Двое по очереди ставят слонов на шахматную доску

Обновлено: 01.05.2024

В процессе игры «Лабиринт» школьнику нужно два раза обойти пять аудиторий, в каждой из которых предлагаются задачи на разные темы (геометрия, игры, комбинаторика, «логика», инвариант) — на первом круге попроще, на втором посложнее; предусмотрены также ещё более сложные дополнительные задачи. Если школьник не справился с задачей, он не может двигаться дальше по кругу прежде, чем посетит специальную аудиторию «Реанимация» и решит там простую задачу или головоломку.

Геометрия

1-й круг

1. Можно ли квадратный лист бумаги 3×3 сложить так, чтобы после одного прямолинейного разреза он распался на квадраты 1×1? 2. В неравнобедренном треугольнике длины всех сторон выражаются целым числом сантиметров. Каким, самое меньшее, может быть периметр такого треугольника? 3. Пятиклассник Петя нарисовал 5 рисунков. На каждом рисунке он изобразил несколько прямых и отметил все их точки пересечения друг с другом. В результате на первом рисунке он отметил всего 1 точку, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4 и на пятом — 5. а) Приведите примеры таких рисунков. б) Про какие из Петиных рисунков можно наверняка сказать, сколько на них проведено прямых? 4. На середине ребра молочного пакета (в форме правильного тетраэдра, такие пакеты для молока были распространены в СССР) сидит паук, которому необходимо добраться до середины противоположного ребра. Как ему это сделать за наименьшее время?

2-й круг

1. Точка M лежит внутри треугольника ABC . Сравните углы ABC и AMC . 2. Квадрат 40×40 разбит на клетки 1×1. Какое наибольшее число клеток может разрезать прямая, пересекающая этот квадрат? 3. Точка M лежит внутри треугольника ABC . Что больше: AM + MC или AB + BC ? 4. Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник? 5. Разрежьте остроугольный треугольник на три трапеции (подразумевается, что нужно уметь резать всякий остроугольный треугольник, а не один конкретный).

Дополнительные задачи

1. Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем ∠ AOC = 60°. Докажите, что AC + BD ≥ 1. 2. В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника). Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника. 3. На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Докажите, что на окружности найдется такая точка, для которой сумма расстояний от неё до всех отмеченных точек будет не меньше 100. 4. Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет большую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся. 5. На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.

В этих задачах, если явно ничего не спрашивается, требуется указать выигрывающую стратегию для одного из игроков.

1-й круг

1. На доске 4×4 в левом нижнем углу стоит король. Его по очереди двигают двое, причем разрешены только ходы вверх, вправо и вверх-вправо. Проигрывает тот, кто не сможет сходить. 2. Есть 30 камней. Два игрока по очереди берут от 1 до 10 камней. Выигрывает тот, кто берёт последний камень. 3. Двое по очереди ломают шоколадку 6×8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. 4. Имеется две кучки камней по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. 5. Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Игроки по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитываем результат. Если он чётен, то выигрывает первый игрок, если нечётен, то второй.

2-й круг

1. Есть две кучки камней: в одной 25, в другой 30 камней. Можно или взять сколько угодно камней из одной кучки, или равное число камней из обеих кучек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. 2. На окружности есть 20 точек. Два игрока по очереди соединяют две точки отрезком, причём нельзя пересекать уже проведённые отрезки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. 3. Двое по очереди ставят шахматных слонов в клетки доски 8×8 так, чтобы слоны не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает? 4. В игре «Кто первым назовёт число 100» участвуют двое. Один называет любое целое число от 1 до 9 включительно. Второй прибавляет к названному числу любое целое число от 1 до 9 и называет сумму. К этой сумме первый снова добавляет любое целое число от 1 до 9, и называет новую сумму. Выигрывает тот, кто назовёт число 100. 5. Два игрока по очереди проводят прямые на плоскости. Каждый делает по 4 хода. Первый игрок выигрывает, если эти прямые разбивают плоскость на чётное число частей, а второй — если на нечётное.

Дополнительные задачи

1. Играют двое. В начале игры есть одна палочка. Первый игрок ломает эту палочку на две части. Далее игроки по очереди ломают на две части любую палочку из имеющихся к данному моменту. Если, сломав палочку, игрок может сложить из всех имеющихся палочек один или несколько отдельных треугольников (каждый — ровно из трёх палочек), то он выиграл. Кто из игроков (первый или второй) может обеспечить себе победу независимо от действий другого игрока? 2. У Коли и Оли есть по верёвке. Сначала Коля разрезает свою верёвку на три части, затем Оля разрезает на три части свою. Если из полученных шести кусков два треугольника (каждый кусок — сторона треугольника), то выигрывает Оля, иначе — Коля.

Комбинаторика

1-й круг

1. На плоскости дано n точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках? 2. На столе лежат 5 яблок и 4 груши. Сколькими способами можно взять два разных фрукта? 3. Сколькими способами можно раскрасить грани тетраэдра (треугольной пирамиды) в четыре цвета? (Тетраэдр разрешается поворачивать.) 4. Бусы — это кольцо, на которое нанизаны бусины. Сколько различных бус можно составить из 10 одинаковых красных бусин и двух одинаковых синих бусин? 5. Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

2-й круг

1. Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева — не пятёрка? 2. Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеется хотя бы 2 одинаковые цифры? 3. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых хотя бы одна четная цифра? 4. Сколькими способами можно раскрасить грани куба в 6 цветов? 5. Сколькими способами можно разложить 9 орехов по трём карманам? (Карманы разные, а орехи одинаковые.)

Дополнительная задача

«Логика»

1-й круг

1. Пять первоклассников стояли в шеренгу и держали 37 флажков. У всех справа от Таты — 14 флажков, справа от Яши — 32, справа от Веры — 20, справа от Максима — 8. Сколько флажков у Даши? 2. В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине? 3. Учитель задал замысловатую задачу. В результате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше — решивших задачу или девочек? 4. Является ли старейший шахматист среди музыкантов старейшим музыкантом среди шахматистов? Является ли лучший шахматист среди музыкантов лучшим музыкантом среди шахматистов? 5. Назовём занятие Малого Мехмата лёгким, если в каждой аудитории найдётся человек, который решил все задачи. Сформулируйте определение сложного занятия. 6. Один из попугаев А, В и С всегда говорит правду, другой всегда врёт, а третий хитрец — иногда говорит правду, иногда врёт. На вопрос «Кто В?» они ответили:
А: — Лжец.
В: — Я хитрец!
С: — Абсолютно честный попугай.
Кто из попугаев лжец, а кто хитрец? 7. Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

2-й круг

1. 12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: «До меня соврали один раз». Другой сказал: «А теперь — дважды». «А теперь — трижды», — сказал третий, и так далее до 12-го, который сказал: «А теперь соврали 12 раз». Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же всего раз соврали кандидаты? 2. Есть 100 коробок, пронумерованных числами от 1 до 100. В одной коробке лежит приз и ведущий знает, где он находится. Зритель может послать ведущему пачку записок с вопросами, требующими ответа «да» или «нет». Ведущий перемешивает записки в пачке и, не оглашая вслух вопросов, честно отвечает на каждый из них. Какое количество записок нужно послать, чтобы наверняка узнать, где находится приз? 3. Юра, Лёша и Миша коллекционируют марки. Количество марок, которых нет у Лёши, меньше, чем количество марок, которые есть и у Юры, и у Лёши. Точно так же, число Лёшиных марок, которых нет у Миши, меньше, чем число марок, которые есть и у Лёши и у Миши. А число Мишиных марок, которых нет у Юры, меньше, чем число марок, которые есть и у Юры и у Миши. Докажите, что какая-то марка есть у каждого из трех мальчиков.

Дополнительные задачи

1. В магазине есть 3 компьютера: американский, который всегда отвечает правду, китайский, который всегда врёт, и русский, который отвечает что попало. Перед покупкой разрешается задать один вопрос любому одному компьютеру. Можно ли задать такой вопрос, чтобы обязательно купить а) не китайский; б) не русский компьютер? 2. Часть жителей некого острова всегда говорят правду, остальные — всегда лгут. Путешественник, оказавшийся на острове, в совершенстве владеет языком островитян, только не помнит, какое из двух слов «пиш» и «таш» означает «да», а какое — «нет». Путешественник дошёл до места, где дорога раздваивалась, причём одна из дорог ведёт в деревню, а другая — в болото. На распутье он встретил аборигена. Сможет ли путешественник, задав всего один вопрос (предполагающий ответ «да» или «нет», т. е. «пиш» или «таш»), узнать, какая из двух дорог ведёт в деревню?

Инварианты

1-й круг

1. В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из двух букв: «М» и «О». Два слова являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или добавления буквосочетаний «МО» и «ООММ», повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке Древнего Племени слова «ОММ» и «МОО»? 2. Можно ли мышкой обойти доску 5×7 без центральной клетки? В каждой клетке доски нужно побывать ровно по одному разу, передвигать мышку можно только в соседнюю по стороне клетку. 3. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b − 1. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

2-й круг

1. На столе лежит куча из 637 ракушек. Из нее убирают одну ракушку и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной ракушки, снова убирают одну ракушку и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех ракушек? Если можно, то сколько нужно для этого сделать ходов и сколько куч получится? 2. На доске написаны числа 30 и 44. За один ход игрок дописывает ещё одно натуральное число — разность (положительную) любых двух, уже написанных, если она ещё не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. 3. В 50 коробках лежат 100 конфет. Девочка и мальчик берут поочерёдно по конфете, начинает девочка. Может ли мальчик добиться того, чтобы последние две конфеты лежали в одной коробке?

Дополнительные задачи

1. В каждой из n стран правит либо партия правых, либо партия левых. Каждый год в одной из стран A может поменяться власть. Это может произойти в том случае, если в большинстве граничащих со страной А стран правит не та партия, которая правит в стране А. Докажите, что смены правительств не могут продолжаться бесконечно. 2. Можно ли доску размерами 4 × N обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле? 3. Дан выпуклый 2 m -угольник A 1 . A 2 m . Внутри его взята точка P , не лежащая ни на одной из диагоналей. Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A 1 ,…, A 2 m .

«Реанимация»

1. Какие из приведённых слов имеют ось симметрии: ТОПОТ, СОН, СЕНО, ВЕС, ТОН, ЭХО, СОСНА, СОК? 2. В одном литре воды содержится 0,00001 миллиграммов золота. Сколько килограммов золота содержится в 1 км 3 морской воды? 3. Маша нарисовала на экране компьютера букву Ы, а потом нажала последовательно три кнопки: «повернуть на 90° по часовой стрелке», «заменить на зеркальное изображение» и «повернуть на 180°». Какую картинку она увидит? 4. Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть? 5. Пять мальчиков нашли 9 грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли равное количество грибов. 6. Докажите, что произведение любых трёх подряд идущих натуральных чисел делится на 6. 7. Замените в записи 645*485* звёздочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 15. 8. Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10? 9. За сутки до дождя Петин кот всегда чихает. Сегодня кот чихнул. «Завтра будет дождь», — подумал Петя. Прав ли он? 10. Что больше: 2010 / 2011 или 2011 / 2012 ? 11. У Кости есть 10 палочек длиной 50 см. Он хочет распилить их так, чтобы получилось 50 палочек длиной 10 см. Сколько распилов ему придется сделать? 12. Разрежьте прямоугольник 3×9 на восемь квадратов.

Задача 8:

Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

В этой игре выигрывает первый, независимо от размеров стола! Первым ходом он кладет пятак так, чтобы центры монеты и стола совпали. После этого на каждый ход второго игрока начинающий отвечает симметрично относительно центра стола. Отметим, что при такой стратегии после каждого хода первого игрока позиция симметрична. Поэтому если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, он побеждает.

Задача 9:

Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Решение задачи легко провести, применяя осевую симметрию шахматной доски. За ось симметрии можно взять прямую, разделяющую четвертую и пятую горизонтали. Симметричные относительно нее поля имеют разный цвет, и, тем самым, слон, поставленный на одно из них, не препятствует ходу на другое. Итак, в этой игре выигрывает второй игрок.

Задача 10:

Имеется две кучки камней – по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

Решение: В этой игре второй игрок побеждает при помощи симметричной стратегии: каждым своим ходом он должен брать столько же камней, сколько предыдущим ходом взял первый игрок, но из другой кучки. Таким образом, у второго игрока всегда есть ход.

Задача 11:

Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Выигрывает второй. Можно использовать и центральную, и осевую симметрию.

Задача 12:

Двое по очереди ставят королей в клетки доски 9 × 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Выигрывает первый. Первый ход в центр доски, а затем – центральная симметрия.

Задача 13:

а) Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски. Очередным ходом надо побить хотя бы одну небитую клетку. Слон бьет и клетку, на которой стоит. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

б) Та же игра, но с ладьями.

Решение:

В обоих пунктах выигрывает первый игрок. а) Осевая симметрия; б) Центральная симметрия. Решающим соображением является то, что если два симметричных поля не побиты, то поля, с которых оба они бьются, также не побиты.

Задача 14:

Дана клетчатая доска 10 × 10. За ход разрешается покрыть любые 2 соседние клетки доминошкой (прямоугольником 1 × 2) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Выигрывает второй. Центральная симметрия.

Задача 15:

В каждой клетке доски 11 × 11 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он снимает центральную шашку, а потом играет центрально-симметрично.

Задача 16:

Имеются две кучки камней: в одной – 30, в другой – 20. За ход разрешается брать любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он уравнивает количество камней в кучках, после чего играет как в задаче 10.

Задача 17:

На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он проводит хорду, по обе стороны от которой расположено по 9 вершин. После этого, на каждый ход второго он отвечает аналогичным ходом по другую сторону от этой хорды.

Задача 18:

У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать хода.

Решение:

В обоих пунктах выигрывает второй игрок. Независимо от хода первого игрока, второй может после своего хода оставить две одинаковые по длине цепочки лепестков. Дальше – симметрия.

Задача 19:

Дан прямоугольный параллелепипед размерами а) 4 × 4 × 4; б) 4 × 4 × 3; в) 4 × 3 × 3, составленный из единичных кубиков. За ход разрешается проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один непроткнутый кубик. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

а) и б) – выигрывает второй. Центральная симметрия. в) Выигрывает первый. Первым ходом он протыкает ряд, состоящий из центральных кубиков четырех слоев 3 × 3. Дальше – центральная симметрия.

Задача 20:

Двое по очереди разламывают шоколадку 5 × 10. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Выигрывает тот, кто первым отломит дольку 1 × 1.

Решение:

В этой игре проигрывает тот, кто отломит кусок ширины 1. Выигрывает первый игрок. Первым ходом он разламывает шоколадку на два куска 5 × 5. Дальше – симметрия.

Задача 21:

Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий ставит крестики, его соперник – нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов – это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше – очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он ставит крестик в центральную клетку. Затем после каждого хода второго игрока первый ставит крестик в центрально-симметричную клетку.

Решение задач, в которых речь идет о достижении цели с помощью последовательности ходов – в частности, требуется выяснить, кто из игроков побеждает в той или иной игре – требует описания стратегии, правила выбора ходов, обеспечивающего достижение цели; в задачах про игры (или в задачах «погони», преследования) при этом требуется доказать, что стратегия обеспечивает выигрыш при любом поведении партнера.

Такие задачи условно можно разделить на три группы:

1) задачи в которых выигрышная стратегия базируется на идее симметрии;

2) задачи, в которых рассуждения ведутся с конца, для отыскания начальных выигрышных позиций;

3) задачи, в которых результат игры не зависит от обоих игроков.

Следует отметить: в задачах с участием игроков, игроки ходят поочерёдно, пропускать ход запрещено.

Задачи с решениями

1. Двое игроков по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга (цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Шахматная доска симметрично относительно своего центра, поэтому, на первый взгляд, второй игрок на каждый ход первого имеет симметричный ход. Но это не так, потому что, если первый игрок поставит слона на клетку главной диагонали, то второй игрок симметричного хода не имеет.

Чтобы решить эту задачу с помощью стратегии, основанной на симметрии, нужно найти симметрию, при которой предыдущий ход соперника не мешает осуществлению выбранной стратегии. За ось симметрии можно взять прямую, разделяющую четвертую и пятую горизонтали. Симметричные относительно неё поля имеют разный цвет, и, тем самым, слон, поставленный на одно из них, не препятствует ходу на другое.

Итак, в этой игре выигрывает второй игрок, если на каждый ход первого игрока будет отвечать ходом симметричным относительно указанной прямой.

2. Двое играют на шахматной доске 8 на 8. Начинающий игру делает первый ход – ставит на доску коня. Затем они по очереди его передвигают (по обычным правилам), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побывал. Проигравшим считается тот, кому некуда ходить. Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его соперник?

Разобьём все квадраты на 32 пары так, чтобы квадраты в одной паре были соединены ходом коня, например так, как показано на рисунке.

Куда бы первый игрок не поставил коня своим ходом, второй игрок переставляет его на парную клетку. Поэтому у второго всегда будет ход, и он проиграть не может.

3. Двое школьников поочередно пишут цифры 2k-значного числа, используя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый школьник, вторую – второй школьник, третью – первый и так далее. Может ли второй школьник добиться того, чтобы полученное число делилось на 9, если первый школьник стремится ему помешать? Рассмотрите случаи k = 10 и k = 15.

Пусть a₁, a₂, … , a_k – цифры, которые последовательно пишет первый, а b₁, b₂, … , b_k – цифры, которые последовательно пишет второй. Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма S цифр этого числа делилась на 9. Поэтому далее будем следить только за величиной

Если k делится на 3 (k = 3m), то второй применив правило

добьется того, что число

будет делиться на 9, какие бы цифры из числа разрешённых не писал первый.

Если же k не делится на 3 (k = 3m + 1 или k = 3m + 2), то первый, действуя по правилу

добьётся того, что сумма цифр написанного числа

не будет делиться на 9. Действительно, если k = 3m + 1, то S = 18m + (3 + b_k) не делится на 9, так как не делится на 9 число 3 + b_k, заключённое между 4 и 8. Если k = 3m + 2, то S = 18m + 9 + b_k не делится на 9, поскольку b_k не делится на 9.

Итак, при k = 15 второй школьник всегда может добиться того, чтобы написанное число делилось на 9. При k = 10 первый школьник всегда может помешать этому.

4. В центре поля, имеющего форму квадрата, находится волк, а в вершинах квадрата – четыре собаки. Волк может бегать по всему полю, а собаки – только по сторонам квадрата. Известно, что волк задирает собаку, а две собаки задирают волка. Максимальная скорость каждой собаки в 1,5 раза больше максимальной скорости волка. Докажите, что собаки имеют возможность не выпустить волка из квадрата.

Пусть v – максимальная скорость волка. Проведем через точку B, в которой находится волк, две прямые, параллельные диагоналям квадрата. Эти прямые в точках С₁, С₂, С₃, С₄, пересекают контур квадрата. В ответ на перемещения точки В в пределах квадрата, точки С₁, С₂, С₃, С₄ так же будут некоторым образом менять своё положение или оставаться на месте (при движении точки В параллельно диагонали).

Время движения точек В и С_k одинаково, поэтому судить о скоростях этих точек можно по проходимым ими расстояниям. Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть точка В проходит расстояние от центра квадрата к его вершине, то есть половину диагонали. За это время некоторые две точки С_i и С_j преодолеют расстояние, равное стороне квадрата. Так как сторона квадрата в корень из 2 раз больше половины его диагонали, то точки С_i и С_j двигались во столько же раз быстрее чем точка В. Большего превосходства в скорости точек С₁, С₂, С₃, С₄ над скоростью точки В быть не может.

Так как скорость перемещения каждой из точек С₁, С₂, С₃, С₄ не больше

то собаки, находясь в каждый момент времени в этих четырех точках, имеют возможность не выпустить волка.

5. На шахматной доске 8 на 8 двое играют в игру «кошки-мышки». У первого одна фишка – мышка, у второго несколько фишек–кошек. Все фишки ходят одинаково: вправо, влево, вверх или вниз на одну клетку. Если мышка оказалась на краю доски, то очередным ходом она спрыгивает с доски. Если кошка и мышка попадают на одну и ту же клетку, то кошка съедает мышку. Играющие ходят по очереди, причем второй передвигает своим ходом всех своих кошек сразу (разных кошек можно при этом сдвигать в разных направлениях). Начинает мышка. Она старается спрыгнуть с доски, а кошки стараются до этого ее съесть.

а) Пусть кошек всего две. Мышка уже поставлена на какую-то клетку не на краю. Можно ли так поставить кошек на краю доски, чтобы они сумели съесть мышку?

б) Пусть кошек три, но зато мышка имеет лишний ход: в первый раз она делает два хода подряд. Докажите, что мышка сможет убежать от кошек, каково бы ни было начальное расположение фишек.

а) При любом положении мышки следует поместить кошек так, чтобы мышка находилась на отрезке между ними, параллельном одной из диагоналей доски, и в ответ на любой ход мышки перемещать кошек так, чтобы мышка по-прежнему была между ними на прямой, параллельной диагонали (рисунок 1).

б) Проведем через мышку два отрезка, параллельных диагоналям, и исключим клетки этих отрезков. В одной из четырем оставшихся частей доски кошек нет, и мышка должна идти в эту часть по направлению к краю. Ясно, что кошки не смогут ее поймать, так как после любого хода кошек перед мышкой в направлении ее движения будет свободная от кошек часть доски (рисунок 2).

6. Каждой вершине куба поставлено в соответствие некоторое неотрицательное действительное число, причем сумма всех этих чисел равна 1. Двое играют в следующую игру. Первый выбирает любую грань куба, второй выбирает другую грань и, наконец, первый выбирает третью грань куба. При этом выбирать грани, параллельные уже выбранным, нельзя. Докажите, что первый игрок может играть так, чтобы число, соответствующее общей вершине трех выбранных граней, не превосходило 1/6.

Среди восьми чисел найдутся три, не превосходящие 1/6. Действительно, если таких чисел не больше двух, то чисел превосходящих 1/6, как минимум шесть. Но тогда сумма этих шести чисел больше 1, чего быть не должно. Как бы три числа, не превосходящие 1/6, не располагались в вершинах куба, два из них обязательно будут стоять на концах диагонали одной из граней. Эту грань и следует выбрать с самого начала первому игроку. Дальнейшие действия игроков не способны помешать достижению цели первого игрока.

7. Тридцать клеток расположены в ряд и занумерованы слева направо в порядке возрастания номеров. На самой левой клетке (с номером 1) стоит белая фишка, на самой правой клетке (с номером 30) – черная. Каждый из двух участников играет фишкой определенного цвета, по очереди передвигая свою фишку на одно или на два поля вперед или назад. Запрещается пропускать ход и перепрыгивать через фишку соперника. Проигравшим считается тот, у кого нет возможности сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?

Покажем, что при правильной игре выигрывает начинающий. Пусть для определенности у него белая фишка. Его выигрыш означает, что у его партнера нет возможности сделать очередной ход, то есть черная фишка стоит в клетке с номером 30, а белая – с номером 29, причем ходить должна черная. Таким образом, задача начинающего – оттеснить черную фишку в клетку с номером 30.

Сначала покажем, что если после очередного хода начинающего его фишка отстоит от фишки партнера на три клетки (рисунок 1), то начинающий при правильной игре обязательно выиграет партию. Если в этой позиции черная фишка сдвинется влево на одну или две клетки, то белая фишка, сдвинувшись вправо соответственно на две или одну клетку, лишит черную фишку возможности двигаться влево при следующем ходе (рисунки 2 и 3). Значит, при следующем ходе черная фишка должна будет отступить на одну или две клетки вправо (пропускать ход и перепрыгивать через фишку соперника нельзя), а так как белая фишка за один ход может сдвинуться вправо на столько же клеток, на сколько при предыдущем ходе вправо сдвинулась черная фишка, то ясно, что белая фишка оттеснит черную фишку на клетку с номером 30, если будет повторять ходы черной фишки.

Если же в позиции, изображенной на рисунке 1, черная фишка сразу сдвинется на одну или две клетки вправо, то белая фишка, ответив тем же, снова займет положение, при котором ее будут отделять от черной фишки три клетки, и мы опять приходим к исходной позиции.

Таким образом, если в рассмотренной позиции ход должен делать играющий черной фишкой, то играющий белой фишкой при правильной игре обязательно выиграет.

Итак, стратегия начинающего ясна: необходимо занять позицию, изображенную на рисунке 1, то есть, оказаться в положении, когда после хода белой фишки ее отделяет от черной расстояние в три клетки. Покажем, как этого можно добиться.

В начальный момент белую и черную фишки разделяют 28 клеток. Если, следовательно, на первом ходу белая фишка передвинется вправо на одну клетку, то ее будет отделять от черной фишки расстояние в 27 клеток. Как бы теперь ни переместилась черная фишка, белая всегда может переместиться так, что расстояние между ними станет равно 24 клеткам. Если черная фишка сдвинется влево на одну или две клетки, то белая сдвинется вправо соответственно на две или одну клетку. Если и далее черная фишка будет продолжать двигаться влево, то белая будет двигаться вправо так, чтобы расстояние, разделяющее их после очередного хода белой фишки, делилось бы на 3. При этом всякий раз после того, как черная и белая фишки сделают по одному ходу, расстояние между ними уменьшится на 3. Следовательно, если черная фишка будет двигаться только влево, то через несколько ходов ее будут отделять от белой 3 клетки, то есть, после некоторого хода белой фишки возникнет ситуация, изображенная на рисунке 1.

Если же черная фишка двинется вправо, то на столько же клеток двинется вправо и белая фишка, так что расстояние между ними сохранится. Поскольку черная фишка не может все время двигаться только вправо, то наступит момент, когда она двинется влево, а тогда после надлежащего перемещения белой расстояние между белой и черной фишками уменьшится на 3, и так далее. В итоге после некоторого хода белой фишки расстояние между фишками станет равным 3, возникнет позиция, изображенная на рисунке 1, и, значит, партию выиграет начинающий.

8. На прямой находятся паук и муха. Максимальная скорость паука вдвое больше максимальной скорости мухи, но он ничего не знает о месторасположении мухи до тех пор пока они не окажутся в одной точке. Сможет ли паук догнать муху?

Предположим, что в начальный момент времени паук находится в положении 0. Паук движется по маршруту

0, 4 0 , –4 1 , 4 2 , –4 3 , 4 4 , . . .

Пусть скорость паука 2, а скорость мухи 1. Пусть начальное положение мухи х (х > 0).

Чтобы оказаться в точке 4 2n пауку следует преодолеть расстояние равное

2 · (4 0 + 4 1 + 4 2 + . . . + 4 2n–1 ) + 4 2n = (2/3) · (4 2n – 1) + 4 2n = (5/3) · 4 2n – 2/3.

При скорости 2 для преодоления этого расстояния пауку потребуется

единиц времени. Муха за это время будет не далее чем в положении

1 · ((5/6) · 4 2n – 1/3) + х = (5/6) · 4 2n – 1/3 + х

При n > (1/2) · log₄(6x) верно неравенство

4 2n > (5/6) · 4 2n – 1/3 + х.

Следовательно, паук догонит муху.

9. На доске написано уравнение

x 3 + . . . + x 2 + . . . + х + . . . = 0.

Двое играют в такую игру. Первый ставит на любое из пустых мест целое число, отличное от нуля (положительное или отрицательное). Затем второй ставит целое число на одно из оставшихся мест. Наконец, первый ставит целое число на последнее свободное место. Докажите, что первый может играть так, чтобы независимо от хода второго все три корня получившегося уравнения оказались целыми числами.

Если первый игрок поставит –1 перед x в первой степени, а при втором своем ходе он поставит на последнее оставшееся место число, противоположное тому, которое поставил второй, то получится многочлен вида

x 3 – a·x 2 – х + a = (x 2 – 1)·(х – а).

Корни этого многочлена –1, 1, а – целые числа.

10. Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?

Ясно, во-первых, что второй может гарантировать себе ничью: ему достаточно всё время писать числа с суммой цифр 1 (например, просто число 1 ) – действительно, он делает не больше ходов, чем первый, и на каждом ходе пишет число с не большей суммой цифр. Более того, по той же причине первый игрок проиграет, если хотя бы один раз напишет число с суммой цифр больше 1.

Пусть теперь оба игрока пишут только числа с суммой цифр 1 – 1, 10, 100, 1000 или 10000. Тогда проиграть второй не может, а чтобы выиграть, ему нужно вынудить противника сделать больше ходов, или, что то же самое, сделать последний ход.

Докажем, что отвечая на числа 10 и 1000 числом 1, а на числа 100 и 1 числом 10, второй игрок добьётся успеха. Действительно, после каждого его хода сумма чисел на доске делится на 11, а 10000 на 11 не делится. Поэтому остаётся лишь проверить, что такой ход всегда легален – то есть что после него сумма не станет больше 10000. Для этого заметим, что первое большее 10000 число, делящееся на 11, – это 10010, а его нельзя получить, прибавляя 1 или 10 к числу, меньшему 10000 .

Можно показать, что если заменить 10000 в условии на произвольное число N, то второй игрок может выиграть тогда и только тогда, когда N даёт нечётный остаток при делении на 11 .

Ответ: второй игрок может выиграть.

Задачи без решений

1. На листе бумаги расположены 22222 точек, являющихся вершинами правильного 22222-угольника. Двое игроков по очереди соединяют эти точки отрезками. За один ход разрешается соединить любые две точки так, чтобы проведённые отрезки не пересекались. Проигрывает тот, у кого нет хода. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его соперник?

2. Границей леса является прямая k. На перпендикуляре АС к прямой k в точках А и В (АВ = ВС) находятся заяц и волк соответственно.

Оба они бегут с постоянными скоростями, причём скорость зайца вдвое больше скорости волка. Заяц будет схвачен волком в некоторой точке, если в эту точку волк сможет прибежать или раньше зайца, или одновременно с ним. Заяц выбирает на k точку D и бежит в лес по отрезку AD. Как выбрать точку D, чтобы заяц не мог быть схвачен волком на отрезке AD?

3. В ряд записаны 12 звёздочек. Двое игроков по очереди записывают вместо звёздочек цифры. Если полученное 12-значное число делится на 77, то выигрывает второй игрок, иначе первый. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его соперник?

4. Написано 20 чисел: 1, 2, . , 20. Двое играющих по очереди ставят перед этими числами знаки «+» или «–» (знак можно ставить перед любым свободным числом). Первый стремится к тому, чтобы полученная после расстановки всех 20 знаков сумма была как можно меньше по модулю. Какую наибольшую по модулю сумму может обеспечить себе второй?

5. Трое играют в такую игру. Каждый по очереди кладёт на круглый стол пятикопеечную монету, монеты могут касаться, но не должны накладываться друг на друга. Проиграет тот, чья монета не поместится на столе. Докажите, что первый и третий игроки (по порядку ходов) могут так договориться, что второй игрок будет всегда в проигрыше.

1. Ладья стоит на поле al. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8. Кто из игроков обладает выигрышной стратегией?

РЕШЕНИЕ: Выигрышная стратегия есть у второго игрока: каждым ходом он может возвращать ладью на диагональ a1-h8. Первый игрок вынужден будет каждый раз уводить ладью с этой диагонали. Поскольку поле h8 принадлежит диагонали a1-h8, на него сумеет поставить ладью именно второй игрок.

2. Двое играют на шахматной доске, передвигая по очереди одного короля, начальное положение которого – правый верхний угол. Допускаются ходы на одно поле влево, вниз или влево-вниз по диагонали. Выигрывает тот, кому удастся поставить короля на левый нижний угол. Кто выигрывает при правильной игре?

РЕШЕНИЕ: Выигрывает первый игрок, если свой первый и последующие ходы он совершает на черные поля параллели находящейся ниже текущей.

3. Двое по очереди ставят по одному коню на шахматную доску. Нельзя ставить фигуру под бой ранее поставленной (не важно, самим игроком или его противником) фигуры. Кто не может сделать ход, проигрывает. Кто победит при правильной игре?

РЕШЕНИЕ: Выигрывает второй игрок. Для него существует выигрышная стратегия, основанная на симметрии: для победы ему достаточно всякий раз делать ход, симметричный ходу первого игрока относительно центра доски.

4. Двое по очереди ставят слонов на клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет.) Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков обладает выигрышной стратегией?

5. Квадрат разделен прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадратики. Первоначально в левом нижнем квадратике стоит фишка. Двое школьников играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается передвинуть фишку на любое количество квадратиков вверх или вправо. Школьник, который не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер.

РЕШЕНИЕ: Выигрывает тот, кто вступает в игру вторым, его стратегия такова: в ответ на любой ход начинающего он ставит фишку на клетку, расположенную на диагонали, идущей из правого верхнего угла.

6. Прямоугольник разделен прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадратики. Первоначально в левом нижнем квадратике стоит фишка. Двое школьников играют в такую игру. Ходят по очереди, за ход разрешается передвинуть фишку на любое число квадратиков вверх или вправо. Школьник, который не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим диагональ из клеток, начиная с верхней правой. Выигрывает начинающий, если первым своим ходом ставит фишку на указанную диагональ, а затем в ответ на каждый ход противника возвращает фишку на эту диагональ.

7. Дана белая доска размером 100 х 100 клеток. Двое по очереди красят ее клетки в черный цвет, причем первый всегда закрашивает квадрат 2 х 2, а второй— три клетки, образующие “уголок”. Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?

РЕШЕНИЕ: Второй выигрывает.

В одном из углов доски второй играющий своим первым ходом закрашивает три клетки в прямоугольнике 2x3 (рис. 13), а три оставшиеся клетки из этого прямоугольника объявляет "заповедником". В дальнейшем второй делает любые возможные ходы, не затрагивающие клетки "заповедника". Если такой ход становится невозможным, то он закрашивает клетки заповедника. Легко понять, что ответного хода у первого играющего нет.

8. Дана полоска клетчатой бумаги длиной в 100 клеток. Двое играющих по очереди красят клетки в черный цвет, причем первый всегда красит четыре подряд стоящие клетки, а второй — три подряд стоящие. Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?

РЕШЕНИЕ: При правильной игре выигрывает второй.

Своим первым ходом второй игрок закрашивает три клетки, отступив на три клетки от одного из краев полосы (рис. 14) и объявив три не закрашенные крайние клетки “заповедником”.

В дальнейшем второй игрок может делать любые возможные ходы, не вторгаясь в заповедник. Если таких ходов у него больше не осталось, то он закрашивает клетки заповедника. Разумеется, у первого игрока в такой ситуации ответного хода нет.

9. Двое по очереди записывают натуральные числа от 1 до 25 в клетки таблицы 5x5, причем каждое число может быть записано только один раз. Если после заполнения всей таблицы сумма чисел в каком-нибудь столбце или в строке равна 70, то выигрывает начинающий, в противном случае выигрывает его соперник. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть, чтобы выиграть?

РЕШЕНИЕ: Выигрывает начинающий.

Начинающий первым ходом ставит в угол число 24. Затем он разбивает все клетки на пары (рис. 15), а числа— на 11 “хороших” пар с суммой 23 (1 + 22, 2 + 21. 11 + 12) и одну “плохую” пару 23, 25. В дальнейшей игре, после того как второй игрок записывает число в какую-то клетку некоторой пары, первый ставит парное по отношению к нему число в оставшуюся клетку. “Плохая” пара одна, значит, ее нет либо в строке, либо в столбце, содержащем 24, а 24 в сумме с двумя хорошими парами дает 70.

В строчку написано несколько минусов. Два игрока по очереди переправляют один или два соседних минуса на плюс. Выигрывает игрок, переправивший последний минус. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?

РЕШЕНИЕ: Начинающий выигрывает, разбив первым ходом минусы на два "куска" равной длины. После этого начинающий может каждым ходом переправлять минусы, симметричные тем, которые перед этим переправил второй.

Двое покрывают поверхность стола монетами одного достоинства. (Монеты кладут без нахлеста.) Проигрывает тот, кто не сможет положить монету. Кто выигрывает при правильной игре

РЕШЕНИЕ: Выигрывает первый игрок, если свой первый ход он делает в центр стола, а последующие симметрично тем, которые делает второй игрок. (Симметрия может быть как центральная, так и центрально-осевая.)

Двое по очереди обрывают лепестки у ромашки, причем за один раз можно оборвать один или два соседних (рядом растущих) лепестка. Выигрывает тот, кто сделает последний ход. Кто выигрывает при правильной игре?

РЕШЕНИЕ: Выигрывает второй игрок, если своим первым ходом он разделит число оставшихся лепестков, на две равные по количеству части, проведя тем самым воображаемую ось симметрии. Осуществляя этот шаг, он должен учесть четное или нечетное количество лепестков было у ромашки первоначально. Затем он повторяет каждый раз ход, сделанный начинающим игроком, симметрично относительно проведенной воображаемой оси.

На доске через запятую выписаны числа 1, 2, . 99. Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак “+” или знак “ ” (“умножить”). После того как запятых не останется, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечетным числом, то выигрывает первый, а если четным — второй. Кто выигрывает при правильной игре?

РЕШЕНИЕ: Выигрывает второй игрок.

Для достижения успеха второй игрок может пользоваться симметричной стратегией: если первый ставит какой-то знак между числами k и k + 1, то второй ставит такой же знак между числами 99-k и 100 - k. Выражение, которое получится в конце игры, будет содержать несколько слагаемых-произведений, причем слагаемое, содержащее число 50, является четным, а остальные слагаемые естественным образом разобьются на пары “симметричных” слагаемых одинаковой четности. Таким образом, выражение, полученное в конце игры, окажется четным.

На доске записаны числа 1, 2, 3, …, 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остается два числа. Если их сумма делится на 3, побеждает тот, кто делал первый ход, если нет – его партнер. Кто из них выигрывает при правильной игре?

РЕШЕНИЕ: При правильной игре выигрывает второй игрок, если он, выбрав симметричную стратегию, будет стирать относительно воображаемой прямой, проходящей между числами 500 и 501, числа, симметричные тем, которые стер первый игрок. Каждая такая пара чисел, в том числе и оставшаяся, в сумме дает число 1001, которое не делится на 3, т. к. сумма цифр числа 1001 равна 2.

На окружности даны 20 точек. Двое по очереди проводят хорду с концами в этих точках так, чтобы хорды не пересекались. Проигрывает тот, кто не сможет провести хорду. Кто победит при правильной игре?

РЕШЕНИЕ: Начинающий игрок победит. Его выигрышная стратегия такова: своим первым ходом он проведет хорду, разбивающую остальные 18 точек на две равные части. Каждым следующим ходом будет строить хорды, соединяя точки в том же порядке, как и второй игрок, соблюдая симметрию относительно первой хорды.

Математические игры с цифрами и числами.

Играют двое. Первый пишет на доске ненулевую цифру. Второй приписывает справа к ней некоторую цифру. Затем первый приписывает слева к получившемуся числу некоторую цифру. Первый стремится к тому, чтобы получившееся на доске трехзначное число делилось на 11, а второй хочет ему помешать. Кто выигрывает при правильной игре?

РЕШЕНИЕ: Второй игрок не сможет помешать выиграть своему сопернику, если первый игрок, учитывая условия признака делимости на 11, в разряде сотен будет писать цифру, дающую в сумме с цифрой из разряда единиц число, которое при делении на 11 дает остаток, записанный ненулевой цифрой первого хода.

Двое по очереди пишут цифры со старшего разряда по порядку вплоть до младшего. Начинать с нуля нельзя, а остальные цифры — совершенно произвольные. Если число разделится нацело на 11, то победителем объявляется игрок, написавший последнюю цифру, а если не разделится, то победителем считается написавший предпоследнюю цифру. Кто выиграет при правильной игре, если всего должно быть написано: а) 6 цифр; б) 7 цифр?

РЕШЕНИЕ: а) Выигрывает второй, копируя цифры первого. Получается число вида , которое делится на 11.

в) Выигрывает второй, если на втором месте напишет цифру, которая меньше предыдущей на 1, затем будет копировать цифры, написанные первым игроком. Получается число вида . Какую бы цифру ни поставил вместо первый игрок, на 11 число делиться не будет, так как сумма цифр, стоящих на четных местах, равна а+в+с-1, а сумма цифр, стоящих на нечетных местах, еще без последней цифры уже равна а+в+с.

В игре "Кто первым назовет число 100", содержащейся уже в собрании задач по "занимательной" математике, составленной Баше в 1612 году, участвуют двое. Один называет любое целое число от 1 до 9 включительно. Другой прибавляет к названному числу любое целое число от 1 до 9 и называет сумму. К этой сумме первый снова добавляет любое целое число от 1 до 9 и называет новую сумму. Выигрывает тот, кто назовет число 100. Кто выигрывает при правильной игре?

РЕШЕНИЕ: Второй игрок выигрывает, называя числа, дополняющие число, названное первым игроком до числа, кратного 10.

Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль. Кто выигрывает при правильной игре.

РЕШЕНИЕ: В этой игре выигрывает тот, кто получит единицу. Проигрышными позициями являются нечетные числа. Побеждает первый.

6. На доске сначала написано число 1. Чуня прибавляет к нему 3, 5 или 7. К результату Проня должен прибавить 3, 5 или 7 так, чтобы получилось простое число. Затем опять Чуня прибавляет 3, 5 или 7 и т. д. Если Проня не сможет получить простое число, то он проиграет. Если же Проня получит простое число, большее 100, то он выиграет. Кто выиграет при правильной игре?

РЕШЕНИЕ: В первой сотне есть лишь одна тройка последовательных нечетных составных чисел: 91, 93 и 95. Поэтому единственный шанс остановить игру в пределах первой сотни — получить число 88. Чуня может это сделать, называя числа 8, 18, 28, . 88. (В самом деле, если Проня прибавит 3, то Чуня прибавит 7; если 5 — то 5; если 7 — то 3.)

Имеются одинаковые кучи камней. Двое играющих берут по очереди любое число камней из любой кучи, но только из одной. Выигрывает игрок, взявший последние камни. Кто выиграет при правильной игре, если было: а) 2 кучи камней; б) 3 кучи камней?

РЕШЕНИЕ: а) Второй игрок выиграет, поддерживая равенство куч, повторяя ходы начинающего игрока. б) Начинающий выигрывает. Он забирает за один ход все камни из одной кучи, а затем каждым ходом уравнивает количества камней в двух оставшихся кучах.

8. В одной куче 18 конфет в другой – 23. Двое по очереди съедают одну из куч, а другую делят на две кучи. Кто не может поделить (если в куче одна конфета), проигрывает. Есть ли у начинающего выигрышная стратегия?

РЕШЕНИЕ: Да, у начинающего есть выигрышная стратегия: съедает кучу с нечетным числом конфет, а с четным - делит на две кучи, содержащие обязательно нечетное число конфет каждая. Второму игроку ничего не остается делать, как съедать одну кучу с нечетным числом конфет, а другую делить на кучи с четным и нечетным числом конфет. Рано или поздно получатся две кучки, содержащие по одной штучке конфет каждая. Второй игрок съедает одну из конфет и проигрывает.

9. Двое играют в следующую игру: имеется две кучки конфет. Играющие делают ходы по очереди. Ход состоит в том, что играющий съедает одну из кучек, а другую делит на две (равные или неравные) части. Если он не может разделить кучку, так как в ней всего одна конфета, то он ее съедает и выигрывает. В начале в кучках было 33 и 35 конфет. Кто выигрывает, начинающий или его партнер, и как для этого надо играть?

РЕШЕНИЕ: Первым ходом начинающий должен съесть кучку в 33 конфеты, а другую разделить на кучки в 17 и 18 конфет. В дальнейшем он должен играть так, чтобы оставлять партнеру в обеих кучках 5k+2 или 5k+3 конфет (проверьте, что он сможет этого добиться). Таким образом, его партнер вынужден будет делить кучку в 2 или в 3 конфеты и проиграет.

10. Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычеркивает одно число из ряда до тех пор, пока не останется два числа. Если сумма этих чисел делится на 5, то выигрывает первый игрок, если не делится – то второй. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?

РЕШЕНИЕ: Числа этой последовательности можно разбить на 12 "хороших" пар, в которых числа дополняют друг друга в сумме до числа, оканчивающегося цифрой 5 и делящегося на 5 без остатка (например, 1+4, 2+3,…). Только три числа, запись которых оканчивается цифрами 5,6,7, не имеют пары. Первый выигрывает, если он, учитывая это, первым ходом вычеркнет одно из трех чисел, оканчивающееся цифрой 5 (5,15 или 25). Затем, начиная со своего второго хода, будет вычеркивать числа, образующие "хорошие" пары с теми, которые ходом раньше вычеркнул второй игрок, но при этом должен не упустить момент избавиться от "плохой" пары, имеющей числа, в записи которых на последнем месте цифры 6 и 7. От нее он должен избавиться в тот момент, как только второй игрок удалит своим очередным ходом одно из чисел 6,7,16,17,26 или 27 (например, второй вычеркнул 16, тогда первый должен вычеркнуть 7,17 или 27). Это случится раньше, чем закончится игра, т. е. последняя пара чисел будет "хорошей", что говорит о победе первого игрока.

11. Играют двое. Первый называет произвольное целое число от 2 до 9. Второй умножает это число на произвольное целое число от 2 до 9. Затем первый умножает результат на любое целое число от 2 до 9 и т. д. Выигрывает тот, кто первым получит произведение, большее 1000. Кто при правильной игре выигрывает - начинающий или его партнер? Каков секрет победы?

РЕШЕНИЕ: Используя метод "Анализ с конца", можно числовой промежуток от 2 до 1000 разбить на числовые промежутки, одни из которых являются выигрышными позициями, а другие проигрышными позициями. Так как - выигрышная позиция, то - проигрышная позиция, - выигрышная позиция, - проигрышная позиция, - выигрышная позиция, - проигрышная позиция, - выигрышная позиция, - проигрышная позиция. Значит, начинающий игрок выигрывает, если называет число 4,5 или 6, а затем, выбирает такие числа, которые позволяют перемещаться по выигрышным позициям. Если его партнер попал в выигрышную позицию, то начинающий своим следующим ходом, должен назвать такое число, которое позволит ему опять занять выигрышную позицию. Чтобы не переводить однажды проигрышную позицию в выигрышную, можно промежутки , , объединить в один промежуток , который будет являться проигрышной позицией.

Читайте также: