Маша выписала на доску в порядке

Обновлено: 14.05.2024

Задачи

1. Глеб написал на доске обыкно-венную дробь, а Гриша посчитал сумму её числителя и знаменателя. Найдите наименьшее возможное натуральное значение этой дроби, если у Гриши получилось число 2011.

2. Маша пробежала 1 км со средней скоростью 4 м/с. С какой средней скоростью пробежал эту дистанцию Вася, если, стартовав на 25 секунд позже Маши, он финишировал на 25 секунд раньше?

5. Четыре мецената пожертвовали театру 132 тысячи рублей. При этом второй пожертвовал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый — вчетверо больше третьего. Сколько пожертвовал четвёртый?

6. Незнайка лжёт по понедельникам, вторникам и пятницам, а в остальные дни недели говорит правду. В какие дни недели Незнайка может сказать: «Я лгал позавчера и буду лгать послезавтра»?

7. На шахматной доске стоят ладьи так, что каждая из них бьёт N ладей. При каких целых N это возможно? (Ладья бьёт в каждом направлении только ближайшую ладью.)

8. Маша выписывает последовательно на доску по возрастанию все числа, в которых число четных цифр равно числу нечетных цифр. Какое число выпишет Маша 46–м?

9. Три поросенка хранят в жестяной банке красные, желтые и зеленые леденцы. Какое наименьшее число леденцов надо взять наугад из банки так, чтобы каждому поросенку можно было дать по 5 леденцов одного цвета? (У разных поросят леденцы могут быть и разными.)

10. Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 73. Какое число задумал Вася (перечислите все возможные варианты)?

11. Сумма четырёхзначного натурального числа с его суммой цифр равна 2018. Чему равно само число (необходимо найти все возможные варианты)?

13. На какое наибольшее количество прямоугольников можно разрезать (без остатка) по линиям сетки клетчатый квадрат 7×7 так, чтобы среди них не оказалось одинаковых?

14. По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили Ауди и БМВ. Оказалось, что как в 17:00, так и в 18:00 БМВ находился в два раза дальше от перекрестка, чем Ауди. В какое время Ауди мог проехать перекресток? Укажите все возможные варианты.

15. В деревне Большие Топоры живет 100 детей, а в деревне Средние Топоры — 60, между деревнями проложена прямая дорога длиной 6 км. Посередине между Большими Топорами и Средними расположена деревня Малые Топоры, в которой живет 20 детей. В каком месте нужно построить школу, чтобы суммарное расстояние, которые должны будут каждый день преодолевать школьники, было наименьшим? (В ответе укажите расстояние от школы до каждой из деревень.)

16. На плоскости нарисовали три прямые. Прямые пересеклись в трёх точках A , B , C . Из образовавшихся углов выбрали три: один с вершиной в точке A , второй — с вершиной в точке B и третий — с вершиной в точке C . Известно, что два из выбранных углов равны 1° и 2°. Чему может быть равен третий угол? Укажите все возможные варианты.

17. Каждый из 12 человек — рыцарь, всегда говорящий правду, или всегда лгущий лжец. Один из них сказал: «Число лжецов среди нас делится на 1», второй: «Число лжецов среди нас делится на 2», …, 12–ый: «Число лжецов среди нас делится на 12». Сколько среди них может быть рыцарей? Укажите все возможные варианты.

18. Бусы — это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать и переворачивать, они от этого не меняются. Сколько различных видов бус можно составить из 10 одинаковых красных бусин и двух одинаковых синих бусин?

19. В комнате дед, два отца, два сына и два внука (это дед, отцы, сыновья и внуки людей, находящихся в комнате). Сколько людей могло быть в комнате?

20. Найдите количество прямоугольников, составленных из клеток шахматной доски, которые содержат поле C 4. (Одна клетка — это тоже прямоугольник.)

ВОШ Школьный этап ответы и задания для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 классов олимпиады по математике школьный этап 2020-2021 всероссийской олимпиады школьников (ВсОШ). Олимпиада проходит во всех школах города Москва с 21 по 23 октября 2020 г.

• Посмотреть ВОШ на другие регионы и предметы: Смотреть

Решать работу онлайн

Интересные задания

Задача 4.2. У Пети есть 25 монет, каждая из которых имеет номинал 1, 2, 5 или 10 рублей. Среди этих монет 19 — не двухрублёвые, 20 — не десятирублёвые, 16 — не однорублёвые. Сколько пятирублёвых монет у Пети?

Задача 4.4. В очереди в столовую стоят пять школьников: Аня, Боря, Вера, Гена и Денис.
• Боря стоит в начале очереди.
• Вера стоит рядом с Аней, но не рядом с Геной.
• Среди Ани, Бори и Гены никакие двое не стоят рядом.
Кто стоит рядом с Денисом?

Задача 4.5. Антон загадал трёхзначное число, а Лёша пытается его угадать. Лёша по очереди назвал числа 109, 704 и 124. Антон заметил, что каждое из этих чисел совпадает с загаданным числом ровно в одном разряде. Какое число загадал Антон?

Задача 4.8. В роще растут деревья четырёх видов: березы, ели, сосны и осины. Всего 100 деревьев. Известно, что среди любых 85 деревьев найдутся деревья всех четырёх видов. Среди какого наименьшего количества любых деревьев в этой роще обязательно найдутся деревья хотя бы трёх видов?

Задача 5.2. На урок физкультуры Алина, Богдан, Вика и Гриша пришли в шортах и футболках, причём каждый из этих предметов одежды был синего или красного цвета. У Алины и Богдана футболки были красные, а шорты — разного цвета. У Вики и Гриши футболки были разного цвета, а шорты — синие. Также известно, что у девочек футболки разные по цвету, да и шорты тоже. Кто из детей в какой одежде?

Задача 5.3. К первому сентября Влад купил себе несколько шариковых и гелевых ручек. Он заметил, что если бы все купленные ручки были гелевыми, то он заплатил бы в 4 раза 4 больше, чем вышло у него. А если бы все ручки были шариковыми, то покупка обошлась
бы в 2 раза дешевле реальной. Во сколько раз гелевая ручка дороже, чем шариковая?

Задача 5.5. Дома Андрея, Бори, Вовы и Глеба расположены в некотором порядке на одной прямой улице. Расстояние между домами Андрея и Бори, как и расстояние между домами Вовы и Глеба, равно 600 м. Чему может равняться в метрах расстояние между домами Андрея и Глеба, если известно, что оно в 3 раза больше, чем расстояние между домами Бори и Вовы? Укажите все возможные варианты. Если ответом являются несколько чисел, то они вводятся все — каждое число в отдельное поле ввода.

Задача 5.6. Ване на Новый Год подарили три набора конфет. В наборах три вида конфет: леденцы, шоколадные и мармеладные. Общее количество леденцов во всех трёх наборах равно общему количеству шоколадных конфет во всех трёх наборах, а также общему количеству мармеладных конфет во всех трёх наборах. В первом наборе шоколадных и мармеладных поровну, а леденцов на 7 больше. Во втором наборе леденцов и шоколадных
одинаково, а мармеладных на 15 меньше. Сколько конфет в третьем наборе, если известно, что леденцов там нет?

Задача 6.2. В соревновании по бегу участвовали пять спортсменов: 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸. Было сделано два прогноза, в каком порядке они финишируют.
• Первый прогноз: 𝐴 — первый, 𝐵 — второй, 𝐶 — третий, 𝐷 — четвёртый, 𝐸 — пятый.
• Второй прогноз: 𝐶 — первый, 𝐸 — второй, 𝐴 — третий, 𝐵 — четвёртый, 𝐷 — пятый.
Оказалось, что первом прогнозе было верно предсказано ровно про троих спортсменов, а во втором — ровно про двоих. Кто какое место занял в забеге?

Задача 6.3. Три купца: Фома, Ерёма и Юлий встретились в Новгороде. Если Фома отдаст Ерёме 70 золотых монет, то у Ерёмы и Юлия будет поровну денег. Если Фома отдаст Ерёме 40 золотых монет, то у Фомы и Юлия будет поровну денег. Сколько золотых монет должен
отдать Фома Ерёме, чтобы у них двоих стало поровну денег?

Задача 6.4. В прибрежной деревне 7 человек рыбачат каждый день, 8 человек рыбачат через день, 3 человека рыбачат раз в три дня, а остальные не рыбачат вовсе. Вчера рыбачили 12 человек, сегодня рыбачат 10 человек. Сколько людей будет рыбачить завтра?

Задача 6.6. На фотографирование класса пришли 4 девочек и 8 мальчиков. Дети по двое подходят к фотографу и делают совместное фото. Среди какого наименьшего количества фотографий обязательно есть либо фотография двух мальчиков, либо фотография двух девочек, либо две фотографии с одними и теми же детьми?

Задача 6.8. Натуральное число 𝑛 назовём хорошим, если 2020 при делении на 𝑛 даёт остаток 22. Сколько существует хороших чисел?

Задача 7.1. Петя записал на доску 20 натуральных чисел 1, 2, … , 20. Вася сначала стёр все чётные числа, а затем стёр все числа, дающие остаток 4 при делении на 5. Сколько чисел осталось на доске?

Задача 7.3. Листы в книге пронумерованы следующим образом: первый лист — это две страницы (с номерами 1 и 2), второй лист — это следующие две страницы (с номерами 3 и 4) и так далее. Хулиган Петя вырвал из книги несколько подряд идущих листов: первая вырванная страница имеет номер 185, а номер последней вырванной страницы состоит из тех же цифр, но идущих в другом порядке. Сколько листов вырвал Петя?

Задача 7.6. Расстояние между городами А и Б составляет целое число километров. На дороге между городами каждый километр стоит табличка: на одной стороне написано расстояние до города А, на другой — до города Б. Слава шёл пешком из города А в город Б. В течение своего путешествия Слава посчитал для каждой таблички НОД чисел, написанных на ней. Оказалось, что среди посчитанных НОДов встречаются только числа 1, 3 и 13. Чему равняется расстояние между городами?

Задача 7.7. В выборах на должность президента класса соревновались Петя и Вася. В течение трёх часов 27 учеников класса голосовали за одного из двух кандидатов. За первые два часа за Петю было отдано на 9 голосов больше, чем за Васю. А за последние два часа за Васю было отдано на 9 голосов больше, чем за Петю. В итоге Петя победил. С преимуществом в какое наибольшее количество голосов он мог победить?

Задача 7.8. У Карлсона и Малыша есть несколько банок варенья, каждая весит целое число фунтов. Суммарный вес всех банок варенья Карлсона в 13 раз больше суммарного веса всех банок Малыша. Карлсон отдал Малышу банку с наименьшим весом (из тех, что были у него), после чего суммарный вес его банок оказался в 8 раз больше суммарного веса банок Малыша. Какое наибольшее количество банок варенья могло изначально быть у Карлсона?

Задача 8.3. Четверо ребят гуляли вдоль аллеи и решили посчитать количество елей, высаженных вдоль неё.
• Аня сказала: «Вдоль аллеи всего 15 елей.»
• Боря сказал: «Количество елей делится на 11.»
• Вера сказала: «Елей точно меньше 25.»
• Гена сказал: «А я уверен, что их количество делится на 22.»

Один мальчик и одна девочка сказали правду, а остальные двое ошиблись. Сколько елей растёт вдоль аллеи?

Задача 8.5. На бал пришли дамы и джентльмены — всего меньше 50 человек. Во время первого танца лишь четверть дам не были приглашены на танец, и 2/7 от общего количество джентльменов никого не пригласили. Сколько человек пришло на бал? (Для танца некоторый джентльмен приглашает некоторую даму.)

Задача 8.8. Маша выписала на доску в порядке возрастания все натуральные делители некоторого числа 𝑁 (самый первый выписанный делитель — 1, самый большой выписанный делитель — само число 𝑁). Оказалось, что третий с конца делитель в 21 раз больше второго с начала. Какое наибольшее значение может принимать 𝑁?

Задача 9.2. Антон, Вася, Саша и Дима ехали на машине из города А в город Б, каждый из них по очереди был за рулём. Весь путь машина ехала с постоянной скоростью. Антон вёл машину в два раза меньше, чем Вася, а Саша вёл машину столько же, сколько Антон и Дима вместе взятые. Дима был за рулём лишь десятую часть пути. Какую часть пути за рулём был Вася? Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Задача 9.3. К 30 пальмам в разных частях необитаемого острова прибито по табличке.
• На 15 из них написано: «Ровно под 15 табличками зарыт клад».
• На 8 из них написано: «Ровно под 8 табличками зарыт клад».
• На 4 из них написано: «Ровно под 4 табличками зарыт клад».
• На 3 из них написано: «Ровно под 3 табличками зарыт клад».
Известно, что правдивы только те таблички, под которыми клада нет. Под каким наименьшим количеством табличек может быть зарыт клад?

Задача 9.5. У Буратино есть много монет по 5 и по 6 сольдо, каждого вида более 10 монет. Придя в магазин и купив книгу за 𝑁 сольдо, он понял, что не сможет за неё рассчитаться без сдачи. Какое наибольшее значение может принимать натуральное 𝑁, если оно не больше 50?

Задача 9.6. На бал пришли 29 мальчиков и 15 девочек. Некоторые мальчики потанцевали с некоторыми девочками (не более одного раза в каждой паре). После бала каждый человек рассказал родителям, сколько раз он танцевал. Какое наибольшее количество различных чисел дети могли назвать?

Задача 10.3. У Юры есть 𝑛 карточек, на которых написаны числа от 1 до 𝑛. После того, как Юра потерял одну из них, сумма чисел на оставшихся оказалась равна 101. Какое число написано на потерянной карточке?

Задача 10.4. В центральной клетке доски 21 × 21 находится фишка. За один ход можно передвинуть фишку в соседнюю по стороне клетку. Алина сделала 10 ходов. Сколько существует клеток, где может оказаться фишка?

Задача 10.5. Хулиган Вася любит бегать по эскалатору в метро, причём вниз он бежит в два раза быстрее, чем вверх. Если эскалатор не работает, то, чтобы сбегать вверх и вниз, Васе потребуется 6 минут. Если эскалатор едет вниз, то, чтобы сбегать вверх и вниз, Васе потребуется 13,5 минут. Сколько секунд потребуется Васе, чтобы сбегать вверх и вниз по эскалатору, который будет ехать вверх? (Эскалатор всегда движется с постоянной скоростью.)

Задача 10.7. У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 330?

Задача 11.1. Внутри круга нарисовано 16 радиусов этого круга и 10 окружностей, центры которых совпадают с центром круга. На сколько областей радиусы и окружности делят круг?

Задача 11.2. Вдоль дороги в один ряд стоят 25 столбов. Иногда на один из столбов садится чиж, и сразу же с одного из соседних столбов взлетает чиж (если на соседних столбах в этот момент хоть кто-нибудь сидел). Также на каждом столбе не может сидеть более одного чижа. Первоначально на столбах нет птиц. Какое наибольшее количество чижей могут одновременно находиться на столбах?

Задача 11.3. Натуральное число 𝑛 назовём интересным, если 2𝑛 является точным квадратом, а 15𝑛 — точным кубом. Найдите наименьшее интересное число. Задача 11.4. У Сени есть три прямых палки длиной 24 сантиметра каждая. Сеня разломил одну из них на две части так, что из двух кусков этой палки и двух целых палок он смог выложить контур прямоугольного треугольника. Сколько квадратных сантиметров составляет площадь этого треугольника?

Задача 11.5. По зову воеводы пришли 55 солдат: лучники и мечники. Все они были одеты либо в золотые, либо в чёрные доспехи. Известно, что мечники говорят правду, когда носят чёрные доспехи и обманывают, когда носят золотые доспехи, а лучники — наоборот.
• На вопрос «На тебе золотые доспехи?» утвердительно ответили 44 человека.
• На вопрос «Ты лучник?» утвердительно ответили 33 человека.
• На вопрос «Сегодня понедельник?» утвердительно ответили 22 человека. Сколько пришло лучников в золотых доспехах на зов воеводы?

Задача 11.8. Дана возрастающая последовательность из 8 действительных чисел. Диана выписала всевозможные последовательности из 4 чисел, идущих в ней подряд. Оказалось, что две из пяти новых последовательностей являются арифметическими прогрессиями с разностями 4 и 36 соответственно, а одна из последовательностей является гео метрической прогрессией. Найдите наибольшее из данных 8 чисел. Укажите все возможные варианты.

1. Глеб написал на доске обыкновенную дробь, а Гриша посчитал сумму ее числителя и знаменателя. Найдите наименьшее натуральное значение этой дроби, если у Гриши получилось число 2011.

3. Маша пробежала 1 км со средней скоростью 4 м/с. С какой средней скоростью пробежал эту дистанцию Вася, если стартовав на 25 секунд позже Маши, он финишировал на 25 секунд раньше?

4. Найдите все трёхзначные числа, из цифр каждого из которых можно составить шесть различных простых двузначных чисел.

5. В ряд выложены несколько апельсинов, мандаринов, яблок и бананов. Оказалось, что рядом с фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее число фруктов могло быть выложено?

6. Сумма четырёхзначного натурального числа с его суммой цифр равна 2018. Чему равно само число (необходимо найти все возможные варианты)?

8. 4 мецената пожертвовали театру 132 тысячи рублей. При этом второй пожертвовал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый — вчетверо больше третьего. Сколько пожертвовал четвёртый?

9. На шахматной доске стоят ладьи так, что каждая из них бьёт N ладей. При каких N это возможно? (Ладья бьёт в каждом направлении только ближайшую ладью.)

12. Три поросенка хранят в жестяной банке красные, желтые и зеленые леденцы. Какое наименьшее число леденцов надо взять наугад из банки так, чтобы каждому поросенку можно было дать по 5 леденцов одного цвета?

13. Три невисокосных года идут подряд. В первом из них понедельников больше, чем сред. На какой день недели заканчивается третий год?

14. Маша выписывает последовательно на доску по возрастанию все числа, в которых число четных цифр равно числу нечетных цифр. Какое число выпишет Маша 46-м?

17. На какое наибольшее количество прямоугольников можно разрезать (без остатка) по линиям сетки клетчатый квадрат 7×7 так, чтобы среди них не оказалось одинаковых?

Задачи

Задание 18 № 501949

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

а) Задуманные числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 дают требуемый набор, записанный на доске.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части то есть 5. Кроме того, числа 9 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 9 − 11 = 14. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 7 и 7 или 14. Для задуманных чисел 7, 7, 7, 9, 11 и 7, 9, 11, 14 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет; в) 7, 7, 7, 9, 11 или 7, 9, 11, 14.

В ответе под буквой а) возможен и такой набор: 1, 2, 4, так как, 1, 2 и 4 сами по себе уже есть. При суммировании их друг на друга, мы получим ряд тех чисел, который должен быть записан на доске, а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Здравствуйте, для ответа по буквой а возможен и другой ряд чисел: 1,1,2,3

а также 1, 2, 2, 2

Задание 18 № 501989

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске. Другой вариант: 2, 2, 4.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 – 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 9 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит

целой части частного 52 и 9, то есть 5. Кроме того, числа 10 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 9, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 9, оставшиеся задуманные числа — это 11 и 11 или 22. Для задуманных чисел 9, 10, 11, 11, 11 и 9, 10, 11, 22 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2 (или 2, 2, 4): б) нет: в) 9, 10, 11, 11, 11 или 9, 10, 11, 22.

Задание 18 № 502298

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 9, 12, 15.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.

а) Например, числа 3, 3, 3, 3, 3 дают требуемый набор, записанный на доске. Другой пример — числа 3, 6, 6.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 23 − 1 = 22. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 8 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части числа то есть 5. Кроме того, числа 9 и 10 меньше, чем сумма двух восьмёрок, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 47 − 8 − 9 − 10 = 20. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 8, оставшиеся задуманные числа — это 10 и 10 или 20 (если бы 20 получалось как 8 + 12 или 9 + 11, то были бы выписаны числа 12 или 11, но их нет). Для задуманных чисел 8, 9, 10, 10, 10 и 8, 9, 10, 20 на доске будет записан набор, данный в условии. (Для чисел 8, 9, 10, 20 это можно проверить непосредственно, а для чисел 8, 9, 10, 10, 10 — заметить, что они будут давать точно те же суммы, что и числа 8, 9, 10, 20.)

Читайте также: