «Начал» теорема Пифагора значится как «Предложение 47». Самые наглядные и красивые доказательства построены на перекраивании «пифагоровых штанов». Они выглядят как хитроумная головоломка на разрезание квадратов. Но заставьте фигуры правильно двигаться — и они откроют вам секрет знаменитой теоремы.

Вот какое изящное доказательство получается на основе чертежа из одного древнекитайского трактата (рис. 3), и сразу проясняется его связь с задачей об удвоении площади квадрата.

Иллюстрация к теореме Пифагора из «Трактата об измерительном шесте» (Китай, III век до н. э.) и реконструированное на его основе доказательство

Именно такое доказательство пытался объяснить своему младшему другу семилетний Гвидо, не по годам смышлёный герой новеллы английского писателя Олдоса Хаксли «Маленький Архимед». Любопытно, что рассказчик, наблюдавший эту картину, отметил простоту и убедительность доказательства, поэтому приписал его. самому Пифагору. А вот главный герой фантастической повести Евгения Велтистова «Электроник — мальчик из чемодана» знал 25 доказательств теоремы Пифагора, в том числе данное Евклидом; правда, ошибочно назвал его простейшим, хотя на самом деле в современном издании «Начал» оно занимает полторы страницы!

Первый математик

С. Перкинс. Пифагор

Пифагора Самосского (570–495 годы до н. э.), чьё имя давно и неразрывно связано с замечательной теоремой, в известном смысле можно назвать первым математиком. Именно с него математика начинается как точная наука, где всякое новое знание — результат не наглядных представлений и вынесенных из опыта правил, а итог логических рассуждений и выводов. Лишь так можно раз и навсегда установить истинность любого математического предложения. До Пифагора дедуктивный метод применял только древнегреческий философ и учёный Фалес Милетский, живший на рубеже VII–VI веков до н. э. Он высказал саму идею доказательства, но применял его не систематически, избирательно, как правило, к очевидным геометрическим утверждениям типа «диаметр делит круг пополам». Пифагор продвинулся гораздо дальше. Считается, что он ввёл первые определения, аксиомы и методы доказательства, а также создал первый курс геометрии, известный древним грекам под названием «Предание Пифагора». А ещё он стоял у истоков теории чисел и стереометрии.

Другая важная заслуга Пифагора — основание славной школы математиков, которая более столетия определяла развитие этой науки в Древней Греции. С его именем связывают и сам термин «математика» (от греческого слова μαθημa — учение, наука), объединивший четыре родственные дисциплины созданной Пифагором и его приверженцами — пифагорейцами — системы знаний: геометрию, арифметику, астрономию и гармонику.

Такое простое доказательство

Неизвестно, Пифагор сам обнаружил соотношение между длинами сторон в прямоугольном треугольнике или позаимствовал это знание. Античные авторы утверждали, что сам, и любили пересказывать легенду о том, как в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка. Современные историки склонны считать, что он узнал о теореме, познакомившись с математикой вавилонян. Не знаем мы и о том, в каком виде Пифагор формулировал теорему: арифметически, как принято сегодня, — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или геометрически, в духе древних, — квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Считается, что именно Пифагор дал первое доказательство теоремы, носящей его имя. Оно, конечно, не сохранилось. По одной из версий, Пифагор мог воспользоваться разработанным в его школе учением о пропорциях. На нём основывалась, в частности, теория подобия, на которую опираются рассуждения. Проведём в прямоугольном треугольнике с катетами a и b высоту к гипотенузе c. Получим три подобных треугольника, включая исходный. Их соответствующие стороны пропорциональны, a : с = m : a и b : c = n : b, откуда a 2 = c · m и b 2 = c · n. Тогда a 2 + b 2 = c · (m + n) = c 2 (рис. 4).

Чертёж к возможному доказательству Пифагора

Это всего лишь реконструкция, предложенная одним из историков науки, но доказательство, согласитесь, совсем простое: занимает всего-то несколько строк, не нужно ничего достраивать, перекраивать, вычислять. Неудивительно, что его не раз переоткрывали. Оно содержится, например, в «Практике геометрии» Леонардо Пизанского (1220), и его до сих пор приводят в учебниках.

Такое доказательство не противоречило представлениям пифагорейцев о соизмеримости: изначально они считали, что отношение длин любых двух отрезков, а значит, и площадей прямолинейных фигур, можно выразить с помощью натуральных чисел. Никакие другие числа они не рассматривали, не допускали даже дробей, заменив их отношениями 1 : 2, 2 : 3 и т. д. Однако, по иронии судьбы, именно теорема Пифагора привела пифагорейцев к открытию несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Все попытки численно представить длину этой диагонали — у единичного квадрата она равна √2 — ни к чему не привели. Проще оказалось доказать, что задача неразрешима. На такой случай у математиков есть проверенный метод — доказательство от противного. Кстати, и его приписывают Пифагору.

Существование отношения, не выражаемого натуральными числами, положило конец многим представлениям пифагорейцев. Стало ясно, что известных им чисел недостаточно для решения даже несложных задач, что уж говорить обо всей геометрии! Это открытие стало поворотным моментом в развитии греческой математики, её центральной проблемой. Сначала оно привело к разработке учения о несоизмеримых величинах — иррациональностях, а затем — и к расширению понятия числа. Иными словами, с него началась многовековая история исследования множества действительных чисел.

Мозаика Пифагора

«Мозаика Пифагора» и разбиение ан-Найризи трёх квадратов в доказательстве теоремы Пифагора

Если покрыть плоскость квадратами двух разных размеров, окружив каждый малый квадрат четырьмя большими, получится паркет «мозаика Пифагора». Такой рисунок издавна украшает каменные полы, напоминая о древних доказательствах теоремы Пифагора (отсюда его название). По-разному накладывая на паркет квадратную сетку, можно получить разбиения квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, которые предлагались разными математиками. Например, если расположить сетку так, чтобы все её узлы совпали с правыми верхними вершинами малых квадратов, проявятся фрагменты чертежа к доказательству средневекового персидского математика ан-Найризи, которое он поместил в комментариях к «Началам» Евклида. Легко видеть, что сумма площадей большого и малого квадратов, исходных элементов паркета, равна площади одного квадрата наложенной на него сетки. А это означает, что указанное разбиение действительно пригодно для укладки паркета: соединяя в квадраты полученные многоугольники, как показано на рисунке, можно заполнить ими без пробелов и перекрытий всю плоскость.

Правильный паркет из квадратов и «мозаика Пифагора» на картинах голландских мастеров. Слева: П. де Хох. Хозяйка и служанка во внутреннем дворике. Около 1660 года. Справа: Я. Охтервелт. Бродячие музыканты в дверях богатого дома. 1665 год

* Паркет, или замощение, — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий.

Неизвестно, Пифагор сам обнаружил соотношение между длинами сторон в прямоугольном треугольнике или позаимствовал это знание.

Античные авторы утверждали, что сам, и любили пересказывать легенду о том, как в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка. Современные историки склонны считать, что он узнал о теореме, познакомившись с математикой вавилонян.

Не знаем мы и о том, в каком виде Пифагор формулировал теорему:

арифметически, как принято сегодня, — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов,
или геометрически, в духе древних, — квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Считается, что именно Пифагор дал первое доказательство теоремы, носящей его имя. Оно, конечно, не сохранилось.

По одной из версий, Пифагор мог воспользоваться разработанным в его школе учением о пропорциях. На нём основывалась, в частности, теория подобия, на которую опираются рассуждения.

Проведём в прямоугольном треугольнике с катетами a и b высоту к гипотенузе c. Получим три подобных треугольника, включая исходный. Их соответствующие стороны пропорциональны, a : с = m : a и b : c = n : b, откуда a = c · m и b 2 = c · n. Тогда a 2 + b 2 = = c · (m + n) = c 2 (рис. 4).

Никакие другие числа они не рассматривали, не допускали даже дробей, заменив их отношениями 1 : 2, 2 : 3 и т. д.

Однако, по иронии судьбы, именно теорема Пифагора привела пифагорейцев к открытию несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны.

Все попытки численно представить длину этой диагонали — у единичного квадрата она равна √2 — ни к чему не привели. Проще оказалось доказать, что задача неразрешима. На такой случай у математиков есть проверенный метод — доказательство от противного. Кстати, и его приписывают Пифагору.

Это открытие стало поворотным моментом в развитии греческой математики, её центральной проблемой. Сначала оно привело к разработке учения о несоизмеримых величинах — иррациональностях, а затем — и к расширению понятия числа. Иными словами, с него началась многовековая история исследования множества действительных чисел.

Мозаика Пифагора

Если покрыть плоскость квадратами двух разных размеров, окружив каждый малый квадрат четырьмя большими, получится паркет «мозаика Пифагора».

Такой рисунок издавна украшает каменные полы, напоминая о древних доказательствах теоремы Пифагора (отсюда его название).

По-разному накладывая на паркет квадратную сетку, можно получить разбиения квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, которые предлагались разными математиками.

Например, если расположить сетку так, чтобы все её узлы совпали с правыми верхними вершинами малых квадратов, проявятся фрагменты чертежа к доказательству средневекового персидского математика ан-Найризи, которое он поместил в комментариях к «Началам» Евклида.

Легко видеть, что сумма площадей большого и малого квадратов, исходных элементов паркета, равна площади одного квадрата наложенной на него сетки. А это означает, что указанное разбиение действительно пригодно для укладки паркета: соединяя в квадраты полученные многоугольники, как показано на рисунке, можно заполнить ими без пробелов и перекрытий всю плоскость.

Комментарии к статье

Сыну моему нравится.
Хоть сейчас он многого не понимает, зато зрительно запомнится.

Наглядно о том, что «пифагоровы штаны во все стороны равны»

Факты о теореме Пифагора.

Пифагоровы штаны – на все стороны равны. Чтобы это доказать, нужно снять и показать.

Этот стишок известен всем со средней школы, с тех самых пор, когда на уроке геометрии мы изучали знаменитую теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. А вот вам 10 фактов о знаменитой теореме.

5. К настоящему моменту историки математики обнаружили, что теорема Пифагора не была открыта Пифагором – ее знали в разных странах задолго до древнегреческого философа и математика родом с острова Самос, жившего в VI веке до н.э.

9. «В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,
Славную он за него жертву быками воздвиг».

10. Сам Пифагор никогда не носил штанов – в те времена греки их не знали.

Как на самом деле выглядит число Пи

Неразрешимость классической античной задачи о квадратуре круга, следующая из трансцендентности числа ?, была доказана только в XIX веке. Но на этом загадки таинственного числа не кончились. Металлическая скульптура числа ? установлена на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле в начале пешеходной зоны.

14 марта этого года вот уже в двадцатый раз будет отмечаться День пи — неформальный праздник математиков, посвященный этому странному и загадочному числу. «Отцом» праздника стал Ларри Шоу (Larry Shaw), обративший внимание на то, что этот день (3.14 в американской системе записи дат) приходится кроме всего прочего на день рождения Эйнштейна. И, наверное, это самый подходящий момент для того, чтобы напомнить тем, кто далек от математики, о замечательных и странных свойствах этой математической константы.

1. Интерес к значению числа ?, выражающему отношение длины окружности к диаметру, появился еще в незапамятные времена. Известная формула длины окружности L = 2 ? R одновременно является определением числа ?. В глубокой древности считалось, что ? = 3. Например, об этом упоминается в Библии. В эллинистическую эпоху считалось, что, и этим значением пользовались и Леонардо да Винчи, и Галилео Галилей. Однако оба приближения очень грубы. Геометрический рисунок, изображающий окружность, описанную около правильного шестиугольника и вписанную в квадрат, сразу дает простейшие оценки для ?: 3 < ? < 4. Использование буквы ? для обозначения этого числа было впервые предложено Уильямом Джонсом (William Jones, 1675–1749) в 1706 году. Это первая буква греческого слова . (окружность, периферия).

2. Первый шаг в изучении свойств числа ? сделал Архимед (. Archimedes, 287–212 до н. э.). В сочинении «Измерение круга» он вывел знаменитое неравенство

Это означает, что ? лежит в интервале длиной 1/497. В десятичной системе счисления получаются три правильных значащих цифры: ? = 3,14…. Зная периметр правильного шестиугольника и последовательно удваивая число его сторон, Архимед вычислил периметр правильного 96-угольника, откуда и следует неравенство. 96-угольник визуально мало отличается от окружности и является хорошим приближением к ней.

В том же сочинении, последовательно удваивая число сторон квадрата, Архимед нашел формулу площади круга S = ? R2. Позднее он дополнил ее также формулами площади сферы S = 4 ? R2 и объема шара V = 4/3 ? R3.

3. Дальнейшая история числа ? связана в первую очередь с его вычислением. Уточнялись нижняя и верхняя оценки числа и предпринимались неудачные попытки представить ? в виде дроби и, таким образом, окончательно найти его значение.

Китаец Цзу Чунчжи (Zu Chongzhi, 430–501) нашел восемь правильных знаков: ? = 3,1415926… и предложил приближение ? ? 355/113. Голландец Людольф ван Цейлен (Ludolph van Ceulen, 1540–1610) вычислил 35 знаков ?. И, наконец, в 1706 году англичанин Джон Мечин (John Machin, 1680–1751) впервые смог найти сто знаков ?. Сегодня находят миллионы знаков ? с помощью суперкомпьютеров. Чуть ли не каждый год устанавливаются новые рекорды знаков ?, но, в отличие от ста знаков Мечина, вопрос о достоверности таких вычислений всегда остается открытым.

4. Формула длины окружности и три формулы Архимеда (для площади круга, площади сферы и объема шара) не являются конструктивными — они не содержат способа вычисления входящего в эти формулы числа ?. Если применить известные в интегральном исчислении методы нахождения длины кривой, площади поверхности и объема тела к формулам для окружности, круга, сферы и шара, то можно доказать, что в каждой из этих формул ? задается интегралом

Существующие методы вычисления интегралов позволяют таким образом находить ?. (Заметим в скобках, что полученная для ? интегральная формула служит исходным пунктом для вывода так называемого распределения вероятностей Коши–Лоренца (Cauchy-Lorentz distribution), хорошо известного в теории вероятностей и имеющего важные приложения в теоретической физике.)

5. Преобразуя то же самое интегральное выражение, несложно получить представление ? в виде либо бесконечной суммы (ряда)

Первую формулу нашли независимо шотландец Джеймс Грегори (James Gregory, 1638–1675) и немец Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716). Вторую формулу получил знаменитый криптограф Кромвеля (Oliver Cromwell, 1599–1658) англичанин Джон Валлис (John Wallis, 1616–1703). К сожалению, пользы от этих формул было немного: чтобы вычислить десять знаков ?, необходимо сложить или умножить миллиарды слагаемых или перемножить миллиарды сомножителей, в чем легко убедиться, попытавшись вычислить ? таким образом. Такая работа трудна даже для современного мощного компьютера.

7. Современник Исаака Ньютона (Sir Isaac Newton, 1643–1727) японский математик Секи Такакадзу (Takakazu Shinsuke Seki, 1642–1708) придумал метод ускорения медленно сходящихся последовательностей. Например, известные последовательности правильных многоугольников сходятся к окружности медленно, из-за этого медленно сходятся к числу ? последовательности его приближений, рассчитанные с помощью этих многоугольников. Такакадзу ускорил сходимость последовательностей приближений и нашел десять знаков числа ?. Прошло более двух столетий, когда английский математик Александр Крэг Эйткен (Alexander Craig Aitken, 1895–1967) переоткрыл метод ускорения сходимости последовательностей, известный сегодня как метод Эйткена. Метод Такакадзу-Эйткена творит чудеса. Если в формуле Грегори–Лейбница сложить семь слагаемых, то мы найдем только один правильный знак: ? = 3,…. Если же к этим семи слагаемым применить метод ускорения, то получим шесть правильных знаков: ? = 3,14159….

Попутно Такакадзу независимо от Ньютона открыл метод касательных для решения уравнений, первым в мире изучал определители второго и третьего порядка, а также открыл числа Бернулли раньше самого Якоба Бернулли (Jacob Bernoulli, 1654–1705), именем которого они названы.

8. Два голландских ученых Виллеброрд Снеллиус (Willebrord van Royen Snell, 1580–1626) и Христиан Гюйгенс (Christiaan Huygens, 1629–1695) предложили методы ускорения вычислений для выведенного Архимедом алгоритма нахождения числа ? путем аппроксимации окружности правильными многоугольниками.

Снеллиус показал, что там, где правильный шестиугольник дает один знак числа ? – тройку, на самом деле можно получить три знака: ? = 3,14… . Взяв 96-угольник, Снеллиус нашел семь знаков ? вместо трех знаков, соответствующих неравенству Архимеда. Для любого данного многоугольника Снеллиус увеличивал количество правильных знаков числа ? более чем вдвое по отношению к количеству правильных знаков, полученных методом Архимеда. К сожалению, Снеллиусу не удалось доказать две теоремы, лежащие в основе его метода. Позднее Гюйгенс в своей работе «О найденной величине круга», написанной им в возрасте 25 лет, не только доказал теоремы Снеллиуса и развил его метод, но также смог создать новый, более мощный метод, в котором применяются некоторые свойства центра масс. Для данного многоугольника Гюйгенс увеличивал число правильных знаков ? более чем втрое по отношению к знакам Архимеда. Для получения неравенства Архимеда он использовал всего лишь правильный треугольник! Взяв шестидесятиугольник, Гюйгенс нашел для ? десять знаков: 3,141592653… .

Посвященные кругу работы Архимеда и Гюйгенса написаны на геометрическом языке. Сегодня было бы полезно интерпретировать эти работы в рамках дифференциального и интегрального исчисления.

9. Важным достижением в изучении числа ? было выяснение его теоретико-числовой природы. В 1766 году немецкий математик, физик и астроном Иоганн Генрих Ламберт (Johann Heinrich Lambert, 1728–1777) доказал иррациональность числа ?. Это означает, что ? нельзя представить в виде дроби. Но можно найти бесконечную последовательность дробей приближающих ?, в определенном смысле, наилучшим образом. Такие дроби называются подходящими и строятся в рамках теории цепных или, что то же самое, непрерывных дробей. Ламберт нашел для ? первые двадцать семь подходящих дробей. Выпишем здесь только первые семь из них:

Первая, вторая и четвертая дроби нами уже рассматривались (и это не случайно).

Наконец, в 1882 году немецкий математик Карл Луис Фердинанд Линдеман (Ferdinand von Lindemann, 1852–1939) доказал, что ? – трансцендентное число. Это означает, что ? не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами — то есть не является алгебраическим числом.

В год доказательства иррациональности ? немецкий астроном Иоганн Даниель Тициус (Johann Daniel Titius, 1729–1796) опубликовал закон планетных расстояний, в котором неожиданно появляется последовательность Архимеда, сыгравшая важную роль в доказательстве знаменитого неравенства для ?. Приняв расстояние Сатурна от Солнца за 100 единиц, Тициус представил расстояния планет от Солнца следующим образом:

Знаком вопроса отмечено место, где, как предполагал Тициус, предстоит что-то открыть. В XIX веке в этом месте открыли кольцо астероидов. Интересно, что Ламберт в 1761 году поставил следующий вопрос: «Кто знает, нет ли недостающих планет в обширном пространстве между Марсом и Юпитером, которые будут когда-нибудь обнаружены?». Мы видим, что последовательность Тициуса для планетных расстояний получается в результате суммирования последовательности Архимеда с постоянной последовательностью четверок. Позднее этот закон стали называть законом Тициуса–Боде, несмотря на то, что открыл его только один человек — Тициус.

10. В заключение укажем на связь числа ? с многомерными сферами и шарами. Сферой в n-мерном евклидовом пространстве называется множество точек этого пространства, удаленных от данной точки на расстояние R. Шаром в n-мерном евклидовом пространстве называется множество точек этого пространства, удаленных от данной точки на расстояние, не превышающее R. Объем n-мерной сферы и объем n-мерного шара пропорциональны Rn. Объем одномерной сферы – это длина окружности, а объем двумерной сферы – это площадь обычной сферы. Объем одномерного шара – это длина отрезка, объем двумерного шара – это площадь круга, а объем трехмерного шара – это объем обычного шара. В формулы объемов многомерных сфер и шаров, которые можно найти в математических справочниках, входит число ?.

Известные формулы для окружности, круга, сферы и шара не содержат способа вычисления входящего в эти формулы числа ?. Поэтому при работе с этими формулами необходимо каким-то образом дополнительно задать ?. Но вот что интересно. Если мы рассмотрим все множество формул для многомерных сфер и шаров, позволяющих находить их объемы, то при работе с этими формулами нет необходимости задавать ? дополнительно. Дело в том, что, при естественном условии монотонности последовательности отношений объемов n–мерных шаров и n–мерных сфер для всех натуральных значений n, сами формулы однозначно определяют числовое значение ?.

В настоящее время с числом ? связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков.

Теорему Пифагора, за многие тысячи лет доказали египетские жрецы, а Пифагор был олимпийским чемпионом по классической борьбе, к тому же драчуном и пьяницей, а теорему эту он на спор, кто кого перепьёт, выиграл у неизвестного математика.
Тот сказал, что не смотря на все твои олимпийские заслуги тебя забудут через сотню лет, а благодаря этому свитку ( теореме ) не забудут и через тысячи лет.
Так оно и получилось.

На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал,
Быдный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка,
Верхушка склонилась у края реки,
Осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи-
У тополя как велика высота. (автора нет)

Традиционно авторство теоремы приписывают греческому философу и математику Пифагору, хотя сохранились убедительные свидетельства того, что теорема была известна задолго до него.

Открытие и понимание теоремы протекало в несколько этапов:

Алгебраическое наблюдение существования Пифагоровых троек (прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами) , то есть численная проверка того, что квадрат длины гипотенузы оказывается равным сумме квадратов длин катетов.
Более глубокое понимание теоремы, связанное с понятием площади, и основанные на этом доказательства, например, доказательства путём перестановки.
Доказательства, основанные на Евклидовой геометрии, в частности, доказательство методом подобия треугольников, а также доказательство Евклида.
Согласно комментариям Прокла к трудам Евклида, Пифагор (569—475 гг. до н. э.) , использовал алгебраические методы для конструкции Пифагоровых троек. Комментарии Прокла датируются 410 и 485 годами до н. э. соответственно. Примечательно, что известный английский историк математики Хиф (Heath), полагает, что не существует убедительных доказательств в пользу Пифагора на протяжении 5 столетий после его жизни на предмет авторства теоремы. В то же время, такие известные авторы, как Плутарх и Цицерон, приписывают авторство теоремы именно Пифагору, в соответствии с этими источниками можно сделать вывод о том, что авторство Пифагора было широко известно и не подвергалось сомнению.

Пифагоровы штаны – на все стороны равны.
Чтобы это доказать, нужно снять и показать.
Этот стишок известен всем со средней школы, с тех самых пор, когда на уроке геометрии мы изучали знаменитую теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. А вот вам 10 фактов о знаменитой теореме.
1. Происхождение штанов понятно: построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов. Правда, это как посмотреть: средневековые школяры называли эту теорему «pons asinorum», что означает «ослиный мост».
2. Книга рекордов Гиннесса называет теорему Пифагора теоремой с максимальным числом доказательств. И поясняет в 1940 году была опубликована книга, которая содержала триста семьдесят доказательств теоремы Пифагора, включая одно предложенное президентом США Джеймсом Абрамом Гарфилдом.
3. Теорему Пифагора доказывали через подобные треугольники, методом площадей и даже через дифференциальные уравнения – это сделал английский математик начала двадцатого века Годфри Харди. Известны доказательства теоремы Пифагора, предложенные Евклидом и Леонардо Да Винчи. А Электроник – мальчик из чемоданчика в книге Евгения Велтистова знал целых двенадцать способов, а среди них «метод укладки паркета» и «стул невесты».
4. Только одно доказательство теоремы Пифагора нам не известно: доказательство самого Пифагора. Долгое время считалось, что доказательство Евклида и есть доказательство Пифагора, но теперь считают, что это доказательство принадлежит Евклиду.
5. К настоящему моменту историки математики обнаружили, что теорема Пифагора не была открыта Пифагором – ее знали в разных странах задолго до древнегреческого философа и математика родом с острова Самос, жившего в VI веке до н. э.
6. Крупнейший историк математики Мориц Кантор разглядел папирус из Берлинского музея и обнаружил, что равенство три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате было известно уже египтянам около 2300 года до нашей эры во времена царя Аменемхета I.
7. Приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника обнаруживается в вавилонских текстах времен правления царя Хаммурапи, то есть за два тысячелетия до нашей эры. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около VIII века до нашей эры.
8. Голландский математик Бартель Ван дер Варден сделал важный вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Пифагор, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».
9. «В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,
Славную он за него жертву быками воздвиг».
Со слов неизвестного древнего стихотворца легенда о гекатомбе – жертвоприношении ста быков пошла гулять по умам и страницам изданий. Остряки шутят, что с тех самых пор все скоты боятся нового.
10. Сам Пифагор никогда не носил штанов – в те времена греки их не знали.

Открытие и понимание теоремы протекало в несколько этапов:

Читайте также: