Фундамент и прикл матем

Обновлено: 14.05.2024

Математика – это фундаментальная наука, которая занимается изучением разных структур, их отношений и порядков. Математика, как наука, появилась очень давно, наверное, с возникновением человечества. Уже в раннем палеолите люди были знакомы с основами счета. У людей всегда была необходимость что-то подсчитать или пересчитать. Известно, что для счета люди пользовались и пальцами, и камнями, и палками и различными метками. Историю развития математики отсчитывают именно с того момента, как люди научились считать.

Для того чтобы понять, чем отличается прикладная математика от математики, нужно рассмотреть основные понятия, которыми оперирует одна и вторая наука.

Математика

Если посмотреть определение математики в различных словарях и энциклопедиях, то можно заметить, что единого точного определения математики не существует . Однако мы все интуитивно понимаем, что такое математика. Наилучшее определение было дано, наверное, Бурбаки.

Бурбаки – это псевдоним группы математиков, которые написали серию книг по математике. По определению Бурбаки, математика изучает отношения между какими-то объектами . Каждый объект описывается с точки зрения его количественных характеристик. Сущностью математики является описание некоторого набора абстрактных структур.

Из этого определения становится понятно, чем занимается теоретическая математика. Она должна описать отношения различных структур данных.

Математика делится на элементарную и высшую части. Элементарную математику изучают в школе.

Она включает в себя такие разделы, как:

Арифметика.
Начала алгебры.
Геометрия.

Высшая математика состоит из:

Математического анализа.
Алгебры.
Аналитической геометрии.
Дифференциальных уравнений.
Теории вероятности.
Математической статистики.
Теории чисел.
Функционального анализа.

В теоретической математике разработан математический аппарат, основу которого составляют обозначения, аксиомы, утверждения. А на базе уже этого аппарата развивается дальнейшая теория, доказываются теоремы и выводятся определенные правила.

Например, в математическом анализе используются такие понятия, как бесконечно малая величина, дифференциал, функция. Алгебра оперирует понятиями множество, группа, кольцо и т.д. Дифференциальные уравнения работают с производной и интегралом. Таким образом, видно, что теоретическая математика разрабатывает некий понятийный аппарат. Английский математик Годфри Харди говорил, что чистая математика не приносит никакой практической пользы.

Прикладная математика

Прикладная математика является частью математики. Если говорить обычным языком, прикладная математика – это математика, которая используется на практике. Прикладная математика изучает и разрабатывает способы применения теоретической математики в других дисциплинах. Если вернуться к словам математика Харди, то в отличие от чистой математики, прикладная математика приносит практическую пользу.

Разделы прикладной математики

Численные методы.
Математическая физика.
Программирование.
Оптимизация вычислений.
Теория игр.
Криптография.
Теория оптимального управления.
Биоматематика.
Биоинформатика и др.

Предметом исследования прикладной математики является применение теоретических математических методов чистой математики в других науках. Например, строятся экономические модели и с помощью методов теории оптимального управления вырабатываются наилучшие управленческие решения.

В физике или химии для проведения каких-либо экспериментов или опытов, не всегда представляется возможным провести испытания на реальном объекте. Поэтому строится его модель. Модель – это уменьшенная или увеличенная копия реального объекта, которая имеет точно такие же свойства.

Модели бывают математическими. Модель может быть создана и на компьютере с помощью графических редакторов. Моделирование разных физических или химических процессов заканчивается решением с использованием численных методов.

Криптография – это наука, которая занимается шифрованием . В шифровании используются различные математические методы и алгоритмы.

Таким образом, из вышеприведенного понятно, что и чистая математика, и прикладная математика использует одни и те же методы. Но чистая математика использует эти методы для дальнейшего развития теории, а прикладная математика использует математические методы и теорию чистой математики для того, чтобы можно было решать реальные задачи в физике, химии, биологии, статистике, экономике и в других науках.

«Фундаментальная и прикладная математика» — научный журнал, в котором публикуются оригинальные исследовательские работы и обзорные научные статьи из всех областей математики.

Обзоры и статьи журнала охватывают как фундаментальные области математики — алгебру, математический и функциональный анализ, геометрию и топологию, дифференциальную геометрию, дифференциальные уравнения, математическую логику, дискретную математику, оптимальное управление, теорию вероятности и случайные процессы — так и новые, пользующиеся большой популярностью направления — экономическую математику, информатику и др. Публикуются материалы, связанные с применением математических результатов в физике и механике, биологии и медицине, лингвистике. Журнал рассчитан на научных работников, преподавателей высшей школы, студентов и аспирантов.

Журнал основан в 1995 г., издаётся Центром новых информационных технологий Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и Издательским домом «Открытые системы». В 1995—2004 гг. журнал «Фундаментальная и прикладная математика» выходил 4 раза в год, с 2005 г. журнал выходит 8 раз в год.

Все статьи в журнале рецензируются членами редколлегии и приглашёнными специалистами. Главными редакторами журнала являются академик РАН, профессор Р. В. Гамкрелидзе, доктор физико-математических наук, профессор А. В. Михалёв, академик РАН, профессор В. А. Садовничий. В редакционную коллегию входят профессора Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и других вузов России, ведущие научные сотрудники институтов и научно-исследовательских учреждений.

В журнале «Фундаментальная и прикладная математика» статьи публикуются на русском языке. С 2003 г. все выпуски журнала переводятся на английский язык и публикуются в журнале «Journal of Mathematical Sciences» издательства Springer Science+Business Media.

Журнал реферируется крупнейшими реферативными журналами: «Реферативным журналом Математика» ВИНИТИ, «Mathematical Reviews», «Zentralblatt MATH».

На сайте журнала «Фундаментальная и прикладная математика» доступны содержания выпусков, аннотации на русском и английском языках, полные тексты статей в формате PDF. Поддерживается информационная рассылка о новых выпусках.

Можно ли считать математику фундаментальной наукой или это всего лишь инструмент, как писал советский математик Колмогоров, на службе у естественных наук — этот вопрос остается открытым. Даже сами математики отказываются однозначно отвечать на него. Методист по математике Университета Иннополис Дмитрий Бебчук рассказал на фестивале науки и технологии «ПРОСТО», организованном российским ИТ-вузом, о том, какие изобретения человечества были бы невозможны без математики и почему математизирование — это процесс творческий, не требующий никаких практических целей.

Читайте «Хайтек» в

Наука о структурах или просто расчеты?

«Британника» говорит, что математика — это наука о структурах, порядках и отношениях, возникшая из элементарных практик подсчета, измерения и описания форм объектов. Она строится на логических рассуждениях и количественных расчетах. Группа французских математиков, которые взяли себе в 1935 году коллективный псевдоним Никола Бурбаки, предложила такое определение: математика — это наука об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме их свойств. именно ими объекты и описываются. Может возникнуть двоякое впечатление. С одной стороны, у нас есть конструктивное определение математики, а с другой, математика — это когда «взяли что-то и посчитали». Этот своеобразный конфликт выразился в том числе в установлении теории множеств. Есть аксиоматика Сернела Френкеля, которая являет собой конструктивный подход к теории множеств, но существуют и альтернативы. Это всё возникло из-за парадокса Рассела.

Парадокс Рассела — открытый в 1901 году Бертраном Расселом теоретико-множественный парадокс (антиномия), демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора.

Парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а, следовательно, само является собственным элементом.

Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) — наиболее широко используемый вариант аксиоматической теории множеств. Сформулирована Эрнстом Цермело в 1908 году для преодоления парадоксов теории множеств, а затем была уточнена Абрахамом Френкелем в 1921 году. Система аксиом записана на языке логики первого порядка.

Я попытаюсь вам доказать, что математика — это фундаментальная наука. Фундаментальная наука должна обладать следующими свойствами: ее результаты должны быть универсальны; в ее задачи не должна входить изначально практическая реализация полученных результатов; и она позволяет нам получать новые знания о природе, то есть иметь предсказательную силу.

В универсальности результатов математики сомнений нет. Это самый легкий пункт, поэтому он стоит первым. Действительно, даже на уровне «дважды два — четыре»: в любое время и на любом континенте это будет, конечно же, четыре.

Как из чистых идей родились практические инструменты

Существуют четыре области математики, которые развились из совершенно абстрактной идеи. Во-первых, анализ бесконечно малых, то, что сейчас называют математическим анализом. Началось всё с того, что предположительно Антифон в V веке до нашей эры предложил метод исчерпывания. Он и сейчас так называется. С помощью этого метода можно находить площадь фигур, границы которых — не отрезки. Например, площадь круга. Если есть круг, то его можно заключить, например, в пятиугольник, а также вписать в него пятиугольник. Площадь круга получится чем-то средним между ними. Если заменить пятиугольник на шести-, семи- и восьмиугольник, то точность приближения возрастет. Чем больше количество сторон у нашего вот многоугольника, который вписан и описан около круга, тем лучше оказывается наше приближение.

Но площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, а коэффициент пропорциональности — это какое-то число. Были предложены оценки этого числа: например, Архимед предположил, что это примерно 22/7, эта оценка позволяет нам получить точность до двух знаков после десятичной запятой. А пресловутый Цзу Чунжи уже предложил оценку намного лучше: 355/113, уже шесть знаков после запятой. В конце концов, было доказано, что пи — это число иррациональное и даже трансцендентное, то есть не является алгебраическим числом.

Цзу Чунжи — китайский математик и астроном. Как астроном определил сидерические периоды обращения планет Солнечной системы с высокой точностью. Разработал новый календарь с учетом явления прецессии. Как математик первым в мире рассчитал число пи с точностью до седьмого знака после запятой, дав его значение между 3,1415926 и 3,1415927; более точное значение было вычислено лишь тысячу лет спустя.

Принцип Кавальери очень прост: если у вас есть два объемных тела одинаковой высоты и на каждом уровне площади иссечений одинаковы, то и объемы этих тел одинаковы. Такой принцип подходит для нахождения объемов тел, у которых грани необязательно плоские. Например, конус. Из таких совершенно теоретических подходов к XVII веку уже развивается дифференциальное и интегральное исчисление, у истоков которого стоят двое ученых — Ньютон и Лейбниц, которые примерно одновременно развивали эту область. Практическое применение их работ сегодня: поиск длины кривой и касательной к сфере, дивергенции, роторы и даже двумерное нормальное распределение, благодаря которому можно искать вероятности сложноконструируемых событий.

Бонавентура Кавальери — итальянский математик, предтеча математического анализа, наиболее яркий и влиятельный представитель «геометрии неделимых». Выдвинутые им принципы и методы позволили еще до открытия математического анализа успешно решить множество задач аналитического характера.

В XVI веке Джероламо Кардано ввел понятие комплексного числа. В его трудах комплексные числа описаны как совершенно утонченные и бесполезные структуры, утонченные — это позитивная характеристика, а бесполезные — ну мы понимаем. Он не видел им совершенно никакого применения, но, тем не менее, пытался развивать эту теорию. Уже потом стало ясно, что это полезный инструмент для многих областей. Альберт Эйнштейн согласился бы. В качестве примеров — расчёт электрических цепей переменного тока, который делается гораздо проще с применением комплексно-значимых функций. Всяческие теоремы о распределении простых чисел — небезызвестная дзета-функция Римана и теорема, связанная с ней, гипотеза, на самом деле, потому что она еще не доказана — это одна из семи проблем тысячелетия. Гиперкомплексные числа, так называемые кватернионы, нашли свое применение в позиционировании. Тут меня поймут робототехники. Когда мы определяем или задаем положение трехмерного объекта в пространстве, то кватернионы исключительно полезны. А обойтись без выхода в это гиперкомплексное пространство нам уже тяжелее.

Джероламо Кардано — итальянский математик, инженер, философ, врач и астролог. В его честь названы открытые Сципионом дель Ферро формулы решения кубического уравнения (Кардано был их первым публикатором), карданов подвес, карданный вал и решетка Кардано.

Кватернионы — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Некоторые алгоритмы шифрования основаны на свойствах эллиптических кривых, а, точнее, на их алгебраических свойствах. Но всё началось с того, что Диофант Александрийский в III веке нашей эры пытался найти решение этого уравнения: y*(6-y)=x3-x. В конце XVII — начале XVIII века Ньютон тоже пытался его решить. Все вылилось в целую теорию, которая позволяет нам достаточно быстро зашифровать данные, с тем, чтобы их расшифровка требовала существенно больше времени. То есть мы получаем криптографически такой механизм — алгоритм.

Задачу мостов Эйлера: существует ли маршрут, чтобы обойти каждый мост Кенигсберга только по одному разу, — сегодня может решить почти любой олимпиадник. Этот вопрос XVIII века, тогда еще практически неприменимый, породил целую область математики — топологию. Сегодня она применяется, например, в робототехнике. У манипулятора есть конфигурационное пространство. Например, у двухзвенного манипулятора — это тор. Но тор — это определенный топологический объект: если мы возьмем две точки на торе, то сможем сказать про траекторию передвижения между этими двумя точками, про минимальность и так далее. То есть появляется целая область для анализа. А если манипулятор трехзвенный, то и поверхность становится значительно сложнее, а задача по нахождению какого-то оптимального пути или даже просто нахождению пути — на порядки. Тут без топологии уже не обойтись.

Анализ бесконечно малых, топология, эллиптические кривые — все это доказывает то, что в развитие этих областей было вовлечено много людей. А после XVIII века математика уже становится профессиональный наукой, то есть человек со стороны практически не имеет шансов добиться в ней значимых на мировом уровне успехов. Второй тезис, получается, доказан. Эти люди занимались математикой всю жизнь, не надеясь на то, что их конкретные результаты будут практически применимыми.

Как способ описать природу

Пресловутый Бозон Хиггса, который, конечно, прежде чем был обнаружен и зафиксирован, сначала был рассчитан. То есть была целая теория, основанная на расчетах. Теория, согласно которой такая частица должна существовать и должна обладать определенными свойствами. Это доказывает, что математика позволяет получать новые знания о природе. Вернемся к самому началу: что математика — это наука о неких структурах, у которых мы знаем только свойства, а потом уже смотрим, а что же из этого получается. Бозон Хиггса, который тогда еще не знали, но уже по предположениям ученых должен был обладать определенными свойствами.

Второй пример — девятая планета. Российский ученый Батыгин, который сейчас преподает в США, сначала вычислил орбиту девятой планеты, прежде чем ее обнаружили. То есть, согласно каким-то расчетам, эта планета должна была существовать, а потом она уже была обнаружена в расчетной точке.

Получается, что математика — фундаментальная наука. Но многие скажут, что математика — это просто дисциплина на службе естественных наук, и отчасти они будут правы. И с ними согласился бы даже Колмогоров, который в предисловии к книге Куранта и Роббинса так и сказал, что математика неотделима от ее практических применений.

Андрей Колмогоров — советский математик, один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, геометрии, математической логике, классической механике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов, теории информации, теории функций и в ряде других областей математики и ее приложений.

Рихард Курант — немецкий и американский математик, педагог и научный организатор. Известен как автор классической популярной книги по математике «Что такое математика?», а также как один из авторов критерия Куранта — Фридрихса — Леви.

Герберт Роббинс — американский математик и статистик. Его именем названы лемма Роббинса, алгебра Роббинса, теорема Роббинса и другие термины.

Вейль говорит о том, что вопрос об основаниях математики и о том, что в конечном счете она собой представляет, остается открытым. И неизвестно такого направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос. Можно ли ожидать, что он когда-нибудь будет получен и признан всеми математиками? Вейль указывает на то, что сам процесс изучения математики, математизирование — это творческий процесс, когда люди, не надеясь на практическое применение их результатов, результатов их работы, просто занимаются этим процессом. Но а то, что он описывает мир, надеюсь, я вас убедил, тут сомнений уже нет. Математика действительно описывает мир, и нет естественной науки, которая не пользовалась бы математическим аппаратом. В современном мире и общественные науки, в том числе социология, пользуются математическими методами как методами для исследования.

Андре Вейль — французский математик, внесший значительный вклад в алгебраическую геометрию и топологию, член группы Бурбаки. Важнейшие труды в области алгебраической геометрии, которую сумел обосновать с нужным уровнем строгости, получил важные результаты в функциональном анализе, в частности в теории меры и интегрирования в топологических группах и теории чисел, к которой применил аппарат гомологической алгебры и функционального анализа.

Жорданова форма линейного преобразования. Решение задач: Методическая разработка по курсу “Геометрия и алгебра” для студентов специальностей “Прикладная математика и информатика”, “Прикладная информатика”

Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики

Вопросы алгебры и прикладной математики. Сборник научных трудов

Курс лекций по математическому анализу (для направления ''Прикладная математика и информатика''): Учебное пособие

Прикладная математика: Учебное пособие

Задачи государственного экзамена: Практикум по специальности 010501 - ''Прикладная математика и информатика''

Задачи по дифференциальным уравнениям для студентов 2 курса факультета прикладной математики, информатики и механики

Специальные разделы прикладной математики для оптотехников

Русско-английский словарь по прикладной математике и механике

Методы возмущений в прикладной математике

Элементы прикладной математики

Задачи по прикладной математике

Русско-английский словарь по прикладной математике и механике

Методические материалы для подготовки к государственному экзамену по прикладной математике и информатике (по программе специалистов)

Прикладная математика. Численные методы

Фундаментальная и прикладная математика (1995, №1)

Фундаментальная и прикладная математика (1995, №2)

Фундаментальная и прикладная математика (1995, №3)

Фундаментальная и прикладная математика (1995, №4)

Фундаментальная и прикладная математика (2001, №1)

Фундаментальная и прикладная математика (2001, №2)

Фундаментальная и прикладная математика (2001, №3)

Фундаментальная и прикладная математика (2001, №4)

Фундаментальная и прикладная математика (2002, №1)

Фундаментальная и прикладная математика (2002, №2)

Фундаментальная и прикладная математика (2002, №3)

Фундаментальная и прикладная математика (2002, №4)

Фундаментальная и прикладная математика

Элементы прикладной математики

Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики

Операционные методы в прикладной математике

Нерешенные задачи механики и прикладной математики

Теория колебаний. Прикладная математика и кибернетика

Из истории развития и применения Компьютерной Алгебры в Институте прикладной математики имени М.В.Келдыша

Русско-английский словарь по прикладной математике и механике

Прикладная математика в системе MATHCAD

Комбинаторно-алгебраические методы в прикладной математике

Прикладная математика в системе MATHCAD

Методы прикладной математики при строительстве скважин

Методы прикладной математики в инженерном деле при строительстве нефтяных и газовых скважин

Элементы прикладной математики

Рассказы о прикладной математике

Расширенные заседания семинара Института прикладной математики им. И. Н. Векуа Тбилисского государственного университета. Программа заседаний

Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики

Словарь по прикладной математике и механике

Методические материалы для подготовки к государственному экзамену по прикладной математике и информатике (по программе специалистов)

Комбинаторно-алгебраические методы в прикладной математике

Ряды Фурье в пространствах со скалярным произведением: Лекции для студентов, обучающихся по специальности ''Прикладная математика''

Введение в вейвлет-анализ: Лекции для студентов, обучающихся по специальности ''Прикладная математика''

Информатика: Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов направления ''Прикладная математика и информатика'' и специальности ''Математическое обеспечение и администрирование информационных систем''

Информатика: Учебно-методический комплекс для специальности 010200 - ''Прикладная математика и информатика''

Методические указания по выполнению курсовых проектов, курсовых и дипломных работ студентами факультета ВМК специальностей ''Прикладная информатика'' и ''Прикладная математика и информатика''

Методические указания по немецкому языку для студентов 2 курса факультета прикладной математики, информатики и механики и математического факультета

Контрольно-измерительные материалы к курсу английского языка для студентов 1 курса дневного отделения, обучающихся по специальности ''Прикладная математика и информатика''

Методические указания по подготовке и защите отчетов на специализации ''Прикладная математика. Системное программирование''

Курсовые работы по направлению ''Прикладная математика'': Методические указания для студентов экономико-математического факультета по выполнению курсовых работ

Методы оптимизации. Часть 1: Практикум по специальности ''Прикладная математика и информатика''

Методы оптимизации. Часть 2: Практикум по специальности ''Прикладная математика и информатика''

Государственный экзамен по информатике: Методические рекомендации для выпускников по специальностям ''Прикладная математика и информатика'' (010200) и ''Механика'' (010500)

Практикум на ЭВМ: Задания для студентов 2 курса факультета прикладной математики, информатики и механики

Прикладная математика - фундамент профессий XXI века

История и методология прикладной математики и информатики

Прикладная комбинаторная математика. Сборник статей

Машинные методы решения прикладных задач

прикладной анализ временных рядов

Прикладной анализ временных рядов

Прикладные задачи математического программирования

Прикладная статистика. Основы эконометрики

Прикладная теория катастроф

Прикладные методы нелинейных колебаний

Прикладная математическая статистика (часть 2, вып. 4)

Прикладная математическая статистика

Прикладная медицинская статистика. Учебное пособие

Опыт применения прикладных методов математики и вычислительной техники в народном хозяйстве

Введение в прикладную теорию игр

Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство

Прикладной анализ

Показаны далеко не все результаты, удовлетворяющие вашему запросу. Чтобы увидеть другие результаты, пожалуйста, уточните запрос.

Практика 1. 19.02.2021. Техника дифференцирования.
№№ 466(1,5,6, 11, 14), 468, 471(1,4), 486, 498, 503, 508, 518, 525, 526, 527, 536, 541, 542, 546, 548, 550, 564, 566, 567.
Техника дифференцирования
Задание 1. Техника дифференцирования, логарифмическое дифференцирование (часть 1)

Практика 2. 22.02.2021. Техника дифференцирования. Логарифмическое дифференцирование. Дифференциал.
№№ 625, 627, 682, 712, 725, 650, 651, 652, 653, 656, 666, 1008, 1019, 1029, 889(4,5).
Логарифмическое дифференцирование
Задание 2. Техника дифференцирования, логарифмическое дифференцирование (часть 2)

Практика 3. 26.02.2021. Геометрическая интерпретация производной: касательная и нормаль. Правило Лопиталя.
Касательная и нормаль: №№ 816 (найти только касательную и нормаль), 825, 827, 829, дополн.: 859(2).
Правило Лопиталя: №№ 1324, 1326, 1334, 1335, 1346 (n=2), 1358, дополн.: 1359.
Уравнение касательной
Правило Лопиталя
Задание 3. Касательная.

Практика 4. 1.03.2021. Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрически заданной и неявной функций.
Параметрическое задание функции: №№ 939 (+ постр. по точкам, + написать уравн. касательн. в точке x=0)
Дифференцирование параметрически заданной функции: 946, 948, 1070.
Дифференцирование неявно заданной функции: №№ 792, 794 (+ написать уравн. касательн. в точке (3/2a,3/2a), 796 (+ написать уравн. касательн. в точке (0,0)), 808 (+ написать уравн. касательн. в точке (-1,0)).
Дифференцирование параметрических и неявно заданных функций
Задание 4. Дифференцирование неявно заданных функций.

Практика 5. 5.03.2021. Исследование и построение графика-функции по графику ее производной. Исследование и построение графика-многочлена.
№№ 1313, 1314
Пример исследования и построение графика функции по графику ее производной
Пример исследования и построения графика функции-многочлена
Задание 5. Исследование и построение графика функции по ее производной.
Задание 6. Исследование и построение графика функции-многочлена.

Задание 7. Исследование и построение графика дробно-рациональной функции
Задание 7.1. (на дополнительный балл) Исследование и построение графика трансцендентной функции.
Задание 7.2. (на дополнительный балл) Исследование и построение графика иррациональной функции.

Практика 8. 19.03.2021. Метод занесения под знак дифференциала.
№№ 1703, 1705, 1706, 1727, 1735, 1736, 1707, 1709, 1755,1710, 1738, 1729, 1731, 1713, 1714.

Практика 9. 22.03.2021. Метод занесения под знак дифференциала.
№№ 1715, 1723, 1756, 1757, 1724, 1725, 1726, 1719, 1721, 1741, 1740, 1742, 1744, 1745, 1746, 1747, 1749, 1754, 1757.
Неопределенный интеграл Слайды 22-27.
Задание 10. Метод занесения под знак дифференциала, замена (1часть)

Практика 10. 26.03.2021. Метод занесения под знак дифференциала. Замена в неопределенном интеграле
№№ 1759, 1760, 1763, 1762, 1769, 1779, 1780, 1798, 1800, 1801.
Задание 11. Метод занесения под знак дифференциала, замена (2часть)

Практика 12. 2.04.2021. Интегрирование функций, содержащих квадратичный трехчлен в знаменателе.
№№ 1944, 1946, 1804, 1805, 1806, 1945, 1947, 1949.
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
Задание 13. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе (1часть)
Задание 14. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе (2часть)

Практика 13. 5.04.2021. Интегрирование дробно-рациональных выражений (знаменатель имеет действительные корни).
№№ 2014, 2016, без нахожд. коэфф-тов: 2020,
2022, 2025, 2027, без нахожд. коэфф-тов: 2031, 2026.
Интегрирование дробно-рациональных функций
Задание 15 (часть 1). Интегрирование дробно-рациональных функций, содержащих действительные корни в знаменателе.

Практика 14. 9.04.2021. Интегрирование дробно-рациональных выражений (знаменатель имеет комплексные корни). Интегрирование выражений, содержащих иррациональности.
Интегрирование дробно-рациональных выражений (знаменатель имеет комплексные корни): №№ 2036, 2037, 2040, без нахожд. коэфф-тов: 2042, 2044, 2043,
Интегрирование выражений, содержащих иррациональности: №№ 1869, 1870, 1874, 1877, 1879, 2070.
Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений Слайды 2-8
Задание 15 (часть2). Интегрирование дробно-рациональных функций, содержащих комплексные корни в знаменателе.

Практика 15. 12.04.2021. Интегрирование тригонометрических выражений (произведение sin x и cos x).
№№ 2090, Д-1477, Д-1478, Д-1494, Д-1495, Д-1479, Д-1496, Д-1497, Д-1487, Д-1504, Д-1505.
Интегрирование тригонометрических выражений (произведение cos x и sin x)
Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений Слайды 9-29
Задание 16. Интегрирование функций, содержащих иррациональности

Практика 16. 16.04.2021. Интегрирование тригонометрических выражений (Замена t=tg x, t=ctg x). Универсальная тригонометрическая подстановка.
№№ Д-1498, Д-1499, Д-1503, Д-1502, 2105, 2110, дополн.: 2111.
Интегрирование тригонометрических выражений (замена t=tg x и t=ctg x)
Интегрирование тригонометрических выражений
Задание 17. Интегрирование тригонометрических выражений (произведение cos x и sin x)

Практика 17. 19.04.2021. Формула Ньютона-Лейбница. Замена в определенном интеграле.
Формула Ньютона-Лейбница: №№ 2231, 2242, 2232, 2237, 2244, 2255, 2256, 2257,
Замена в определенном интеграле: 2275, 2277, 2278, 2280.
Определенный интеграл Слайды 1-5.
Задание 18. Интегрирование тригонометрических выражений (замена t=tg x и t=ctg x)
Задание 19. Формула Ньютона-Лейбница, метод замены в определенном интеграле

Практика 18. 23.04.2021. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
№№ 2259, 2260, 2264, 2263, 2261
Определенный интеграл Слайды 6-8.
Задание 20. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Практика 19. 26.04.2021. Геометрическое приложение определенного интеграла. Вычисление площади, и длины кривой.
Вычисление площади: №№ 2458, Д-1596, 2485, 2478.
Вычисление длины дуги: №№ 2522, 2524, только вычислить длину: 2531, 2532.
Геометрические приложения определенного интеграла Слайды 1-20.
Задание 21. Приложение определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции

Практика 20. 30.04.2021. Геометрическое приложение определенного интеграла: вычисление объемов тел вращения.
№№ 2555, 2560, 2556, 2565 (взять четверть периода).
Геометрические приложения определенного интеграла Слайды 21-29.
Задание 22. Приложение определенного интеграла. Объем тела вращения

Практика 21. 3.05.2021. Несобственный интеграл (пропадает).
Несобственный интеграл (теория, примеры, задания)
№№ 2366, 2367, 2368, 2376, 2394, 2395, 2397, 2398, 2399, 2400, 2407
Задание 23. Несобственный интеграл.(отменяется)

Практика 22. (пропадает) 7.05.2021.
Область определения ФНП, линии уровня, предел, непрерывность.
№№ 2989, 2989, 3016, 3018, 3003, 3004, 3008, 3010, 3012, 3015 (1,3,4).
Функции двух переменных (основные формулы и примеры)

Практика 23. 14.05.2021. Частные производные. Дифференциал ФНП.
№№ 3036, 3037, 3039, 3044, 3101, 3105, 3104, 3107, 3102, 3106.
Частные производные. Дифференциал ФНП (основные формулы и примеры)
Задание 24 (часть 1). Частные производные. Дифференциал.

Практика 24. 17.05.2021. Повторное дифференцирование ФНП. Тождества.
№№ 3181, 3182, 3190, 3188, 3137, 3199, 3201.
Повторное дифференцирование ФНП
Задание 24. (часть 2) Тождества. Градиент.

Практика 25. 17.05.2021. Дифференцирование сложной и неявной функций.
№№ 3127, 3128, 3124, 3125, 3129, 3145, 3146, 3161, 3440(1,2).
Дифференцирование сложной и неявной функций
Задание 25. Дифференцирование сложной функции

Практика 26. 21.05.2021. Уравнение касательной плоскости и нормали.
№№ 3410, 3411, 3414, 3413 (+ нормали, параллельной вектору s=(-1,1,1)), дополн.: 3415 (использов. градиент).
Уравнение касательной плоскости и нормали
Задание 26. Касательная плоскость и нормаль

Практика 27. 24.05.2021. Обобщающее занятие по ФНП.
Решение задач на повторение.

Практика 28. 28.05.2021. Обобщающее занятие по курсу Математика, II сем.
Консультация.

Технолог. карта:
0.3[1.0(текущ.лекц.аттест.)+0.0(промежут.лекц.аттест)]+ 0.7[6.0(текущ.аттест.практ.)+0.4(промежут.аттест.практ.,НТК)]

Практики:
Дом.раб. №1 - 14 баллов; Контр.раб.№1 - 15 баллов; Дом.раб. №2 - 14 баллов; Контр.раб.№2 - 14 баллов; Дом.раб. №3 - 14 баллов; Контр.раб.№3 - 15 баллов; Посещаемость - 4 балла; Активность - 10 баллов.

Читайте также: