Если на шахматную доску положить рис на каждую клетку

Обновлено: 02.05.2024

Наверное, всем известна легенда о мудреце, который попросил у правителя в качестве награды за изобретение шахмат немного риса. Мудрец пожелал, чтобы на первую клетку шахматной доски положили одно зернышко риса, на вторую - в два раза больше, чем на предыдущую (два зернышка), и так далее, пока не будет заполнена вся доска. Обрадовавшись вначале, вскоре правитель понял, что попал впросак.

Что общего между этой легендой и двоичной системой счисления?

Оказывается, количество рисинок, выкладываемых на каждую из 64 клеток шахматной доски, соответствует весам разрядов двоичного числа. В самом деле, вес первого (младшего) разряда - единица, и на первую клетку кладется одно зернышко. Вес второго разряда - два, и на вторую клетку выкладывается два зернышка. Отсюда, количество зерен, которые должны быть положены на шахматную доску в качестве награды мудрецу, можно представить 64-хразрядным двоичным числом:

Поскольку ни одна клетка не должна быть пропущена, то в каждом из 64-х разрядов двоичного числа стоит 1, и это максимальное число, которое можно записать в 64 двоичных разрядах:

Заглянув в Википедию, я смог произнести это число: 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615.

К слову, это число больше, чем число секунд, прошедших с момента Большого Взрыва:

13800000000 * 365.25 * 24 * 60 * 60 = 435 494 880 000 000 000

Итак, это максимальное целое число, которое можно представить в 64-хразрядном кодовом слове. Большинство изготовляемых сегодня персональных компьютеров оперируют именно 64-разрядными двоичными словами.

Но вернемся к рисовым зернам на шахматной доске.

Если присмотреться к тому, как возрастает количество зерен на доске, то мы увидим, что заполнение каждой следующей клетки удваивает общее количество зерен на доске! Точнее, удваивает и добавляет еще одно зернышко. Вот результаты заполнения нескольких клеток подряд:

N клетки	Кол-во зерен в клетке	Всего зерен на доске
1	1	1
2	2	1 + 2 = 3
3	4	3 + 4 = 7
4	8	7 + 8 = 15
5	16	15 + 16 = 31
6	32	31 + 32 = 63

Так, после заполнения 5 клеток на доске 31 зерно, а после выкладывания еще 32 зерен на 6-ю клетку общее количество зерен становится 63. То есть, на каждую последующую клетку выкладывается зерен на одно больше, чем общее количество зерен на всех предыдущих клетках!

Этим эффектом мы обязаны свойствам позиционной двоичной системы счисления, которую имитирует шахматная доска с рисом. Заполняя очередную клетку, мы добавляем к сумме рисовых зерен число, равное очередной степени двойки. Это все равно, что дописывать к двоичному числу единицу в очередной разряд слева, причем все разряды числа уже содержат единицы:

N клетки	Кол-во зерен в клетке	Всего зерен на доске
1	1 = 12	1 = 12
2	2 = 102	3 = 112
3	4 = 1002	7 = 1112
4	8 = 10002	15 = 11112
5	16 = 100002	31 = 111112
6	32 = 1000002	63 = 1111112

Аналогичный эффект - удваивание числа плюс единица - происходит и в других позиционных системах счисления, а не только в двоичной. Например, дописав 1 слева к десятичному числу 99, получим 199, что соответствует 99 * 2 + 1. Ведь дописав единицу слева, мы прибавили 100 к 99!

Чтобы эффект 'удвоение плюс один' работал, нужно, чтобы разряды числа, к которому слева дописывается единица, имели максимально возможные в данной системе счисления значения. Тогда дописывание к числу единицы слева равносильно прибавлению к нему числа, которое на 1 больше первоначального.

А поскольку в двоичной системе счисления максимально возможное значение разряда - единица, то данный эффект работает при каждом последовательном дописывании единицы слева к двоичному числу из одних единиц. И обращает на себя внимание на шахматной доске с рисом.

Обратим внимание, что сумма весов единичных разрядов двоичного числа равна самому этому двоичному числу. Достаточно посмотреть на последний столбец вышеприведенной таблички.

Справедливость последнего наблюдения следует из известного нам представления k-разрядного числа в виде многчлена:

где b - основание системы счисления, а n₁, . n_k - разряды числа. Для двоичного числа, все разряды которого имеют значение 1, многочлен превращается в сумму весов разрядов:

И еще одно наблюдение над шахматной доской с рисом.

Очевидно, что количества зерен, выкладываемых на клетки доски, - члены геометрической прогрессии, где каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего. И веса разрядов в двоичной позиционной системе счисления, и в других позиционных системах счисления, с которыми мы познакомились, - члены геометрической прогрессии.

Вес каждого следующего разряда (каждый следующий член геометрической прогрессии) равен весу предыдущего разряда (предыдущему члену), умноженному на основание системы счисления (знаменатель геометрической прогрессии):

В статье Считаем до 1000. на пальцах на основе наблюдений мы научились определять количество разных значений, которые можно представить в n разрядах числа по формуле:

Но количество разных значений, которые можно представить в n разрядах числа, равно весу n+1-го разряда. Так, в 2 разрядах десятичного числа можно представить сто разных значений, от 00 до 99:

И вес третьего справа разряда десятичного числа также равен 100. Изменим формулу так, чтобы она давала нам вес n-го разряда:

Это, по сути, формула для получения n-го члена геометрической прогрессии, где первый элемент прогрессии (вес младшего разряда) равен 1. Полностью формула для получения n-ного члена геометрической прогрессии выглядит так:

, где a₁ - первый член прогрессии.

На этом оставляю шахматную доску с рисом мудрецу и правителю. Надеюсь, что требование мудреца было шуткой с его стороны, а правитель обладал достаточным тактом, чтобы мирно разрешить ситуацию.

Сегодня я напишу любимую мною притчу, я знаю что многие из вас ее знают, но она послужит лишь поводом для размышлений в комментариях. А может ктото откроет для себя коечто новое если ее еще не слышал.
Притча про шахматы

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что игра изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель — его звали Сета — явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

— Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал,— сказал царь.

— Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание,— продолжал царь.— Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

— Не робей,— ободрил его царь.— Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его!

— Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

— Повелитель,— сказал Сета,— прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

— Простое пшеничное зерно? — изумился царь.

— Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать два зерна, за третью — четыре, за четвертую — 8, за пятую— 16, за шестую — 32…

— Довольно! — с раздражением прервал его царь.— Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай! Слуги мои вынесут тебе мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

— Повелитель,— был ответ,— приказание твое, исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился — он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь Шерам еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

— Повелитель,— ответили ему,— математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

— Почему медлят с этим делом?! — гневно воскликнул царь.— Завтра, прежде чем я проснусь, всё до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю!

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

— Прежде чем скажешь о твоем деле,— объявил Шерам.— я желаю услышать, выдана ли наконец Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

— Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний' час,— ответил старик.— Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…

— Как бы велико оно ни было,— надменно перебил царь,— житницы мои не оскудеют! Награда обещана и должна быть выдана…

— Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыри. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число,—сказал он в раздумье.

— Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

Всем привет.
Сделал упражнения к книге Бьерна Страуструпа "Программирование. Принципы и практика
использования С++".
Текст упражнений такой:

Мое решение для этих упражнений такое:

При вычислении номера клетки для того чтобы в сумме получить 1000, 1000000, 1000000, 217483647(максимальное значение для int) все хорошо. А вот для максимального значения double не все однозначно. Явно в упражнении не говорится, но Страуструп как я понял говорит только о мантиссе и количестве знаков в ней, порядок в расчет вроде как не берется (иначе максимальное число при потере знаков в мантиссе было бы в степени 308). Поэтому если говорить о мантиссе я думаю, что подразумевалось число 9223372036854775808, т.е 63-я клетка и сумма для нее. Но по факту получаем на этой клетке 9223372036854775800. И сюдя по выводимым значениям начинается это искажение гораздо раньше на значениях 72057594037927936 больше, т.е. сумма после 56-й клетки. Но как тогда определить это искажение в программе? Можно конечно задать константу, в которой будет значение 72057594037927936, вроде оно не перетрется при записи, но думаю такое решение не до конца верно . Отсюда вопрос: какое максимальное значение мантиссы без потери знаков(младшие декады) можно задать для типа double и можно ли его узнать стандартными средствами библиотеки?

upd. Нашел средства библиотеки, которые обеспечивают вывод количества доступных цифр в мантиссе без искажений. Вот пример кода:

Получается, что для типа double это гарантировано пятнадцать цифр. Можно было бы получить это значение в программе и потом считать кол-во цифр суммы при добавлении каждой последующей клетки. Однако как видно при выполнении программы при превышении 15-ти цифр не всегда наблюдается искажение. И в нашем случае с доской искажения нет до 17-ти цифр (72057594037927936 , сумма после 56-й клетки). Получается, что определить кол-во цифр для мантиссы при которых еще не будет искажения для каждого конкретного случая (в частности для нашего) средствами библиотек C/C++ не представляется возможным. Не понятно возможно ли определить клетку и соответствующую ей сумму (клетка 56, сумма 72057594037927936 ) в автоматическом режиме а не просто сравнением с константой полученной более ранним прогоном программы. На данный момент такого варианта не вижу. Может кто-то все таки знает как?

upd Написал вариант решения задачи с типом unsigned long long (8 байт) получается вычислить количество зерен полностью (2^64). В него влезает кол-во зерен всей доски. Если бы было на одно зерно больше то не влезло бы. Решение:

Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Об одной из подобных легенд и математической составляющей ее содержания мы сегодня и поведём речь. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки. Текст легенды приводится в изложении советского учёного и популяризатора физики, математики и астрономии Якова Исидоровича Перельмана (1882–1942), взятого из его замечательной книги "Живая математика".

Давным-давно.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

Сисса бен Дахир (Сасса бен Дахир) – мифический индийский мудрец, которому приписывается изобретение шахмат. Упоминается в ряде сочинений на арабском, персидском, тюркском языках, где изложены легенды о происхождении шахмат. Попытки отождествлять Сисса бен Дахира с историческими личностями научного подтверждения не получили.

– Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, – сказал царь.

– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, – продолжал царь.– Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

– Не робей, – ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

– Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

– Повелитель, – сказал Сета,– прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

– Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

– Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32.

–Довольно, – с раздражением прервал его царь.– Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

– Повелитель, – был ответ, – приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

– Повелитель, – ответили ему,– математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

– Почему медлят с этим делом? – гневно воскликнул царь. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

– Прежде чем скажешь о твоем деле, – объявил Шерам,– я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

– Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час,– ответил старик.– Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико.

– Как бы велико оно ни было, – надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана.

– Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду. С изумлением внимал царь словам старца.

– Назови же мне это чудовищное число, – сказал он в раздумье.

– Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель !

Арабская (X век) и персидская (XIV век) миниатюры. Обратите внимание: доска одноцветная!
Черно-белая доска – это уже более позднее изобретение европейцев.

Число-гигант

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, – но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчетом.

Начав с единицы, нужно сложить числа: 1, 2, 4, 8 и т. д. Иначе эту сумму можно записать так:

1 + 2 + 4 + 8 + . . . = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 .

Последнее слагаемое показывает, сколько причиталось изобретателю за 64-ю клетку доски.

Упростим полученную сумму исходя из следующих соображений. Обозначим

S = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 ,

2S = 2 · (2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 ) = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 64

S = 2S – S = (2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 64 ) – (2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 ) =

= 2 64 – 2 0 = 2 64 – 1.

Необходимое число зёрен

Значит, подсчет сводится лишь к перемножению 64 двоек! (А уж единицу потом вычесть сумеем).

S = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ·

· 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ·

Для облегчения выкладок разделим 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек. Произведение 10 двоек, как легко убедиться, равно 1 024, а 4 двоек – 16. Значит, искомый результат равен

S = 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 16 – 1.

1024 · 1024 = 1 048 576,

S = 1 048 576 · 1 048 576 · 1 048 576 · 16 – 1.

Проявим терпение и аккуратность в подсчётах и получим:

S = 18 446 744 073 709 551 615 .

Это количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год (в 2008 – 2009 аграрном году урожай составил 686 млн тонн), то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества.

В единицах массы: если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит около 1,200 триллионов тонн:

18 446 744 073 709 551 615 · 0,065 гр = 1 199 038 364 791 120 854, 975 гр =

= 1 199 038 364 791, 120 т.

Если массу пшеницы перевести в объем (1 м 3 пшеницы весит около 760 кг), то получится приблизительно 1500 км 3 , что эквивалентно амбару с размерами 10 км х 10 км х 15 км. Это больше всего объёма горы Эверест.

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.

В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно за полгода. И осталось бы отсчитать ещё 1 499 999 999 999 м 3 . Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.

Таблица зерен и их сумм

Для тех, кто буквам и словам предпочитает цифры и числа, приведём таблицу распределения зерен по клеткам шахматной доски и постепенного суммарного роста их количества. Зрелище, по-своему, завораживающее.

Проблема пшеницы и шахматной доски (иногда выражаемая в терминах рисовых зерен) - это математическая задача, выраженная в текстовой форме как:

Если шахматная доска должны были иметь пшеницу возложенную на каждых квадратных таким образом, что один зерна были помещены на первом квадрат, два на втором, четыре на третьем, и так далее (удвоение числа зерен на каждую последующей площади), сколько зерна пшеницы окажется на шахматной доске на финише?

Проблему можно решить простым добавлением . При 64 клетках на шахматной доске, если количество зерен удваивается на последовательных клетках, то сумма зерен на всех 64 клетках составляет: 1 + 2 + 4 + 8 + . и так далее для 64 клеток. Общее количество зерен составляет 18 446 744 073 709 551 615 (восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов, семьсот сорок четыре триллиона, семьдесят три миллиарда, семьсот девять миллионов, пятьсот пятьдесят одна тысяча, шестьсот пятнадцать, более 1,4 триллиона метрических единиц). тонн) - примерно в 2000 раз больше мирового производства - намного больше, чем большинство ожидает.

Это упражнение можно использовать для демонстрации того, как быстро растут экспоненциальные последовательности, а также для введения экспонент, нулевой степени, обозначения заглавной сигмы и геометрических рядов . Обновленная в соответствии с современными временами с использованием пенсов и гипотетического вопроса, такого как «Вы бы предпочли миллион долларов или пенни в первый день, удваиваемый каждый день до 30-го дня?», Формула была использована для объяснения сложных процентов . (Удвоение принесет более десяти миллионов долларов.) [1] [2]

СОДЕРЖАНИЕ

Проблема появляется в разных историях об изобретении шахмат . Один из них включает задачу геометрической прогрессии. Впервые эта история была записана в 1256 году Ибн Халликаном . [3] По другой версии изобретатель шахмат (в некоторых рассказах Сесса , древний индийский министр ) просит своего правителя дать ему пшеницу в соответствии с задачей о пшенице и шахматной доске. Правитель посмеивается над этим, считая его скудным призом за блестящее изобретение, только для того, чтобы придворные казначеи сообщили, что неожиданно огромное количество зерен пшеницы превзойдет ресурсы правителя. Существуют разные версии относительно того, станет ли изобретатель высокопоставленным советником или будет казнен. [4]

Макдоннелл также исследует более раннее развитие темы. [5]

[Согласно ранней истории Индии аль-Масуди] шатрандж или шахматы были изобретены при индийском короле, который выразил свое предпочтение этой игре, а не нардам . [. ] Индейцы, добавляет он, также вычисляли арифметическую прогрессию с квадратами шахматной доски. [. ] Раннее пристрастие индейцев к огромным вычислениям хорошо известно изучающим математику, и подтверждено в трудах великого астронома Арьябатхи (родившийся в 476 году нашей эры). [. ] Дополнительным аргументом в пользу индийского происхождения этого вычисления является арабское название квадрата шахматной доски (بيت, «beit»), «дом». [. ] Поскольку это, несомненно, имеет историческую связь с его индийским обозначением koṣṭhāgāra, «кладовая», «житница» [. ].

Простое решение методом перебора - просто вручную удвоить и добавить каждый шаг в серии:

Ряд может быть выражен с помощью показателей:

и, представленный с заглавной сигмой как:

Это также может быть решено намного проще, используя:

Доказательством чего является:

Умножьте каждую сторону на 2:

Вычтите исходную серию с каждой стороны:

Вышеприведенное решение является частным случаем суммы геометрического ряда, задаваемого формулой

где - первый член ряда, - обыкновенное отношение и - количество членов. a r n

Упражнение по работе с этой проблемой может быть использовано для объяснения и демонстрации экспонент и быстрого роста экспоненциальных и геометрических последовательностей. Его также можно использовать для иллюстрации сигма-обозначений . Выраженный в показателях, геометрический ряд будет следующим: 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . и так далее, вплоть до 2 63 . Основание каждого возведения в степень, «2», выражает удвоение в каждом квадрате, а показатели степени представляют положение каждого квадрата (0 для первого квадрата, 1 для второго и т. Д.).

Иллюстрация второй половины принципа шахматной доски Рэя Курцвейла . Буквы являются сокращениями для метрических префиксов СИ .

В технологической стратегии , то «вторая половина шахматной доски» является фраза, придуманный Рэй Курцвейл , [6] применительно к точке , где экспоненциально растущий фактор начинает оказывать существенное экономическое воздействие на общую бизнес - стратегию организации. В то время как количество зерен в первой половине шахматной доски велико, количество зерен во второй половине значительно (2 32 > 4 миллиарда раз) больше.

Количество зерен пшеницы на первой половине шахматной доски составляет 1 + 2 + 4 + 8 + . + 2 147 483 648 , всего 4 294 967 295 (2 32 - 1) зерен, или около 279 тонн пшеницы (при условии 65 мг как масса одного зерна пшеницы). [7]

Количество зерен пшеницы на второй половине шахматной доски 2 32 + 2 33 + 2 34 + . + 2 63 , итого 2 64 - 2 32 зерна. Это равняется квадрату количества зерен на первой половине доски плюс само количество зерен. Только первый квадрат второй половины содержит на одно зерно больше, чем вся первая половина. Только на 64-м поле шахматной доски будет 2 63 = 9 223 372 036 854 775 808 зерен, что более чем в два миллиарда раз больше, чем на первой половине шахматной доски.

На всей шахматной доске будет 2 64 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615 зерен пшеницы, весом около 1,199 000 000 000 метрических тонн . Это примерно в 1645 раз больше мирового производства пшеницы (729000000 метрических тонн в 2014 году и 780,8 миллиона тонн в 2019 году). [8]

Используйте [ редактировать ]

Карл Саган назвал вторую главу своей последней книги «Персидская шахматная доска» и написал, что, говоря о бактериях, «экспоненты не могут продолжаться вечно, потому что они сожрут все». [9] Точно так же в книге «Пределы роста» эта история используется для представления предполагаемых последствий экспоненциального роста : «Экспоненциальный рост никогда не может продолжаться очень долго в ограниченном пространстве с ограниченными ресурсами». [10]

Читайте также: