Квадратные уравнения это фундамент на котором покоится величественное здание алгебры

Обновлено: 05.05.2024

2 Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

4 Основополагающий вопрос Почему нам нужны уравнения? Проблемные вопросы учебной темы Какие способы решения уравнений вы знаете? Учебные вопросы по содержанию Что такое квадратное уравнение? Как найти корни квадратного уравнения? Где применяют квадратные уравнения? Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете? Что такое теорема Виета? Как она применяется?

5 Когда научились решать квадратные уравнения? Виды и общие методы решения квадратных уравнений. Специальные методы решения квадратных уравнений. Всегда ли возможно решение квадратных уравнений? Теорема Виета и ее применение Вопросы для исследования

7 Защита полученных результатов и выводов. Решение заданий и выполнение тестов. Урок-игра.

8 Знаю-интересуюсь-учусь Что я знаю?Чем я интересуюсь? Что я узнал? Что такое уравнение. Что такое квадратное уравнение? Как его решать? Способы решения уравнений. Теорема Виета. Формула корней квадратного уравнения. Способы решения уравнений.

9 Формы представления результатов Презентация Буклет Публикация

10 Сроки реализации проекта 2 месяца

11 «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три- четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

12 Литература Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004 Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988 Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982 Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. М., просвещение, 1990 Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972 Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, 4/72. С.34. Дидактические материалы по алгебре. Математика (приложение к газете «Первое сентября»), 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000. М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра в древнем мире, издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы, Москва 1967 К.А. Рыбников, История математики, издательство московского университета, Мурадова Р., Зенин Н.М., Математика г Энциклопедический словарь юного математика/ сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика,1989 Алгебра: Учебник для 8 класса. Общеобразоват. Учреждений / А.Г.Мордкович, 2006 Садыхов С.Н., Попов В.В., Развитие творческой активности у учащихся в процессе решения заданий с использованием теоремы Виета. М.: НИИ школ, 1981 Бощенко О.В. «Математика» 5-9 классы

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике "Различные способы решения квадратных уравнений" учениками 9 класса школы была поставлена и реализована цель, изучить различные методы решения квадратных уравнений.

Подробнее о проекте:

В ученической исследовательской работе по математике "Различные способы решения квадратных уравнений" автор проводит анализ учебно-методической литературы по решению квадратных уравнений, анализирует различные способы решения квадратных уравнений, изучает возможные варианты решения квадратных уравнений и апробирует их на практике, собирает дидактический материл для дальнейшего его использования на уроках математики и во время самостоятельных занятий по предмету.

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике "Различные способы решения квадратных уравнений" автор выполняет практические задания по решению квадратных уравнений разными способами, подробно описывает их. Также в работе представлен интересный блок из истории развития квадратных уравнений в разных странах и в разные временные отрезки, объясняется теорема Виета. В практической части работы продемонстрированы способы решения квадратных уравнений, некоторые из которых в школе не изучаются.

Введение

Актуальность. Практически все, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой. А достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем решение многих практических задач сводится к решению квадратных уравнений.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они представляют собой большой и важный класс уравнений, которые решаются как с помощью формул, так и с помощью нестандартных способов. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики мы изучили квадратные уравнения, узнали различные способы решения уравнений второй степени. Этот материал нас заинтересовал, и мы решили узнать, существуют ли другие способы решения квадратных уравнений. Это определило тему нашего исследования: «Квадратные уравнения и методы их решения».

В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Нам пришла идея рассмотреть те способы решения квадратных уравнений, на которые недостаточно времени уделено на уроках или совсем не рассматриваются в школьном курсе.

Вместе с тем, современные научно-методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Цель исследования: изучение различных методов решения квадратных уравнений.

Произвести анализ учебно-методической литературы по решению квадратных уравнений.
Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений.
Изучить различные способы решения квадратных уравнений, апробировать их на практике, собрать дидактический материла.

Гипотеза: существуют методы решения квадратных уравнений не изучаемые в школе.

Новизна исследования состоит в комплексном рассмотрении способов решения уравнений второй степени.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: методы решения квадратных уравнений.

Практическая значимость работы состоит в приобретении навыка решения квадратных уравнений различными способами.

Применяемые методы исследования:

эмпирические: изучение литературы, обработка материалов.
теоретические: сравнение, классификация, анализ, обобщение.

Структура работы: работа состоит из введения, теоретической и практической частей, заключения, списка литературы и приложения.

История развития квадратных уравнений

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37.", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес.

В древних математических задачах Междуречья, Индии . [4, c.23], Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри", "Делай так", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения с помощью геометрических построений [4, c.21]; например, Евклид - при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: X2 + X = ѕ; X2 - X = 14,5.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение: (10 + х)(10 - х) = 96

или же: 100 - х2 = 96, х2 - 4 = 0 (1) Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения: у(20 - у) = 96,

у2 - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам» [4, c.23], составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах2 + bх = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэффиценты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…
Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее задаче 13 уравнение: (x/8)2 + 12 = x.
Бхаскара пишет под видом: х2 - 64х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:
х2 - 64х + 322 = -768 + 1024,
(х - 32)2 = 256, х - 32 = ± 16, х1 = 16, х2 = 48.

Квадратные уравнения у ал – Хорезми

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.
Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения.

Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на A - A2, равно BD, то A равно В и равноD».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В,D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b)х - х2 = ab, т.е. х2 - (а + b)х + аb = 0,то х1 = а, х2 = b.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. [4, c.25]

Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Подробнее о проекте:

Введение

Цель исследования: изучение различных методов решения квадратных уравнений.

Произвести анализ учебно-методической литературы по решению квадратных уравнений.
Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений.
Изучить различные способы решения квадратных уравнений, апробировать их на практике, собрать дидактический материла.

Гипотеза: существуют методы решения квадратных уравнений не изучаемые в школе.

Новизна исследования состоит в комплексном рассмотрении способов решения уравнений второй степени.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: методы решения квадратных уравнений.

Применяемые методы исследования:

эмпирические: изучение литературы, обработка материалов.
теоретические: сравнение, классификация, анализ, обобщение.

История развития квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

у2 - 20у + 96 = 0. (2)

Квадратные уравнения в Индии

Квадратные уравнения у ал – Хорезми

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

О теореме Виета

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратного уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать многие уравнения.

Просмотр содержимого документа
«Урок одной задачи (Автосохраненный)»

Урок одной задачи. Методы решения квадратного уравнения

Тема урока: Решение квадратного уравнения.

Цель урока: систематизировать знания учащихся по теме "Способы решения квадратного уравнения", формировать умения выбирать наиболее

рациональный способ решения квадратных уравнений.

Учебные задачи, направленные на достижение:

- продолжить развивать умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи,

- развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении математических задач,

- развивать математические способности и интерес к математическому творчеству.

- формировать общие способы интеллектуальной деятельности,

- продолжать развивать умение понимать и использовать математические

- формировать умения и навыки решения квадратных уравнений разными

Формы работы учащихся: индивидуальная, групповая.

Структура и ход урока:

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи.

Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

Сейчас я предлагаю вспомнить всю “азбуку” квадратного уравнения . Работа по слайдам.(4-5).

4. Основная часть урока

Итак, все необходимые, азбучные методы решения повторили, и я приглашаю вас на презентацию иных методов решения квадратных уравнений. . Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности. И оценим его “перспективы”.

Метод “переброски” старшего коэффициента
Суть метода состоит в то, что корни квадратных уравнений
ax 2 + bx + c = 0 и y 2 +by+ac=0
связаны соотношениями.
В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax 2 + bx + c = 0, а приведенное y 2 +by+ac=0, которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения.

Следующие два метода также применимы при определенных условиях и позволяют избежать громоздких вычислений.
Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен
Пример: решите уравнение
157х 2 +20х-177=0
a = 157, b = 20, c = -177
a + b+ c =157+20-177=0
x₁ = 1,
x₂ = =
Ответ: 1;
Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен
Пример: решите уравнение
203х 2 +220х+17=0
a = 203, b = 220, c = 17
a + c = 203 + 17 = 220 = b
х₁ = -1,

Мы убедились, что пути решения даже одной и той же задачи могут быть очень разнообразными.

5 Подведение итога урока

Я хочу закончить наш урок словами французского писателя Эмиля Золя «Весь смысл жизни заключается в бесконечном завоевании неизвестного, в вечном усилии познать больше».

6. Домашнее задание

Решить данное уравнение по формуле со вторым четным коэффициентом.

Просмотр содержимого презентации
«К уроку Квадратные уравнения»

Урок одной задачи.

решения квадратного

Обобщить и систематизировать изученный материал по теме: «Квадратные уравнения».

Рассмотреть несколько способов решения одной задачи и научиться выбирать из них наиболее оригинальный , оптимальный.

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax 2 + bx + c = 0, а ≠ 0

где х ─неизвестное, a,b,c ─заданные числа, а называют старшим коэффициентом, b─вторым коэффициентом, c ─ свободным членом.

Полные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения

(если хотя бы один из коэффициентов

b = 0 или c = 0)

ax 2 =0,a ≠0,

ax 2 + bx + c = 0

ax 2 +bx=0,

приведенные

a ≠0,c=0.

х 2 + px +q = 0

ax 2 + c = 0,

a ≠0, b=0.

1) 2х² – х + 3 = 0 2) х² - 9х = 0

3) 4х + х² - 1 = 0 4) 2х – 5 = 0

5) 0,3 - 0,2х - х² = 0 6) 5х² = 0

7) -7х + х - 0,5 = 0 8) 49х² = 0

Найдите в каждой группе уравнений «лишнее»:

А: 1. 3х 2 −х = 0, Б: 1. х 2 −7х +1=0,

2. х 2 −25 = 0, 2. 7х 2 − 4х +8 = 0,

3. 4х 2 + х −3 = 0, 3. х 2 + 4х −4 = 0,

4. 4х 2 = 0. 4. х 2 −5х −3 = 0.

Не решая уравнение

х 2 −8х + 7 = 0.

а) сумму корней:

б) произведение корней:

в) корни данного уравнения:

ах 2 +вх+с=0, а ≠0.

способ( по общей формуле):

то квадратное уравнение решений не имеет

С 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений

Задание 1: Решите квадратные уравнения :

х 1 = ½, х 2 =2.

решений нет.

х 1 =1,5, х 2 =1,5.

1. 2х 2 -5х+2=0,

3. 2х 2 -3х+2=0,

4. 4х 2 -12х+9=0 .

Второй способ( по т., обратной теореме Виета):

Уравнение, вида х 2 +pх+q=0 , называется приведённым. Его корни можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

х 1 +х 2 =-p,

х 1 ∙х 2 =q.

уравнение х 2 -3х+2=0

имеет корни х 1 =2, х 2 =1

так как х 1 +х 2 =3, х 1 ∙х 2 =2.

Задание 2. Решите приведённые квадратные уравнения по теореме, обратной теореме Виета.

х 1 =-9,х 2 =-1.

х 1 =-4,х 2 =-3.

х 1 =12,х 2 =-2.

Третий способ( формула корней приведенного квадратного уравнения):

Корни уравнения вида х 2 +pх+q=0 можно найти по формуле:

Задание 3: Решите квадратные уравнения по данной формуле:

Четвёртый способ( способ « переброски»):

Решить квадратное уравнение можно способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант - точный квадрат.

Например: Решим уравнение 2х 2 -11х+15=0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение: у 2 -11у+30=0.

По теореме, обратной теореме Виета у 1 = 5,у 2 = 6. тогда х 1 =у 1 /2, х 2 =у 2 /2; т.е. х 1 =2,5 , х 2 =3.

Решаем, используя метод «переброски»

Делим числа 9 и ( -2) на 6:

Задание 3: Решите уравнения, используя метод «переброски»:

1. 2х 2 -9х+9=0,

2. 10х 2 -11х+3=0,

3. 3х 2 +11х+6=0

х 1 =1,5 , х 2 =3.

х 1 =0,5 ,х 2 =0,6.

х 1 =-3,х 2 =- .

Пятый способ: « Способ коэффициентов»

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 +вх+с=0, где а≠0.

1.Если а+в+с=0(т.е.сумма коэффициентов

уравнения равна нулю), то х 1 =1,х 2 =с/а.

Например: 345х 2 -137х-208=0 (345-137-208=0), значит,

х 1 = 1,х 2 = - 208/345.

2.Если а-в+с=0 (или в=а+с), то х 1 =-1,х 2 = - с/а.

Например, 313х 2 +326х+13=0 (326=313+13), значит

х 1 =-1,х 2 =-13/313.

Задание 4: Решите квадратные уравнения методом «коэффициентов»:

Способы решения квадратных уравнений Выполнил : Белых А лександр Терехин К ирилл Руководитель : Романова Т.В .

Что есть квадратное уравнение Квадратные уравнения - это фундамент , на котором покоится величественное здание алгебры . Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических , показательных , логарифмических , иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств . Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи , до окончания вуза . В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений , с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения . Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений , которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения . Имеется десять способов решения квадратных уравнений .

Разложение левой части уравнения на множители Решим уравнение Х 2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители : Х 2 + 10х - 24 = Х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно , уравнение можно переписать так : (х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю , то , по крайней мере , один из его множителей равен нулю . Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает , что число 2 и - 12 являются корнями уравнения Х 2 + 10х - 24 = 0.

Метод выделения полного квадрата Решим уравнение Х 2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение Х 2 + 6х в следующем виде: Х 2 + 6х = х2 + 2• х • 3. В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как Х 2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2. Преобразуем теперь левую часть уравнения Х 2 + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем: Х 2 + 6х - 7 = Х 2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16. Следовательно, х + 3 - 4 = 0, X 1 = 1, или х + 3 = -4, X 2 = -7.

Решение квадратных уравнений по формуле Умножим обе части уравнения а Х 2 + bх + с = 0, а ≠ 0 на 4а и последовательно имеем : 4а2 Х 2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0, (2ax + b)2 = b2 - 4ac, 2ax + b = ± √ b2 - 4ac, 2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Франсуа Виет Франсуа Виет (1540-1603) — французский математик. Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения (Виета теорема — установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену). Виет ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях. Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления. Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Пьера Ферма, Рене Декарта, Исаака Ньютона .

Решение уравнений с использованием теоремы Виета Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид Х 2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид X 1 X 2 = q, X 1 + x 2 = - p Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней). Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р 0 и p = - 3 0 и p= 8 > 0. Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0 . Например, Х 2 + 4x – 5 = 0; X 1 = - 5 и X 2 = 1, так как q= - 5 0; Х 2 – 8x – 9 = 0; X 1 = 9 и X 2 = - 1, так как q = - 9 SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках ( рис . 6,а) В( X 1 ; 0) и D( X 1 ; 0), где X 1 и X 2 - корни квадратного уравнения а Х 2 + bх + с = 0. 2 ) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох ( рис . 6,б) в точке В( X 1 ; 0), где X 1 - корень квадратного уравнения . 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения .

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений , помещенный на с.83 ( см . Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы . - М., Просвещение , 1990). Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения Z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет , не решая квадратного уравнения , по его коэффициен там определить корни уравнения .

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение Z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы . Криволинейная шкала номограммы построена по формулам : Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а ( все в см .), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

Геометрический способ решения квадратных уравнений В древности , когда геометрия была более развита , чем алгебра , квадратные уравнения решали не алгебраически , а геометрически . Приведу ставший знаменитым пример из « Алгебры » ал - Хорезми . Примеры . 1) Решим уравнение Х 2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : « Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15). Решение . Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так , что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно , площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей : первоначального квадрата Х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е . S = Х 2 +10х + 25. Заменяя Х 2 + 10х числом 39, получим , что S = 39 + 25 = 64, откуда следует , что сторона квадрата ABCD, т.е . отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Читайте также:

Квадратные уравнения это фундамент на котором покоится величественное здание алгебры

Подробнее о проекте:

Оглавление

Введение

История развития квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

Квадратные уравнения в Индии

Квадратные уравнения у ал – Хорезми

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

О теореме Виета

Подробнее о проекте:

Оглавление

Введение

История развития квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

Квадратные уравнения в Индии

Квадратные уравнения у ал – Хорезми

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

О теореме Виета

Просмотр содержимого документа
«Урок одной задачи (Автосохраненный)»

Просмотр содержимого презентации
«К уроку Квадратные уравнения»

Квадратные уравнения это фундамент на котором покоится величественное здание алгебры

Подробнее о проекте:

Оглавление

Введение

История развития квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

Квадратные уравнения в Индии

Квадратные уравнения у ал – Хорезми

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

О теореме Виета

Подробнее о проекте:

Оглавление

Введение

История развития квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

Квадратные уравнения в Индии

Квадратные уравнения у ал – Хорезми

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

О теореме Виета

Просмотр содержимого документа «Урок одной задачи (Автосохраненный)»

Просмотр содержимого презентации «К уроку Квадратные уравнения»

Просмотр содержимого документа
«Урок одной задачи (Автосохраненный)»

Просмотр содержимого презентации
«К уроку Квадратные уравнения»