Метод угловых точек применяется при проектировании фундаментов для определения напряжений

Обновлено: 04.05.2024

Подскажите пожайлуста может ли напряжение полученное методом угловых точек быть отрицательным (точка лежит за пределами фундамента) или неверно определен коэффициент рассеивания напряжений.

Может. В этом "зараза" этого метода. Встречал (при расчете) раньше много раз.
На вопрос "что же такое происходит" следует ответ " а вы не делайте таких фундаментов".

Нет, такого быть не может. Здесь какая-то ошибка. Метод угловых точек - это метод суперпозиции из теории упругости. Метод (в рамках теории упругости) абсолютно точен и не может давать таких странностей. Мы уже давно пользуемся расчетом в MathCAD для взаимного влияния фундаментов, никаких отрицательных напряжений для точек вне фундамента никогда не появлялось.

Сюда же задам вопрос.
Насколько применим метод угловых точек для плитных фундаментов? (24х24 м)? Ведь в нормах идет разделение до 10 и после 10м.

Я думаю не применим.
У меня есть небольшая программка, написанная доктором академии. Она основана на нормах СНиП, включает расчет осадок методом послойного ссумирования в том числе с учетом влияния соседних фундаментов. Все по СНиП, проверял вручную, в большинстве сходится, но если в некоторых случаях при некоторых конфигурациях фундаментов некоторым образом их расположить, то напряжения от влияния соседних ф-тов действительно минусовое. Сам раньше расчитывал вручную и порой дивился этому. Так вот, мы попробовали расположить рядом с большой загруженной площадкой малые, так малые площади поднялись.

Я думаю не применим.
Так вот, мы попробовали расположить рядом с большой загруженной площадкой малые, так малые площади поднялись.

Спасибо за ответ.
Ну вообще малые давления(площадки давления) по идее и должны подниматься - поперечные деформации грунта, как-никак.
Просто как обычно веселые архитекторы чудят, а нам расхлебывай. Вот и думаю как расположить рядом плиту от 10ти этажки и столбчатый от 2хэтажного.

Насколько я понимаю отрицательные напряжения соответствую растяжению. А разве при выпоре подошвы из под фундамента это не так.

Речь идет о задаче теории упругости (Буссинеска). Выпор - это уже предельное состояние, т.е. глубокая нелинейность.
В задаче Буссинеска никаких отрицательных вертикальных напряжений быть не должно. Это лекго доказать. Вспомним формулу для напряжения sigmaZ от сосредоточенной силы. В ней напряжения всегда того же знака, что и направление силы. Задача о действии произвольных сил по произвольным площадям решается методом интегрирования формулы для сосредоточенной силы (это вытекает из принципа суперпозиции). Интеграл от положительной функции тоже будет положительным. Поэтому отрицательных вертикальных напряжений быть не может.
Метод угловых точек - другой способ применения точного метода суперпозиции. Поэтому отрицательные напряжения - результат какой-то ошибки.

Полностью согласен с Constantin Shashkin,- наверняка неправильно выбраны прямоугольники для которых искомая точка будет угловой- проверьте .

Да и я не против.
Во вложении результаты некоторых вычислений при разном расположении ф-тов относительно друг друга, что там найдете (кому интересно) при вычислениях по СНиП бывает. Сильно не загонялся.

Но там какие-то смешные величины нагрузок. Может, это ошибки вычисления? Авторы программы, может быть, интерполировали таблицу, вместо того чтобы просто по формуле посчитать (а интерполяция дает неточности). Мы, кстати, тут недавно случайно нашли ошибку в одном из к-тов альфа в таблице. Как при создании первого снипа кто-то посадил ошибку, так она и перепечатывалась десятилетиями. А ошибка - просто опечатка. Надеюсь, в следующей редакции СП ее исправят.

Я так не думаю. Я (в нашем городе не только я) лично сам при ручном расчете по СНиП получал отрицательные значения (как уже писал только при определенном расположении ф-ов). В чем причина - не знаю.

Написал программу вычисления осадок по методике СП22.13330.2011, получил обсуждаемые здесь "отрицательные" осадки.

у меня та же проблема

это очевидно, но почему при расчете угловыми точками по СП вылезают зоны "отрицательных" осадок.

проверено несколько раз, ошибка не в этом

В приложенном файле - 3d-графики осадок фундаментной плиты и окружающего ее массива грунта полученные в моей программе строго реализующей алгоритм СП, на которых видны зоны "отрицательных" осадок.

Сколько пользуюсь методом угловых точек - отрицательных значений напряжений не получал. Думаю, у вас где-то закралась ошибка при вычислениях (может, при экстраполяции запредельных табличных значений коеф. Альфа. В пределах интерполируемой части ошибки точно нет).

Могу предложить сделать следующее - я задаю простые исходные данные и указываю точку интереса, потом сравниваем ответ (осадку). ок?

закралась ошибка при вычислениях (может, при экстраполяции запредельных табличных значений коеф. Альфа

Если пользоваться таблицей, то всегда найдется такая точка, которая "выйдет" за пределы границ параметров
0 l>>b и само значение b мало, потому ksi = z/b для этого фундамента большое и легко может превысить ksi=12.

Формула для коэффициента alfa получена на основе точного аналитического решения, однако, видимо из-за ее громоздкости в Нормы не вошла и позволяет определять alfa для более широкого спектра значений ksi и l/b, см. приложенную картинку

Потому, по-моему, предпочтительнее пользоваться именно формулой, а не таблицей.

На самом деле, если проанализировать причину "отрицательной" осадки, то можно сделать следующий вывод:
(см. картинку)

1. у усл. фундамента 1 и фундамента 4 нагрузка p прикладывается с положительным знаком,
у фундаментов 2 и 3 с отрицательным.

2. у усл. фундамента 4 ksi очень большое, значить alfa затухает очень быстро, значит вклад положительных напряжений
которые дает фундамент 4 в рассматриваемую точку не велик

3. значения alfa для у.ф. 1, 2, 3 в этой задаче получаются примерно одинаковыми

4. из=за "недостаточности" положительных напряжений у очень вытянутого фундамента №4 суммарные напряжения в точке
получаются отрицательными и , следовательно, отрицательная осадка

Для определения напряжений в точках, не лежащих на оси симметрии площади загружения, используется метод угловых точек, предложенный в 1932 г. Д.Е. Польшиным. Он показал, что для любого равномерно загруженного прямоугольника угловое вертикальное напряжение на глубине 2z равно одной четверти осевого вертикального напряжения на глубине z.

Для определения связи между осевыми и угловыми напряжениями представим, что прямоугольная площадь загружения разделена на четыре равных прямоугольника, стороны которых в два раза меньше соответствующих сторон основного прямоугольника (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Схема к определению напряжений в грунте методом угловых точек

Проведем через точку О, взятую в центре большого прямоугольника, осевую вертикальную линию. Она будет также проходить через угловые точки О всех четырех малых прямоугольников. Если на этой вертикали взять на глубине z точку М₀, то осевое напряжение в ней от нагрузки, приложенной по площади большого прямоугольника, будет равно сумме угловых напряжений от нагрузки по площади четырех малых прямоугольников. Таким образом, угловое напряжение для каждого малого прямоугольника будет равно 1/4 величины осевого давления, возникающего на той же глубине от нагрузки по всей площади большого прямоугольника.

Проведем через какую-либо угловую точку большого прямоугольника вертикальную линию и отметим на ней точку М, лежащую на глубине 2 z. Отношение этой глубины к ширине большого прямоугольника b будет равно отношению глубины z до точки М₀ к ширине малого прямоугольника b/2 . Так как относительная глубина точек М и М₀ для большого и малого прямоугольников одинакова, то и угловые напряжения в тех же точках будут равны между собой.

Следовательно, при нахождении напряжения s_z под угловыми точками прямоугольной площади загружения значения коэффициента a можно принимать по табл. 3.4 в зависимости от h и x. В этом случае . Напряжения под угловыми точками определяют по формуле

Метод угловых точек позволяет определять вертикальные напряжения s_z в любой точке полупространства при условии, что площадки являются прямоугольными, а нагрузки на них – равномерно распределенными. Для этого точку, в которой необходимо определить напряжение, с помощью дополнительных построений следует сделать угловой.

Если проекция рассматриваемой точки М’ находится в пределах загруженной площади (точка М), то эта площадь разделяется на четыре прямоугольника, для каждого из которых точка М является угловой (рис. 3.10, а). Образуются прямоугольники: I – afMe, II – eMkd, III – fbhM, IV – Mhck. Тогда напряжения s_z найдем суммированием напряжений под угловыми точками четырех площадей загружения:

где a_I , a_II , a_III , a_IV – коэффициенты, принимаемые по таблицам в зависи- мости от соотношения сторон площадей загружения I, II, III, IV и отношения z (глубины расположения точки М’) к ширине каждой из этих площадей.

Рис. 3.10. Схемы разбивки прямоугольной площади загружения при

определении напряжений методом угловых точек

а – точка М находится в пределах загруженной площади; б – точка М находится вне загруженной площади

Когда проекция рассматриваемой точки М΄ находится вне пределов загруженной площади, точку М можно представить как угловую для четырех фиктивных прямоугольников (рис. 3.10, б): I – afMe, II – eMkd, III – bfMh, IV – hMkc. При этом в пределах площадей III и IV нагрузку учитываем с отрицательным знаком. Тогда напряжения s_z найдем из выражения

Таким образом, пользуясь методом угловых точек, можно найти напряжение s_z в любой точке полупространства, к поверхности которого приложена равномерно распределенная по прямоугольной площадке нагрузка.

Пример 3.3

Определить напряжение в точке М на глубине z = 2,4 м, лежащей за пределами загруженной площади abcd. Размеры прямоугольной площади загружения: l = ab = cd = 4 м; b = ad = bc = 3 м. Расстояние точки М от грани ab – 1 м, от грани bc – 1 м. Интенсивность равномерной нагрузки р = 100 кПа.

Проведем построения, соответствующие рис. 3.10, б. Получим фиктивные прямоугольники: I (afMe) с размерами l_I = 5 м, b_I = 1 м; II (eMkd) с размерами l_II =5 м, b_II = 2 м; III (bfMh) с размерами l_III = 1м, b_III = 1 м; IV (hMkc) с размерами l_IV = 2 м, b_IV = 1 м. Соотношение сторон в прямоугольнике I η_I = l_I /b_I =

= 5/1 = 5, коэффициент ξ_I = z/b_I = 2,4/1 = 2,4. В прямоугольнике II η_II = 5/2 = 2,5, ξ_II = 2,4/2 = 1,2; в прямоугольнике III η_III = 1/1 = 1, ξ_III = 2,4/1 = 2,4; в прямоугольнике IV η_IV = 2/1 = 2, ξ_IV = 2,4/1 = 2,4. Определим по табл. 3.4 значения коэффициентов a для соответствующих прямоугольников: a_I = 0,470; a_II = 0,741; a_III = 0,257; a_IV = 0,392. Тогда по формуле (3.23) мы можем найти значение напряжения s_z в точке М:

Распределение напряжений в основании зависит от формы фундамента в плане. В строительстве наибольшее распространение получили ленточные, прямоугольные и круглые фундаменты. Таким образом, основное практическое значение имеет расчет напряжений для случаев плоской, пространственной и осесимметричной задач.

Напряжения в основании определяется методами теории упругости. Основание при этом рассматривается как упругое полупространство, бесконечно простирающееся во все стороны от горизонтальной поверхности загружения.

Решение задачи о действии вертикальной сосредоточенной силы, приложенной к поверхности упругого полупространства полученное в 1885 г. Ж. Буссинеском, позволяет определить все компоненты напряжений и деформаций в любой точке полупространства от действия силы (рис. 3.4.а).

Вертикальные напряжения определяются по формуле:

Используя принцип суперпозиции можно определить значение вертикального сжимающего напряжения в точке при действии нескольких сосредоточенных сил, приложенных на поверхности (рис. 3.4.б):

В 1892 г. Фламан получил решение для вертикальной сосредоточенной силы в условиях плоской задачи (рис. 3.4.в):

Зная закон распределения нагрузки на поверхности в пределах контура загружения, можно, интегрируя выражение (3.6) в пределах этого контура, определить значения напряжений в любой точке основания для случая осесимметричной и пространственной нагрузки (рис. 3.5.), а интегрируя выражение (3.8) – для случая плоской нагрузки.

Схема для расчета напряжений в основании в случае плоской задачи при действии равномерно распределенной нагрузки интенсивностью показана на рис. 3.6.а.

Точные выражения для определения компонент напряжений в любой точке упругого полупространства были получены Г. В. Колосовым в виде:

где , , - коэффициенты влияния, зависящие от безразмерных параметров и ; и – координатные точки, в которой определяются напряжения; – ширина полосы загружения.

На рис. 3.7. а-в показано в виде изолиний распределение нарпряжении , и в массиве грунте для случая плоской задачи.

В некоторых случаях при анализе напряженного состояния основания оказывается удобнее пользоваться главными напряжениями. Тогда значения главных напряжений в любой точке упругого полупространства под действием полосовой равномерно распределенной нагрузки можно определить по формулам И. Х. Митчелла:

где - угол видимости, образованный лучами, выходящими из данной точки к краям загруженной полосы (рис.3.6.б).

В 1935 г. А. Лявом были получены значения вертикальных сжимающих напряжений в любой точке основания от действия нагрузки интенсивностью , равномерно распределенной по площади прямоугольника размером .

Практический интерес представляют компоненты напряжений , относящиеся к вертикали, проведенной через угловую точку этого прямоугольника, и , действующие по вертикали, проходящей через его центр (рис. 3.8.).

Используя коэффициенты влияния можно записать:

где - и - соответственно коэффициенты влияния для угловых и центральных напряжений, зависящие от соотношения сторон загруженного прямоугольника и относительной глубины точки, в которой определяются напряжения.

Между значениями и имеется определенное соотношение.

Тогда оказывается удобным выразить формулы (3.11) через общий коэффициент влияния и записать их в виде:

Коэффициент зависит от безразмерных параметров и : , (при определении углового напряжения ), (при определении напряжения под центром прямоугольника ).

Метод угловых точек позволяют определить сжимающие напряжения в основании по вертикали, проходящей через любую точку поверхности. Возможны три варианта решения (рис.3.9.).

Пусть вертикаль проходит через точку , лежащую на контуре прямоугольника. Разделив этот прямоугольник на два так, чтобы точка М являлась угловой для каждого из них, можно представить напряжения как сумму угловых напряжений I и II прямоугольников, т.е.

Если точка лежит внутри контура прямоугольника, то его следует разделить на четыре части так, чтобы эта точка являлась угловой для каждого составляющего прямоугольника. Тогда:

Наконец, если точка лежит вне контура загруженного прямоугольника, то его нужно достроить так, чтобы эта точка вновь оказалась угловой.

Суть метода заключается в том, что напряжение в любой точке массива находят как суммарное давление угловых точек прямоуг площадок. Для этого площадку в плане разбивают на отдельные прямоугольники, углы которых сходятся на исследуемой точке.

Распределение напряжений от сосредоточенной линейной нагрузки (плоская задача Фламана). Напряжения в грунте при равномерной распределенной нагрузке.

Если нагрузка распределена по бесконечной полосе и если её величина вдоль полосы не меняется, то для оценки напряженно деформ состояния массива достаточно исслед напряжение в любом сечении перпенд к оси полосы, такая задача наз-ся плоской (ленточный фундамент, основание насыпей дорож полотен). Решение задачи о распред напряжения от действия полосообразной системы сосредоточенных сил было получено Фламаном.

Принимая эл нагрузку dN за сосредоточенную нагрузку и интегрируя по ширине полосы решение Фламана получим

32. Распределение напряжений под подошвой жестких фундаментов и штампов (контактная задача).

Если тело (фундамент) передающее нагрузку имеет абсолютную жесткость, то распред напряжений под подошвой фундамента будет значительно отличатся от равномерного. Решение для абсолютно жесткого, круглого в плане фундамента будет в след виде

Как показали практич исследования напряжения под краями жесткого фундамента значительно отличается от теоретических. Эпюры напряжений могут быть одного из трёх видов:

Жесткость фундамента отражается только на глубине равной ширине фундамента. В практике расчета распред напряжений по подошве фундамента принимается линейно, в виде прямоугольных, либо трапецеидальных эпюр.

Распределение напряжений от собственного веса грунтов (природное давление). Влияние подземных вод на распределение напряжений.

Напряжения в массиве грунта, возникающие от собственного веса грунтов возрастают пропорционально глубине рассматриваемого слоя. Эпюра напряжений по глубине однородного слоя будет иметь вид треугольника, а при нескольких неоднородных слоях изображается ломанной линией.

Гидростатические давления столба воды на кровлю водоупорного слоя.

Понятие об активном и пассивном давлении грунта на подпорную стенку. Аналитический метод определения давления сыпучего грунта на подпорную стенку.

При решении задачи о боковом давлении грунта на стенку различают два случая: 1) удержив стенки поддерживают грунт и испытывают давление на свою внутреннюю грань. Давление пытается сдвинуть стенку в направлении действия. Максимальное значение будет определятся

Такое давление наз-ся активным

2) стенка упирается в грунт и может вызвать его выпаривание, т.е. стенка давит на грунт. Грунт будет сопротивляться этому давлению, такое давление наз-ся пассивным.

Действие сплошной равномерно распределенной нагрузки зам-ся эквивалентной высотой слоя грунта. Активное давление на уровне верха подпорной стенки: