Лестница длиной 3 м приставлена к гладкой стене под углом 60 к горизонту

Обновлено: 28.03.2024

Однородная балка массой m жёстко заделана в вертикальную стену. Длина балки L. Вес балки P. К концу балки закреплена нить, переброшенная через неподвижный блок. На нити закреплён груз весом P. Угол наклона нити к горизонту α. Определить реакции, возникающие в жёсткой заделке.

Будем решать это простейшую задачу строго следуя выше изложенной методике.

Поскольку условие нам понятно а эскиз уже готов, начнём с пункта 3 и приложим активные нагрузки. Они представлены двумя силами - сила тяжести балкиG и весом груза P. Ясно что вес груза натягивает нить, которая в свою очередь воздействует на балку силой T=P. Обозначим на рисунке активные силы зелёным цветом.

Поскольку в задаче требуется найти реакции в жёсткой заделке (точка А) будем рассматривать равновесие балки. В ведём систему координат XY.

Заменим действие жёсткой заделки на балку реакциями Rx, Ry и реактивный момент М.

Таким образом мы получаем плоскую произвольную систему сил, приложенных к выбранному нами объекту равновесия - балке.

Для такой системы сил можно составить три уравнения равновесия.

Сумма проекций всех сил на координатную ось Х:

Сумма проекций всех сил на координатную ось Y:

Сумма моментов относительно точки А. Эту точку выбираем для составления суммы моментов потому, что в ней пересекаются две неизвестные силы Rx и Ry:

Поскольку в полученной системе из трёх уравнений содержится четыре неизвестных записываем четвёртое уравнение, известное нам из курса физики (g - ускорение свободного падения):

Для нахождения неизвестных достаточно решить полученную систему уравнений, что с точки зрения алгебры не представляет никакой сложности.

21. Однородный стержень ОА упирается одним концом в угол и удерживается за другой конец нитью (рис.). Масса стержня m, а угол его наклона к горизонту равен α. Найти силу натяжения нити, а также силы, с которыми стержень давит на пол и на стену.



Решение.
На стержень действуют четыре силы: сила тяжести mg, сила натяжения нити Т, силы нормальных реакций пола N1 и стены N2.
Так как стержень находится в равновесии, то

mg + T + N1 + N2 = 0. (векторно)


Суммы проекций этих сил на оси ОХ и OY равны нулю:

N1 − mg + Tcosα = 0. (2)


Составим уравнение для моментов сил относительно оси, проходящей через точку А:

(1/2)mglcosα − Tl = 0,


где l − длина стержня.
Из этого уравнения найдем

T = (1/2)mgcosα.


Подставим это значение в уравнения (1) и (2):

N2 = mgsin2α, N1 = mg(1 + sin 2 α)/2.


Согласно третьему закону Ньютона, с такими по модулю силами давит стержень на стену и пол.

22. Однородный стержень АВ прикреплен к вертикальной стене посредством шарнира А и удерживается под углом α = 60° к вертикали с помощью невесомой веревки ВС, образующей с ним угол β = 30° (рис.). Определить силу натяжения веревки, а также модуль и направление силы реакции шарнира, если известно, что масса стержня m = 2,0 кг.


Решение.
На стержень действуют следующие силы: сила тяжести mg, приложенная к середине стержня и направленная вертикально вниз; сила натяжения веревки Т, приложенная в точке В и направленная вдоль веревки; сила реакции шарнира N. Модуль и направление силы N неизвестны, поэтому на рисунке она не показана.
Запишем условие равновесия в векторной форме:

mg + T + N = 0,


а затем в проекциях на оси ОХ и OY:

Nx − Tsin(α − β) = 0, (1)

Ny − mg + Tcos(α + β) = 0. (2)


Составим уравнение для моментов сил относительно оси, проходящей через точку А:

(l/2)mgsinα − Tlsinβ = 0, (3)


где l − длина стержня.
Из уравнений (1) и (2) найдем:

Nx = Tsin(α − β), Ny = mg − Tcos(α − β).


Модуль силы N


Из уравнения (3) следует:

T = mgsinα/(2sinβ), T = 17 H.


Подставив полученное выражение Т в формулу (4), после преобразований и вычислений получим:


Направление вектора N определяется углом γ, который этот вектор составляет с осью ОХ. По значениям проекций Nx и Ny найдем

Т = mgsinα/(2sinβ),


получим после преобразований:

tgγ = (2sinβ − sinαcos(α − β))/(sinαsin(α − β)), tgγ = √3/3, γ = 30°.




23. Лестница опирается одним концом о вертикальную гладкую стену, а другим − о землю. Коэффициент трения лестницы о землю μ = 0,4. Центр тяжести лестницы находится на ее середине. Определить наименьший угол α, который лестница может образовать с горизонтом, не соскальзывая.

Решение.
На лестницу действуют сила тяжести mg, силы нормальных реакций N1 и N2 стены и земли, сила трения Fmp (рис.).



Лестница находится в равновесии, следовательно,


поэтому суммы проекций всех сил на оси ОХ и OY равны нулю:


Пусть l − длина лестницы. На основании равенства нулю суммы моментов всех сил относительно оси, проходящей через точку В, составим уравнение:

N1lsinα − mg(cosα)l/2 = 0.


Выразив из уравнения (2)


и подставив это значение в уравнение (1), найдем


Подставив это выражение в формулу (3), получим:

a = arctg(1/(2μ), α = 51°.

24. Четыре шара массами m1, m2, m3 и m4 надеты на стержень так, что их центры находятся на одинаковых расстояниях l друг от друга. Масса стержня m. Определить положение центра тяжести системы.

Решение.
Предположим, что центр тяжести находится на расстоянии х от центра левого шара (рис.).



Если поставим в этом месте опору, то система будет находиться в равновесии. Следовательно, сумма моментов всех сил относительно оси, проходящей через любую точку, будет равна нулю. На систему действуют силы тяжести шаров m1g, m2g, m3g, m4g, стержня mg и сила нормальной реакции опоры N. Сумма моментов этих сил относительно оси, проходящей через точку О, равна нулю:


Сумма проекций всех сил на вертикальное направление также равна нулю:


Решив систему двух уравнений, найдем

25. Определить положение центра тяжести однородной круглой пластины радиуса R, в которой вырезано квадратное отверстие со стороной а = R/2 так, как показано на рисунке.

Решение.
Расположим пластину с отверстием так, чтобы ось симметрии была горизонтальна, и предположим, что вырезанный квадрат помещен на прежнее место.



Тогда сила тяжести всего тела


где m1g − сила тяжести квадрата, приложенная в центре квадрата; m2g − сила тяжести пластинки с отверстием, приложенная в искомом центре тяжести С.
Относительно оси, проходящей через общий центр тяжести О, сумма моментов всех сил тяжести равна нулю:


где х − расстояние от точки О до точки С (центра тяжести пластинки с отверстием). Отсюда


Пусть h − толщина пластинки, ρ − плотность материала, из которого она изготовлена. Тогда:

m1 = ρ(R/2) 2 h = ρR 2 h/4,

m2 = m − m1 = ρπR 2 h − ρR 2 h/4 = (1/4)ρR 2 h(4π − 1).

26. Система, состоящая из неподвижного и подвижного блоков, находится в равновесии. К неподвижному блоку подвешен груз массой m1 = 20 кг. Найти
массу груза m2, силу натяжения нити и силу, действующую на ось неподвижного блока.


Решение.
При равновесии системы сумма проекций на ось OY сил, действующих на блоки и тела, равна нулю:


где T = Т1 − модуль силы натяжения нити; N − сила реакции оси неподвижного блока.
Согласно третьему закону Ньютона, на ось этого блока действует сила F = N. Тогда из уравнений (1) найдем:

T = 2•10 2 H, m2 = 40 кг, F = 4•10 2 H.

27. Две пружины, жесткости которых k1 = 400 Н/м и k2 = 600 Н/м, соединены последовательно (рис.). Какой должна быть жесткость пружины, которой можно было бы заменить эту систему из двух пружин?


Решение.
При последовательном соединении пружин силы натяжения их одинаковы и равны по модулю приложенной силе F. По закону Гука


где k − жесткость системы (а значит, и жесткость пружины, которой можно было бы заменить эту систему); Δl − абсолютная деформация системы:


Δl1, Δl2 − деформация каждой пружины.
По закону Гука


Из выражений (1) − (3) находим:


Подставив эти значения в равенство (2), получим

31. Лестница длиной 4 м приставлена к идеально гладкой стене под углом 60° к горизонту. Коэффициент трения между лестницей и полом равен 0,4. На какую максимальную высоту над полом может подняться по лестнице человек, прежде чем она начнет скользить? Масса лестницы 5 кг, человека 60 кг.

Решение.
Когда человек поднимется на максимальную высоту, то должно выполняться равенство моментов сил тяжести человека, лестницы и реакции гладкой стенки относительно точки вращения B.


mgh/tgα + Mg(L/2)cosα = NALsinα, (1)


Так как лестница неподвижна, то выполняется равенство сил

NA = μ(mg + Mg). (2)


Подставим (2) в (1)

mgh/tgα + Mg(L/2)cosα = μ(mg + Mg)Lsinα.

h = μ(m + M)Lsinαtgα/m − MLsinα/(2m).


Подставим численные значения

h = (0,4•(60 + 5)•4•sin60•tg60)/60 − 5•4•sin60°/(2•60) = 2,5 (м)

1(Ш). На стержень действуют две параллельные силы, равные F1 = 10 H и F2 = 25 Н и направленные в противоположные стороны. Определите точку приложения и величину силы, уравновешивающей силы F1 и F2, если их точки приложения находятся на расстоянии l = 1,5 м друг от друга.

Решение:
Очевидно, что модуль уравновешивающей силы F равен разности модулей действующих на стержень сил:


Ясно также, что точка приложения уравновешивающей силы лежит на прямой, соединяющей точки приложения сил F1 и F, справа от большей силы. Обозначим искомое расстояние через x. Тогда по правилу моментов имеем:


Заметим, что в случае F1 = F2, т. е. когда на тело действует так называемая пара сил, уравновешивающей силы, в обычном смысле этого слава, нет. Под действием пары сил тело приходит во вращательное движение вокруг его центра тяжести.

Ответ: F = 15 H, x = 1 м.

2(Ш). К гвоздю, вбитому в стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стенки, как показано на рисунке. Радиус оси катушки r = 0,5 см, радиус ее щечек R = 10 см. Коэффициент трения между стенкой и катушкой μ = 0,1. При каком угле α между нитью и стенкой катушка висит неподвижно?

Решение:
Силы, действующие на катушку, изображены на рисунке.



Запишем условия равновесия катушки в виде:

N – Tsinα = 0


Учитывая, что Fmp = μN, получаем

sinα = r/(μR) = 1/2, и α = 30°.

Ответ: α = 30°.

4(Ш). Однородная тонкая пластинка имеет форму круга радиусом R, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающегося края пластинки. Где находится ее центр тяжести?

Решение:
Из соображения симметрии ясно, что центр тяжести пластинки лежит на ее оси на некотором расстоянии x от центра круга. Если вложить обратно вырезанную часть пластинки, то центр тяжести пластинки сместится в ее центр. Запишем соответствующее правило моментов:


3x = R/2, и x = R/6.

Ответ: x = R/6.

5(Ш). На столе лежит однородный стержень массой 6 кг так, что две трети его длины находятся за краем стола. Какую силу необходимо приложить к концу стержня для удержания его в горизонтальном положении?

Решение:
На стержень действуют три силы: сила тяжести mg, удерживающая сила F и сила реакции опоры N, которая приложена в точке O, так как вначале вращения эта точка является опорой стержня.



Применим правило моментов относительно оси вращения в точке O:


где Mmg и MF – момент силы тяжести и приложенной силы F, а l3 и l1 – соответствующие плечи сил.
Момент силы N равен нулю, так как эта сила проходит через точку O, относительно которой рассматривается вращение, следовательно, плечо силы N равно нулю.
Из (1) находим, что


где l4 = l/2, получаем

l3 = 2l/3 – l/2 = l/6, F = mg/2.


Проводим расчет F = 6•10/2 = 30 H.

Ответ: F = 6•10/2 = 30 H.

(Ш). Куб опирается одним ребром на пол, другим – на гладкую вертикальную стенку. Определить, при каких значениях угла α возможно равновесие куба. Коэффициент трения куба о пол равен μ, ребро куба равно a.

Решение:
Уравнение проекций на вертикаль



Уравнение проекций на горизонталь


F1 – реакция стенки.
Уравнение моментов относительно точки O

1 > tgα ≥ 1/(2μ + 1).


Если μ > 0, то α всегда меньше π/4, так как при α > π/4 куб опрокинется.

Ответ: 1 > tgα ≥ 1/(2μ + 1); если μ > 0, то α всегда меньше π/4, так как при α > π/4 куб опрокинется.

1) Пусть точка встречи стены с полом K - пусть лежит справа. Нижний конец лестницы-V , верхний - A. Длина лестницы - S. Наивысшая точка, на которую может подняться человек, - М. Высота этой точки от пола - Н. Проекция точки М на полу - С. Реакции Ра - наверх, Рв - влево. Сила трения Та - вправо. Угол наклона лестницы ф. Вес человека Р. Ясно, что Ра= Р (1), Рв= Та (2) Уравнение моментов относительно точки V: Р*VС- Рв*KS= 0.(3). Имеем: VС= Н/тангф (4), KS= Sсинф (5). Учитывая (2), (4) и (5) в (3), получим: РН/тангф= ТаЛсинф. Отсюда Н= ТаЛсинфтангф/Р. Ответ: Н= 2м.

Новые вопросы в Физика

Отражение света, законы отражения, плоские зеркала. Урок 1 На плоское зеркало AB под углом α = 45° падает световой луч. Зеркало поворачивают на угол γ … = 15°. Определи угол между первоначально падающим и отраженным лучами.

ОООЧЕНЬ СРОЧНОООО Помогите пожалуйста1)Давление измеряется в: а)Н б)--- в)---- г)--- 2)Почему железный шар тонет в воде, и не тонет в ртути? 3) В стак … ан налили ртуть, керосин и воду. Как эти жидкости расположатся Начиная от дна? 4) Рассчитайте высоту столба ртути если она создала давление 272кПа. 5) Какое давление асфальт оказывает автомобиль "Жигули" массой 1т, если площадь соприкосновения колеса с дорогой 80см. 6)Чему равна архимедова сила действующая на алюминиевый шар объемом 100см? 7)Какой подъемной силой обладает плот из 12 сосновых бревен объемом 0,5м.(плотность сосны 400---) _________ Пожалуйста, очень срочно:)!

Помогите пожалуйста 1)Давление измеряется в: а)Н б)--- в)---- г)--- 2)Почему железный шар тонет в воде, и не тонет в ртути? 3) В стакан налили ртуть, … керосин и воду. Как эти жидкости расположатся Начиная от дна? 4) Рассчитайте высоту столба ртути если она создала давление 272кПа. 5) Какое давление асфальт оказывает автомобиль "Жигули" массой 1т, если площадь соприкосновения колеса с дорогой 80см. 6)Чему равна архимедова сила действующая на алюминиевый шар объемом 100см? 7)Какой подъемной силой обладает плот из 12 сосновых бревен объемом 0,5м.(плотность сосны 400---) _________ Пожалуйста, очень срочно:)!

У скільки разів опір алюмінієвого провідника більший від опору мідного провідника який має таку саму довжину й переріз

Определите глубину погружения батискафа, если на его иллюминатор площадью 0,02м² давит вода с силой 2,3MH. Найти глубину погружения h

Груз можно поднимать на определённую высоту двумя способами: вертикально вверх и вдоль наклонной плоскости. Каков выигрыш в силе при поднятии груза по … гладкой наклонной плоскости, если длина наклонной плоскости в 2 раза больше её высоты?

к длинному плечу рычага, равному 20 см, приложена сила 6 Н. Где на рычаге необходимо разместить груз массой 800 г, чтобы рычаг находился в равновесии? … Рассмотрите случаи приложения сил: с одной стороны или разных сторон от оси вращения рычага.


2019-06-22
Лестница длиной 3 м приставлена под углом к гладкой вертикальной стене. В верхнем ее конце имеются ролики (см. рисунок). Лестница весит 12 кг. На расстоянии 0,75 м от ее верхнего конца подвешен груз 24 кг. Найдите:
а) силу, с которой ролики давят на стену;
б) горизонтальную и вертикальную составляющие силы, с которой лестница давит на землю.

Рассмотрим следующие виртуальные перемещения лестницы. Пусть она сместится вниз параллельно себе самой на расстояние $y$. Неважно, что в действительности лестница так двигаться не может, ведь это перемещение воображаемое. В результате указанного перемещения потенциальная энергия лестницы и груза уменьшится на $(W + P)y$, а сила $F_$ совершит работу $F_ y$. Из закона сохранения энергии следует равенство этих двух величин, так что $(W + P)u = F_y$ и, следовательно, $F_ = W + P = 36 кГ$ ($P$ -вес лестницы).

Выберем теперь другое виртуальное перемещение, состоящее в переносе лестницы параллельно себе в горизонтальном направлении, скажем вправо, на расстояние $x$. Аналогично предыдущему случаю можно написать $F_x = F_x$, откуда $F_ = F_$. Чтобы найти численные величины этих сил, необходимо иметь еще одно уравнение. Его можно получить, записав закон сохранения энергии при виртуальном повороте лестницы на небольшой угол вокруг оси, проходящей через нижний конец лестницы. Пусть $\alpha$ - угол, который образует лестница с Землей, а $\phi$ - тот малый угол, на который повернута лестница (по часовой стрелке). Точка, находящаяся на расстоянии $l$ от оси вращения, опишет дугу длиной $l \phi$. Так как угол $\phi$ мал, можно считать, что стягивающая дугу хорда имеет ту же длину и образует угол $\alpha$, но с вертикальной стенкой (т. е. хорда перпендикулярна лестнице). Поэтому рассматриваемая точка при виртуальном повороте сместится вверх на величину $l \phi \cos \alpha$ и вправо - на $l \phi \sin \alpha$.

Используя только что полученный результат, убеждаемся в том, что при повороте на малый угол $\phi$ потенциальная энергия лестницы с грузом увеличится на $\frac PL \cos \alpha + \frac WL \phi \cos \alpha$, а сила $F_$ совершит работу $F_L \phi \sin \alpha$ ($L$ - длина лестницы). Из закона сохранения энергии

$F_L \phi \sin \phi = \frac PL \phi \cos \alpha + \frac WL \phi \cos \alpha$,

По условию задачи $L \cos \alpha = 1,8 м, L \sin \alpha = 2,4 м$, так что $F_ = 18 кГ$.

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА КТО ЧЕМ МОЖЕТ.
1)Лестница длиной 3 метра приставлена к гладкой стене под углом 60° к полу. Максимальная сила трения между лестницей и полом 200 Н. На какую высоту может подняться человек, масса которого 60 кг, прежде чем лестница начнет скользить? Массой лестницы пренебречь.
2) Зная постоянную Авогадро Nа, плотность р данного вещества и его молярную массу М, вывести формулы для расчета числа молекул в единице массы данного вещества; в единице объема; в теле массой m; в теле объёмом v.

1) Пусть точка встречи стены с полом K - пусть лежит справа. Нижний конец лестницы-V , верхний - A. Длина лестницы - S. Наивысшая точка, на которую может подняться человек, - М. Высота этой точки от пола - Н. Проекция точки М на полу - С. Реакции Ра - наверх, Рв - влево. Сила трения Та - вправо. Угол наклона лестницы ф. Вес человека Р. Ясно, что Ра= Р (1), Рв= Та (2) Уравнение моментов относительно точки V: Р*VС- Рв*KS= 0.(3). Имеем: VС= Н/тангф (4), KS= Sсинф (5). Учитывая (2), (4) и (5) в (3), получим: РН/тангф= ТаЛсинф. Отсюда Н= ТаЛсинфтангф/Р. Ответ: Н= 2м.

При сгорании угля получим km дж и учтем 30% кпд получаем 0,7 km =
= 0.3*29*10⁶*2*10³ дж=17,4*10⁹ дж
это тепло идет на доведение температуры до 1400° от 20° то есть Δt=1380° и на плавление стали.
Q=Q1+Q2=cmΔt+k1*m=m(cΔt+k1)=m*(460*1380+82000) =m(113 160 000)
≈0.11*10⁹m
0.11*10⁹m=17.4*10⁹ m =158 кг

Раздел физики, изучающий электромагнитное поле в наиболее общем случае (то есть, рассматриваются переменные поля, зависящие от времени) и его взаимодействие с телами, имеющими электрический заряд (электромагнитное взаимодействие). Предмет электродинамики включает связь электрических и магнитных явлений, электромагнитное излучение (в разных условиях, как свободное, так и в разнообразных случаях взаимодействии с веществом), электрический ток (вообще говоря, переменный) и его взаимодействие с электромагнитным полем (электрический ток может быть рассмотрен при этом как совокупность движущихся заряженных частиц). Любое электрическое и магнитное взаимодействие между заряженными телами рассматривается в современной физике как осуществляющееся через посредство электромагнитного поля, и, следовательно, также является предметом электродинамики.

Чаще всего под термином электродинамика по умолчанию понимается классическая электродинамика, описывающая только непрерывные свойства электромагнитного поля посредством системы уравнений Максвелла; для обозначения современной квантовой теории электромагнитного поля и его взаимодействия с заряженными частицами обычно используется устойчивый термин квантовая электродинамика.

Основные понятия, которыми оперирует электродинамика, включают в себя:
Электромагнитное поле — это основной предмет изучения электродинамики, вид материи, проявляющийся при взаимодействии с заряженными телами. Исторически разделяется на два поля:
Электрическое поле — создаётся любым заряженным телом или переменным магнитным полем, оказывает воздействие на любое заряженное тело.
Магнитное поле — создаётся движущимися заряженными телами, заряженными телами, имеющими спин, и переменными электрическими полями, оказывает воздействие на движущиеся заряды и заряженные тела, имеющие спин.
Электрический заряд — это свойство тел, позволяющее им взаимодействовать с электромагнитными полями: создавать эти поля, будучи их источниками, и подвергаться (силовому) действию этих полей.
Электромагнитный потенциал — 4-векторная физическая величина, полностью определяющая распределение электромагнитного поля в пространстве. В трехмерной формулировке электродинамики из него выделяют:
Скалярный потенциал — временна́я компонента 4-вектора
Векторный потенциал — трёхмерный вектор, образованный оставшимися компонентами 4-вектора.
Вектор Пойнтинга — векторная физическая величина, имеющая смысл плотности потока энергии электромагнитного поля.

Легче всего решать задачу, если все приложенные к телу силы параллельны – тогда можно получить ответ, используя лишь правило моментов. Если же силы непараллельные, то иногда для получения ответа требуется дополнительно применять второй закон Ньютона.

Параллельные силы

Типовы задачи на правило моментов при параллельных силах

Для решения задачи в качестве положения оси вращения удобно выбрать точку приложения силы натяжения первого троса (потому что ее искать не нужно). Тогда плечом силы тяжести будет расстояние a, а плечом силы натяжения второго троса — l. Поэтому правило моментов можно записать так:

В этой задаче положение оси вращения также удобно выбрать в точке О, соответствующей точке приложения силы натяжения нити первого троса (так как ее искать не нужно). Тогда плечом силы натяжения второго троса будет служить разность длины рельса и расстояния x, а плечом силы тяжести — половина длины рельса. Поэтому правило моментов примет вид :

T 2 = m g l 2 ( l − x ) . .

Пример №1. К левому концу невесомого стержня прикреплен груз массой 3 кг (см. рисунок). Стержень расположили на опоре, отстоящей от груза на 0,2 длины. Груз какой массы надо подвесить к правому концу, чтобы стержень находился в равновесии?


Условие равновесие будет выполняться, если произведение силы тяжести первого груза на ее плечо будет равно произведению силы тяжести второго груза на ее плечо:

Согласно рисунку, второй груз будет подвешен на расстоянии 0,8 от опоры. Следовательно:

F т я ж 2 = F т я ж 2 d 1 d 2 . . = m 1 g d 1 d 2 . .

m 2 g = m 1 g d 1 d 2 . .

m 2 = m 1 d 1 d 2 . . = 3 · 0 , 2 0 , 8 . . = 0 , 75 ( к г )

Непараллельные силы

Внимание! Иногда для решения задачи может потребоваться использование второго закона Ньютона в проекциях на оси Ox и Oy.

Типовы задачи на правило моментов при непараллельных силах

За точку равновесия примем точку касания доски с землей. Плечо силы тяжести будет равно нижнему катету треугольника, образованного при опускании перпендикуляра к земле из точки приложения этой силы:

Плечо силы, с которой рабочий поднимает доску, равно длине доски:

m g l cos . α 2 . . = F l

F = 2 l m g l cos . α . . = 2 m g cos . α . .

За точку равновесия примем нижнюю точку карандаша. Сила давления верхнего конца карандаша на стакан по модулю будет равна силе нормальной реакции опоры в этой точке. Поэтому плечо ее силы будет равно произведению длины карандаша на синус угла между ним и дном стакана:

Минимальным расстоянием между линией действия силы тяжести и точкой равновесия будет половина произведения длины карандаша на косинус угла между ним и дном стакана:

Nl sinα = mgl сosα/2

N = m g l cos . α 2 l sin . α . .

Плечо силы тяжести также равно радиусу стакана, а плечо силы реакции опоры можно найти из теоремы Пифагора. Отсюда:

N = m g R √ l 2 − 4 R 2 . .

За точку равновесия примем точку касания колеса со ступенькой. Плечо силы тяжести является катетом треугольника, образованного с радиусом колеса и плечом прикладываемой силы. Плечо этой силы равно разности радиуса и высоты ступеньки.

d 1 = √ R 2 − d 2 2

m g √ R 2 − d 2 2 = F ( R − h )

F = m g √ R 2 − d 2 2 R − h . . = m g √ h ( 2 R − h ) R − h . .

Плечо силы тяжести равно половине произведения длины лестницы на косинус угла α. Плечо силы реакции опоры равно произведению этой длины на синус α. Поэтому правило моментов записывается так:

N l sin . α = m g l cos . α 2 . .

N = m g l cos . α 2 l sin . α . . = m g 2 tan . α . .

m g x cos . α = N 2 l sin . α

Второй закон Ньютона в проекциях на оси Ox и Oy соответственно:

m g x cos . α = μ m g l sin . α

x = μ m g l sin . α m g x cos . α . . = μ l tan . α

m g l 2 . . cos . α = F т р 2 l cos . α + N 2 l sin . α

Второй закон Ньютона в проекциях на ось Ox:

μ 2 N 2 + N 2 μ 1 . . = m g

N 2 ( μ 2 + 1 μ 1 . . ) = m g

N 2 = m g μ 2 + 1 μ 1 . . . . = m g μ 1 μ 1 μ 2 + 1 . .

F т р 2 = m g − N 1 = m g − N 2 μ 1 . . = m g − m g μ 1 μ 2 + 1 . . = m g ( 1 − 1 μ 1 μ 2 + 1 . . )

m g l 2 . . cos . α = m g ( 1 − 1 μ 1 μ 2 + 1 . . ) l cos . α + m g μ 1 μ 1 μ 2 + 1 . . l cos . α

Преобразуем выражение и получим:

tan . α = 1 − μ 1 μ 2 1 μ 1 . .

m g l 2 . . cos . α = F l sin . α

У куба угол α равен 45 градусам, а синус и косинус этого угла равны. Длины диагонали взаимоуничтожаются. Остается:

Пример №2. Невесомый стержень длиной 1 м, находящийся в ящике с гладким дном и стенками, составляет угол α = 45 о с вертикалью (см. рисунок). К стержню на расстоянии 25 см от его левого конца подвешен на нити шар массой 2 кг. Каков модуль силы N, действующий на стержень со стороны левой стенки ящика?


Пусть точкой равновесия будет точка касания нижнего конца стержня с дном ящика. Тогда плечом силы тяжести будет:

Плечом силы реакции опоры будет:

Запишем правило моментов:

m g ( l − 0 , 25 ) sin . α = N l cos . α

N = m g ( l − 0 , 25 ) sin . α l cos . α . .

Так как косинус и синус угла 45 о равны, получим:

N = m g ( l − 0 , 25 ) l . . = 2 · 10 ( 1 − 0 , 25 ) 1 . . = 15 ( Н )


Однородный стержень АВ массой 100 г покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом В и опираясь на край банки в точке С (см. рисунок). Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С, равен 0,5 Н. Чему равен модуль горизонтальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуд в точке В, если модуль вертикальной составляющей этой силы равен 0,6 Н? Трением пренебречь.

Алгоритм решения

  1. Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
  2. Выполнить чертеж. Выбрать ось вращения. Указать силы и их плечи.
  3. Использовать второй и третий законы Ньютона, чтобы выполнить общее решение.
  4. Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

  • Масса стержня: m = 100 г.
  • Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С: FC = 0,5 Н.
  • Модуль вертикальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуду в точке В: FBy = 0,6 Н.

Переведем единицы измерения в СИ:


Поскольку стержень покоится, согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю. На стержень действует три силы:

  • сила тяжести (m g );
  • сила реакции опоры в точке С ( F C);
  • сила реакции опоры в точке В ( F В).

m → g + → F C + → F B = 0

Запишем проекции на оси Ox и Oy соответственно:

F C y + F B y = m g

Модуль горизонтальной составляющей силы в точке В можно выразить через теорему Пифагора:

F C x = √ F 2 C − F 2 C y

Но вертикальная составляющая силы в точке C равна разности силы тяжести и горизонтальной составляющей силы в точке В:

F C y = m g − F B y

F B x = F C x = √ F 2 C − F 2 C y = √ F 2 C − ( m g − F B y ) 2

Подставим известные данные и вычислим:

F B x = √ 0 , 5 2 − ( 0 , 1 · 10 − 0 , 6 ) 2 = √ 0 , 25 − 0 , 16 = 0 , 3 ( Н )

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить


Невесомый стержень, находящийся в ящике с гладкими дном и стенками, составляет угол 45° с вертикалью (см. рисунок). К середине стержня подвешен на нити шарик массой 1 кг. Каков модуль силы упругости N , действующей на стержень со стороны левой стенки ящика?

Читайте также: