Указание. Найдите хотя бы одно решение уравнения
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + x + y = 1 · 1 · . · 1 · x · y
2 Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли разрезать оставшуюся часть на доминошки?
Решение. Любая доминошка, вырезанная из доски, содержит одну чёрную и одну белую клетку. Поэтому, если такое разрезание всё-таки возможно, то количество черных и белых клеток должно быть одинаковым. Но так как вырезанные клетки одного цвета (противоположные клетки доски имеют один цвет), то для получившейся фигуры это условие не выполняется, а, значит, разрезать оставшуюся часть доски на доминошки нельзя.
3 Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 1 метр a) разных цветов; б) одного цвета.
Решение.
а) Так как плоскость покрашена в два цвета, то найдутся две разноцветные точки. Пусть точка А покрашена цветом 1, а точка В — цветом 2. Построим ломаную с концами в точках А и В, длина каждого звена которой равна 1 метру. Делаем это так: будем откладывать по лучу АВ отрезки, длиной 1 метр. Начало первого из них совпадает с точкой А, начало каждого следующего совпадает с концом предыдущего. Если в итоге попадём в точку B (в случае, когда расстояние АВ выражается целым числом метров), то получаем нужную ломаную. В противном случае в некоторый момент времени длина непокрытого участка отрезка АВ станет меньше 1 метра. Тогда строим равнобедренный треугольник с боковой стороной 1 метр, у которого этот маленький отрезок будет основанием. Получилась ломаная, концы которой покрашены в разные цвета, поэтому найдутся две соседние вершины также покрашенные в один цвет. Это и будут нужные точки.
б) Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1 метр. У него три вершины, а цветов, в которые раскрашена плоскость, два. Поэтому хотя бы две вершины этого треугольника покрашены в один цвет. Эти две вершины и являются нужными нам точками.
4 У старухи Шапокляк есть ковёр 4×4 метра. Моль проела в нём 15 дырок (каждая дыра — точкa). Может ли старуха Шапокляк вырезать из ковра маленький целый коврик размером 1×1 метр?
Решение. Разрежем ковёр на квадратики 1×1. Получится 16 маленьких ковриков. В них всего не более 15 дырок. (Может быть меньше, если часть дырок оказалась на линиях разреза.) Так как ковриков больше, чем дырок, то найдется нужный целый коврик.
5 Король Прямоугольного государства провёл на карте своей страны несколько прямых по линейке от края до края. Государство оказалось разделено на области. Сможет ли он так раздать области своим князьям и графам, чтобы соседями князей были только графы, а графов — князья? (Если границы двух областей имеют только одну общую точку, то такие области не считаем соседними.)
Решение. Берём любую область. Присваиваем ей номер 0 и отдаём её князьям. Всем областям, соседним с ней, присваиваем номер 1 и отдаём графам. Всем соседям областей с номером 1, которым номера ещё не даны, присваиваем номер 2 и отдаём князьям. Области с номерами, равными 2, не могут граничить с областью номер 0, так как всем её соседям раньше уже был присвоен номер 1. Далее всем соседям областей с номером 2, у которых ещё нет номеров, ставим в соответствие номер 3 и отдаём графам. Очевидно, что они не могут граничить с областями номер 0 и 1. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока у каждой области не появится хозяин.
6. Может ли король из предыдущей задачи оставить одну область себе, чтобы среди его соседей были и князья, и графы?
7 Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что всегда найдётся отрезок длины 1 метр, концы которого раскрашены одинаково. 8 У художника-абстракциониста Карандаша есть только три карандаша — фиолетовый, сиреневый и лиловый. Он всегда использует их все. Может ли он покрасить всю плоскость так, чтобы каждая прямая была раскрашена всего в два цвета?
Решение. Карандаш может действовать, например, таким образом: покрасить некоторую точку в фиолетовый цвет. Провести через неё две прямые и покрасить все точки этих прямых кроме фиолетовой в сиреневый цвет. А всю остальную плоскость покрасить в лиловый цвет.
В задачах 1 – 4 считается, что фигура НЕ бьёт то поле, на котором стоит. 1. На каких полях шахматной доски может стоять ладья, если она одновременно бьёт поля: а) F1 и H1; б) C6 и F4?
а) Для решения этой и следующих трёх задач удобнее всего действовать следующим образом. Сначала отметим на шахматной доске все поля, с которых ходом ладьи можно попасть на поле F1 (или, другими словами, куда можно попасть ходом ладьи с поля F1):
Затем отметим другим цветом те поля на шахматной доске, на которые можно попасть ходом ладьи с поля Н1:
Теперь у нас некоторые поля отмечены сразу двумя цветами. Это и означает, что ладья, стоящая на любом из этих полей, одновременно бьёт поля F1 и Н1. Эти поля (кроме самих полей F1 и Н1) мы и записываем в ответ.
К трём следующим задачам решениям в качестве решения будем приводить просто соответствующий рисунок без пояснений.
б)
2. На каких полях шахматной доски может стоять слон, если он одновременно бьёт поля: а) C3 и D4; б) C6 и G6; в) A2 и H2?
в) Один и тот же слон не может одновременно бить поля А2 и Н2, потому что они разных цветов, а слон всегда бьёт только поля одного цвета. Впрочем, этот пункт можно решить тем же способом, что и два предыдущих (и заметить, что ни одно поле не будет отмечено двумя цветами сразу).
3. На каких полях шахматной доски может стоять конь, если он одновременно бьёт поля: а) G1 и H2; б) D3 и D5; в) C2 и F5?
4. На каких полях шахматной доски может стоять ферзь, если он одновременно бьёт поля: а) Е3 и G5; б) A1 и Н8?
5. В верхних углах доски 3×3 стоят чёрные шахматные кони, а в нижних — белые. Кони могут ходить по шахматным правилам. Поменяйте коней местами: добейтесь того, чтобы в нижних углах оказались чёрные кони, а в верхних — белые.
Решение. Последовательность ходов, изображённая на рисунке ниже, поворачивает картинку на 90°. Аналогичная последовательность ходов повернёт её ещё на 90°, что и приведёт к желаемому результату.
6. Доска имеет форму креста, который получается, если из квадрата 4×4 убрать угловые клетки. Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу?
Решение. Возможный порядок обхода конём этой доски показан на рисунке.
7. На шахматной доске стоят 10 шахматных фигур (слоны и ладьи), не бьющих друг друга. Какое наименьшее количество слонов может быть среди них?
Решение. Если ладей хотя бы 7, то они бьют уже 63 поля (7 вертикалей и 7 горизонталей), и слоны не помещаются. Если ладей 6, а слонов 4, можно, например, поставить слонов на поля А2, А8, Н2, Н8, а ладей — на поля B6, C5, D7, E3, F1, G4, и фигуры не будут бить друг друга.
Шахматная раскраска
8. По шахматной доске ползает улитка. За минуту она переползает из одной клетки на соседнюю с ней по стороне клетку. Спустя некоторое время улитка приползла вновь в ту клетку, где была первоначально. Докажите, что это произошло через чётное число минут.
Решение. Каждую минуту меняется цвет клетки, на которой сидит улитка. Если улитка вернулась в исходную клетку, то цвет клетки поменялся чётное число раз.
9. На каждой из клеток доски размером 9×9 сидел жук. В полдень каждый жук переполз на соседнюю по стороне клетку доски. Докажите, что теперь по крайней мере одна клетка на доске будет свободной.
Решение. Покрасим доску в шахматном порядке так, чтобы было 40 чёрных полей и 41 белое. В полдень жуки, сидевшие на чёрных клетках, переползут на белые клетки, и наоборот. Поскольку белых клеток 41, а чёрных жуков 40, одна белая клетка останется свободной.
10. На шахматной доске стоит конь. Может ли он через: а) 4; б) 5; в) 2013 ходов вернуться на исходное поле?
а) Например, если конь два раза сходит туда-сюда.
б, в) При каждом ходе коня меняется цвет клетки, на которой он стоит. Поэтому через нечётное число ходов конь окажется на клетке другого цвета, чем первоначальная. Это, в частности, означает, что он не сможет вернуться на исходную клетку через нечётное число ходов.
11. Тридцать пять хулиганов вышли на демонстрацию с шариками и выстроились в пять колонн по семь человек. По команде каждый проткнул иголкой шарик своего соседа (спереди, сзади или сбоку). а) Какое наименьшее число целых шариков могло при этом остаться? б) Могло ли уцелеть ровно 23 шарика?
а) Покрасим шарики и самих хулиганов в шахматном порядке. Каждый чёрный хулиган должен лопнуть один белый шарик, и наоборот. Если, скажем, белых хулиганов 17, а чёрных 18, то чёрных шариков больше, чем белых хулиганов. Поэтому один чёрный шарик всегда уцелеет. Ну а если все хулиганы, кроме одного, разобьются на пары и в парах будут лопать шарики друг другу, как раз уцелеет ровно один шарик.
б) Так будет, если несколько хулиганов будут лопать один и тот же шарик. Введём для хулиганов и их шариков обозначения, как на шахматной доске: вертикали обозначим латинскими буквами от А до Е, а горизонтали — цифрами от 1 до 7. Пусть, например, хулиганы лопнули чёрные шарики В2, В4, В6, D2, D4, D6 и белые шарики A2, B5, B7, D1, D3, E6. Тогда как раз уцелеет 35 − 12 = 23 шарика.
Указание II. На рисунке изображено неверное решение: пересечение изображённых треугольника и состоит из двух четырёхугольников, а мы хотим, чтобы оно было восьмиугольником.
а) Конь вышел с некоторого поля шахматной доски и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.
