Длинная жесткая доска может свободно вращаться вокруг оси
Обновлено: 08.05.2024
Ниже приведены условия задач и отсканированные листы с решениями. Загрузка страницы может занять некоторое время.
106. Тело брошено под углом α=30° к горизонту со скоростью V0 = 30м/с. Каковы будут нормальное аn и тангенциальное аτ ускорения тела через время t=1с после начала движения?
116. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса его m = 60 кг, масса доски M = 20 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски) V1 = 1 м/с? Массой колес и трением пренебречь.
126. Шар массой m= 4 кг движется со скоростью V0 = 5 м/с и сталкивается с шаром массой M = 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью V = 2 м/с. Определить скорости V1 и V2 шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.
136. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на Δl = 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h =8 см?
146. По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью V = 8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь S = 18 м.
156. Однородный стержень длиной L=1,0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой m1=7 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массу m2 стержня, если в результате попадания пули он отклонится на угол α=60°. Принять скорость пули V1=360 м/с.
166. На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.
176. Определить период Т колебаний математического маятника, если его модуль максимального перемещения Δr=18 см и максимальная скорость Vmax=16 см/с.
Два горизонтальных диска свободно вращаются в разных направлениях вокруг вертикальной оси, проходящей через из центры. Массы дисков 5кг и 20кг, их радиусы 0,4м и 0,2м, угловые скорости 10рад/c и 20рад/c соответственно. После падения верхнего на нижний оба диска вследствие силы трения между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Определите изменение суммарной кинетической энергии.
Эта задача по сути очень похожа на задачи на закон сохранения импульса, только здесь нужно применить не закон сохранения импульса, а закон сохранения момента импульса. Для решения подобных задач удобно проводить аналогию между линейным движением и вращательным. Аналогия такая:
масса - момент инерции
импульс - момент импульса
скорость - угловая скорость
ускорение - угловое ускорение
кинетическая энергия - кинетическая энергия.
Теперь попробуем применить это к решению задачи.
Обозначим:
m1=5кг - масса первого диска
m2=20кг - масса второго диска
r1=0,4м - радиус первого диска
r2=0,2м - радиус второго диска
Выберем в качестве положительного направления вращения направление вращения второго диска:
ω1=-10рад/с
ω2=20рад/с
Vo - общая скорость двух дисков после того, как они стали вращаться как единое целое.
Момент инерции диска, вращающегося вокруг своей оси, как вы должны знать, I=1/2mr².
Для первого диска I1=1/2m1r1²=1/2·5·0,4²=0,4кг·м².
Для второго диска I2=1/2m2r2²=1/2·20·0,2²=0,4кг·м².
Момент импульса - L=Iω.
Для первого диска L1=I1ω1=0,4·(-10)=-4кг·м²/c
Для второго диска L2=I2ω2=0,4·20=8кг·м²/c
После того, как диски стали вращаться как единое целое, их скорости сравнялись, а общий момент импульса системы стал равным суммарному моменту инерции двух дисков, умноженному на общую угловую скорость:
Lo=(I1+I2)ωo = (0,4+0,4)ω0=0,8кг·м²·ω0
Запишем закон сохранения момента импульса:
L1+L2=Lo
-4+8=0,8ω0
4=0,8ω0
ω0=5рад/с
Кинетическая энергия дисков в начальный момент: 1/2I1ω1²+1/2I2ω2²=1/2(I1ω1²+I2ω2²)=40+160=200Дж
Кинетическая энергия в конечный момент: 1/2Iоωо²=0,8·5²=20Дж
Изменение суммарной кинетической энергии: 200-20=180Дж.
До падения: момент импульса первого диска: L₁=J₁ω₁; Второго диска: L₂=-J₂ω₂. Кинетической энергии: E₁=J₁ω₁²/2; E₂=J₂ω₂²/2После взаимодействия: момент импульса: L₃=J₃ω₃; Кинетическая энергия: E₃=J₃ω₃²/2. Момент инерции «слипшихся» дисков: J₃=(m₁/4+m₂)R₂²/2+(3m₁/4)(R₂²+R₁²)/2=(m₁+m₂)R₂²/2+3m₁R₁²/8А дальше просто: L₃=L₁+L₂; J₃ω₃=J₁ω₁-J₂ω₂; Отсюда находим ω₃, подставляет в формулу кинетической энергии Е₃, и находим разность Е₃-(Е₁+Е₂)
2020-06-09
Гладкая доска, лежащая на цилиндре, может свободно вращаться вокруг проходящей через ее конец оси, прикрепленной к столу. Ось цилиндра и ось вращения доски параллельны. Определите угловую скорость вращения доски в тот момент, когда цилиндр катится по столу без проскальзывания с угловой скоростью $\omega$, удаляясь от
закрепленного конца доски, а доска образует со столом угол $\alpha$ (рис.).
На рисунке сплошной линией показано положение сечения цилиндра вертикальной плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, в тот момент времени $t$, когда доска, лежащая
на нем, образует со столом угол $\alpha$. Пунктирной линией изображено положение указанного сечения по прошествии небольшого промежутка времени $\Delta t$. Считая (как обычно это и делается при решении подобных задач) цилиндр, стол и доску твердыми телами, можно утверждать, что прямая, проходящая через вершину угла и центр сечения цилиндра, является биссектрисой угла $\alpha$.
Поскольку цилиндр катится по столу без проскальзывания с угловой скоростью $\omega$ и его ось остается параллельной оси вращения доски, ось цилиндра за промежуток времени $\Delta t$ переместится на расстояние $\Delta s = r \omega \Delta t$, где $r$ - радиус цилиндра, а доска повернется на угол $\Delta \alpha$. Учитывая, что выбранный промежуток времени $\Delta t$ достаточно мал, можно считать, что угол $\Delta \alpha$ мал и вращение доски в течение этого промежутка времени неотличимо от равномерного. Поэтому, если искомую скорость вращения доски обозначить $\Omega$, то $\Delta \alpha = \Omega \Delta t$. С другой стороны, из геометрии получим
$r \left ( ctg \frac< \alpha - \Delta \alpha > - ctg \frac< \alpha > \right ) = r \omega \Delta t$.
Поскольку $ctg \alpha - ctg \beta = \frac< \sin ( \beta - \alpha ) >< \sin \alpha \sin \beta >$, а синус малого угла paвен самому углу (измеренному в радианной мере), искомая угловая скорость равна
Разделы ![]()
Дополнительно
Задача по физике - 4982
Если $m$ — масса материальной точки, $r$ — радиус окружности, по которой она движется, $v$ и $\omega$ — линейная и угловая скорости ее, то центростремительная сила, удерживающая точку на окружности обращения, может быть выражена двумя формулами:
Как же может быть, чтобы одна и та же величина была одновременно и прямо пропорциональна и обратно пропорциональна радиусу?
Задача по физике - 4983
Центробежная сила инерции обратно пропорциональна радиусу окружности, по которой движется материальная точка. Следовательно, при достаточно малом радиусе эта сила может достигнуть произвольно большой величины. Почему же частицы, лежащие вблизи полюса Земли, не отрываются и не улетают в космическое пространство?
Задача по физике - 4984
На оси центробежной машины укреплена доска, на которой установлен стеклянный цилиндрический сосуд с водой. Ко дну сосуда прикреплена нить, на другом конце которой привязан пробковый шарик (рис.). Другой, такого же радиуса металлический шарик подвешен на нити, закрепленной в крышке сосуда. Как расположатся шарики при вращении доски?
Решение. Вследствие инерции оба шарика, двигаясь по касательной к окружности обращения, отклонятся от оси центробежной машины.
Опыт показывает другое: металлический шарик действительно отклоняется от оси, а пробковый, наоборот, приближается к ней. Как объяснить этот парадокс?
Задача по физике - 4985
Паровая реактивная турбина (рис.) укреплена на оси, которая нижним заостренным концом упирается в подпятник на тарелке. Тарелка в свою очередь может свободно вращаться вокруг вертикальной оси; на ней находится кольцеобразный желобок с сухим спиртом для нагревания турбинки. При нагревании турбинка начнет вращаться по направлению часовой стрелки, если смотреть сверху. Между турбинкой и тарелкой действует только небольшая сила трения, которая должна замедлять вращение турбинки и приводить тарелку во вращение в том же направлении. Однако опыт показывает, что тарелка вращается в противоположную сторону. Как объяснить наблюдаемый парадокс.
Задача по физике - 4986
Два цилиндра A и В во всем сходны, кроме высоты (следовательно, имеют различные массы). Если их поместить на одинаковую высоту на наклонную плоскость (рис.), то они скатываются к основанию за одно и то же время.
Но ведь моменты инерции у цилиндров разные. Значит, должны быть разными и угловые скорости и время скатывания. Как объяснить этот парадокс?
Задача по физике - 4987
Во многих учебниках для средней школы говорится, что потенциальная энергия тела, поднятого над Землей, пропорциональна высоте подъема. Если же для выражения силы тяжести воспользоваться формулой закона тяготения Ньютона, то изменение потенциальной энергии оказывается зависящим от разности $\left ( \frac<1> - \frac<1> \right )$, где $R$ - радиус Земли, а $r$ - расстояние от центра Земли до данного тела. Как согласовать эти результаты?
Задача по физике - 4988
Шарик массы $m$ находится внутри тонкостенного полого шара вблизи от его оболочки (рис.). Как будет действовать гравитационное поле оболочки на шарик?
Решение. «Здравый смысл» подсказывает: так как гравитационная сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, то шарик сильнее будет притягиваться к ближней части оболочки, т. е. влево.
С другой стороны, на шарик слева действует меньшая масса оболочки, чем справа. Поэтому на шарик будет действовать сила, направленная вправо. Каков же правильный ответ?
Задача по физике - 4989
Эллипсоидальная форма Земли объясняется обыкновенно действием центробежной силы инерции на огненно-жидкое тело, каким была Земля при своем образовании. Известен также опыт вращения жидкости в сосуде, при котором ее поверхность принимает форму параболоида вращения, а при большой скорости вращения вдоль оси образуется полость. Почему же жидкая Земля, вращаясь, не приняла форму кольцеобразного тела?
Задача по физике - 4990
Притяжение Луны Солнцем примерно в два раза больше, чем притяжение ее Землей. Почему же Луна — спутник Земли, а не самостоятельная планета?
Задача по физике - 4995
Космонавт, находящийся во вращающемся вокруг своей продольной оси корабле, выпускает из рук какой-нибудь предмет. Будет ли он «падать», т. е. двигаться к служащей «полом» стенке корабля?
Решение. Как только предмет будет выпущен из рук, он перестанет давить на опору, предмет будет вести себя как неведомый и к стенке двигаться не будет.
С другой стороны, во вращающейся системе координат на все предметы действует центробежная сила инерции. Поэтому она заставит предмет «падать», пока он не достигнет стенки. Какое же решение верное?
Задача по физике - 5242
На гладком конусе с углом при вершине $120^< \circ>$ шарнирно закреплён невесомый нерастяжимый стержень длиной $L$ (см. рис.). К концу стержня прикреплён груз. Вся система вращается вокруг вертикальной оси. При какой частоте вращения груз разорвёт стержень, если стержень выдерживает утроенный вес груза?
Задача по физике - 5263
Мальчик сидит на расстоянии $R$ от центра диска, равномерно раскручивающегося из состояния покоя до угловой скорости $\omega_<0>$ за время $T$. Какое число оборотов сделает мальчик прежде, чем он начнёт скользить относительно колеса, если коэффициент трения о его поверхность равен $\mu$?
Задача по физике - 5412
Тонкая массивная шайба надета на длинный стержень радиуса $R$ (см. рис.). Когда шайбу закрутили вокруг стержня с угловой скоростью $\omega$, оказалось, что она останавливается через время $t_<0>$. В другой раз шайбу закрутили с той же угловой скоростью и одновременно придали ей скорость $V_<0>$ вдоль стержня. Какой путь пройдёт по стержню шайба до остановки? Зазора между шайбой и стержнем нет.
Задача по физике - 5414
Человек встряхивает капилляр длиной $l$ и радиусом $r$, полностью заполненный жидкостью плотностью $\rho$. При этом капилляр движется по дуге окружности в вертикальной плоскости (см. рис.) вокруг одного из своих концов с угловой скоростью $\omega$. При каком угле $\phi$ жидкость начнёт вытряхиваться из капилляра? Коэффициент поверхностного натяжения жидкости равен $\sigma$.
Задача по физике - 5415
Оцените радиус атомного ядра, если известно, что помещённый в него мезон (элементарная частица с зарядом $e$ и массой, превосходящей массу электрона в 200 раз) совершает в нём гармонические колебания с частотой $\omega_<0>$, а энергия, необходимая для выбивания покоящегося мезона из центра ядра, равна $W_<0>$. Считать, что мезон взаимодействует с ядром только электростатически, и для описания его движения применимы законы классической физики.
Разделы ![]()
Дополнительно
Задача по физике - 10188
$N$ тонких диэлектрических пластин большой площади $S$ расположена на высоте $H$ над полом. Заряд единицы площади каждой пластины положителен и равен $\sigma$, масса пластины $m$. Пол также изготовлен из диэлектрика и заряжен отрицательно до плотности заряда $- N \sigma$. Стопку пластин отпустили и они начали падать на пол. Упав, пластины прилипают к полу. Найдите плотность заряда, находящегося у пола, как функцию времени; постройте график этой функции. Силой тяжести и магнитным полем пластин пренебречь, диэлектрическая постоянная $\epsilon_<0>$ известна.
Задача по физике - 10189
Легкий длинный пластиковый цилиндр может свободно вращаться вокруг своей горизонтальной оси. Радиус цилиндра $R$, длина $L$. Боковую поверхность цилиндра и прикрепили к ней тяжелый однородный стержень массы $m$, как показано на рисунке. Найдите период малых колебаний цилиндра вокруг положения равновесия. Магнитная проницаемость вакуума $\mu_<0>$ и ускорение свободного падения $g$ известны. Излучением пренебречь.
Задача по физике - 10194
Для бытовых нужд была изготовлена модель часов с подсветкой. Центр циферблата подключен через источник питания к точке на его ободе, соответствующей времени 12-00. Обе стрелки часов проводят электрический ток и касаются своими концами обода циферблата, при этом сопротивление минутной стрелки в три раза больше, чем сопротивление часовой. Сам обод так же состоит из проводящего материала, однородного по всей длине, который светится, когда по нему проходит сколь угодно малый электрический ток. На часах полночь. Укажите все моменты времени за последующие двенадцать часов, когда на ободе циферблата можно увидеть не светящуюся дугу.
Задача по физике - 10199
В плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, может вращаться вокруг оси легкая крестообразная карусель, на которой закреплены два маленьких шарика массы $m$ с зарядами $q$ и $-q$ (карусель изображена на рисунке, величина $R$ известна). В системе включили однородное электрическое поле напряженности $E$, направленное вдоль вектора ускорения свободного падения $g$. Карусель раскрутили и отпустили, при этом оказалось, что максимальная скорость вращения шариков равна $V$. Найдите минимальную скорость вращения шариков. Трением пренебречь.
Задача по физике - 10200
Полая трубка, изогнутая в форме равностороннего треугольника, въезжает со скоростью $u$ в полупространство, где создано однородное магнитное поле индукции $B$; (заштриховано на рис.). Направление $B$ перпендикулярно плоскости рисунка; в незаштрихованном полупространстве поле отсутствует. Внутри трубки имеется тонкая замкнутая натянутая цепочка массы $M$, которая может без трения скользить по трубке. Цепочка заряжена с линейной плотностью заряда $\sigma$, первоначально она покоится относительно трубки. Определите скорость движения цепочки относительно трубки как функцию времени.
Задача по физике - 10204
Для создания зловещего механизма Мегамозг вскрыл тайное хранилище, содержащее три резистора с сопротивлениями 1 Ом, 4 Ом и 5 Ом. Однако из-за происков врагов надписи на резисторах оказались стерты. Тогда Мегамозг собрал из них верхнюю схему, изображенную на рис., и подключил к ней батарейку напряжением 1,2 B. Амперметр показал ток 0,5 А. Затем он собрал нижнюю схему, и, когда он подключил эту схему к батарейке, амперметр сгорел. Однако мастер злодейства не расстроился, ведь теперь он знал, где какое сопротивление. Чему равны сопротивления $R_<1>, R_, R_$? Амперметр сгорает, если через него течет ток больше 1 А.
Задача по физике - 10212
Частица массой $m$ заряда $+q$ в начале координат имеет скорость $V$ направленную вдоль оси $z$. Выше плоскости $z = 0$ имеется постоянное магнитное поле $B_
Задача по физике - 10214
Две тонкие жесткие диэлектрические спицы скреплены и образуют угол $2 \alpha$. В вершине угла закреплен заряд $-q$. По каждой спице может свободно скользить маленькая бусинка заряда $+q$. Однородное электрическое поле напряженности $E$ параллельно биссектрисе угла (см. рис.).
Найдите положения равновесия бусинок. Исследуйте устойчивость. Силой тяжести пренебречь.
Задача по физике - 10215
В высокие стеклянные сообщающиеся сосуды с металлическим дном на расстоянии 2 и 4 см от дна встроены горизонтальные проволочные сетки. Сетки, находящиеся на одном уровне, соединены проводами А и В. В систему залили ртуть до уровня 5 см. Затем в левый сосуд залили 5 см жидкого изолятора (его плотность меньше чем у ртути на $\Delta \rho$), а сверху - 1 см еще более легкой жидкости с удельным сопротивлением в $k$ раз больше, чем у ртути. Поверх жидкости поместили легкие проводящие поршни. Система пришла в равновесие, при этом ртуть в правом сосуде достигла уровня 7 см. К дну сосудов и поршням подключили батарейку (см. рис.: серым изображены обе проводящие жидкости, белым - изолятор). На левый поршень собираются ставить груз. Найдите электрическое сопротивление системы в зависимости от массы груза; постройте график этой зависимости. Плотность ртути $\rho$, ее удельное сопротивление $r$, площадь дна обоих сосудов $S$. Сопротивлением проводов и поршней, трением и тепловым расширением ртути пренебречь. Объем соединяющей сосуды трубки мал.
Задача по физике - 10219
Из куска покрытого изоляцией провода сопротивлением $R$ спаяли кольцо; кольцо свернули в симметричную восьмерку (с одинаковыми петельками). В середине, где провода восьмерки скрещиваются, контакта нет. Точно таким же образом изготовили вторую восьмерку. Источник тока подключают к точкам скрещивания обеих восьмерок (на рис. 1 крупно показано подключение одной восьмерки): один из скрещивающихся проводов подключен к "плюсу", а другой - к "минусу". Затем подключенные восьмерки спаяли друг с другом в симметричных точках A и B (см. рис.2), сопротивление участка провода между A и B равно $R/4$. Каково полное сопротивление этой схемы?
Задача по физике - 10224
Электрический нагреватель состоит из двух параллельных стержней длиной $2L$, расположенных на расстоянии $2a$, и регулятора AB, способного вращаться вокруг точки O. Сопротивление каждого стержня $R = 100 Ом$, регулятор имеет нулевое сопротивление. Стержни подключены к источнику постоянного тока с напряжением $U = 210 В$, как показано на рисунке. При помощи этого нагревателя воду массой $M = 2 кг$ доводят от температуры $T_ <0>= 16^ < \circ>C$ до кипения. Найдите зависимость времени кипячения воды $t$ от угла $\phi$, который регулятор образует с горизонталью, и постройте график зависимости $t$ от величины $tg \phi$. Удельная теплоемкость воды $c = 4200 Дж/(кг \cdot ^< \circ>C)$. Теплопотерями и сопротивлением проводов пренебречь, $L = 20 см,a =10 см$.
Задача по физике - 10228
На цилиндр радиуса r намотана длинная тонкая нерастяжимая нить. К ее концу прикреплено точечное тело массы m и заряда q > 0. Магнитное поле индукции B направлено вдоль оси цилиндра (см. рис.). В начальный момент, когда нить намотана целиком, а тело касается цилиндра, телу сообщили некоторую скорость, направленную радиально от цилиндра. Через некоторое время тело по касательной задело цилиндр. Определить модуль начальной скорости тела.
Задача по физике - 10229
Поверхность полубесконечной трубы радиуса $r$ заряжена равномерно, плотность заряда $\sigma$. На оси трубы, на расстоянии $D$ от ее среза расположен диполь из зарядов $+q, -q$, расстояние между зарядами диполя $d$ (см. рис.). Найдите зависимость силы, действующей на диполь со стороны трубы, от расстояния $D$. Считайте, что $d \ll r, d \ll D$. Каким будет ответ, если величина $d$ сравнима с $D$, хотя и много меньше $r$?
Задача по физике - 10231
К торцам цилиндрического проводника длины $l$ подключили напряжение $U$. Он начал нагреваться, и через некоторое время приобрел постоянную температуру $T_<1>$. Затем проводник растянули, так, что получился цилиндр длины $2l$, и снова подключили к нему напряжение $U$. Найдите установившуюся температуру проводника в этом случае. Комнатная температура постоянна и равна $T_$. Считайте, что за единицу времени единица площади поверхности проводника с температурой $T$ отдает в комнату теплоту $\alpha (T - T_)$, где $\alpha$ - постоянный коэффициент. Теплоотдачей с торцов проводника пренебречь.
Задача по физике - 10237
Схема состоит из трех сопротивлений величиной $R, R$ и $2R$, реостата $R_
Читайте также: