Луч отсекающий пол угла

Обновлено: 19.05.2024

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Точка, из которой исходят лучи, образующие угол, называется вершиной угла. Лучи, образовавшие угол – его сторонами.

Угол может быть назван по имени его вершины или по имени лучей, которые его образовали. Но лучше всего назвать угол, как и луч, по имени отрезков лучей, образующих его, при том, что вершина угла является начальной точкой обоих этих отрезков.

$ \angle O, \angle kh, \angle AOB$

Градусная мера угла

Угол обладает градусной мерой. Представьте себе, что изначально оба луча, образующие угол, совпадали. Можете вспомнить циферблат часов в полдень, когда минутная и часовая стрелка перекрывают друг друга. Со временем минутная стрелка будет все дальше отходить от часовой, но при этом они все равно будут иметь общую точку – ось, на которую они надеты.

Независимо от величины часов, длины стрелок, все часы показывают одинаковое время. То есть, их стрелки со временем расходятся на один и тот же градус, хотя между их концами разное расстояние. В три часа пополудни угол между стрелками будет равен 90 градусов; в шесть вечера – 180. Градусные меры остальных углов рассчитываются, исходя из этих значений. То есть, в два часа дня угол между минутной и часовой стрелкой будет равен 60 градусов; в час дня – 30 градусов.

Угол, равный 180 градусов, называется развернутым

Внутренняя и внешняя область угла

Неразвернутый угол имеет внутреннюю и внешнюю области.

Внутренней областью угла является часть площади, ограниченная образующими его лучами, через которую проходит прямая, соединяющие две точки на этих лучах.

Если из вершины угла выходит луч, не совпадающий со сторонами угла, и проходящий по внутренней области угла, то он делит этот угол на два угла, сумма градусных мер которых равна градусной мере угла

Если луч делит угол на два равных угла, то он называется биссектрисой угла

угол $АОС$, луч $OD$ принадлежит внутренней области угла; луч $ОЕ$ является биссектрисой угла АОС

Методы измерения углов

Градусную меру углов можно измерить различными способами. Наиболее простым является применение транспортира.

Транспортир

Измерение производится так:

Транспортир накладывается на угол
Центральная точка транспортира совмещается с вершиной угла
Прямая сторона выреза инструмента совмещается с одной из сторон угла
Число, на которое укажет вторая сторона угла, и есть градусная мера этого угла

Есть несколько единиц измерения углов – по аналогии с единицами измерения времени. 1 градус состоит из 60 минут, 1 минута – из 60 секунд.

Градусная мера угла записывается так: $\angle AOB = 60 \degree 20^ <\prime>\space 45^<\prime\prime>$

Есть особые названия для углов, зависящие от их градусной меры:

Построение углов

В задачах бывает нужно построить угол с определенной градусной мерой. Делается это при помощи транспортира. Порядок построения такой:

Отметьте точку – вершину угла;
Проведите из точки луч произвольно, если иного не сказано в условии задачи;
Наложите транспортир на луч, так, как если бы вы измеряли уже готовый угол;
Отметьте точку возле метки нужного размера угла;
Соедините эту точку с вершиной будущего угла.

Задачи

Задача 1

Условие: Есть угол $AOB$. Из точки $O$ проведен луч $OC$. Проходит ли луч $OC$ между сторонами угла $AOB$, если $\angle AOC = 30 \degree, \angle COB = 80 \degree \angle AOB = 50 \degree$;

Короткая запись условия:

$\angle AOB = 50 \degree$;
$\angle AOC = 30 \degree$;
$\angle COB = 80 \degree$.

Вопрос: Проходит ли луч ОС между сторонами угла АОВ?

Решение и чертеж

Известно, что луч, исходящий из вершины угла и проходящий между его сторонами, делит угол на два угла, сумма которых равна градусной мере исходного угла. То есть, если луч $OC$ проходит между лучами $OA$ и $OB$, то $\angle AOC+ angle BOC= angle AOB$;
$\angle AOC+ angle BOC= 30 \degree+80 \degree=120 \degree. \angle AOB = 50 \degree$ Значит, луч $OC$ не проходит между сторонами угла $AOB$.

Ответ: луч $OC$ не проходит между сторонами угла $AOB$.

Задача 2

Условие: даны четыре точки: $A, B, C, D$. Известно, что точки $A, B, C$ лежат на одной прямой. Также известно, что точки $B, C, D$ лежат на одной прямой.

Вопрос: докажите, что все точки лежат на одной прямой.

Короткая запись условия:

$A, B, C \in a$;
$B, C, D \in b$. (Изначально мы предполагаем, что прямые $a$ и $b$ не совпадают)

Доказать, что: $a=b$.

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну – аксиома $A \in BC; D \in BC$. Значит, все четыре точки лежат на одной прямой.

Задача 3

Условие: Даны четыре прямые: $a, b, c, d$. Известно, что $a, b, c$ пересекаются в одной точке. Также известно, что $b, c, d$ пересекаются в одной точке.

Вопрос: Докажите, что все четыре прямые пересекаются в одной точке.

Короткая запись условия:

Доказать, что $A=B$

Доказательство

Любые две прямые имеют только одну точку пересечения. Следовательно, прямые $b$ и $c$ пересекаются в некоторой точке, через которую проходят также прямые $a$ и $d$. Следовательно, все четыре прямые пересекаются в одной точке.

Задача 4

Условие: отрезки $AB$ и $CD$, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке $E$.

Вопрос: докажите, что отрезок $AC$ не пересекает прямую $BD$.

Короткая запись условия:

Доказать, что: $AC \bcancel BD$

Доказательство и чертёж

Пусть $ AB \cap CD=E$
Проведем через точки $B$ и $D$ прямую $BD$.
$ AB \cap BD = B$;
$ CD \cap BD = D$;
Пусть прямая $BD$ делит плоскость $α$ на полуплоскости $α1$ и $α2$. Каждый отрезок может иметь с прямой только одну точку пересечения. Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ имеют с прямой точку пересечения, являющуюся одновременно их конечной точкой, следовательно, все точки отрезка $AB$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BD$, и все точки отрезка $CD$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BD$.
$ AB \cap CD=E$ Tочка $E \in AB, CD$ Поскольку мы знаем, что все точки каждого отрезка лежат в одной полуплоскости, значит, все точки обоих отрезков лежат в полуплоскости, где находится точка $E$. Tо есть, оба отрезка лежат в одной полуплоскости.
Если отрезки $AB$ и $CD$ лежат в одной полуплоскости, то точки $A$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BD$. Значит, $ AC \bcancel BD$.

Как производится измерение транспортиром

Транспортир накладывается на угол

Центральная точка транспортира совмещается с вершиной угла

Прямая сторона выреза инструмента совмещается с одной из сторон угла

Число, на которое укажет вторая сторона угла, и есть градусная мера этого угла

Точка, которая лежит на прямой, разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом , исходящим из этой точки, а саму точку называют началом каждого из лучей.

Точка $A$ разделяет прямую $a$ на два луча. Так как в задании важно понять, который из лучей рассматривать,

На этом рисунке любая из точек может быть начальной точкой некоторого луча, который нарисован. Из каждой точки исходят два луча в противоположных направлениях и так же, как прямая, продолжаются бесконечно.

Луч $BC$ — тот же луч $BA$, но луч $BC$ oтличается от луча $AC$. Эти лучи имеют некоторую общую часть.

Угол — геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Эти лучи называют сторонами угла , а их общее начало — вершиной угла .

Угол обозначают большими латинскими буквами ∡ KMN или малыми греческими буквами, например, α .

цифрой или названиями лучей — малыми латинскими буквами, например, ∡ M , ∡ 1 или ∡ mn .

Лучи $n$ и $m$ с общим началом в точке $M$ делят плоскость на две части — внутреннюю область угла и внешнюю область угла.

Углом можно называть также лучи с общим началом вместе с внутренней областью. Тогда точки $A$ и $B$ не принадлежат углу ∡ M , а точки $C$, $D$ и $E$ принадлежат углу ∡ M .

Если во внутренней области угла провести луч с началом в вершине данного угла, то этот луч делит данный угол на два угла.

В таком случае очень важно следить за названиями углов, так как мы имеем данный угол и две его части. Например, не совсем понятно, какой угол мы подразумеваем, если пишем ∡ A . Лучше использовать три большие буквы, тогда названия углов будут понятны: ∡ CAB , ∡ CAD , ∡ DAB .

Луч — это часть прямой, ограниченная одной точкой. Луч имеет начало, но не имеет конца. Его можно продолжить только в одну сторону.

Прямая не имеет ни начала, ни конца, мы можем начертить только часть прямой, так как её можно продолжить в обе стороны; прямую принято обозначать одной или двумя буквами.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Отрезок имеет начало и конец, его нельзя продолжить. Отрезок обозначают двумя латинскими буквами.

либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых обозначает начало луча, а вторая — какую-нибудь точку на луче.

Точка, которая лежит на прямой, разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом , исходящим из этой точки.

На этом рисунке любая из точек, которые отмечены, может быть начальной точкой некоего луча. Из каждой точки исходят два луча в противоположных направлениях и так же, как прямая, продолжаются бесконечно.

Первой точкой всегда называют начальную точку луча. Из начальной точки луч можно продолжать бесконечно. Поэтому точки, которые расположены на пути луча, тоже являются точками этого луча.

В предыдущих уроках мы познакомились с базовыми геометрическими фигурами: точкой, прямой, отрезком, плоскостью. Настало время идти дальше и узнать, что такое «луч» и «угол», какие характеристики они имеют, как их чертить и измерять.

Пусть $a$ – некоторая прямая. Начертите её произвольно.

Пусть $A$ – некоторая точка, принадлежащая прямой $a$.

Мы видим, что точка разделила прямую на две части – две полупрямые. Мы ничего не можем о них сказать, кроме того, что их две. Мы не можем их сравнить, поскольку не знаем ничего о длине прямой, кроме того, что она бесконечна. Мы знаем только, что обе полупрямые начинаются в точке $A$.

Сотрите участок прямой с одной стороны от точки $A$, а с другой – оставьте. Получится луч.

Луч – это полупрямая, которая начинается в известной точке и продолжается бесконечно в некотором направлении

В геометрии луч может обозначаться одной маленькой латинской буквой, чем намеренно подчёркивается его сходство с прямой. Но гораздо более информативно называть луч именем отрезка, через который этот луч проходит, при том, что и отрезок и луч имеют общую начальную точку. Имя этой точки всегда должно быть первым в имени луча.

Верните на место ту полупрямую, которую вы стерли. Этот луч называется «дополнительный» к лучу $AB$.

Дополнительный луч (полупрямая) – это луч (полупрямая) которая лежит на одной прямой с лучом, который она дополняет, и исходит с ним из одной точки

Из одной точки можно провести бесконечно большое количество лучей, если это нужно. Каждый из лучей, исходящих из точки, может иметь дополнительный луч.

Лучи $AD, AC, AB, AE, e, h$ исходят из точки $A$;
Луч $h$ является дополнительным к лучу $AB$;
Луч $AE$ является дополнительным к лучу $e$.)

Задача 1

Условие: даны прямая $a$ и четыре точки: $A, B, C, E$. Все четыре данные точки принадлежат прямой $a$. Tочка $A$ делит прямую $a$ на два луча. Известно, что точки $B, C$ принадлежат одному лучу. Известно также, что точки $B, E$ тоже принадлежат одному лучу.

Вопрос: принадлежат ли одному лучу точки $C, E$?

Краткая запись условия:

$A, B, C, E \in a$;
$A \in а= а_1+а_2$;
$В, С \in а_1$;
$В, Е \in а_1$.

Решение и чертеж

Начертим прямую $a$. В этот раз её имя указано в условии, и мы не будем его менять;
Известно, что точка $A$ принадлежит прямой $a$ и делит её на два луча: $a_1$ и $a_2$. Отметим точку $A$ на прямой и присвоим лучам имена в произвольном порядке.
Известно, что точки $B$ и $C$ принадлежат одному лучу. Но не сказано, какому. Отметим эти точки на одном из лучей, исходящих из точки $A$. Пусть это будет луч $a_1$.
Известно, что точки $B$ и $E$ также принадлежат одному лучу. Точка $B$ у нас уже есть, отметим точку $E$ так, чтобы она принадлежала тому же лучу, что и $B$. То есть, $E \in a_1$.
Мы видим, что все три точки оказались на одном луче.

Ответ: точки $C$ и $E$ принадлежат одному и тому же лучу.

Задача 2

Условие: Точки $A, B, C$ лежат на одной прямой. Известно, что $AC$ = 5 см, $BC$=7 см.

Вопрос: принадлежит ли точка $B$ отрезку $AC$?

Решение и чертеж

Если $B \in AC$, то $BC+AB=AC$ (аксиома 3).

$AC = 5 см$, $BC = 7 см$.

Oтрезок не может иметь длину, выраженную отрицательным числом. Потому $B \notin AC$.

Луч — это часть прямой, у которой есть
начало, но нет конца.

Проведём прямую с и отметим на ней точку F. Точка F разделяет прямую c на две части.
Каждая из этих частей называется лучом, исходящим из точки F. Пример двух лучей,
исходящих из точки F на рисунке 1.

Точка F — начало каждого из лучей. Луч обычно обозначают малой латинской буквой,
либо двумя большими латинскими буквами (первая буква обозначает начало луча,
а вторая буква обозначает какую-нибудь точку на луче). Примеры лучей на рисунке 2.

Угол — геометрическая фигура, состоящая из точки и
двух лучей, исходящих из этой точки.

Лучами называются стороны угла, а точка называется вершиной угла.
Угол обозначают математическим символом ∠.

На рисунке 1 изображен угол с вершиной С и сторонами a и b. На сторонах отмечены
точки E и F. Угол в данном случае обозначают вот так: ∠ab, или ∠ECF, или еще проще ∠О.
Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то угол развернутый, иначе угол неразвернутый.
На рисунке 2 изображен развернутый угол с вершиной С и сторонами a и b.

Любой угол разделяет плоскость на две части. Существует внешняя
и внутренняя область угла рисунок 3.

Если плоскость разделяет развернутый угол, то каждую из двух частей
можно считать внутренней областью угла. Фигуру также называют углом,
если она состоит из угла и его внутренней области. Если луч исходящий из
вершины неразвернутого угла и проходящий внутри угла, делит угол на два угла.

Читайте также: