Как можно объяснить математическое понятие паркета второкласснику

Обновлено: 18.04.2024

Например, тем, что понятие площади фигуры вводится до того, как ребенок изучит умножение.

Ну, как "вводится"? Учитель, по задумке Петерсон, просто сообщает ребенку, что «эта величина характеризует количество места, которое предмет занимает на плоскости».

Просто прочитайте самостоятельно выдержку из плана урока, как его запланировала Людмила Георгиевна:

Вот так вводится понятие площади. То есть Никак. Я специально показываю полностью ту часть плана урока, на которой дети впервые знакомятся с этим понятием

Это второклассникам, ага.

Ребенок буквально получает следующую информацию: «Мы можем мерить массу кота в мышатах, а . прямоугольник - квадратиками и полосками. Если померили квадратиками - это квадратный сантиметр».

Это никакое не утрирование, а то, что дети Массово выносят с уроков по этому учебнику - если учитель не опытный, или если учитель - преданный фанат Петерсон, готовый выполнять любой написанный ей бред, или если учитель рассказал коротенько и не заметил проблемы с пониманием.

Потому что когда дети слышат «площадь стола больше, чем площадь тетради», они не понимают про «место на плоскости» (а большинство и значения слова «плоскость» не знает). Но они видят глазами, что стол во всех трех измерениях тупо больше тетради - и приводят свои аналогичные примеры, которые звучат «адекватно», но на самом деле не обозначают понимания.

Проверьте ребенка? Действительно ли он понимает, что площадь - это плоская территория, а не какая-то большая объемная фигня в пространстве?

Попросите его, например, показать руками, что такое площадь его пенала. Если он обводит руками весь пенал вокруг. Ну вы поняли :-)

А потом детям предлагается выучить «правило», что 1 см2 = 100 дм2, и 1 м2 = 100 дм2 . Да, у Петерсон это «правило» - объяснять детям его она не намерена.

Сегодня поговорим о том, как объяснить ребенку понятие «площадь» по-человечески.

Для объяснений нам потребуется знание таблицы умножения.

На самом деле все дети, занимающиеся по учебникам Петерсон, учат таблицу умножения летом перед 2 классом. Только почему-то не применяют при изучении площади.

Так что перед тем, как изучать площадь, вспомните с ребенком, в чем смысл умножения, повторите несколько простых примеров и обязательно умножение на 10.

Что такое площадь

Подберите практический материал. Например, 2 листа одинаковой длины и разной ширины.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«ХАССП — вся правда. Как не отравить школьника за завтраком или обедом?»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов

Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!

Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.

Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.

С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

В моей работе я буду рассматривать геометрические паркеты из многоугольников.

Цель и задачи проектной работы.

1.Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.

2.Изучить геометрические приёмы составления паркетов.

3. Научиться строить паркеты с помощью графического редактора « Paint », входящего в стандартный пакет Microsoft Office .

4.Развитие умений и навыков исследовательской работы.

Выдвинута проблема. Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?

Объект исследования - паркеты.

Методы исследования: анализ литературы; систематизация материала; метод аналогии.

При работе над проектом я пользовалась материалом из книг, журналов, использовала Интернет - ресурсы.

1. Историческая справка.

Слово "паркет" имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены.

Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.

Сейчас, в начале ХХI века, несмотря на развитие науки и техники, можно сомневаться - все ли технологические тайны старых мастеров-паркетчиков удалось восстановить. Можно сказать, что благодаря буквально нескольким мастерам - реставраторам искусство художественного паркета в нашей стране сохранилось до наших дней.

Паркет в Итальянском зале Паркет начала 18 века

Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.

2. Геометрические п аркеты.

П аркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.

2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.

1.Из каких правильных одноименных многоугольников можно составить паркет?

Предположение: правильные паркеты получатся из квадратов, шестиугольников и треугольников.

В природе и в жизни человека паркеты встречаются часто. Например: шахматная доска и пчелиные соты. Все эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Пример шахматной доски меня убеждает, что из правильных: четырехугольников тоже можно составить правильный паркет.

На примере пчелиных сот убеждаемся, что паркет можно составить и из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт.

В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют

Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?

Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?

Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга).

Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:

Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n -угольников, то должно выполняться равенство:

m *180º*( n -2)/ n =360º. (величина угла правильного n -угольника равна 180º*( n -2)/ n )

После преобразований получим:

Если n =3, m =6 (6 треугольников в узле).

Если n =4, m =4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n =5, m =3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Если n =6, m =3 (шестиугольника)

Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!

Вывод: Наше предположение оказалось верным.

Мы убедились в том, что паркет можно построить из:

правильных треугольников;

правильных шестиугольников;

правильных четырехугольников.

На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.

В начале прошлого столетия великий» французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия! ». Сегодня уже в начале 21 столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг – всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Все это создано руками человека, вооруженного геометрическими знаниями. На уроках геометрии мы изучали тему «Многоугольники», и я решила выяснить, где можно найти применение этой темы. Если посмотреть вокруг, то можно увидеть, что в настоящее время для оформления интерьера квартир широко используют паркет. Паркеты имеют разную форму и окраску. Мне стало интересно, как создаются паркеты и как это связано с геометрией. На уроках геометрии изучается тема: «Многоугольники». Приглядевшись внимательнее, я стала замечать эти многоугольники вокруг себя: паркет, линолеум, кафельная плитка, геометрические орнаменты в художественных изделиях, в оформлениях книг. А сколько же их может быть этих паркетов, встал передо мной вопрос? Как их так мудро и красиво соединяют? Этот материал мы еще не изучали, и передо мной встала

цель: подробно изучить паркеты.

Выдвинута проблема: определить количество правильных паркетов.

Изучить литературу, интернет-ресурсы по заданной теме.

Закрепить знания свойств правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками.
Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить паркет.
Оформить презентацию для защиты работы.

Выдвигаю гипотезу: количество правильных паркетов бесчисленное множество.

Объект исследования - паркеты.

Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; метод аналогии.

Во все времена и у всех народов в строительстве интерьера полам и их убранству уделялось большое внимание. Еще в древние времена в Египте, Индии, Китае, и во многих других странах создавали прочные и красивые полы. В средние века «паркету» стали уделять больше внимания, он стал неотъемлемой частью новых домов, дворцов и замков. Но своего художественного совершенства пол из «дубовых кирпичей» достигает к началу XVII века в разных странах Европы. Следует отметить, что художественная форма паркета тесно связана с общим стилистическим развитием искусства и архитектуры.

В общественных зданиях Древней Руси полы делали из дерева, досок или из «деревянных кирпичей». Начиная с XVI в. полы в России стали настилать из дубовых клепок, укладываемых рисунком, который носил название «елочка», а сам пол называли «косящатым». Клепки, как правило, укладывали на грубораспиленное основание из мягкой древесины, большей частью сосны. Исконное и широко распространенное народное искусство резьбы по дереву, а также навыки в художественной обработке и укладке пола в древнерусском зодчестве создали все предпосылки для быстрого развития художественного паркета в России.

Так, уже в XVII в. наиболее распространенным приемом укладки паркета был способ, называемый «дубовым кирпичом»: паркетины в форме кирпичей укладывали на известковой основе, швы между дубовыми кирпичами заливали известью, смешанной со смолой. Вдоль стен иногда делали дубовый бордюр. Такой паркет знали на Руси и раньше, он уже был известен по Дмитровскому собору во Владимире, по храму Василия Блаженного и Донскому монастырю в Москве. Но в отличие от тех полов к концу XVII в. он стал более искусным в художественном отношении. Паркет начала XVIII в. связан с русской резьбой. Высокохудожественная резьба по дереву и металлу процветала в XVII в. в московских мастерских Оружейной палаты. В 1711 г. Петр I закрыл эти мастерские, а всех резчиков перевел в Петербург на корабельные верфи. Эти кадры мастеров и были использованы адмиралтейством при изготовлении паркетов петербургских дворцов. Паркет — лицевой слой пола, настилаемый по определенному рисунку из отдельных строганых дощечек (клепок). Паркетом называют также и сам материал, из которого выкладывается паркетный пол. Полы из паркета настилаются в жилых и общественных зданиях, они отличаются красивым внешним видом, малой тепло- и звукопроводностью.

Паркет из правильных многоугольников

Итак, чтобы определить кол-во правильных паркетов, прежде всего вспомним определение правильных многоугольников из учебника А. Атанасяна «Геометрия 7-9»:

«Правильным многоугольником называется выпуклый многогранник, у которого все углы и все стороны равны».

Что же называется правильным паркетом?

Обозначим через n число сторон правильного многоугольника, тогда n-2∙180° – сумма всех внутренних углов многоугольника. αn=n-2n∙180°- каждый угол правильного многоугольника.

Чтобы можно было сгруппировать вокруг какой – то точки определенное число одинаковых правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма их углов, сходящихся в данной точке, равнялось 360 .

Определение паркета: Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

Изучив литературу, я узнала, что паркетов, необязательно правильных существует бесчисленное множество. Однако, подобно тому как при бесчисленном множестве многогранников вообще существует лишь конечное число правильных многогранников, так и при бесчисленном множестве паркетов, существует лишь конечное число правильных паркетов.

I. Замощение окрестности точки плоскости правильными многоугольниками одного типа .

Паркеты, состоящие только из правильных треугольников.

Количество сторон: n=3 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=3-23∙180°=60°

Количество многоугольников: 360°:60°=6 – натуральное число.

Паркеты, состоящие из правильных четырехугольников (квадрат).

Количество сторон: n=4 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=4-24∙180°=90°

Количество многоугольников: 360°:90°=4 – натуральное число.

Паркеты, состоящие из правильных пятиугольников.

Количество сторон: n=5 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=5-25∙180°=108°

Количество многоугольников: 360°:108°=3,(3) – ненатуральное число.

Паркет, состоящие из правильных шестиугольников.

Количество сторон: n=6 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=6-26∙180°=120°

Количество многоугольников: 360°:120°=3

Итак , величина угла правильного n-угольника определяется по формуле αn=n-2n∙180°

Используя эту формулу , для различных значений получаем следующие величины углов правильных n-угольников

Как можно объяснить математическое понятие паркета, если второклассник не знает что такое "замощение", "плоскость", "зазор", "пересечение" и много много ещё чего?

Да просто. Купите ребенку пазлы, В процессе игры сам поймет теорию замощения. (основные понятия, без формул)

Надо ему объяснить математические понятия "замощение", "плоскость", "зазор", "пересечение" и много много ещё чего, после чего переходить к математическому понятию "паркета".

Укладывать любой паркет необходимо на фанеру. Тем самым вы значительно продлите ему жизнь. Фанера необходима для компенсации перепадов влажности и прочности приклеивания.

Кроме того к бетонному основанию существуют требования по ровности и прочности. Желательно чтобы перепады были не более 2мм на 2 метра площади. Фанеру шлифуют и на нее укладывается паркет.

Паркет бывает следующих видов:

паркетная/инженерная доска
штучный паркет
массив
модульный паркет

Все данные виды приклеиваются к фанере, а паркетная/инженерная доска может укладываться также на подложку, плавающим способом.

Если паркет не покрыт финишным покрытие, то после укладки его необходимо шлифовать и покрывать лаком/маслом.

Естественно шлифовку необходимо проводить профессиональными машинами.

Если у вас нет опыта в данных работах, то лучше довериться профессионалам.

Можно натереть резиной. Не обязательно ластиком, он дает много крошева и оставляет явные следы. В данном ключе могла бы подойти резина от велокамер, достаточно мягкая и не крошится. Правда, я не знаю, сколько времени потребуется натереть весь пол и как это сочетается с мастикой и полиролью. Я протирал только несколько участков на поворотах, где босые ноги проскальзывали. Но мы не полировали ламинат - псто был скользким.

Можно застелить коврами с прорезиненными подошвами.

Можно использовать обувь (тапки, носки) с резиновыми подошвами или пупырышками.

Можно купить в магазине спреи для плиток, для создания антискользящего покрытия.

Можно не использовать полироль. Когда полы сверкают - это круто, но не с ушибами или переломами. Поверьте, просто чистые полы удобны и правильны, а остальное - лишь пыль в глаза, не для удобства, а ради игры на публику.

Здесь необходимо понять почему ламинат скрипит.Покрытие может упираться в плинтуса или в стены.При укладки ламината должен быть зазор не менее 1 см.Во время эксплуатации лист ламината может давать усадку и сдвигаться даже при влажной уборки.Так же часто причиной скрипа может быть и мусор,который перед укладкой был плохо убран,будет слышен характерный хруст.Если покрытие упирается в стену ,просто удалите крайние доски.А если причина в плинтусах,придется переустанавливать или заменять плинтуса.Если причина все таки в мусоре под ламинатом,то необходимо будет снимать все покрытие ,очищать и выравнивать,потом только укладывать ламинат снова.Перед укладкой придется хорошо все вымыть и пропылесосить.Малейшая песчинка может дать хруст и скрип

Дом- это такая же вещь, как машина или кастрюля.

Не стоит придавать ему слишком большое значение. Не стоит сдувать с него пылинки и гордиться им перед знакомыми- родственниками, делать из него показуху- хохлому.

Удобство и функциональность- вот главные задачи дома, и чтоб на голову не капало.

Потом, полы во многих случаях страдают от человеческой природы- упустили, разлили, пожгли.

Потом траур объявлять? Или по воздуху летать, и антигравитацию в доме поддерживать, чтобы на такой паркет бутылка не упала?

Дом должен быть красивым, но не слишком. Не превращаться в икону.

Нужно понимать, что паркет - это слой дерева (от пары миллиметров до пары сантиметров), а

Наконец-то я собралась с мыслями и написала статью о прекрасной и невероятно обширной теме, объединяющей столь притягательные для меня геометрию и лоскутное шитье!
Садитесь поудобнее, будет очень интересно!

Говорить мы сегодня будем о паркетах!

Нет, не о напольном покрытии. А о математическом понятии!
Википедия определяет математический паркет как разбиение плоскости на многоугольники без пробелов и наслоений. Паркет иначе можно назвать замощением, тесселяцией или привычной нашему слуху мозаикой. А что есть лоскутное шитье, как не сборка плоскостной мозаики из ткани?!

Условно мы принимаем за аксиому, что в качестве элементов нашей мозаики участвуют целые односложные элементы. То есть фигурки из тетриса, образованные из квадратиков - нам не подойдут.

Виды мозаик.

Паркет, составленный из одинаковых правильных многоугольников называется правильным. Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет. Правильные мозаики называют также платоновыми.

Поскольку логика сборки очевидна и понятна, именно эти схемы чаще всего используются для лоскутного шитья. Вы сто раз видели примеры, наверняка даже шили их сами!

Одеяло из магазина Quilting and knitting (Мария, Красноярск). Фото взято в открытых источниках для иллюстрации принципа сборки.

Одеяло из квадратиков Марии Дуговой. Фото взято в открытых источниках для иллюстрации принципа сборки.

Каждая из этих мозаик невероятно обширно представлена в лоскутном мире! Каждое второе одеяло собирается по принципу квадратной сетки. А шестиугольники это излюбленная мозаика в технике EPP - English Paper Piecing, ручная сборка с использованием шаблонов. Мастерицы добились невероятных высот в составлении сложных композиций на основе такой простой шестиугольной сетки.

Если сборка треугольников и квадратов не вызывает вопросов, с шестиугольниками чуть сложнее. Есть два пути - вышеобозначенная ручная сборка и сшивание блоков с преодолением тупого угла. На любом курсе по азам лоскутного шитья вас обучат этому приему.

Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, называют полуправильными паркетами или архимедовыми.

Существует 8 полуправильных паркетов. Один из восьми полуправильных паркетов - курносый тришестиугольный паркет является хиральным , то есть не совпадает с собственным зеркальным отражением.

Эти плитки тоже можно сшить! Какие необычные получатся квилты! А главное, можно сэкономить время при чертеже и раскрое деталей - ведь они все одинаковые.

Следующая группа многочисленна. Точнее - просто бесконечна! Это группа неоднородных мозаик , состоящих из правильных многоугольников. Приведу здесь некоторые:

Таких мозаик может быть бесконечное множество!

Есть еще сложная для понимания группа нерегулярных паркетов , куда относятся мозаики Пенроуза, замощение Фодерберга, апериодичная мозаика.

Сюда же можно отнести известную схему Millefiori quilt, также известную как La Passacaglia (Миллефьори и Пассакалья). Присмотритесь, центр ничего вам не напоминает?!

"Правильная" схема пассакальи выглядит так:

Если разбирать на детальки построение, мы получим множество красивых "розеток", которые можно не только использовать в качестве отдельных изделий - как элемент аппликации, например, а также как детали ассиметричной неправильной пассакальи. Схема сборки будет чуть ниже.

Начнем с простой небольшой розетки. Пять равносторонних ромбов в центре, пять веретен и 10 пятиугольников. Длины сторон всех элементов всех многоугольников равны

Добавим вокруг нашей маленькой розетки ряд звезд и ромбов. Ромбы идентичны центральным. Примем данную розетку за базовый модуль.

Добавляем вокруг розетки ряд пятиугольников, образующих цветочки. Отверстия, получившиеся между цветками - уже примененные ранее веретена.

А вот схема нерегулярной сетки:

Сложная, интересная и всемогущая! Можно шить абсолютно разные розетки, объединяя их в произвольном порядке. Идеальная схема для долгосрочных швейных проектов!

Невозможно не вспомнить восточные орнаменты, когда смотришь на эти глубокие и эффектные схемы! Восточные орнаменты делят на два вида - гирих и ислими. Первые - геометричные, вторые на основе флоры и спиралей. Нас интересуют, конечно, первые!

Вот построение и применение одной из сеток гириха:

Вот и гексагоны наши любимые! Можно сделать только эти шестиугольнички и пришить их на ткань в определенном порядке - вот и готов гирих! Восторг!

А следующая группа мозаик заинтересовала меня когда-то больше других.

Пятиугольный паркет.

Это мозаика, составленная из выпуклых пятиугольников одного типа. Тут появляется интрига! К настоящему времени математикам известно, что любым треугольником и четырехугольником можно замостить плоскость, а также то, что существуют только три типа выпуклых шестиугольников, способных это сделать (многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону). Выпуклыми фигурами, имеющими более шести сторон, замостить плоскость невозможно. Это же невозможно сделать и при помощи правильных пятиугольников (пентагонов) — выпуклых многоугольников, все пять сторон которых равны друг другу. Таким образом, в настоящее время задача классификации многоугольных паркетов сводится к определению всех типов пятиугольных паркетов.

Предполагается, что существует всего 15 классов пятиугольников, бесконечные паркеты из которых могут замостить плоскость. Поиск всех таких классов продолжался до 2015 года, а 1 мая 2017 года Микаэль Рао предъявил доказательство того, что других таких пятиугольников не существует.

Невероятно, правда?! Только что мы видели бесконечные варианты. А тут всего 15 схем!

Читайте также: